7.11.E: Problemas en los Recubrimientos Vitali

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar Teorema 1 para globos, rellenando todos los detalles.
[Pista: Use el Problema 16 en §8.]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(\Rightarrow\)Demostrar que cualquier unión (incluso incontable) de globos o cubos no degenerados\(J_{i} \subset E^{n}\) es medible en L.
[Pista: Incluir en\(\mathcal{K}\) cada globo (cubo) que se encuentra en algunos\(J_{i}.\) Entonces el Teorema 1 representa\(\cup J_{I}\) como una unión contable más un conjunto nulo.]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Suplemento Teorema 1 demostrando eso
\[m^{*}\left(A-\bigcup I_{k}^{o}\right)=0\]
y
\[m^{*} A=m^{*}\left(A \cap \bigcup I_{k}^{o}\right);\]
aquí\(I^{o}=\) interior de\(I\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Rellene todos los datos de prueba en Lemmas 1 y 2. Hazlo también por\(\overline{\mathcal{K}}=\) {globos}.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dado\(m Z=0\) y\(\varepsilon>0,\) demostrar que hay globos abiertos
\[G_{k}^{*} \subseteq E^{n},\]
con
\[Z \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} G_{k}^{*}\]
y
\[\sum_{k=1}^{\infty} m G_{k}^{*}<\varepsilon.\]
[Pista: Use el Problema 3 (f) en §5 y Problema 16 (iii) de §8.]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Hacer el Problema 3 en §5 para los incisos i
)\(\mathcal{C}^{\prime}=\{\text {open globes}\},\) y
ii)\(\mathcal{C}^{\prime}=\left\{\text {all globes in } E^{n}\right\}\).
[Consejos para (i): Dejar que la medida\(m^{\prime}=\) externa inducida por\(v^{\prime}: \mathcal{C}^{\prime} \rightarrow E^{1}.\) Del Problema 3 (e) en §5, demuestre que
\[\left(\forall A \subseteq E^{n}\right) \quad m^{\prime} A \geq m^{*} A.\]
Para probar\(m^{\prime} A \leq m^{*} A\) también, fijar\(\varepsilon>0\) y un conjunto abierto\(G \supseteq A\) con
\[m^{*} A+\varepsilon \geq m G \text { (Theorem 3 of §8).}\]
Globos dentro\(G\) cubrir\(A\) en el\(V\) -sentido (¿por qué?) ; así que
\[A \subseteq Z \cup \bigcup G_{k} \text { (disjoint)}\]
para algunos globos\(G_{k}\) y conjunto nulo\(Z.\) Con\(G_{k}^{*}\) como en el Problema 5,
\[m^{\prime} A \leq \sum\left(m G_{k}+m G_{k}^{*}\right) \leq m G+\varepsilon \leq m^{*} A+2 \varepsilon.]\]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(f : E^{n} \stackrel{\text { onto }}{\longleftrightarrow} E^{n}\) es una isometría, es decir, satisface
\[|f(\overline{x})-f(\overline{y})|=|\overline{x}-\overline{y}| \quad \text { for } \overline{x}, \overline{y} \in E^{n}.\]
Probar que
(i)\(\left(\forall A \subseteq E^{n}\right) m^{*} A=m^{*} f[A],\) y
(ii)\(A \in \mathcal{M}^{*}\) iff\(f[A] \in \mathcal{M}^{*}\).
[Consejos: Si\(A\) es un globo de radio\(r,\) así es\(f[A]\) (verificar!) ; por lo tanto, se aplican los Problemas 14 y 16 en §8. En el caso general, argumentar como en el Teorema 4 de §8, sustituyendo los intervalos por globos (ver Problema 6). Tenga en cuenta que también\(f^{-1}\) es una isometría.]

Ejercicio\(\PageIndex{7'}\)

Del Problema 7 inferir que la medida de Lebesgue en\(E^{n}\) es invariante de rotación. (Una rotación alrededor\(\overline{p}\) es una isometría\(f\) tal que\(f(\overline{p})=\overline{p}\).)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

