7.10.E: Problemas sobre las Medidas Generalizadas

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completar las pruebas de Teoremas 1,4, y 5.

Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

Hazlo también por los lemmas y el Corolario 3.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Verifica lo siguiente.
(i) En la Definición 2, se puede sustituir equivalentemente “contable\(\left\{X_{i}\right\}\)" por “finito”\(\left\{X_{i}\right\}\).
(ii) Si\(\mathcal{M}\) es un anillo, la Nota 1 se mantiene para secuencias finitas\(\left\{X_{i}\right\}\).
(iii) Si\(s : \mathcal{M} \rightarrow E\) es aditivo en\(\mathcal{M},\) un semiring, así es\(v_{s}\).
[Pista: Usar el Teorema 1 de §4.]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Para cualquier conjunto de funciones\(s, t\) sobre\(\mathcal{M},\) probar que se define

(i)\(\quad v_{|s|}=v_{s},\) y (ii)\(v_{s t} \leq a v_{t},\) proporcionado\(s t\) y
\[a=\sup \{|s X| | X \in \mathcal{M}\}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dado\(s, t : \mathcal{M} \rightarrow E,\) muestran que
(i)\(v_{s+t} \leq v_{s}+v_{t}\);
(ii)\(v_{k s}=|k| v_{s}\) ((\ k\) como en el Corolario 2); y
(iii) si\(E=E^{n}\left(C^{n}\right)\) y
\[s=\sum_{k=1}^{n} s_{k} \overline{e}_{k},\]
luego
\[v_{s_{k}} \leq v_{s} \leq \sum_{k=1}^{n} v_{s k}.\]
[Consejos: (i) Si
\[A \supseteq \bigcup X_{i} \text { (disjoint),}\]
con\(A_{i}, X_{i} \in \mathcal{M},\) verificar que
\[\begin{array}{c}{\left|(s+t) X_{i}\right| \leq\left|s X_{i}\right|+\left|t X_{i}\right|,} \\ {\sum\left|(s+t) X_{i}\right| \leq v_{s} A+v_{t} A, \text { etc.;}}\end{array}\]
(ii) es análogo.
iii) Utilizar ii) e i), con\(\left|\overline{e}_{k}\right|=1\).]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Si\(g \uparrow, h \uparrow,\) y\(\alpha=g-h\) sigue\(E^{1}\), ¿se puede definir la medida\(s_{\alpha}\) LS firmada simplemente configurando\(s_{\alpha}=m_{g}-m_{h}\) (asumiendo\(m_{h}<\infty\))?
[Pista: los dominios de\(m_{g}\) y\(m_{h}\) pueden ser diferentes. Dé un ejemplo. ¿Qué tal tomar su intersección?]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra una medida LS\(m_{\alpha}\) tal que\(\alpha\) sea continua y uno-a-uno, pero no\(m_{\alpha}\) es\(m\) -finita (medida\(m=\) Lebesgue).
[Pista: Tomar
\[\alpha(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{x^{3}}{|x|},} & {x \neq 0,} \\ {0,} & {x=0,}\end{array}\right.\]
y

