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8.3: Funciones medibles en\((S, \mathcal{M}, m)\)

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    I. A partir de ahora presupondremos no sólo un espacio medible (§1) sino un espacio de medida\((S, \mathcal{M}, m),\) donde\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) es una medida sobre un\(\sigma\) anillo\(\mathcal{M} \subseteq 2^{S}\).

    Vimos en el Capítulo 7 que a menudo se podían descuidar conjuntos de Lebesgue miden cero en\(E^{n}-\) si una propiedad se mantiene en todas partes excepto en un conjunto de Lebesgue medida cero, dijimos que tenía “casi en todas partes”. La siguiente definición generaliza este uso.

    Definición

    Decimos que una propiedad\(P(x)\) tiene para casi todos\(x \in A\) (con respecto a la medida\(m )\) o casi en todas partes (a.e.\((m) )\) on\(A\) iff se aferra\(A-Q\) para algunos\(Q \in \mathcal{M}\) con\(m Q=0\).

    Así escribimos

    \ [
    f_ {n}\ fila derecha f (a. e.) \ texto {o} f=\ lim f_ {n} (a. e. (m))\ texto {on} A
    \]

    iff\(f_{n} \rightarrow f(\text { pointwise })\) on Por\(A-Q, m Q=0 .\) supuesto, “pointwise” implica\(" a . e . "(\text { take } Q=\emptyset),\) pero lo contrario falla.

    Definición

    Decimos que\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es casi medible en\(A\) iff\(A \in \mathcal{M}\) y\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A-Q, m Q=0\).

    Entonces también decimos que\(f\) es\(m\) -medible (\(m\)siendo la medida involucrada) en contraposición a\(\mathcal{M}\) -medible.

    Observe que podemos asumir\(Q \subseteq A\) aquí (sustituir\(Q\) por\(A \cap Q )\).

    *Nota 1. Si\(m\) es una medida generalizada (Capítulo 7, §11), sustitúyase\(m Q=0\) por\(v_{m} Q=0\left(v_{m}=\text { total variation of } m\right)\) en las Definiciones 1 y 2 y en las siguientes pruebas.

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    Si las funciones

    \ [
    f_ {n}: S\ fila derecha\ izquierda (T,\ rho^ {\ prime}\ derecha),\ quad n=1,2,\ lpuntos
    \]

    son\(m\) -medibles en\(A,\) y si

    \ [
    f_ {n}\ fila derecha f (a. e. (m))
    \]

    en\(A,\) entonces\(f\) es\(m\) -medible en\(A\).

    Prueba

    Por supuesto,\(f_{n} \rightarrow f (\text { pointwise })\) en\(A-Q_{0}, m Q_{0}=0 .\) También,\(f_{n}\) es\(\mathcal{M}\) -medible en

    \ [
    A-Q_ {n}, m Q_ {n} =0,\ quad n=1,2,\ puntos
    \]

    (El no\(Q_{n}\) tiene por qué ser lo mismo.)

    Let

    \ [
    Q=\ bigcup_ {n=0} ^ {\ infty} Q_ {n};
    \]

    por lo

    \ [
    m Q\ leq\ suma_ {n=0} ^ {\ infty} m Q_ {n} =0.
    \]

    Por Corolario 2 en §1, todos\(f_{n}\) son\(\mathcal{M}\) -medibles en\(A-Q\) (¿por qué?) , y\(f_{n} \rightarrow f\)
    (puntualmente) en\(A-Q,\) como\(A-Q \subseteq A-Q_{0} .\)

    Así, por el Teorema 4 en §1,\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A-Q .\) As\(m Q=0\), este
    es el resultado deseado. \(\square\)

    Corolario\(\PageIndex{2}\)

    Si está\(f=g (a . e .(m))\) encendido\(A\) y\(f\) es\(m\) -medible en\(A,\) así es\(g\).

    Prueba

    Por suposición,\(f=g\) on\(A-Q_{1}\) y\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A-Q_{2}\), con\(m Q_{1}=m Q_{2}=0\).