A\(V\) -covering\(\mathcal{K}\) of\(A \subseteq E^{n}\) se llama normal iff
(i)\((\forall I \in K) 0<m \overline{I}=m I^{o},\) y
(ii) para cada uno\(\overline{p} \in A,\) hay algunos\(c \in(0, \infty)\) y una secuencia
\[I_{k} \rightarrow \overline{p} \quad\left(\left\{I_{k}\right\} \subseteq \mathcal{K}\right)\]
tal que
\[(\forall k)\left(\exists \text { cube } J_{k} \supseteq I_{k}\right) \quad c \cdot m^{*} I_{k} \geq m J_{k}.\]
(Nosotros decimos entonces que \(\overline{p}\)y\(\left\{I_{k}\right\}\) son normales; específicamente,\(c\) -normales.)
Demostrar los teoremas 1 y 2 para cualquier normal\(\mathcal{K}\).
[Consejos: Por Problema 21 del Capítulo 3, §16,\(d I=d \overline{I}\).
Primero, supongamos que\(\mathcal{K}\) es uniformemente normal, es decir, todos\(\overline{p} \in A\) son\(c\) -normales para lo mismo\(c.\)
En el caso general, dejar
\[A_{i}=\{\overline{x} \in A | \overline{x} \text { is } i \text {-normal}\}, \quad i=1,2, \ldots;\]
que así\(\mathcal{K}\) sea uniforme para\(A_{i}.\) Verificar eso\(A_{i} \nearrow A\).
Después seleccione, paso a paso, como en el Teorema 1, una secuencia disjunta\(\left\{I_{k}\right\} \subseteq \mathcal{K}\) y naturales\(n_{1}<n_{2}<\cdots<n_{i}<\cdots\) tales que
\[(\forall i) \quad m^{*}\left(A_{i}-\bigcup_{k=1}^{n_{i}} I_{k}\right)<\frac{1}{i}.\]
Let
\[U=\bigcup_{k=1}^{\infty} I_{k}.\]
Then
\[(\forall i) \quad m^{*}\left(A_{i}-U\right)<\frac{1}{i}\]
y
\[A_{i}-U \nearrow A-U.\]
(¿Por qué?) Así, por los Problemas 7 y 8 en §6,
\[m^{*}(A-U) \leq \lim _{i \rightarrow \infty} \frac{1}{i}=0.]\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Una\(V\) cobertura\(\overline{K}^{*}\) de\(E^{n}\) se llama universal iff
(i)\((\forall I \in \overline{\mathcal{K}}^{*}\right) 0<m \overline{I}=m I^{o}<\infty,\) y
(ii) siempre que una subfamilia\(\mathcal{K} \subseteq \overline{\mathcal{K}}^{*}\) cubra un conjunto\(A \subseteq E^{n}\) en el\(V\) sentido, tenemos
\[m^{*}\left(A-\bigcup I_{k}\right)=0\]
para una secuencia disjunta
\[\left\{I_{k}\right\} \subseteq \mathcal{K}.\]
Mostrar lo siguiente.
(a)\(\overline{\mathcal{K}}^{*} \subseteq \mathcal{M}^{*}\).
b) Los lemmas 1 y 2 son verdaderos con\(\overline{\mathcal{K}}\) reemplazados por cualquier universal\(\overline{\mathcal{K}}^{*}.\) (En este caso, escribir\(\underline{D}^{*} s\) y\(\overline{D}^{*} s\) para los análogos de\(\underline{D} s\) y\(\overline{D}_{s}\).)
(c)\(\underline{D s}=\underline{D}^{*} s=\overline{D}^{*} s=\overline{D} s\) a.e.
[Consejos: (a) Por (i),\(I=\overline{I}\) menos un conjunto nulo\(Z \subseteq \overline{I}-I^{o}\).
(c) Argumentar como en Lema 2, pero establecido
\[Q=J\left(\underline{D}^{*} s>u>v>\underline{D} s\right)\]
y
\[\mathcal{K}^{\prime}=\left\{I \in \overline{\mathcal{K}}^{*} | I \subseteq G^{\prime}, \frac{s I}{m I}>v\right\}\]
para probar a.e. que de\(\underline{D}^{*} s \leq \underline{D} s;\) manera similar para\(\underline{D} s \leq D^{*} s\).
A lo largo de asumir que\(s : \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*}\left(\mathcal{M}^{\prime} \supseteq \overline{\mathcal{K}} \cup \overline{\mathcal{K}}^{*}\right)\) es una medida en\(E^{n},\) finito sobre\(\overline{\mathcal{K}} \cup \overline{\mathcal{K}}^{*}\).]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Continuando Problemas 8 y 9, verificar que
(a)\(\overline{\mathcal{K}}=\{\text {nondegenerate cubes \}\}\) es una\(V\) cobertura normal y universal de\(E^{n}\);
(b) así también lo es\(\overline{\mathcal{K}}^{o}=\left\{\text {all globes in} E^{n}\right\}\);
(c)\(\overline{\mathcal{C}}=\{\text {nondegenerate intervals}\}\) es normal.
Tenga en cuenta que no\(\overline{\mathcal{C}}\) es universal.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Continuando con la Definición 3, llamamos\(q\) un derivado de\(s,\) y escribimos\(q \sim D s(\overline{p}),\) iff
\[q=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{s I_{k}}{m I_{k}}\]
para alguna secuencia\(I_{k} \rightarrow \overline{p},\) con\(I_{k} \in \overline{\mathcal{K}}\).
Establecer
\[D_{\overline{p}}=\left\{q \in E^{*} | q \sim D s(\overline{p})\right\}\]
y demostrar que
\[\underline{D} s(\overline{p})=\min D_{\overline{p}} \text { and } \overline{D} s(\overline{p})=\max D_{\overline{p}}.\]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dejar\(\mathcal{K}^{*}\) ser una\(V\) cobertura normal de\(E^{n}\) (ver Problema 8). Dada una medida\(s\) en\(E^{n},\) finito sobre\(\mathcal{K}^{*} \cup \overline{\mathcal{K}},\) escribir
\[q \sim D^{*} s(\overline{p})\]
iff
\[q=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{s I_{k}}{m I_{k}}\]
para alguna secuencia normal\(I_{k} \rightarrow \overline{p},\) con\(I_{k} \in \mathcal{K}^{*}\).
Establecer
\[D_{\overline{p}}^{*}=\left\{q \in E^{*} | q \sim D^{*} s(\overline{p})\right\},\]
y luego
\[\underline{D}^{*} s(\overline{p})=\inf D_{\overline{p}}^{*} \text { and } \overline{D}^{*} s(\overline{p})=\sup D_{\overline{p}}^{*}.\]
Demostrar que
\[\underline{D} s=\underline{D}^{*} s=\overline{D}^{*} s=\overline{D} s \text { a.e. on } E^{n}.\]
[Pista:\(E^{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty} E_{i},\) donde
\[E_{i}=\left\{\overline{x} \in E^{n} | \overline{x} \text { is } i \text {-normal}\right\}.\]
En cada uno\(E_{i}, \mathcal{K}^{*}\) es uniformemente normal. Para probar\(\underline{D} s=\underline{D}^{*} s\) a.e. sobre\(E_{i},\) “imitar” Problema 9 (c). Proceder.]