8.1: Funciones elementales y medibles

A partir de las funciones establecidas, ahora volvemos a las funciones de punto

\ [
f: S\ fila derecha\ izquierda (T,\ rho^ {\ prime}\ derecha)
\]

cuyo dominio\(D_{f}\) consiste en puntos de un conjunto\(S .\) El espacio de rango\(T\) será principalmente\(E,\) i.e.,\(E^{1}, E^{*}, C, E^{n},\) u otro espacio normado. Suponemos\(f(x)=0\) a menos que se defina lo contrario (En un espacio métrico general\(T,\) podemos tomar algún elemento fijo\(q\) para\(0 .\)) Así\(D_{f}\) es todo\(S\), siempre.

También adoptamos una notación conveniente para conjuntos:

\ [
“A (P)”\ texto {para} “\ {x\ en A | P (x)\}.”
\]

Así

\ [
\ comenzar {alineado} A (f\ neq a) &=\ {x\ en A | f (x)\ neq a\},\\ A (f=g) &=\ {x\ en A | f (x) =g (x)\},\\ A (f>g) &=\ {x\ en A | f (x) >g (x)\},\ texto {etc.}\ final {alineado}
\]

Definición

Un espacio medible es un conjunto\(S \neq \emptyset\) junto con un anillo conjunto\(\mathcal{M}\) de subconjuntos de\(S,\) denotados\((S, \mathcal{M})\).

En adelante,\((S, \mathcal{M})\) se fija.

Definición

Una partición M de un conjunto\(A\) es una familia de conjuntos contables\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\) tal que

\ [
A=\ bigcup_ {i} A_ {i} (d i s j o i n t),
\]

con\(A, A_{i} \in \mathcal{M}\).

Decimos brevemente “la partición\(A=\bigcup A_{i} .\)”

Una\(\mathcal{M}\) partición\(\mathcal{P}^{\prime}=\left\{B_{i k}\right\}\) -es un refinamiento de\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\left(\text { or } \mathcal{P}^{\prime} \text { refines }\right.\)\(\mathcal{P},\) o\(\mathcal{P}^{\prime}\) es más fina que\(\mathcal{P} )\) iff

\ [
(\ forall i)\ quad A_ {i} =\ bigcup_ {k} B_ {i k}
\]

es decir, cada uno\(B_{i k}\) está contenido en algunos\(A_{i}\).

La intersección\(\mathcal{P}^{\prime} \cap \mathcal{P}^{\prime \prime}\) de\(\mathcal{P}^{\prime}=\left\{A_{i}\right\}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}=\left\{B_{k}\right\}\) se entiende como la familia de todos los conjuntos de la forma

\ [
A_ {i}\ cap B_ {k},\ quad i, k=1,2,\ puntos
\]

Se trata de una\(\mathcal{M}\) -partición que refina\(\mathcal{P}^{\prime}\) tanto como\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\).

Definición

Un mapa (función)\(f : S \rightarrow T\) es elemental, o\(\mathcal{M}\) -elemental, en un\(A \in \mathcal{M}\) conjunto si hay una partición M\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\) de\(A\) tal que\(f\) es constante\(\left(f=a_{i}\right)\) en cada\(A_{i} .\)

Si\(\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}\) es finito, decimos que\(f\) es simple, o\(\mathcal{M}\) -simple, en\(A .\)

Si los intervalos\(A_{i}\) son en\(E^{n},\) llamamos a\(f\) una función de paso; es una función de paso simple si\(\mathcal{P}\) es finita.

Los valores de la función\(a_{i}\) son elementos de\(T\) (posiblemente vectores). Pueden ser infinitos si\(T=E^{*} .\) Cualquier mapa simple también es elemental, claro.

