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# 8.1: Funciones elementales y medibles

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A partir de las funciones establecidas, ahora volvemos a las funciones de punto

\ [
f: S\ fila derecha\ izquierda (T,\ rho^ {\ prime}\ derecha)
\]

cuyo dominio$$D_{f}$$ consiste en puntos de un conjunto$$S .$$ El espacio de rango$$T$$ será principalmente$$E,$$ i.e.,$$E^{1}, E^{*}, C, E^{n},$$ u otro espacio normado. Suponemos$$f(x)=0$$ a menos que se defina lo contrario (En un espacio métrico general$$T,$$ podemos tomar algún elemento fijo$$q$$ para$$0 .$$) Así$$D_{f}$$ es todo$$S$$, siempre.

También adoptamos una notación conveniente para conjuntos:

\ [
“A (P)”\ texto {para} “\ {x\ en A | P (x)\}.”
\]

Así

\ [
\ comenzar {alineado} A (f\ neq a) &=\ {x\ en A | f (x)\ neq a\},\\ A (f=g) &=\ {x\ en A | f (x) =g (x)\},\\ A (f>g) &=\ {x\ en A | f (x) >g (x)\},\ texto {etc.}\ final {alineado}
\]

## Definición

Un espacio medible es un conjunto$$S \neq \emptyset$$ junto con un anillo conjunto$$\mathcal{M}$$ de subconjuntos de$$S,$$ denotados$$(S, \mathcal{M})$$.

En adelante,$$(S, \mathcal{M})$$ se fija.

## Definición

Una partición M de un conjunto$$A$$ es una familia de conjuntos contables$$\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}$$ tal que

\ [
A=\ bigcup_ {i} A_ {i} (d i s j o i n t),
\]

con$$A, A_{i} \in \mathcal{M}$$.

Decimos brevemente “la partición$$A=\bigcup A_{i} .$$

Una$$\mathcal{M}$$ partición$$\mathcal{P}^{\prime}=\left\{B_{i k}\right\}$$ -es un refinamiento de$$\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\left(\text { or } \mathcal{P}^{\prime} \text { refines }\right.$$$$\mathcal{P},$$ o$$\mathcal{P}^{\prime}$$ es más fina que$$\mathcal{P} )$$ iff

\ [
(\ forall i)\ quad A_ {i} =\ bigcup_ {k} B_ {i k}
\]

es decir, cada uno$$B_{i k}$$ está contenido en algunos$$A_{i}$$.

La intersección$$\mathcal{P}^{\prime} \cap \mathcal{P}^{\prime \prime}$$ de$$\mathcal{P}^{\prime}=\left\{A_{i}\right\}$$ y$$\mathcal{P}^{\prime \prime}=\left\{B_{k}\right\}$$ se entiende como la familia de todos los conjuntos de la forma

\ [
A_ {i}\ cap B_ {k},\ quad i, k=1,2,\ puntos
\]

Se trata de una$$\mathcal{M}$$ -partición que refina$$\mathcal{P}^{\prime}$$ tanto como$$\mathcal{P}^{\prime \prime}$$.

## Definición

Un mapa (función)$$f : S \rightarrow T$$ es elemental, o$$\mathcal{M}$$ -elemental, en un$$A \in \mathcal{M}$$ conjunto si hay una partición M$$\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}$$ de$$A$$ tal que$$f$$ es constante$$\left(f=a_{i}\right)$$ en cada$$A_{i} .$$

Si$$\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}$$ es finito, decimos que$$f$$ es simple, o$$\mathcal{M}$$ -simple, en$$A .$$

Si los intervalos$$A_{i}$$ son en$$E^{n},$$ llamamos a$$f$$ una función de paso; es una función de paso simple si$$\mathcal{P}$$ es finita.

Los valores de la función$$a_{i}$$ son elementos de$$T$$ (posiblemente vectores). Pueden ser infinitos si$$T=E^{*} .$$ Cualquier mapa simple también es elemental, claro.

