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# 7.10.E: Problemas sobre las Medidas Generalizadas

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar las pruebas de Teoremas 1,4, y 5.

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Hazlo también por los lemmas y el Corolario 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verifica lo siguiente.
(i) En la Definición 2, se puede sustituir equivalentemente “contable$$\left\{X_{i}\right\}$$" por “finito”$$\left\{X_{i}\right\}$$.
(ii) Si$$\mathcal{M}$$ es un anillo, la Nota 1 se mantiene para secuencias finitas$$\left\{X_{i}\right\}$$.
(iii) Si$$s : \mathcal{M} \rightarrow E$$ es aditivo en$$\mathcal{M},$$ un semiring, así es$$v_{s}$$.
[Pista: Usar el Teorema 1 de §4.]

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Para cualquier conjunto de funciones$$s, t$$ sobre$$\mathcal{M},$$ probar que se define

(i)$$\quad v_{|s|}=v_{s},$$ y (ii)$$v_{s t} \leq a v_{t},$$ proporcionado$$s t$$ y
$a=\sup \{|s X| | X \in \mathcal{M}\}.$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dado$$s, t : \mathcal{M} \rightarrow E,$$ muestran que
(i)$$v_{s+t} \leq v_{s}+v_{t}$$;
(ii)$$v_{k s}=|k| v_{s}$$ ((\ k\) como en el Corolario 2); y
(iii) si$$E=E^{n}\left(C^{n}\right)$$ y
$s=\sum_{k=1}^{n} s_{k} \overline{e}_{k},$
luego
$v_{s_{k}} \leq v_{s} \leq \sum_{k=1}^{n} v_{s k}.$
[Consejos: (i) Si
$A \supseteq \bigcup X_{i} \text { (disjoint),}$
con$$A_{i}, X_{i} \in \mathcal{M},$$ verificar que
$\begin{array}{c}{\left|(s+t) X_{i}\right| \leq\left|s X_{i}\right|+\left|t X_{i}\right|,} \\ {\sum\left|(s+t) X_{i}\right| \leq v_{s} A+v_{t} A, \text { etc.;}}\end{array}$
(ii) es análogo.
iii) Utilizar ii) e i), con$$\left|\overline{e}_{k}\right|=1$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Si$$g \uparrow, h \uparrow,$$ y$$\alpha=g-h$$ sigue$$E^{1}$$, ¿se puede definir la medida$$s_{\alpha}$$ LS firmada simplemente configurando$$s_{\alpha}=m_{g}-m_{h}$$ (asumiendo$$m_{h}<\infty$$)?
[Pista: los dominios de$$m_{g}$$ y$$m_{h}$$ pueden ser diferentes. Dé un ejemplo. ¿Qué tal tomar su intersección?]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Encuentra una medida LS$$m_{\alpha}$$ tal que$$\alpha$$ sea continua y uno-a-uno, pero no$$m_{\alpha}$$ es$$m$$ -finita (medida$$m=$$ Lebesgue).
[Pista: Tomar
$\alpha(x)=\left\{\begin{array}{ll}{\frac{x^{3}}{|x|},} & {x \neq 0,} \\ {0,} & {x=0,}\end{array}\right.$
y