    Vamos\(Q=Q_{1} \cup Q_{2} .\) Entonces\(m Q=0\) y sigue\(g=f\)\(A-Q .\) (¿Por qué? \()\)

    Por Corolario 2 de §1,\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A-Q\). De ahí que así sea\(g\), como se afirma. \(\square\)

    Corolario\(\PageIndex{3}\)

    Si\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\) es\(m\) -medible en\(A,\) entonces

    \ [
    f=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} f_ {n} (\ texto {uniformemente})\ texto {on} A-Q (m Q=0),
    \]

    para algunos mapas\(f_{n},\) todos los elementales en\(A-Q\).

    Prueba

    Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

    (Comparar el Corolario 3 con el Teorema 3 en §1).

    De manera muy similar, todas las demás proposiciones de §1 se transfieren a funciones casi medibles (es decir,\(m\) -medibles). Tenga en cuenta, sin embargo, que el término “medible” en los §§1 y 2 siempre significó\(" \mathcal{M}\) -medible”. Esto implica\(m\) -mensurabilidad (toma\(Q=\emptyset ),\) pero lo contrario falla. (Ver Nota\(2,\) sin embargo.)

    Seguimos obteniendo el siguiente resultado.

    Corolario\(\PageIndex{4}\)

    Si las funciones

    \ [
    f_ {n}: S\ fila derecha E^ {*}\ cuádruple (n=1,2,\ lpuntos)
    \]

    son\(m\) -medibles en un conjunto\(A,\) así que también son

    \ [
    \ sup f_ {n},\ inf f_ {n},\ overline {\ lim} f_ {n},\ texto {y}\ subrayado {\ lim} f_ {n}
    \]

    (Use Lemma 1 de §2).

    Del mismo modo, el Teorema 2 en §2 se traslada a funciones\(m\) -medibles.

    Nota 2. Si\(m\) está completo (como la medida de Lebesgue y las medidas LS) entonces, para\(f : S \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right), m-\) y\(\mathcal{M}\) -la medibilidad coinciden (ver Problema 3 a continuación).

    II. Medibilidad y Continuidad. Para estudiar la conexión entre estas nociones, primero señalamos dos lemmas, a menudo tratados como definiciones.

    Lema\(\PageIndex{1}\)

    \(A \operatorname{map} f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\)es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A\) iff
    \ [
    A\ cap f^ {-1} [B]\ in\ mathcal {M}
    \]
    para cada conjunto de Borel (equivalentemente, conjunto abierto)\(B\) en\(E^{n}\left(C^{n}\right)\).

    Prueba

    Consulte Problemas\(8-10\) en §2 para un boceto de la prueba.

    Lema\(\PageIndex{2}\)

    \(A \operatorname{map} f :(S, \rho) \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\)es relativamente continuo en\(A \subseteq S\) iff para cualquier conjunto abierto en\(B \subseteq\left(T, \rho^{\prime}\right),\) el que el conjunto\(A \cap f^{-1}[B]\) esté abierto\((A, \rho)\) como subespacio de\((S, \rho)\).
    (Esto se sostiene también con “abierto” reemplazado por “cerrado”.)

    Prueba

    Por el Capítulo 4, §1, la nota al pie de página\(4, f\) es relativamente continua en\(A\) iff su restricción a\(A\) (llamarlo\(g : A \rightarrow T )\) es continuo en el sentido ordinario.
    Ahora, por Problema 15\((\mathrm{iv})(\mathrm{v})\) en el Capítulo 4, §2, con\(S\) reemplazado por\(A,\) este medio que\(g^{-1}[B]\) está abierto (cerrado)\(i n(A, \rho)\) cuando\(B\) es así en\(\left(T, \rho^{\prime}\right) .\) Pero
    \ [
    g^ {-1} [B] =\ {x\ in A | f (x)\ in B\} =A\ cap f^ {-1} [B].
    \]
    (¿Por qué?) De ahí que siga el resultado. \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) ser una medida topológica en\((S, \rho) .\) Si\(f : S \rightarrow\)\(E^{n}\left(C^{n}\right)\) es relativamente continua en un conjunto\(A \in \mathcal{M},\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A\).