## Definición

Se dice que un mapa$$f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es medible (o$$\mathcal{M}$$ -medible$$)$$ en un$$\operatorname{set} A$$ in$$(S, \mathcal{M})$$ iff

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}\ quad (\ texto {puntual})\ texto {on} A
\]

para alguna secuencia de funciones$$f_{m} : S \rightarrow T,$$ todas elementales en$$A .$$ (Véase Capítulo 4, §12 para “puntual”.)

Nota 1. Esto implica lo$$A \in \mathcal{M},$$ siguiente de las Definiciones 2 y$$3 .(\mathrm{Why} \text { ? })$$

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si$$f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es elemental en$$A,$$ él es medible en$$A .$$

Prueba

$$f_{m}=f, m=1,2, \ldots,$$Establecido en Definición$$4 .$$ Entonces claramente$$f_{m} \rightarrow f$$ encendido$$A$$. $$square$$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Si$$f$$ es simple, elemental o medible on$$A$$ en$$(S, \mathcal{M}),$$ tiene la misma propiedad en cualquier subconjunto$$B \subseteq A$$ con$$B \in \mathcal{M}$$.

Prueba

Deje$$f$$ ser simple en$$A ;$$ así$$f=a_{i}$$ sucesivamente$$A_{i}, i=1,2, \ldots, n,$$ para alguna$$\mathcal{M}$$ -partición finita,$$A=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}$$.

Si$$A \supseteq B \in \mathcal{M},$$ entonces

\ [
\ izquierda\ {B\ cap A_ {i}\ derecha\},\ quad i=1,2,\ lpuntos, n,
\]

es una$$\mathcal{M}$$ partición finita de$$B(\text { why? }),$$ y$$f=a_{i}$$ sucesivamente$$B \cap A_{i} ;$$ así$$f$$ es simple en$$B$$.

Para mapas elementales, use particiones contables.

Ahora vamos a$$f$$ ser medibles en$$A,$$ i.e.

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}
\]

para algunos mapas elementales$$f_{m}$$ en$$A .$$ Como se muestra arriba, los$$f_{m}$$ son elementales$$B,$$ también, y$$f_{m} \rightarrow f$$$$B ;$$ así$$f$$ es mensurable en$$B . \quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{3}$$

Si$$f$$ es elemental o medible en cada uno de los (contablemente muchos$$)$$ conjuntos$$A_{n}$$ en$$(S, \mathcal{M}),$$ él tiene la misma propiedad en su unión$$A=\bigcup_{n} A_{n}$$.

Prueba

Dejar$$f$$ ser elemental en cada uno$$A_{n}$$ (así$$A_{n} \in \mathcal{M}$$ por la Nota 1$$)$$.

Por Corolario 1 del Capítulo 7, §1,

\ [
A=\ bigcup A_ {n} =\ bigcup B_ {n}
\]

para algunos conjuntos disarticulados$$B_{n} \subseteq A_{n}\left(B_{n} \in \mathcal{M}\right)$$.

Por Corolario$$2, f$$ es elemental en cada$$B_{n} ;$$ es decir, constante en conjuntos de alguna$$\mathcal{M}$$ -partición$$\left\{B_{n i}\right\}$$ de$$B_{i}$$.

Todo$$B_{n i}$$ combinado (para todos$$n$$ y todos$$i )$$ forman una$$\mathcal{M}$$ partición -de$$A$$,

\ [
A=\ bigcup_ {n} B_ {n} =\ bigcup_ {n, i} B_ {n i}.
\]

Como$$f$$ es constante en cada uno$$B_{n i},$$ es elemental en$$A .$$

Para funciones medibles, modifique$$f,$$ ligeramente el método utilizado en Corolario$$2 . \square$$

## Corolario$$\PageIndex{4}$$

Si$$f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es medible$$A$$ en$$(S, \mathcal{M}),$$ así es el mapa compuesto$$g \circ f,$$ proporcionado$$g : T \rightarrow\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)$$ es relativamente continuo en$$f[A]$$.

Prueba

Por supuesto,

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}\ texto {(puntual)}
\]

para algunos mapas elementales$$f_{m}$$ en$$A$$.

