8.2.E: Problemas de Funciones Medibles en\((S, \mathcal{M}, m)\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

En Teorema\(1,\) dar los detalles en probar la equivalencia de\(\left(i^{*}\right)-\left(i v^{*}\right)\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar Nota 1.

Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

Demostrar eso\(f=f^{+}-f^{-}\) y\(|f|=f^{+}+f^{-}\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Completar la prueba del Teorema\(2,\) en detalle.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(\Rightarrow 4\). Demostrar Teorema 3.
[Pista: Por nuestras convenciones,\(A(f \geq g)=A(f-g \geq 0)\) incluso si\(g\) o\(f\) es\(\pm \infty\) para algunos\(x \in A .\) (¡Verifica todos los casos!) Por Teoremas 1 y\(2, A(f-g \geq 0) \in \mathcal{M} ;\) así\(A(f \geq g) \in \mathcal{M}, \text { and } A(f<g)=A-A(f \geq g) \in \mathcal{M} . \text { Proceed. }]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar que la mensurabilidad de\(|f|\) no implica la de\(f\).
[Pista:\(f=1\)\(f=-1\) Vamos\(Q\) y sigue\(A-Q\) para algunos,\(Q \notin \mathcal{M}(Q \subset A) ;\) por ejemplo, el uso\(Q\) de Problema\(6 \text { in Chapter } 7, § 8 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\Rightarrow 6\). Mostrar que una función\(f \geq 0\) es medible en\(A\) iff\(f_{m} \nearrow f\) (pointwise) on\(A\) para algunos mapas simples finitos\(f_{m} \geq 0,\left\{f_{m}\right\} \uparrow\).
[Pista: Modifique la prueba de\(2,\) ajuste\(H_{m}=A(f \geq m)\) y\(f_{m}=m\) encendido de Lemma\(H_{m}\), y definiendo el\(A_{m k}\) for\(1 \leq k \leq m 2^{m}\) only.]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\Rightarrow 7\). Demostrar Teorema 3 en\(§ 1 .\)
[Esquema: Por Problemas 7 y 8 en\(\xi 1,\) hay\(q_{i} \in T\) tales que
\ [
(\ forall n)\ quad f [A]\ subseteq\ bigcup_ {i=1} ^ {\ infty} G q_ {i}\ left (\ frac {1} {n}\ right).
\]
Establecer
\ [
A_ {n i} =A\ cap f^ {-1}\ left [G_ {q_ {i}}\ left (\ frac {1} {n}\ right)\ right]\ in\ mathcal {M}
\]
por Corolario\(2 ;\) así\(\rho^{\prime}\left(f(x), q_{i}\right)<\frac{1}{n}\) sucesivamente\(A_{n i}\).
Por Corolario 1 en el Capítulo 7, §1
\ [
A=\ bigcup_ {i=1} ^ {\ infty} A_ {n i} =\ bigcup_ {i=1} ^ {\ infty} B_ {n i} (\ text {disjoint})
\]
para algunos conjuntos\(B_{n i} \in \mathcal{M}, B_{n i} \subseteq A_{n i} .\) Ahora defina encendido\(B_{n i} ;\) así\(g_{n}=q_{i}\)\(\rho^{\prime}\left(f, g_{n}\right)<\frac{1}{n}\) sucesivamente cada\(\left.B_{n i}, \text { hence on } A . \text { By Theorem } 1 \text { in Chapter } 4, §12, g_{n} \rightarrow f \text { (uniformly) on } A .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\Rightarrow 8\). Demostrar que\(f: S \rightarrow E^{1}\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A\) iff\(A \cap f^{-1}[B] \in \mathcal{M}\) para cada Borel establecido\(B \text { (equivalently, for every open set } B)\) en\(E^{1} .\) (En el caso\(f: S \rightarrow E^{*},\) agregue:\(B=\{\pm \infty\}.\) “y para “)
[Esquema: Vamos