    Prueba

    Let\(B\) be open in\(E^{n}\left(C^{n}\right) .\) Por Lema 2,
    \ [
    A\ cap f^ {-1} [B]
    \]
    está abierto\(i n(A, \rho) .\) De ahí por el Teorema 4 del Capítulo 3, §12,
    \ [
    A\ cap f^ {-1} [B] =A\ cap U
    \]
    para algún set abierto\(U\) en\((S, \rho)\).
    Ahora, por suposición,\(A\) está en\(\mathcal{M} .\) Así es\(U,\) como\(\mathcal{M}\) es topológico\((\mathcal{M} \supseteq \mathcal{G})\).
    De ahí
    \ [
    A\ cap f^ {-1} [B] =A\ cap U\ in\ mathcal {M}
    \]
    para cualquier abierto\(B \subseteq E^{n}\left(C^{n}\right) .\) El resultado sigue por Lema 1. \(\square\)

    Nota 3. Lo contrario falla. Por ejemplo, la función Dirichlet (Ejemplo\((\mathrm{c})\) en el Capítulo 4, §1) es L-medible (incluso simple) pero discontinua en todas partes.
    Nota 4. Lema 1 y Teorema 1\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right),\) también\(f[A]\) se mantienen para un mapa, siempre que sea separable, es decir,
    \ [
    f [A]\ subseteq\ overline {D}
    \]
    para un conjunto contable\(D \subseteq T\) (cf. Problema 11 en §2).
    *III. Para medidas fuertemente regulares (Definición 5 en el Capítulo 7, §7), obtenemos el siguiente teorema.

    *Teorema\(\PageIndex{2}\)

    (Luzin). Dejar\(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\) ser una medida fuertemente regular en\((S, \rho)\). Seamos\(f : S \rightarrow\left(T, \rho^{\prime}\right)\)\(m\) -mensurables en\(A\).
    Entonces dado\(\varepsilon>0,\) hay un conjunto cerrado\(F \subseteq A(F \in \mathcal{M})\) tal que
    \ [
    m (A-F) <\ varepsilon
    \]
    y\(f\) es relativamente continuo en\(F\).
    (Obsérvese que si\(T=E^{*}, \rho^{\prime}\) es como en el Problema 5 del Capítulo 3, §11.)

    Prueba

    Por suposición,\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en un conjunto
    \ [
    H=A-Q, m Q=0;
    \]
    así que por el Problema 7 en §1,\(f[H]\) es separable en\(T\). Podemos asumir con seguridad que\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(S\) y que todo\(T\) es separable. (Si no, reemplace\(S\) y\(T\) por\(H\) y\(f[H],\) restringiendo\(f\) a\(H,\) y\(m\) a\(\mathcal{M}\) -conjuntos dentro\(H ;\) vea también Problemas 7 y 8 a continuación.)
    Entonces por Problema 12 de §2, podemos fijar globos de\(T\) tal\(G_{1}, G_{2}, \ldots\) manera que
    \ [
    \ text {cada conjunto abierto} B\ neq\ emptyset\ text {in} T\ text {es la unión de una subsecuencia de}\ left\ {G_ {k}\ right\}.
    \]
    Ahora vamos\(\varepsilon>0,\) y establecemos
    \ [
    S_ {k} =S\ cap f^ {-1}\ left [G_ {k}\ right] =f^ {-1}\ left [G_ {k}\ right],\ quad k=1,2,\ ldots
    \]
    Por Corolario 2 en §2,\(S_{k} \in \mathcal{M} .\) As\(m\) es fuertemente regular, encontramos para cada uno\(S_{k}\) un conjunto abierto
    \ [
    U_ {k}\ supseteq S_ {k},
    \]
    con\(U_{k} \in \mathcal{M}\) y
    \ [
    m\ left (U_ {k} -S_ {k}\ derecha) <\ frac {\ varepsilon} {2^ {k+1}}.
    \]
    Vamos\(B_{k}=U_{k}-S_{k}, D=\bigcup_{k} B_{k} ;\) así\(D \in \mathcal{M}\) y
    \ [
    m D\ leq\ suma_ {k} m B_ {k}\ leq\ suma_ {k}\ frac {\ varepsilon} {2^ {k+1}}\ leq\ frac {1} {2}\ varepsilon
    \]
    y
    \ [
    U_ { k} -B_ {k} =S_ {k} =f^ {-1}\ izquierda [G_ {k}\ derecha].
    \]
    Como\(D=\bigcup B_{k},\) tenemos
    \ [
    (\ forall k)\ quad B_ {k} -D=B_ {k}\ cap (-D) =\ emptyset.
    \]
    De ahí por\(\left(2^{\prime}\right)\),