$\left.A=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(n, n+\frac{1}{n^{2}}\right] .\right]$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Construir medidas LS complejas y vectorizadas$$s_{\alpha}: \mathcal{M}_{\alpha}^{*} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$$ en$$E^{1}.$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar que si$$s : \mathcal{M} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$$ es aditivo y acotado en$$\mathcal{M},$$ un anillo, así es$$v_{s}$$.
[Pista: Por Problema 4 (iii), reducir todo al caso real.
Problema de uso 2. Dada una secuencia disjunta finita$$\left\{X_{i}\right\} \subseteq \mathcal{M},$$ dejó$$U^{+}\left(U^{-}\right)$$ ser la unión de aquellos$$X_{i}$$ para los cuales$$s X_{i} \geq 0 (s X_{i}<0,$$ respectivamente). Demostrar que
$\left.\sum s X_{i}=s U^{+}-s U^{-} \leq 2 \sup |s|<\infty.\right]$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Para cualquiera$$s : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}$$ y$$A \in \mathcal{M},$$ establecer
$s^{+} A=\sup \{s X | A \supseteq X \in \mathcal{M}\}$
y
$s^{-} A=\sup \{-s X | A \supseteq X \in \mathcal{M}\}.$
Demostrar que si$$s$$ es aditivo y acotado en$$\mathcal{M},$$ un anillo, así son$$s^{+}$$ y$$s^{-};$$ además,
\begin{aligned} s^{+} &=\frac{1}{2}\left(v_{s}+s\right) \geq 0, \\ s^{-} &=\frac{1}{2}\left(v_{s}-s\right) \geq 0, \\ s &=s^{+}-s^{-}, \text{ and } \\ v_{s} &=s^{+}+s^{-}. \end{aligned}
[Consejos: Use Problema 8. Set
$s^{\prime}=\frac{1}{2}\left(v_{s}+s\right).$
Entonces$$(\forall X \in \mathcal{M} | X \subseteq A)$$
\begin{aligned} 2 s X=s A+s X-s(A-X) & \leq s A+(|s X|+|s(A-X)|) \\ & \leq s A+v_{s} A=2 s^{\prime} A. \end{aligned}
Deduce eso$$s^{+} A \leq s^{\prime} A$$.
Para probar también que$$s^{\prime} A \leq s^{+} A,$$ vamos$$\varepsilon>0.$$ Por Problemas 2 y 8, fix$$\left\{X_{i}\right\} \subseteq \mathcal{M}$$, with
$A=\bigcup_{i=1}^{n} X_{i} \text { (disjoint)}$
and
$v_{s} A-\varepsilon<\sum_{i=1}^{n}\left|s X_{i}\right|.$
Show that
$2 s^{\prime} A-\varepsilon=v_{s} A+s A-\varepsilon \leq s U^{+}-s U^{-}+s \bigcup_{i=1}^{n} X_{i}=2 s U^{+}$
and
$\left.2 s^{+} A \geq 2 s U^{+} \geq 2 s^{\prime} A-\varepsilon.\right]$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Dejar
$\mathcal{K}=\{\text {compact sets in a topological space }(S, \mathcal{G})\}$
(adoptar el Teorema 2 en el Capítulo 4, §7, como definición). Dado
$s : \mathcal{M} \rightarrow E, \quad \mathcal{M} \subseteq 2^{S},$
llamamos$$s$$ compacto regular (CR) iff
\begin{aligned}(\forall \varepsilon>0) &(\forall A \in \mathcal{M})(\exists F \in \mathcal{K})(\exists G \in \mathcal{G}) \\ F, G & \in \mathcal{M}, F \subseteq A \subseteq G, \text { and } v_{s} G-\varepsilon \leq v_{s} A \leq v_{s} F+\varepsilon. \end{aligned}
Probaremos lo siguiente.
(i) Si$$\mathrm{CR},$$ así$$s, t : \mathcal{M} \rightarrow E$$ son$$s \pm t$$ y$$k s$$ ($$k$$como en el Corolario 2).
(ii) Si$$s$$ es aditivo y CR en$$\mathcal{M},$$ un semiring, también lo es su extensión al anillo$$\mathcal{M}_{s}$$ (Teorema 1 en §4 y Teorema 4 de §3).
(iii) Si$$E=E^{n}\left(C^{n}\right)$$ y$$v_{s}<\infty$$ sobre$$\mathcal{M},$$ un anillo, entonces$$s$$ es CR si sus componentes$$s_{k}$$ son, o en el caso$$E=E^{1},$$ iff$$s^{+}$$ y$$s^{-}$$ son (ver Problema 9).
[Pista para (iii): Uso (i) y Problema 4 (iii). Considerar$$v_{s}(G-F)$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

(Aleksandrov.) Mostrar que si$$s : \mathcal{M} \rightarrow E$$ es CR (ver Problema 10) y aditivo en$$\mathcal{M},$$ un anillo en un espacio topológico$$S,$$ y si está$$v_{s}<\infty$$ encendido$$\mathcal{M}$$, entonces$$v_{s}$$ y$$s$$ son$$\sigma$$ -aditivos, y$$v_{s}$$ tiene una extensión única$$\sigma$$ -aditiva$$\overline{v}_{s}$$ al$$\sigma$$ anillo $$\mathcal{N}$$generado por$$\mathcal{M}.$$
Este último aguanta$$s,$$ también, si$$S \in \mathcal{M}$$ y$$E=E^{n}\left(C^{n}\right)$$.
[Esquema de prueba: La$$\sigma$$ -aditividad de$$v_{s}$$ los resultados como en el Teorema 1 de §2 (primer cheque Lema 1 en §1 para$$v_{s}$$).
Para la$$\sigma$$ -aditividad de$$s,$$ let
$A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \text { (disjoint)}, \quad A, A_{i} \in \mathcal{M};$
entonces en
$\left|s A-\sum_{i=1}^{r-1} s A_{i}\right| \leq \sum_{i=r}^{\infty} v_{s} A_{i} \rightarrow 0$
$$r \rightarrow \infty,$$ cuanto a
$\sum_{i=1}^{\infty} v_{s} A_{i}=v_{s} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}<\infty.$
(¡Explique!) Ahora, el Teorema 2 de §6 se extiende$$v_{s}$$ a una medida en un$$\sigma$$ -campo
$\mathcal{M}^{*} \supseteq \mathcal{N} \supseteq \mathcal{M}$
(use la minimalidad de$$\mathcal{N}$$). Su restricción a$$\mathcal{N}$$ es la deseada$$\overline{v}_{s}$$ (única por el Problema 15 en §6).
Una prueba similar se mantiene para$$s,$$ también, si$$s : \mathcal{M} \rightarrow[0, \infty).$$ El caso$$s : \mathcal{M} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$$ resulta vía Teorema 5 y Problema 10 (iii) previsto$$S \in \mathcal{M};$$ para entonces por Corolario 1,$$v_{s} S<\infty$$ asegura la finitud de$$v_{s}, s^{+},$$ e$$s^{-}$$ incluso en$$\mathcal{N}$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Hacer Problema 11 para semirings$$\mathcal{M}$$.
[Pista: Utilice el problema 10 (ii).]

7.10.E: Problemas sobre las Medidas Generalizadas is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.