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7.7.E: Problemas en topologías, conjuntos de borel y medidas regulares

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que\(\mathcal{G}\) es una topología en\(S\) (en\((a)-(c),\) describir\(\mathcal{B}\) también), dado
    (a)\(\mathcal{G}=2^{S}\);
    (b)\(\mathcal{G}=\{\emptyset, S\}\);
    (c)\(\mathcal{G}=\{\emptyset \text { and all sets in } S, \text { containing a fixed point } p\};\) o
    (d)\(S=E^{*} ; \mathcal{G}\) consiste en todas las uniones posibles de conjuntos de la forma\((a, b), (a, \infty],\) y\([-\infty, b),\) con\(a, b \in E^{1}.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \((S, \rho)\)se llama un espacio pseudométrico (y\(\rho\) es un pseudométrico) si las leyes métricas (i) - (iii) del Capítulo 3, s 11 se mantienen, pero (i) se debilita a
    \[\rho(x, x)=0\]
    (por lo que\(\rho(x, y)\) puede ser\(0\) incluso si\(x \neq y\)).
    (a) Definir “globos”, “interiores” y “conjuntos abiertos” (es decir,\(\mathcal{G})\) como en el Capítulo 3, §12; luego mostrar que\(\mathcal{G}\) es una topología para\(S.\)
    (b) Let\(S=E^{2}\) y
    \[\rho(\overline{x}, \overline{y})=\left|x_{1}-y_{1}\right|,\]
    donde\(\overline{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)\) y\(\overline{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right).\) Mostrar que\(\rho\) es un pseudométrico pero no una métrica (¡el Hausdorff falla correctamente!).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Defina “vecindario”, “interior”, “punto de agrupación”, “cierre” y “límite de función” para espacios topológicos. Especificar algunas nociones (por ejemplo, “diámetro”, “continuidad uniforme”) que no se traspasan (implican distancias).

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    En un espacio topológico\((S, \mathcal{G}),\) detine
    \[\mathcal{G}^{0}=\mathcal{G}, \mathcal{G}^{1}=\mathcal{G}_{\delta}, \mathcal{G}^{2}=\mathcal{G}_{\delta \sigma}, \ldots\]
    y
    \[\mathcal{F}^{0}=\mathcal{F}, \mathcal{F}^{1}=\mathcal{F}_{\sigma}, \mathcal{F}^{2}=\mathcal{F}_{\sigma \delta}, \mathcal{F}^{3}=\mathcal{F}_{\sigma \delta \sigma}, \text { etc.}\]
    (Dar una definición inductiva.) Entonces demostrar por inducción que
    (a)\(\mathcal{G}^{n} \subseteq \mathcal{B}, \mathcal{F}^{n} \subseteq \mathcal{B}\);
    (b)\(\mathcal{G}^{n-1} \subseteq \mathcal{G}^{n}, \mathcal{F}^{n-1} \subseteq \mathcal{F}^{n}\);
    (c)\((\forall X \subseteq S) X \in \mathcal{F}^{n}\) iff\(-X \in \mathcal{G}^{n}\);
    (d)\(\left(\forall X, Y \in \mathcal{F}^{n}\right) X \cap Y \in \mathcal{F}^{n}, X \cup Y \in \mathcal{F}^{n};\) lo mismo para\(\mathcal{G}^{n}\);
    (e)\(\left(\forall X \in \mathcal{G}^{n}\right)\left(\forall Y \in \mathcal{F}^{n}\right) X-Y \in \mathcal{G}^{n}\) y\(Y-X \in \mathcal{F}^{n}\).
    [Pista:\(X-Y=X \cap-Y\).]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Para espacios métricos y pseudométricos (ver Problema 2) probarlo
    \[\mathcal{F}^{n} \subseteq \mathcal{G}^{n+1} \text { and } \mathcal{G}^{n} \subseteq \mathcal{F}^{n+1}\]
    (cf. Problema 4).
    [Pista para\(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}_{\delta}:\) Let\(F \in \mathcal{F}.\) Set
    \[G_{n}=\bigcup_{p \in F} G_{p}\left(\frac{1}{n}\right);\]
    so
    \[(\forall n) \quad F \subseteq G_{n} \in \mathcal{G}.\]
    De ahí
    \[F \subseteq \bigcap_{n} G_{n} \in \mathcal{G}_{\delta}.\]
    También,
    \[\bigcap_{n} G_{n}=\overline{F}=F\]
    por Teorema 3 en el Capítulo 3, §16. De ahí deducir eso
    \[(\forall F \in \mathcal{F}) \quad F \in \mathcal{G}_{\delta},\]
    así de\(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}_{\delta};\) ahí\(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}_{\sigma}\) por el Problema 4 (c). Ahora usa inducción.]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Si\(m\) es como en la Definición 5, entonces prueba lo siguiente.
    (i)\(m\) es regular.
    ii)\((\forall A \in \mathcal{M}) m A=\sup \{m X | A \supseteq X \in \mathcal{M} \cap \mathcal{F}\}\).
    (iii) Esto último implica una fuerte regularidad si\(m<\infty\) y\(S \in \mathcal{M}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dejar\(\mu : \mathcal{B} \rightarrow E^{*}\) ser una medida de Borel en un espacio métrico\((S, \rho).\) Conjunto
    \[(\forall A \subseteq S) \quad n^{*} A=\inf \{\mu X | A \subseteq X \in \mathcal{G}\}.\]
    Demostrar que
    (i)\(n^{*}\) es una medida externa en\(S\);
    (ii)\(n^{*}=\mu\) on\(\mathcal{G}\);
    (iii) la medida\(n^{*}\) -inducida,\(n : \mathcal{N}^{*} \rightarrow E^{*},\) es topológico (so\(\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}^{*}\));
    (iv)\(n \geq \mu\) on\(\mathcal{B}\);
    (v)\((\forall A \subseteq S)\left(\exists H \in \mathcal{G}_{\delta}\right) A \subseteq H\) y\(\mu H=n^{*} A\).
    [Consejos: (iii) Usando Problema 15 en §5 y Problema 12 en §6, vamos a
    \[\rho(X, Y)>\varepsilon>0, \quad U=\bigcup_{x \in X} G_{x}\left(\frac{1}{2} \varepsilon\right), \quad V=\bigcup_{y \in Y} G_{y}\left(\frac{1}{2} \varepsilon\right).\]
    Verificar eso\(U, V \in \mathcal{G}, U \supseteq X, V \supseteq Y, U \cap V=\emptyset\).
    Por la definición de\(n^{*}\),
    \[(\exists G \in \mathcal{G}) \quad G \supseteq X \cup Y \text { and } n^{*} G \leq n^{*}(X \cup Y)+\varepsilon;\]
    también,\(X \subseteq G \cap U\) y\(Y \subseteq G \cap V.\) Así por (ii),
    \[n^{*} X \leq \mu(G \cap U) \text { and } n^{*} Y \leq \mu(G \cap V).\]
    De ahí
    \[n^{*} X+n^{*} Y \leq \mu(G \cap U)+\mu(G \cap V)=\mu((G \cap U) \cup(G \cap V)) \leq \mu G=n^{*} G \leq n^{*}(X \cup Y)+\varepsilon.\]
    Let\(\varepsilon \rightarrow 0\) para conseguir el\(\mathrm{CP} : n^{*} X+n^{*} Y \leq n^{*}(X \cup Y)\).
    (iv) Tenemos\((\forall A \in \mathcal{B})\)
    \[n A=n^{*} A=\inf \{\mu X | A \subseteq X \in \mathcal{G}\} \geq \inf \{\mu X | A \subseteq X \in \mathcal{B}\}=\mu A.\]
    (¿Por qué?)
    (v) Use la pista para el Problema 11 en §5.]