\[\left.A=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(n, n+\frac{1}{n^{2}}\right] .\right]\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Construir medidas LS complejas y vectorizadas\(s_{\alpha}: \mathcal{M}_{\alpha}^{*} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) en\(E^{1}.\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que si\(s : \mathcal{M} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) es aditivo y acotado en\(\mathcal{M},\) un anillo, así es\(v_{s}\).
[Pista: Por Problema 4 (iii), reducir todo al caso real.
Problema de uso 2. Dada una secuencia disjunta finita\(\left\{X_{i}\right\} \subseteq \mathcal{M},\) dejó\(U^{+}\left(U^{-}\right)\) ser la unión de aquellos\(X_{i}\) para los cuales\(s X_{i} \geq 0 (s X_{i}<0,\) respectivamente). Demostrar que
\[\left.\sum s X_{i}=s U^{+}-s U^{-} \leq 2 \sup |s|<\infty.\right]\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Para cualquiera\(s : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) y\(A \in \mathcal{M},\) establecer
\[s^{+} A=\sup \{s X | A \supseteq X \in \mathcal{M}\}\]
y
\[s^{-} A=\sup \{-s X | A \supseteq X \in \mathcal{M}\}.\]
Demostrar que si\(s\) es aditivo y acotado en\(\mathcal{M},\) un anillo, así son\(s^{+}\) y\(s^{-};\) además,
\[\begin{aligned} s^{+} &=\frac{1}{2}\left(v_{s}+s\right) \geq 0, \\ s^{-} &=\frac{1}{2}\left(v_{s}-s\right) \geq 0, \\ s &=s^{+}-s^{-}, \text{ and } \\ v_{s} &=s^{+}+s^{-}. \end{aligned}\]
[Consejos: Use Problema 8. Set
\[s^{\prime}=\frac{1}{2}\left(v_{s}+s\right).\]
Entonces\((\forall X \in \mathcal{M} | X \subseteq A)\)
\[\begin{aligned} 2 s X=s A+s X-s(A-X) & \leq s A+(|s X|+|s(A-X)|) \\ & \leq s A+v_{s} A=2 s^{\prime} A. \end{aligned}\]
Deduce eso\(s^{+} A \leq s^{\prime} A\).
Para probar también que\(s^{\prime} A \leq s^{+} A,\) vamos\(\varepsilon>0.\) Por Problemas 2 y 8, fix\(\left\{X_{i}\right\} \subseteq \mathcal{M}\), with
\[A=\bigcup_{i=1}^{n} X_{i} \text { (disjoint)}\]
and
\[v_{s} A-\varepsilon<\sum_{i=1}^{n}\left|s X_{i}\right|.\]
Show that
\[2 s^{\prime} A-\varepsilon=v_{s} A+s A-\varepsilon \leq s U^{+}-s U^{-}+s \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}=2 s U^{+}\]
and
\[\left.2 s^{+} A \geq 2 s U^{+} \geq 2 s^{\prime} A-\varepsilon.\right]\]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Dejar
\[\mathcal{K}=\{\text {compact sets in a topological space }(S, \mathcal{G})\}\]
(adoptar el Teorema 2 en el Capítulo 4, §7, como definición). Dado
\[s : \mathcal{M} \rightarrow E, \quad \mathcal{M} \subseteq 2^{S},\]
llamamos\(s\) compacto regular (CR) iff
\[\begin{aligned}(\forall \varepsilon>0) &(\forall A \in \mathcal{M})(\exists F \in \mathcal{K})(\exists G \in \mathcal{G}) \\ F, G & \in \mathcal{M}, F \subseteq A \subseteq G, \text { and } v_{s} G-\varepsilon \leq v_{s} A \leq v_{s} F+\varepsilon. \end{aligned}\]
Probaremos lo siguiente.
(i) Si\(\mathrm{CR},\) así\(s, t : \mathcal{M} \rightarrow E\) son\(s \pm t\) y\(k s\) (\(k\)como en el Corolario 2).
(ii) Si\(s\) es aditivo y CR en\(\mathcal{M},\) un semiring, también lo es su extensión al anillo\(\mathcal{M}_{s}\) (Teorema 1 en §4 y Teorema 4 de §3).
(iii) Si\(E=E^{n}\left(C^{n}\right)\) y\(v_{s}<\infty\) sobre\(\mathcal{M},\) un anillo, entonces\(s\) es CR si sus componentes\(s_{k}\) son, o en el caso\(E=E^{1},\) iff\(s^{+}\) y\(s^{-}\) son (ver Problema 9).
[Pista para (iii): Uso (i) y Problema 4 (iii). Considerar\(v_{s}(G-F)\).]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

(Aleksandrov.) Mostrar que si\(s : \mathcal{M} \rightarrow E\) es CR (ver Problema 10) y aditivo en\(\mathcal{M},\) un anillo en un espacio topológico\(S,\) y si está\(v_{s}<\infty\) encendido\(\mathcal{M}\), entonces\(v_{s}\) y\(s\) son\(\sigma\) -aditivos, y\(v_{s}\) tiene una extensión única\(\sigma\) -aditiva\(\overline{v}_{s}\) al\(\sigma\) anillo \(\mathcal{N}\)generado por\(\mathcal{M}.\)
Este último aguanta\(s,\) también, si\(S \in \mathcal{M}\) y\(E=E^{n}\left(C^{n}\right)\).
[Esquema de prueba: La\(\sigma\) -aditividad de\(v_{s}\) los resultados como en el Teorema 1 de §2 (primer cheque Lema 1 en §1 para\(v_{s}\)).
Para la\(\sigma\) -aditividad de\(s,\) let
\[A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \text { (disjoint)}, \quad A, A_{i} \in \mathcal{M};\]
entonces en
\[\left|s A-\sum_{i=1}^{r-1} s A_{i}\right| \leq \sum_{i=r}^{\infty} v_{s} A_{i} \rightarrow 0\]
\(r \rightarrow \infty,\) cuanto a
\[\sum_{i=1}^{\infty} v_{s} A_{i}=v_{s} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}<\infty.\]
(¡Explique!) Ahora, el Teorema 2 de §6 se extiende\(v_{s}\) a una medida en un\(\sigma\) -campo
\[\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{N} \supseteq \mathcal{M}\]
(use la minimalidad de\(\mathcal{N}\)). Su restricción a\(\mathcal{N}\) es la deseada\(\overline{v}_{s}\) (única por el Problema 15 en §6).
Una prueba similar se mantiene para\(s,\) también, si\(s : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty).\) El caso\(s : \mathcal{M} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) resulta vía Teorema 5 y Problema 10 (iii) previsto\(S \in \mathcal{M};\) para entonces por Corolario 1,\(v_{s} S<\infty\) asegura la finitud de\(v_{s}, s^{+},\) e\(s^{-}\) incluso en\(\mathcal{N}\).]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Hacer Problema 11 para semirings\(\mathcal{M}\).
[Pista: Utilice el problema 10 (ii).]