    \ [\ begin {aligned} (\ forall k)\ quad f^ {-1}\ left [G_ {k}\ right]\ cap (-D) &=\ left (U_ {k} -B_ {k}\ right)\ cap (-D)\\ &=\ left (U_ {k}\ cap (-D)\ right) -\ left (B_ {k}\ cap (-D)\ derecha) =U_ {k}\ cap (-D)\ end {alineado}.
    \]
    Combinando esto con\((1),\) tenemos, para cada conjunto abierto\(B=\bigcup_{i} G_{k_{i}} \operatorname{in} T\),
    \ [
    f^ {-1} [B]\ cap (-D) =\ bigcup_ {i} f^ {-1}\ left [G_ {k_ {i}}\ right]\ cap (-D) =\ bigcup_ {i} U_ {k_ {i}}\ cap (-D).
    \]
    ya que los\(U_{k_{i}}\) están abiertos en\(S\) (por construcción), el conjunto\((3)\) está abierto en\(S-D\) como un subespacio de\(S .\) Por Lemma\(2,\) entonces,\(f\) es relativamente continuo en\(S-D,\) o más bien en
    \ [
    H-D=A-Q-D
    \]
    (ya que en realidad\(S\) sustituimos\(H\) en el curso de la prueba). Como\(m Q=0\) y\(m D<\frac{1}{2} \varepsilon\) por\((2)\),
    \ [
    m (H-D) <m A-\ frac {1} {2}\ varepsilon.
    \]
    Finalmente, como\(m\) es fuertemente regular y\(H-D \in \mathcal{M},\) hay un\(\mathcal{M}\) conjunto cerrado
    \ [
    F\ subseteq H-D\ subseteq A
    \]
    tal que
    \ [
    m (H -D-F) <\ frac {1} {2}\ varepsilon.
    \]
    ya que\(f\) es relativamente continuo en seguramente\(H-D,\) es así sucesivamente\(F .\) Por otra parte,
    \ [
    A-F =( A- (H-D))\ taza (H-D-F);
    \]
    so
    \ [
    m (A-F)\ leq m (A- (H-D)) +m (H-D-F) <\ frac {1} {2}\ varepsilon+\ frac {1} {2}\ varepsilon=\ varepsilon.
    \]
    Esto completa la prueba. \(\square\)

    *Lema\(\PageIndex{3}\)

    Conjuntos cerrados dados\([a, b] \subset E^{1}\) y disjuntos siempre\(A, B \subseteq(S, \rho),\) hay un mapa continuo\(g : S \rightarrow[a, b]\) tal que\(g=a\) en\(A\) y\(g=b\).