\ [\ mathcal {R} =\ left\ {X\ subseteq E^ {1} | A\ cap f^ {-1} [X]\ in\ mathcal {M}\ derecho\}.
\]
Mostrar que\(\mathcal{R}\) es un\(\sigma\) anillo en\(E^{1}\).
Ahora, por Teorema\(1,\) si\(f\) es medible en\(A, \mathcal{R}\) contiene todos los intervalos abiertos; para
\ [
A\ cap f^ {-1} [(a, b)] =A (f>a)\ cap A (f<b).
\]
Entonces por Lema 2 del Capítulo de\(7, 2, \mathcal{R} \supseteq \mathcal{G},\) ahí\(\mathcal{R} \supseteq \mathcal{B} .\) (¿Por qué?)
Por el contrario, si es así,
\ [
\ izquierda. (a,\ infty)\ in\ mathcal {R}\ Rightarrow A\ cap f^ {-1} [(a,\ infty)]\ in\ mathcal {M}\ Rightarrow A (f>a)\ in\ mathcal {M}. \ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\Rightarrow 9\). Hacer Problema 8 para\(f: S \rightarrow E^{n}\).
[Pista: Si\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)\) y\(B=(\overline{a}, \overline{b}) \subset E^{n},\) con\(\bar{a}=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\) y\(\bar{b}=\)\(\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right),\) mostrar que
\ [
f^ {-1} [B] =\ bigcap_ {k=1} ^ {n} f_ {k} ^ {-1}\ left [\ left (a_ {k}, b_ {k}\ right)\ right].
\]
Aplica el Problema 8 a cada uno\(f_{k}: S \rightarrow E^{1}\) y usa el Teorema 2 en §1. Proceder como en Problema\(8 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Hacer Problema 8 para\(f: S \rightarrow C^{n},\) tratar\(C^{n}\) como\(E^{2 n}\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que\(f: S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es medible\(A\) en\((S, \mathcal{M})\) iff
(i)\(A \cap f^{-1}[G] \in \mathcal{M}\) para cada globo abierto\(G \subseteq T,\) y
(ii)\(f[A]\) es separable en\(T(\text { Problem } 7 \text { in } § 1) .\)
[Pista: Si es así, proceda como en Problema\(7 \text { (without assuming measurability of } f)\) para mostrar eso\(f=\lim g_{n}\) para algunos mapas elementales \(g_{n}\)on\(A .\) Para lo contrario, use Problema 7 en\(§ 1\) y Corolario 2 pulg\(§ 2\).]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

(i) Demostrar que si todos\(T \text { is separable (Problem } 7 \text { in } § 1),\) hay una secuencia de globos\(G_{k} \subseteq T\) tales que cada conjunto abierto no vacío
\(B \subseteq T\) es la unión de algunos de estos\(G_{k}\).
(ii) Demostrar eso\(E^{n}\) y\(C^{n}\) son separables.
[Consejos: (i) Usa el\(G_{q_{i}}\left(\frac{1}{n}\right)\) del Problema 8 para\(§ 1,\) ponerlos en una secuencia.
ii) Tomar\(\left.D=R^{n} \subset E^{n} \text { in Problem } 7 \text { of } § 1 .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Haz el Problema 11 con “globo\(G \subseteq T^{\prime \prime}\) reemplazado por “Borel set”\(B \subseteq T\).
[Consejos: Tratar\(f\) como\(f: A \rightarrow T^{\prime}, T^{\prime}=f[A],\) señalar que
\ [
A\ cap f^ {-1} [B] =A\ cap f^ {-1}\ left [B\ cap T^ {\ prime}\ right].
\]
Por Problema\(12,\) si\(B \neq \emptyset\) está abierto en\(T,\) entonces\(B \cap T^{\prime}\) es una unión contable de “globos”\(G_{q} \cap T^{\prime}\) en\(\left(T^{\prime}, \rho^{\prime}\right) ;\) ver Teorema 4 en Capítulo\(3, § 12 .\) Proceder como en Problema\(8,\) reemplazando\(E^{1}\) por\(T\).]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(g:\left(T, \rho^{\prime}\right) \rightarrow\left(U, \rho^{\prime \prime}\right)\)Se dice que un mapa es de clase Baire\(0\left(g \in \mathrm{B}_{0}\right)\) en\(D \subseteq T\) iff\(g\) es relativamente continuo en\(D .\) Inductivamente,\(g\) es de clase Baire\(n\left(g \in \mathbf{B}_{n}, n \geq 1\right)\) iff\(g=\lim g_{m}\) (puntual) en\(D\) algunos mapas\(g_{m} \in \mathbf{B}_{n-1}\). Demostrar por inducción que el Corolario 4 en\(§ 1\) aguanta también si está\(g \in \mathbf{B}_{n}\) encendido\(f[A]\) para algunos\(n .\)