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8.2: Medibilidad de las Funciones Reales Extendidas

  • Page ID
    113749
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    En adelante presuponemos un espacio medible\((S, \mathcal{M}),\) donde\(\mathcal{M}\) se encuentra un\(\sigma\) anillo en\(S .\) Nuestro objetivo es probar el siguiente teorema básico, que a menudo se usa como definición, para funciones extendido-reales\(f : S \rightarrow E^{*} .\)

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    \(A\)\(f : S \rightarrow E^{*}\)es medible en un conjunto\(A \in \mathcal{M}\) iff\(i t\) satisface una de las siguientes condiciones equivalentes (de ahí todas ellas):

    \ [
    \ begin {array} {ll} {\ left (\ mathfrak {i} ^ {*}\ derecha)\ left (\ forall a\ in E^ {*}\ derecha) A (f>a)\ in\ mathcal {M};} & {\ left (\ mathrm {ii} ^ {*}\ derecha)\ izquierda (\ forall a\ en E^ {*} derecha) A (f\ geq a)\ in\ mathcal {M}};\\ {\ izquierda (\ mathrm {iii} ^ {*}\ derecha)\ izquierda (\ forall a\ en E^ {*}\ derecha) A (f<a)\ in\ mathcal {M} ;} & {\ left (\ mathrm {iv} ^ {*}\ derecha)\ izquierda (\ forall a\ in E^ {*}\ derecha) A (f\ leq a)\ in\ mathcal {M}}. \ end {array}
    \]

    Primero probamos la equivalencia de estas condiciones mostrando que\(\left(\mathrm{i}^{*}\right) \Rightarrow\)\(\left(\mathrm{ii}^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{iii}^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{i} v^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{i}^{*}\right),\) cerrando el “círculo”.

    \(\left(\mathrm{i}^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{ii}^{*}\right) .\)Asumir\(\left(\mathrm{i}^{*}\right) .\) Si\(a=-\infty\),

    \ [
    A (f\ geq a) =A\ in\ mathcal {M}
    \]

    por suposición. Si\(a=+\infty\),

    \ [
    A (f\ geq a) =A (f=\ infty) =\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} A (f>n)\ in\ mathcal {M}
    \]

    por\(\left(\mathrm{i}^{*}\right) .\) Y si\(a \in E^{1}\),

    \ [
    A (f\ geq a) =\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} A\ izquierda (f>a-\ frac {1} {n}\ derecha).
    \]

    (¡Verifica!) Por\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)\),

    \ [
    A\ izquierda (f>a-\ frac {1} {n}\ derecha)\ in\ mathcal {M};
    \]

    así\(A(f \geq a) \in \mathcal{M}(\text { a } \sigma \text {-ring! })\).

    \(\left(\mathrm{ii}^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{iii}^{*}\right) .\)Para\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)\) e\(A \in \mathcal{M}\) implica

    \ [
    A (f<a) =A-A (f\ geq a)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    \(\left(\mathrm{iii}^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{iv}^{*}\right) .\)Si\(a \in E^{1}\),

    \ [
    A (f\ leq a) =\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} A\ izquierda (f<a+\ frac {1} {n}\ derecha)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    ¿Qué pasa si\(a=\pm \infty ?\)

    \(\left(\mathrm{i} v^{*}\right) \Rightarrow\left(\mathrm{i}^{*}\right) .\)En efecto,\(\left(\mathrm{iv}^{*}\right)\) e\(A \in \mathcal{M}\) implica

    \ [
    A (f>a) =A-A (f\ leq a)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    Así, en efecto, cada uno de\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)\) a\(\left(\mathrm{iv}^{*}\right)\) implica a los demás. Para terminar, necesitamos dos lemmas que sean de interés por derecho propio.

    Lema\(\PageIndex{1}\)

    Si los mapas\(f_{m} : S \rightarrow E^{*}(m=1,2, \ldots)\) cumplen condiciones también\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)-\)\(\left(\mathrm{iv}^{*}\right),\) hacen las funciones

    \ [
    \ sup f_ {m},\ inf f_ {m},\ overline {\ lim} f_ {m},\ texto {y}\ subrayado {\ lim} f_ {m},
    \]

    definido puntualmente, es decir,

    \ [
    \ izquierda (\ sup f_ {m}\ derecha) (x) =\ sup f_ {m} (x),
    \]

    y de manera similar para los demás.