Definición

Se dice que un mapa\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es medible (o\(\mathcal{M}\) -medible\()\) en un\(\operatorname{set} A\) in\((S, \mathcal{M})\) iff

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}\ quad (\ texto {puntual})\ texto {on} A
\]

para alguna secuencia de funciones\(f_{m} : S \rightarrow T,\) todas elementales en\(A .\) (Véase Capítulo 4, §12 para “puntual”.)

Nota 1. Esto implica lo\(A \in \mathcal{M},\) siguiente de las Definiciones 2 y\(3 .(\mathrm{Why} \text { ? })\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es elemental en\(A,\) él es medible en\(A .\)

Prueba

\(f_{m}=f, m=1,2, \ldots,\)Establecido en Definición\(4 .\) Entonces claramente\(f_{m} \rightarrow f\) encendido\(A\). \(square\)

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Si\(f\) es simple, elemental o medible on\(A\) en\((S, \mathcal{M}),\) tiene la misma propiedad en cualquier subconjunto\(B \subseteq A\) con\(B \in \mathcal{M}\).

Prueba

Deje\(f\) ser simple en\(A ;\) así\(f=a_{i}\) sucesivamente\(A_{i}, i=1,2, \ldots, n,\) para alguna\(\mathcal{M}\) -partición finita,\(A=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}\).

Si\(A \supseteq B \in \mathcal{M},\) entonces

\ [
\ izquierda\ {B\ cap A_ {i}\ derecha\},\ quad i=1,2,\ lpuntos, n,
\]

es una\(\mathcal{M}\) partición finita de\(B(\text { why? }),\) y\(f=a_{i}\) sucesivamente\(B \cap A_{i} ;\) así\(f\) es simple en\(B\).

Para mapas elementales, use particiones contables.

Ahora vamos a\(f\) ser medibles en\(A,\) i.e.

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}
\]

para algunos mapas elementales\(f_{m}\) en\(A .\) Como se muestra arriba, los\(f_{m}\) son elementales\(B,\) también, y\(f_{m} \rightarrow f\)\(B ;\) así\(f\) es mensurable en\(B . \quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{3}\)

Si\(f\) es elemental o medible en cada uno de los (contablemente muchos\()\) conjuntos\(A_{n}\) en\((S, \mathcal{M}),\) él tiene la misma propiedad en su unión\(A=\bigcup_{n} A_{n}\).

Prueba

Dejar\(f\) ser elemental en cada uno\(A_{n}\) (así\(A_{n} \in \mathcal{M}\) por la Nota 1\()\).

Por Corolario 1 del Capítulo 7, §1,

\ [
A=\ bigcup A_ {n} =\ bigcup B_ {n}
\]

para algunos conjuntos disarticulados\(B_{n} \subseteq A_{n}\left(B_{n} \in \mathcal{M}\right)\).

Por Corolario\(2, f\) es elemental en cada\(B_{n} ;\) es decir, constante en conjuntos de alguna\(\mathcal{M}\) -partición\(\left\{B_{n i}\right\}\) de\(B_{i}\).

Todo\(B_{n i}\) combinado (para todos\(n\) y todos\(i )\) forman una\(\mathcal{M}\) partición -de\(A\),

\ [
A=\ bigcup_ {n} B_ {n} =\ bigcup_ {n, i} B_ {n i}.
\]

Como\(f\) es constante en cada uno\(B_{n i},\) es elemental en\(A .\)

Para funciones medibles, modifique\(f,\) ligeramente el método utilizado en Corolario\(2 . \square\)

Corolario\(\PageIndex{4}\)

Si\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es medible\(A\) en\((S, \mathcal{M}),\) así es el mapa compuesto\(g \circ f,\) proporcionado\(g : T \rightarrow\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)\) es relativamente continuo en\(f[A]\).

Prueba

Por supuesto,

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}\ texto {(puntual)}
\]

para algunos mapas elementales\(f_{m}\) en\(A\).

De ahí que por la continuidad de\(g\),

\ [
g\ izquierda (f_ {m} (x)\ derecha)\ fila derecha g (f (x)),
\]

es decir,\(g \circ f_{m} \rightarrow g \circ f\) (puntual) en\(A\).