    Prueba

    Si\(A=\emptyset\) o\(B=\emptyset,\) configurado\(g=b\) o\(g=a\) en todos\(S\).
    Si, sin embargo,\(A\) y ambos no\(B\) están vacíos, establezca
    \ [
    g (x) =a+\ frac {(b-a)\ rho (x, A)} {\ rho (x, A) +\ rho (x, B)}.
    \]
    Como\(A\) está cerrado,\(\rho(x, A)=0\) iff\(x \in A\) (Problema 15 en el Capítulo 3, §14); de manera similar para\(B .\) Así\(\rho(x, A)+\rho(x, B) \neq 0\).
    También,\(g=a\) una\(A, g=b\)\(B,\) y otra\(a \leq g \leq b\) vez\(S\).
    Para la continuidad, ver Capítulo 4, §8, Ejemplo\((\mathrm{e}) .\)\(\square\)

    *Lema\(\PageIndex{4}\)

    (Tietze). Si\(f :(S, \rho) \rightarrow E^{*}\) es relativamente continuo en un conjunto cerrado\(F \subseteq S,\) hay una función\(g : S \rightarrow E^{*}\) tal que\(g=f\) on\(F\),
    \ [
    \ inf g [S] =\ inf f [F],\ sup g [S] =\ sup f [F],
    \]
    y\(g\) es continua en todos\(S\).
    (Asumimos\(E^{*}\) metrizados como en el Problema 5 del Capítulo 3, §11. Si\(|f|<\infty,\) se\(E^{1}\) puede usar la métrica estándar en.)

    Esquema de prueba

    Primero, asuma inf\(f[F]=0\) y\(\sup f[F]=1 .\) Set
    \ [
    A=F\ left (f\ leq\ frac {1} {3}\ right) =F\ cap f^ {-1}\ left [\ left [0,\ frac {1} {3}\ right]\ right]
    \ right]

    \ [
    B=F\ left (f\ geq\ frac {2} {3}\ right) =F cap\ f^ {-1} \ izquierda [\ izquierda [\ frac {2} {3}, 1\ derecha]\ derecha].
    \]
    Como\(F\) está cerrado\(i n S,\) así son\(A\) y\(B\) por Lema\(2 .\) (¿Por qué? \()\)
    Como\(B \cap A=\emptyset,\) Lema 3 produce un mapa continuo\(g_{1} : S \rightarrow\left[0, \frac{1}{3}\right],\) con\(g_{1}=0\) encendido\(A,\) y\(g_{1}=\frac{1}{3}\) encendido\(B .\) Establecer\(f_{1}=f-g_{1}\) encendido\(F ;\) así\(\left|f_{1}\right| \leq \frac{2}{3},\) y\(f_{1}\) es continuo en\(F .\)
    Aplicar los mismos pasos para \(f_{1}\)(con conjuntos adecuados\(A_{1}, B_{1} \subseteq F ),\) encontrar un mapa continuo\(g_{2},\) con\(0 \leq g_{2} \leq \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}\) en\(S .\) Entonces\(f_{2}=f_{1}-g_{2}\) es continuo, y\(0 \leq f_{2} \leq\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\) en\(F\).
    Continuando, obtener dos secuencias\(\left\{g_{n}\right\}\) y\(\left\{f_{n}\right\}\) de funciones reales de tal manera que cada una\(g_{n}\) sea continua on\(S\),
    \ [
    0\ leq g_ {n}\ leq\ frac {1} {3}\ left (\ frac {2} {3}\ right) ^ {n-1},
    \]
    y \(f_{n}=f_{n-1}-g_{n}\)se define y continua\(F,\) con
    \ [
    0\ leq f_ {n}\ leq\ izquierda (\ frac {2} {3}\ derecha) ^ {n}
    \]
    ahí\(\left(f_{0}=f\right)\).
    Afirmamos que
    \ [
    g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} g_ {n}
    \]
    es el mapa deseado.
    En efecto, la serie converge uniformemente sobre\(S\) (Teorema 3 del Capítulo 4, §12).
    Como todos\(g_{n}\) son continuos, así es\(g\) (Teorema 2 en el Capítulo 4, §12). Además,
    \ [
    \ izquierda|f-\ suma_ {k=1} ^ {n} g_ {k}\ derecha|\ leq\ izquierda (\ frac {2} {3}\ derecha) ^ {n}\ fila derecha 0
    \]
    en\(F(\text { why? }) ;\) así\(f=g\) sucesivamente\(F .\) Además,
    \ [
    0\ leq g_ {1}\ leq g\ leq\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {3}\ left (\ frac {2} {3}\ right) ^ {n} =1\ text {on} S.
    \]
    De ahí inf\(g[S]=0\) y\(\sup g[S]=1,\) según se requiera.
    Ahora asuma
    \ [
    \ inf f [F] =a<\ sup f [F] =b\ quad\ izquierda (a, b\ en E^ {1}\ derecha)
    \]
    Set
    \ [
    h (x) =\ frac {f (x) -a} {b-a}
    \]
    para que inf \(h[F]=0\)y\(\sup h[F]=1 .\) (¿Por qué?)
    Como se muestra arriba, hay un mapa continuo\(g_{0}\) encendido\(S,\) con
    \ [
    g_ {0} =h=\ frac {f-a} {b-a}
    \]
    en\(F,\) inf\(g_{0}[S]=0,\) y\(\sup g_{0}[S]=1 .\) Set
    \ [
    a+ (b-a) g_ {0} =g.
    \]
    Entonces\(g\) es la función requerida. (¡Verifica!)
    Por último, si\(a, b \in E^{*}(a<b),\) todo se reduce al caso acotado considerando\(H(x)=\arctan f(x)\). \(\square\)