    Prueba

    Vamos\(f=\sup f_{m} .\) Entonces

    \ [
    A (f\ leq a) =\ bigcap_ {m=1} ^ {\ infty} A\ izquierda (f_ {m}\ leq a\ derecha)\ quad\ text {(¿Por qué?)}
    \]

    Pero por suposición,

    \ [
    A\ izquierda (f_ {m}\ leq a\ derecha)\ in\ mathcal {M}
    \]

    \(\left(f_{m} \text { satisfies }\left(\mathrm{i} \mathrm{v}^{*}\right)\right) .\)De ahí\(A(f \leq a) \in \mathcal{M}(\text { for } \mathcal{M} \text { is a } \sigma \text {-ring })\).

    Así sup\(f_{m}\) satisface\(\left(i^{*}\right)-\left(i v^{*}\right) .\)

    También lo hace inf\(f_{m} ;\) para

    \ [
    A\ izquierda (\ inf f_ {m}\ geq a\ derecha) =\ bigcap_ {m=1} ^ {\ infty} A\ izquierda (f_ {m}\ geq a\ derecha)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    (¡Explique!)

    Así también lo hacen\(\underline{\lim} f_{m}\) y\(\overline{\lim } f_{m} ;\) por definición,

    \ [
    \ subrayado {\ lim} {t} f_ {m} =\ sup _ {k} g_ {k},
    \]

    donde

    \ [
    g_ {k} =\ inf _ {m\ geq k} f_ {m}
    \]

    satisface\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)-\left(\mathrm{i} \mathrm{v}^{*}\right),\) como se mostró anteriormente; de ahí que también lo hace sup\(g_{k}= \underline{\lim} f_{m}\).

    Similarmente para\(\overline{\lim } f_{m} . \square\)

    Lema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(f\) satisface\(\left(\mathrm{i}^{*}\right)-\left(\mathrm{iv}^{*}\right),\) entonces

    \ [
    f=\ lim _ {m\ fila derecha\ infty} f_ {m}\ texto {(uniformemente) en} A
    \]

    para alguna secuencia de funciones finitas\(f_{m},\) todas\(\mathcal{M}\) -elementales en\(A\).

    Por otra parte, si\(f \geq 0\) en\(A,\) el se\(f_{m}\) puede hacer no negativo, con\(\left\{f_{m}\right\} \uparrow\) on\(A\).

    Prueba

    Let\(H=A(f=+\infty), K=A(f=-\infty),\) y

    \ [
    A_ {m k} =A\ izquierda (\ frac {k-1} {2^ {m}}\ leq f<\ frac {k} {2^ {m}}\ derecha)
    \]

    para\(m=1,2, \ldots\) y\(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n, \ldots\)

    \(\mathrm{By}\left(\mathrm{i}^{*}\right)-\left(\mathrm{iv}^{*}\right)\),

    \ [
    H=A (f=+\ infty) =A (f\ geq+\ infty)\ in\ mathcal {M},
    \]

    \(K \in \mathcal{M},\)y

    \ [
    A_ {m k} =A\ izquierda (f\ leq\ frac {k-1} {2^ {m}}\ derecha)\ cap A\ izquierda (f<\ frac {k} {2^ {m}}\ derecha)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    Ahora define

    \ [
    (\ para todos los m)\ quad f_ {m} =\ frac {k-1} {2^ {m}}\ texto {on} A_ {m k},
    \]

    \(f_{m}=m\)encendido\(H,\) y\(f_{m}=-m\) encendido\(K .\) Entonces cada uno\(f_{m}\) es finito y elemental en\(A\) desde

    \ [
    (\ forall m)\ quad A=H\ copa K\ copa\ copa\ bigcup_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} A_ {m k} (d i s j o i n t)
    \]

    y\(f_{m}\) es constante en\(H, K,\) y\(A_{m k}\).

    Ahora mostramos que\(f_{m} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(H, K,\) y

    \ [
    J=\ bigcup_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} A_ {m k},
    \]

    de ahí en\(A\).

    En efecto, en\(H\) tenemos

    \ [
    \ lim f_ {m} =\ lim m=+\ infty=f,
    \]

    y el límite es uniforme ya que los\(f_{m}\) son constantes en\(H\).