Además, todos\(g \circ f_{m}\) son elementales on\(A\) (for\(g \circ f_{m}\) es constante en cualquier conjunto de particiones, si\(f_{m}\) es).

Así\(g \circ f\) es mensurable en\(A,\) como se reivindica. \(\square\)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si los mapas\(f, g, h : S \rightarrow E^{1}(C)\) son simples, elementales o medibles\(A\) en\((S, \mathcal{M}),\) así son\(f \pm g, f h,|f|^{a}\) (de verdad\(a \neq 0 )\) y\(f / h\) (si están\(h \neq 0\) en\(A ) .\)

De manera similar para los valores vectorizados\(f\)\(g\) y y escalares\(h\).

Prueba

Primero, dejar\(f\) y\(g\) ser elemental en\(A .\) Luego hay dos\(\mathcal{M}\) -particiones,

\ [
A=\ bigcup A_ {i} =\ bigcup B_ {k},
\]

tal que\(f=a_{i}\) una\(A_{i}\) y\(g=b_{k}\) otra\(B_{k},\) digamos.

Los conjuntos\(A_{i} \cap B_{k}\) (para todos\(i\) y\(k )\) luego forman una nueva\(\mathcal{M}\) -partición de\(A(\text { why? })\), tal que ambos\(f\) y\(g\) son constantes en cada uno\(A_{i} \cap B_{k}(\text { why?); hence so is } f \pm g\).

Así\(f \pm g\) es elemental en\(A .\) Similarmente para funciones simples.

A continuación, dejar\(f\) y\(g\) ser medible en\(A ;\) tan

\ [
f=\ lim f_ {m}\ texto {y} g=\ lim g_ {m}\ texto {(puntual) en} A
\]

para algunos mapas elementales\(f_{m}, g_{m}\).

Por lo que se mostró arriba,\(f_{m} \pm g_{m}\) es elemental para cada uno\(m .\) También,

\ [
f_ {m}\ pm g_ {m}\ fila derecha f\ pm g (\ texto {puntual})\ texto {on} A,
\]

Así\(f \pm g\) es medible en\(A\).

El resto del teorema sigue de manera bastante similar. \(\square\)

Si el espacio de rango es\(E^{n}\left(\text { or } C^{n}\right),\) entonces\(f\) tiene componentes\(n\) reales (complejos)\(f_{1}, \ldots, f_{n},\) como en el Capítulo 4, §3 (Parte II). Esto arroja el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Una función\(f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) es simple, elemental o medible en un conjunto\(A\) en\((S, \mathcal{M})\) iff todas sus funciones\(n\) componentes\(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\) son.

Prueba

Por simplicidad, considere\(f : S \rightarrow E^{2}, f=\left(f_{1}, f_{2}\right)\).

Si\(f_{1}\) y\(f_{2}\) son simples o elementales en\(A\) entonces (exactamente como en el Teorema 1\()\), se puede lograr que ambos sean constantes en conjuntos\(A_{i} \cap B_{k}\) de uno y la misma\(\mathcal{M}\) -partición de\(A .\) Por lo tanto\(f=\left(f_{1}, f_{2}\right),\) también, es constante en cada uno\(A_{i} \cap B_{k},\) según se requiera.

Por el contrario, vamos

\ [
f=\ overline {c} _ {i} =\ izquierda (a_ {i}, b_ {i}\ derecha)\ texto {on} C_ {i}
\]

para algunos\(\mathcal{M}\) -partición

\ [
A=\ bigcup C_ {i}.
\]

Entonces por definición,\(f_{1}=a_{i}\) y\(C_{i} ;\) así\(f_{2}=b_{i}\) ambos son elementales (o simples) en\(A .\)

En el caso general\(\left(E^{n} \text { or } C^{n}\right),\) la prueba es análoga.

