7.9.E: Problemas sobre las medidas de Lebesgue-Stieltjes
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Demostrar en detalle Teoremas 1 a 3 en §8 para medidas LS y medidas externas.
Hacer Problema 2 en §8 para LS-medidas externas en\(E^{1}\).
Demostrar que\(f : E^{1} \rightarrow(S, \rho)\) es derecha (izquierda) continua en\(p\) iff
\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(p) \text { as } x_{n} \searrow p\left(x_{n} \nearrow p\right).\]
[Pista: Modificar la prueba del Teorema 1 en el Capítulo 4, §2.]
Rellene todos los datos de prueba en Teorema 2.
[Pista: Utilice el problema 4.]
En el Problema 8 (iv) de §4, describir\(m_{\alpha}^{*}\) y\(M_{\alpha}^{*}\).
Muestre que si es\(\alpha=c\) constante en un intervalo abierto\(I \subseteq E^{1}\), entonces lo
\[(\forall A \subseteq I) \quad m_{\alpha}^{*}(A)=0.\]
desacredita para intervalos no abiertos\(I\) (dé un contraejemplo).
\(m^{\prime}: \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\)Sea una medida topológica, traducción-invariante en\(E^{1}\), con\(m^{\prime}(0,1]=c<\infty.\) Demostrar lo siguiente.
(i)\(m^{\prime}=c m\) en el campo Borel\(\mathcal{B}.\) (Aquí\(m: \mathcal{M}^{*} \rightarrow E^{*}\) está Lebesgue medida en\(E^{1}\).)
* (ii) Si también\(m^{\prime}\) está completo, luego\(m^{\prime}=c m\) en\(\mathcal{M}^{*}\).
(iii) Si\(0<c<\infty,\) algún conjunto no\(Q \subset[0,1]\) es\(m^{\prime}\) medible.
* (iv) Si\(\mathcal{M}^{\prime}=\mathcal{B},\) entonces\(c m\) es la finalización de\(m^{\prime}\) (Problema 15 en §6).
[Esquema: (i) Por aditividad e invarianza de traducción,
\[m^{\prime}(0, r]=c m(0, r]\]
para racional
\[r=\frac{n}{k}, \quad n, k \in N\]
(primero tomar\(r=n,\) luego\(r=\frac{1}{k},\) luego\(r=\frac{n}{k}\)).
Por continuidad correcta (Teorema 2 en §4), probarlo de verdad\(r>0\) (tomar racionales\(r_{i} \searrow r\)).
Por traducción,\(m^{\prime}=c m\) en intervalos medio abiertos. Proceder como en el Problema 13 del §8.
(iii) Ver Problemas 4 a 6 en §8. Obsérvese que, por el Teorema 2, se puede asumir\(m^{\prime}=m_{\alpha}\) (una\(L S\) medida de traducción invariante). Al igual que\(m_{\alpha}=c m\) en intervalos semiabiertos, Lema 2 en §2 rinde\(m_{\alpha}=c m\) on\(\mathcal{G}\) (sets abiertos). Utilice\(\mathcal{G}\) -regularidad para probar\(m_{\alpha}^{*}=c m^{*}\) y\(\mathcal{M}_{\alpha}^{*}=\mathcal{M}^{*}\).]
(LS mide en\(E^{n}.\)) Dejar
\[\mathcal{C}^{*}=\left\{\text {alf-open intervals in } E^{n}\right\}.\]
Para cualquier\(\operatorname{map} G : E^{n} \rightarrow E^{1}\) y cualquier\((\overline{a}, \overline{b}] \in \mathcal{C}^{*},\) conjunto\(\alpha : E^{n} \rightarrow E^{1},\) Conjunto
\[\begin{aligned} \Delta_{k} G(\overline{a}, \overline{b}] &=G\left(x_{1}, \ldots, x_{k-1}, b_{k}, x_{k+1}, \ldots, x_{n}\right) \\ &-G\left(x_{1}, \ldots, x_{k-1}, a_{k}, x_{k+1}, \ldots, x_{n}\right), \quad 1 \leq k \leq n. \end{aligned}\]
dado
\[s_{\alpha}(\overline{a}, \overline{b}]=\Delta_{1}\left(\Delta_{2}\left(\cdots\left(\Delta_{n} \alpha(\overline{a}, \overline{b}]\right) \cdots\right)\right).\]
Por ejemplo, en\(E^{2}\),
\[s_{\alpha}(a, b]=\alpha\left(b_{1}, b_{2}\right)-\alpha\left(b_{1}, a_{2}\right)-\left[\alpha\left(a_{1}, b_{2}\right)-\alpha\left(a_{1}, a_{2}\right)\right].\]
Mostrar eso \(s_{\alpha}\)es aditivo en\(\mathcal{C}^{*}\). Comprobar que el orden en que\(\Delta_{k}\) se aplican los sea inmaterial. Configure una fórmula para\(s_{\alpha}\) in\(E^{3}\).
[Pista: Primero tome dos intervalos disjuntos
\[(\overline{a}, \overline{q}] \cup(\overline{p}, \overline{b}]=(\overline{a}, \overline{b}],\]
como en la Figura 2 del Capítulo 3, §7. Después usa la inducción, como en el Problema 9 del Capítulo 3, §7.]
Si\(s_{\alpha}\) en el Problema 9 no es negativo, y\(\alpha\) es correcto continuo en cada variable\(x_{k}\) por separado, llamamos a\(\alpha\) una función de distribución, y\(s_{\alpha}\) se llama la\(L S\) premedida\(\alpha\) -inducida en\(E^{n};\) la medida\(L S\) externa\(m_{\alpha}^{*}\) y medida
\[m_{\alpha} : \mathcal{M}_{\alpha}^{*} \rightarrow E^{*}\]
en\(E^{n}\) (obtenidos de\(s_{\alpha}\) como se muestra en} §§5 y 6) se dice que son inducidos por\(\alpha.\)
For\(s_{\alpha}, m_{\alpha}^{*},\) y\(m_{\alpha}\) así definidos, rehacer Problemas 1-3 anteriores.