De ahí que por la continuidad de$$g$$,

\ [
g\ izquierda (f_ {m} (x)\ derecha)\ fila derecha g (f (x)),
\]

es decir,$$g \circ f_{m} \rightarrow g \circ f$$ (puntual) en$$A$$.

Además, todos$$g \circ f_{m}$$ son elementales on$$A$$ (for$$g \circ f_{m}$$ es constante en cualquier conjunto de particiones, si$$f_{m}$$ es).

Así$$g \circ f$$ es mensurable en$$A,$$ como se reivindica. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si los mapas$$f, g, h : S \rightarrow E^{1}(C)$$ son simples, elementales o medibles$$A$$ en$$(S, \mathcal{M}),$$ así son$$f \pm g, f h,|f|^{a}$$ (de verdad$$a \neq 0 )$$ y$$f / h$$ (si están$$h \neq 0$$ en$$A ) .$$

De manera similar para los valores vectorizados$$f$$$$g$$ y y escalares$$h$$.

Prueba

Primero, dejar$$f$$ y$$g$$ ser elemental en$$A .$$ Luego hay dos$$\mathcal{M}$$ -particiones,

\ [
A=\ bigcup A_ {i} =\ bigcup B_ {k},
\]

tal que$$f=a_{i}$$ una$$A_{i}$$ y$$g=b_{k}$$ otra$$B_{k},$$ digamos.

Los conjuntos$$A_{i} \cap B_{k}$$ (para todos$$i$$ y$$k )$$ luego forman una nueva$$\mathcal{M}$$ -partición de$$A(\text { why? })$$, tal que ambos$$f$$ y$$g$$ son constantes en cada uno$$A_{i} \cap B_{k}(\text { why?); hence so is } f \pm g$$.

Así$$f \pm g$$ es elemental en$$A .$$ Similarmente para funciones simples.

A continuación, dejar$$f$$ y$$g$$ ser medible en$$A ;$$ tan

\ [
f=\ lim f_ {m}\ texto {y} g=\ lim g_ {m}\ texto {(puntual) en} A
\]

para algunos mapas elementales$$f_{m}, g_{m}$$.

Por lo que se mostró arriba,$$f_{m} \pm g_{m}$$ es elemental para cada uno$$m .$$ También,

\ [
f_ {m}\ pm g_ {m}\ fila derecha f\ pm g (\ texto {puntual})\ texto {on} A,
\]

Así$$f \pm g$$ es medible en$$A$$.

El resto del teorema sigue de manera bastante similar. $$\square$$

Si el espacio de rango es$$E^{n}\left(\text { or } C^{n}\right),$$ entonces$$f$$ tiene componentes$$n$$ reales (complejos)$$f_{1}, \ldots, f_{n},$$ como en el Capítulo 4, §3 (Parte II). Esto arroja el siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Una función$$f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$$ es simple, elemental o medible en un conjunto$$A$$ en$$(S, \mathcal{M})$$ iff todas sus funciones$$n$$ componentes$$f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}$$ son.

Prueba

Por simplicidad, considere$$f : S \rightarrow E^{2}, f=\left(f_{1}, f_{2}\right)$$.

Si$$f_{1}$$ y$$f_{2}$$ son simples o elementales en$$A$$ entonces (exactamente como en el Teorema 1$$)$$, se puede lograr que ambos sean constantes en conjuntos$$A_{i} \cap B_{k}$$ de uno y la misma$$\mathcal{M}$$ -partición de$$A .$$ Por lo tanto$$f=\left(f_{1}, f_{2}\right),$$ también, es constante en cada uno$$A_{i} \cap B_{k},$$ según se requiera.

Por el contrario, vamos

\ [
f=\ overline {c} _ {i} =\ izquierda (a_ {i}, b_ {i}\ derecha)\ texto {on} C_ {i}
\]

para algunos$$\mathcal{M}$$ -partición

\ [
A=\ bigcup C_ {i}.
\]

Entonces por definición,$$f_{1}=a_{i}$$ y$$C_{i} ;$$ así$$f_{2}=b_{i}$$ ambos son elementales (o simples) en$$A .$$

En el caso general$$\left(E^{n} \text { or } C^{n}\right),$$ la prueba es análoga.