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Del Problema 7 con\(m=\mu,\) demostrar que si
    \[A \subseteq G \in \mathcal{G},\]
    con\(m G<\infty\) y\(A \in \mathcal{B},\) luego\(m A=n A\).
    [Pista:\(A, G,\) y\((G-A) \in \mathcal{B}.\) Por Problema 7 (iii),\(\mathcal{B} \subseteq N^{*}\) y\(n\) es aditivo en\(\mathcal{B}\); así por Problema 7 (ii) (iv),
    \[n A=n G-n(G-A) \leq m G-m(G-A)=m A \leq n A.\]
    Así\(m A=n A.\) Explique todo!]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Dejar\(m, n,\) y\(n^{*}\) ser como en Problemas 7 y 8. Supongamos
    \[S=\bigcup_{n=1}^{\infty} G_{n},\]
    con\(G_{n} \in \mathcal{G}\) y\(m G_{n}<\infty\) (esto se llama\(\sigma^{0}\) -finitud).
    Demostrar que
    (i)\(m=n\) on\(\mathcal{B},\) y
    (ii)\(m\) y\(n\) son fuertemente regulares.
    [Consejos:\(A \in \mathcal{B}.\) Corregido Mostrar eso
    \[A=\bigcup A_{n} \text { (disjoint)}\]
    para algunos conjuntos de Borel\(A_{n} \subseteq G_{n}\) (use Corolario 1 en §1). Por Problema 8,\(m A_{n}=n A_{n}\) desde
    \[A_{n} \subseteq G_{n} \in \mathcal{G}\]
    y\(m G_{n}<\infty.\) Ahora usa\(\sigma\) -aditividad para encontrar\(m A=n A\).
    (ii) Utilizar\(\mathcal{G}\) -regularidad, parte (i), y Teorema 1.]

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Continuando Problemas 8 y 9, muestran que\(n\) es la extensión Lebesgue de\(m\) (ver Teorema 2 en §6 y Nota 3 en §6).
    Así, cada medida\(\sigma^{0}\) -finita de Borel\(m\) en\((S, \rho)\) y su extensión Lebesgue son fuertemente regulares.
    [Pista:\(m\) induce una medida exterior\(m^{*},\) con\(m^{*}=m\) on\(\mathcal{B}.\) Es suficiente para mostrar eso\(m^{*}=n^{*}\) en\(2^{S}.\) (¿Por qué?)
    Así que vamos\(A \subseteq S.\) Por Problema 7 (v),
    \[(\exists H \in \mathcal{B}) A \subseteq H \text { and } n^{*} A=m H=m^{*} H.\]
    También,
    \[(\exists K \in \mathcal{B}) A \subseteq K \text { and } m^{*} A=m K\]
    (Problema 12 en §5). Deducir eso
    \[n^{*} A \leq n(H \cap K)=m(H \cap K) \leq m H=n^{*} A\]
    y
    \(n^{*} A=m(H \cap K)=m^{*} A\).]


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