    Del mismo modo,

    \ [
    f_ {m} =-m\ fila derecha-\ infty=f\ texto {on} K.
    \]

    Por último, en\(A_{m k}\) tenemos

    \ [
    (k-1) 2^ {-m}\ leq f<k 2^ {-m}
    \]

    y\(f_{m}=(k-1) 2^{-m} ;\) por lo tanto

    \ [
    \ izquierda|f_ {m} -f\ derecha|<k 2^ {-m} - (k-1) 2^ {-m} =2^ {-m}.
    \]

    Por lo tanto

    \ [
    \ izquierda|f_ {m} -f\ derecha|<2^ {-m}\ fila derecha 0
    \]

    en cada uno\(A_{m k},\) por lo tanto en

    \ [
    J=\ bigcup_ {k=-\ infty} ^ {\ infty} A_ {m k}.
    \]

    Por el Teorema 1 del Capítulo 4, §12, se deduce que\(f_{m} \rightarrow f (\text { uniformly })\) en\(J\). Así, en efecto,\(f_{m} \rightarrow f (\text { uniformly })\) en\(A\).

    Si, más\(f \geq 0\) adelante,\(A,\) entonces\(K=\emptyset\) y\(A_{m k}=\emptyset\) para\(k \leq 0 .\) Por otra parte, en el paso de\(m\) a\(m+1,\) cada uno se\(A_{m k}(k>0)\) divide en dos conjuntos. En uno,\(f_{m+1}=f_{m} ;\) en el otro,\(f_{m+1}>f_{m} .\) (¿Por qué?)

    Así\(0 \leq f_{m} \nearrow f (\text { uniformly })\) sucesivamente\(A,\) y todo está probado. \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{1}\) (Restated)

    \(A\)\(f : S \rightarrow E^{*}\)es medible en un conjunto\(A \in \mathcal{M}\) iff\(i t\) satisface una de las siguientes condiciones equivalentes (de ahí todas ellas):

    \ [
    \ begin {array} {ll} {\ left (\ mathfrak {i} ^ {*}\ derecha)\ left (\ forall a\ in E^ {*}\ derecha) A (f>a)\ in\ mathcal {M};} & {\ left (\ mathrm {ii} ^ {*}\ derecha)\ izquierda (\ forall a\ en E^ {*} derecha) A (f\ geq a)\ in\ mathcal {M}};\\ {\ izquierda (\ mathrm {iii} ^ {*}\ derecha)\ izquierda (\ forall a\ en E^ {*}\ derecha) A (f<a)\ in\ mathcal {M} ;} & {\ left (\ mathrm {iv} ^ {*}\ derecha)\ izquierda (\ forall a\ in E^ {*}\ derecha) A (f\ leq a)\ in\ mathcal {M}}. \ end {array}
    \]

    Prueba

    Si\(f\) es medible\(A,\) entonces por definición,\(f=\lim f_{m}\) (puntual) para algunos mapas elementales\(f_{m}\) en\(A\).

    Por Problema 4 (ii) en §1, todos\(f_{m}\) satisfacen (i*) - (iv*). Así lo hace\(f\) por Lemma 1, para aquí\(f=\lim f_{m}=\overline{\lim } f_{m}\).

    A lo contrario le sigue Lemma 2. Esto completa la prueba. \(\square\)

    Nota 1. Lemmas 1 y 2 prueban Teoremas 3 y 4 de\(\$ 1,\) para\(f : S \rightarrow E^{*}\). Al usar también el Teorema 2 en §1, uno extiende fácilmente esto a\(f : S \rightarrow E^{n} (C^{n})\). ¡Verifica!

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    Si\(f : S \rightarrow E^{*}\) es medible en\(A,\) entonces

    \ [
    \ left (\ forall a\ in E^ {*}\ derecha)\ quad A (f=a)\ in\ mathcal {M}\ text {y} A (f\ neq a)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    En efecto,

    \ [
    A (f=a) =A (f\ geq a)\ cap A (f\ leq a)\ in\ mathcal {M}
    \]

    y

    \ [
    A (f\ neq a) =A-A (f=a)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    Corolario\(\PageIndex{2}\)

    Si\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es medible\(A\) en\((S, \mathcal{M}),\) entonces

    \ [
    A\ cap f^ {-1} [G]\ in\ mathcal {M}
    \]

    para cada globo\(G=G_{q}(\delta)\) en\(\left(T, \rho^{\prime}\right)\).