Para funciones medibles, la prueba se reduce a límites de mapas elementales (usando el Teorema 2 del Capítulo 3, §15). Los detalles se dejan al lector. \(\square\)

Nota 2. Como\(C=E^{2},\) una función compleja\(f : S \rightarrow C\) es simple, elemental, o medible en\(A\) si sus partes reales e imaginarias son.

Por definición,\(4,\) una función medible es un límite puntual de mapas elementales. Sin embargo, si\(\mathcal{M}\) es un\(\sigma\) anillo, se puede hacer que el límite sea uniforme. En efecto, tenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si\(\mathcal{M}\) es un\(\sigma\) anillo, y\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A,\) entonces

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} g_ {m}\ texto {(uniformemente) en} A
\]

para algunos mapas elementales finitos\(g_{m}\).

Prueba

Así dado\(\varepsilon>0,\) hay un mapa elemental finito\(g\) tal que\(\rho^{\prime}(f, g)<\varepsilon\)
en\(A\).

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Si\(\mathcal{M}\) es un\(\sigma\) anillo en\(S,\) si

\ [
f_ {m}\ fila derecha f (\ texto {puntual})\ texto {on} A
\]

\(\left(f_{m} : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\right),\)y si todos\(f_{m}\) son\(\mathcal{M}\) -mensurables en\(A,\) así también lo es\(f\).

Brevemente: el límite\(A\) puntual de los mapas medibles es medible (a diferencia de los mapas continuos; cf. Capítulo 4, §12).

Prueba

Por la segunda cláusula del Teorema\(3,\) cada uno\(f_{m}\) se aproxima uniformemente por algún mapa elemental\(g_{m}\) sobre de\(A,\) manera que, tomando\(\varepsilon=1 / m, m=1,2, \ldots\),

\ [
\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {m} (x), g_ {m} (x)\ derecha) <\ frac {1} {m}\ quad\ texto {para todos} x\ en A\ texto {y todos} m.
\]

Fijando tal\(g_{m}\) para cada uno\(m,\) mostramos eso\(g_{m} \rightarrow f (\text { pointwise })\)\(A,\) según lo requerido en la Definición\(4 .\)

En efecto, fijar cualquier\(x \in A .\) Por suposición,\(f_{m}(x) \rightarrow f(x) .\) Por lo tanto, dado\(\delta>0\),

\ [
(\ existe k) (\ para todos m>k)\ quad\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f (x), f_ {m} (x)\ derecha) <\ delta.
\]

Toma\(k\) tan grande que, además,

\ [
(\ forall m>k)\ quad\ frac {1} {m} <\ delta.
\]

Entonces por la ley del triángulo y por\((1),\) obtenemos para\(m>k\) eso

\ [
\ begin {alineado}\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f (x), g_ {m} (x)\ derecha) &\ leq\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f (x), f_ {m} (x)\ derecha) +\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {m} (x), g_ {m} (x)\ derecha)\\ &<\ delta+\ frac {1} {m} <2\ delta\ end {alineado}.
\]

Como\(\delta\) es arbitrario, esto implica\(\rho^{\prime}\left(f(x), g_{m}(x)\right) \rightarrow 0,\) es decir,\(g_{m}(x) \rightarrow f(x)\) para cualquier (fijo) demostrando\(x \in A,\) así la mensurabilidad de\(f . \quad \square\)

Nota 3. Si

\ [
\ mathcal {M} =\ mathcal {B} (=\ text {campo Borel en} S),
\]

a menudo decimos “Borel mensurable” para\(\mathcal{M}\) -mensurable. Si

\ [
\ mathcal {M} =\ izquierda\ {\ texto {conjuntos medibles de Lebesgue en} E^ {n}\ derecha\},
\]

decimos “Lebesgue (L) mensurable” en su lugar. De manera similar para “Lebesgue-Stieltjes (LS) mensurable”.