    *Teorema\(\PageIndex{3}\)

    (Fréchet). \(m : \mathcal{M} \rightarrow E^{*}\)Sea una medida fuertemente regular en\((S, \rho) .\) Si\(f : S \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right)\) es\(m\) -medible en\(A,\) entonces
    \ [
    f=\ lim _ {i\ rightarrow\ infty} f_ {i} (a\ cdot e. (m))\ text {on} A
    \]
    para alguna secuencia de mapas\(f_{i}\) continuos en\(S .\) (Suponemos\(E^{*}\) ser metrizados como en Lema 4.)

    Prueba

    Consideramos\(f : S \rightarrow E^{*}\) (los otros casos se reducen a\(E^{1}\) vía componentes).
    Tomando\(\varepsilon=\frac{1}{i}(i=1,2, \ldots)\) en Teorema\(2,\) obtenemos para cada uno\(i\) un\(\mathcal{M}\) conjunto cerrado\(F_{i} \subseteq A\) tal que
    \ [
    m\ left (A-F_ {i}\ right) <\ frac {1} {i}
    \]
    y\(f\) es relativamente continuo en cada \(F_{i} .\)Podemos suponer que\(F_{i} \subseteq F_{i+1}\) (de no ser así, sustituir\(F_{i}\) por\(\bigcup_{k=1}^{i} F_{k} )\).
    Ahora, Lema 4 rinde para cada uno\(i\) un mapa continuo\(f_{i} : S \rightarrow E^{*}\) tal que\(f_{i}=f\) en\(F_{i} .\) Completamos la prueba mostrando eso\(f_{i} \rightarrow f\) (puntual) en el conjunto
    \ [
    B=\ bigcup_ {i=1} ^ {\ infty} F_ {i}
    \]
    y eso\(m(A-B)=0\).
    De hecho, arreglar cualquier\(x \in B .\) Entonces\(x \in F_{i}\) para algunos de\(i=i_{0},\) ahí también para\(i>i_{0}\) (ya que\(\left\{F_{i}\right\} \uparrow ) .\) As\(f_{i}=f\) on\(F_{i},\) tenemos

    \ [\ left (\ forall i>i_ {0}\ right)\ quad f_ {i} (x) =f (x),
    \]
    y así\(f_{i}(x) \rightarrow f(x)\) para\(x \in B .\) Como\(F_{i} \subseteq B,\) obtenemos
    \ [
    m (A-B)\ leq m\ left (A-F_ {i}\ right) <\ frac {1} {i}
    \]
    para todos\(i .\) De ahí\(m(A-B)=0,\) y todo está probado. \(\square\)


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