Para funciones medibles, la prueba se reduce a límites de mapas elementales (usando el Teorema 2 del Capítulo 3, §15). Los detalles se dejan al lector. $$\square$$

Nota 2. Como$$C=E^{2},$$ una función compleja$$f : S \rightarrow C$$ es simple, elemental, o medible en$$A$$ si sus partes reales e imaginarias son.

Por definición,$$4,$$ una función medible es un límite puntual de mapas elementales. Sin embargo, si$$\mathcal{M}$$ es un$$\sigma$$ anillo, se puede hacer que el límite sea uniforme. En efecto, tenemos el siguiente teorema.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Si$$\mathcal{M}$$ es un$$\sigma$$ anillo, y$$f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)$$ es$$\mathcal{M}$$ -medible en$$A,$$ entonces

\ [
f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} g_ {m}\ texto {(uniformemente) en} A
\]

para algunos mapas elementales finitos$$g_{m}$$.

Prueba

Así dado$$\varepsilon>0,$$ hay un mapa elemental finito$$g$$ tal que$$\rho^{\prime}(f, g)<\varepsilon$$
en$$A$$.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Si$$\mathcal{M}$$ es un$$\sigma$$ anillo en$$S,$$ si

\ [
f_ {m}\ fila derecha f (\ texto {puntual})\ texto {on} A
\]

$$\left(f_{m} : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\right),$$y si todos$$f_{m}$$ son$$\mathcal{M}$$ -mensurables en$$A,$$ así también lo es$$f$$.

Brevemente: el límite$$A$$ puntual de los mapas medibles es medible (a diferencia de los mapas continuos; cf. Capítulo 4, §12).

Prueba

Por la segunda cláusula del Teorema$$3,$$ cada uno$$f_{m}$$ se aproxima uniformemente por algún mapa elemental$$g_{m}$$ sobre de$$A,$$ manera que, tomando$$\varepsilon=1 / m, m=1,2, \ldots$$,

\ [
\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {m} (x), g_ {m} (x)\ derecha) <\ frac {1} {m}\ quad\ texto {para todos} x\ en A\ texto {y todos} m.
\]

Fijando tal$$g_{m}$$ para cada uno$$m,$$ mostramos eso$$g_{m} \rightarrow f (\text { pointwise })$$$$A,$$ según lo requerido en la Definición$$4 .$$

En efecto, fijar cualquier$$x \in A .$$ Por suposición,$$f_{m}(x) \rightarrow f(x) .$$ Por lo tanto, dado$$\delta>0$$,

\ [
(\ existe k) (\ para todos m>k)\ quad\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f (x), f_ {m} (x)\ derecha) <\ delta.
\]

Toma$$k$$ tan grande que, además,

\ [
(\ forall m>k)\ quad\ frac {1} {m} <\ delta.
\]

Entonces por la ley del triángulo y por$$(1),$$ obtenemos para$$m>k$$ eso

\ [
\ begin {alineado}\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f (x), g_ {m} (x)\ derecha) &\ leq\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f (x), f_ {m} (x)\ derecha) +\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {m} (x), g_ {m} (x)\ derecha)\\ &<\ delta+\ frac {1} {m} <2\ delta\ end {alineado}.
\]

Como$$\delta$$ es arbitrario, esto implica$$\rho^{\prime}\left(f(x), g_{m}(x)\right) \rightarrow 0,$$ es decir,$$g_{m}(x) \rightarrow f(x)$$ para cualquier (fijo) demostrando$$x \in A,$$ así la mensurabilidad de$$f . \quad \square$$

Nota 3. Si

\ [
\ mathcal {M} =\ mathcal {B} (=\ text {campo Borel en} S),
\]

a menudo decimos “Borel mensurable” para$$\mathcal{M}$$ -mensurable. Si

\ [
\ mathcal {M} =\ izquierda\ {\ texto {conjuntos medibles de Lebesgue en} E^ {n}\ derecha\},
\]

decimos “Lebesgue (L) mensurable” en su lugar. De manera similar para “Lebesgue-Stieltjes (LS) mensurable”.

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