    Prueba

    Definir\(h : S \rightarrow E^{1}\) por

    \ [
    h (x) =\ rho^ {\ prime} (f (x), q).
    \]
    Entonces\(h\) es medible\(A\) por el Problema 6 en §1. Así por Teorema 1,
    \ [
    A (h<\ delta)\ in\ mathcal {M}.
    \]

    Pero como se ve fácilmente,

    \ [
    A (h<\ delta) =\ izquierda\ {x\ en A |\ rho^ {\ prime} (f (x), q) <\ delta\ derecha\} =A\ cap f^ {-1}\ izquierda [G_ {q} (\ delta)\ derecha].
    \]

    De ahí el resultado. \(\square\)

    Definición

    Dado\(f, g : S \rightarrow E^{*},\) definimos los mapas\(f \vee g\) y\(f \wedge g\) sucesivamente\(S\) por

    \ [
    (f\ vee g) (x) =\ max\ {f (x), g (x)\}
    \]

    y

    \ [
    (f\ cuña g) (x) =\ min\ {f (x), g (x)\};
    \]

    de manera similar para\(f \vee g \vee h, f \wedge g \wedge h,\) etc.

    También establecemos

    \ [
    f^ {+} =f\ vee 0\ texto {y} f^ {-} =-f\ vee 0.
    \]

    Claramente,\(f^{+} \geq 0\) y\(f^{-} \geq 0\) en\(S .\) También,\(f=f^{+}-f^{-}\) y\(|f|=f^{+}+f^{-} .\)

    (¿Por qué?) Ahora obtenemos el siguiente teorema.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si las funciones\(f, g : S \rightarrow E^{*}\) son simples, elementales, o medibles en\(A,\) así también lo son\(f \pm g, f g, f \vee g, f \wedge g, f^{+}, f^{-},\) y\(|f|^{a}(a \neq 0)\).

    Prueba

    Si\(f\) y\(g\) son finitos, esto sigue por el Teorema 1 de §1 sobre la verificación de que

    \ [
    f\ vee g=\ frac {1} {2} (f+g+|f-g|)
    \]

    y

    \ [
    f\ cuña g=\ frac {1} {2} (f+g-|f-g|)
    \]

    on\(S .\) (¡Compruébalo!)

    De lo contrario, considere

    \ [
    A (f=+\ infty), A (f=-\ infty), A (g=+\ infty),\ text {y} A (g=-\ infty).
    \]

    Por teorema\(1,\) estos son\(\mathcal{M}\) -conjuntos; de ahí que así sea su unión\(U\).

    En cada uno de ellos\(f \vee g\) e\(f \wedge g\) iguales\(f\) o\(g ;\) así por el Corolario 3 en §1,\(f \vee g\) y\(f \wedge g\) tener las propiedades deseadas en\(U .\) Así también tienen\(f^{+}=f \vee 0\) y\(f^{-}=-f \vee 0 (\text { take } g=0)\).

    Afirmamos que los mapas\(f \pm g\) y\(f g\) son simples (de ahí elementales y medibles) en cada uno de los cuatro conjuntos mencionados anteriormente, de ahí en\(U .\)

    Por ejemplo, en\(A(f=+\infty)\),

    \ [
    f\ pm g=+\ infty (\ texto {constante})
    \]

    por nuestras convenciones\(\left(2^{*}\right)\) en el Capítulo 4, §4. Para\(f g,\)\(A(f=+\infty)\) dividir en tres juegos\(A_{1}, A_{2}, A_{3} \in \mathcal{M},\) con\(g>0\) encendido\(A_{2},\) y\(A_{1}, g<0\) encendido,\(A_{3} ;\) así\(g=0\)\(f g=+\infty\)\(A_{1}, f g=-\infty\)\(f g=0\) sucesivamente\(A_{2},\) y en\(A_{3} .\) Por lo tanto,\(f g\) es simple en\(A(f=+\infty)\).

    Para\(|f|^{a},\) su uso\(U=A(|f|=\infty) .\) Nuevamente, el teorema se aferra\(U,\) y también en\(A-U,\) desde\(f\) y\(g\) son finitos en\(A-U \in \mathcal{M} .\) Así se aferra\(A=(A-U) \cup U\) por el Corolario 3 en §1. \( \square\)

    Nota 2. La inducción extiende el Teorema 2 a cualquier número finito de funciones.

    Nota 3. Combinando el Teorema 2 con\(f=f^{+}-f^{-},\) vemos que\(f : S \rightarrow E^{*}\) es simple (elemental, medible) iff\(f^{+}\) y\(f^{-}\) son. También obtenemos el siguiente resultado.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Si las funciones\(f, g : S \rightarrow E *\) son medibles en\(A \in \mathcal{M},\) entonces\(A(f \geq g) \in \mathcal{M}, A(f<g) \in \mathcal{M}, A(f=g) \in \mathcal{M},\) y\(A(f \neq g) \in \mathcal{M}\).


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