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# 8.4: Integración de Funciones Elementales

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En el Capítulo 5, la integración se trató como antidiferenciación. Ahora adoptamos otro enfoque médico-teórico.

La teoría original de Lebesgue se basó en la medida de Lebesgue (Capítulo 7, §8). El tratamiento moderno más general desarrolla la integral para funciones$$f : S \rightarrow E$$ en un espacio de medida arbitraria. De ahora en adelante,$$(S, \mathcal{M}, m)$$ es fijo, y el espacio de rango$$E$$ es$$E^{1}, E^{*}, C, E^{n},$$ u otro espacio normado completo. Recordemos que en tal espacio,$$\sum_{i}\left|a_{i}\right|<\infty$$ implica que$$\sum a_{i}$$ converge y es permutable (Capítulo 7, §2).

Comenzamos con mapas elementales, incluyendo mapas simples como caso especial.

## Definición

$$f : S \rightarrow E$$Sea elemental,$$A \in \mathcal{M};$$ así$$f=a_{i}$$ sucesivamente$$A_{i}$$ para algunos$$\mathcal{M}$$ -partición

$A=\bigcup_{i} A_{i} \text { (disjoint).}$

(Tenga en cuenta que puede haber muchas de esas particiones.)

Decimos que$$f$$ es integrable (con respecto a$$m$$), o$$m$$ -integrable, en$$A$$ iff

$\sum\left|a_{i}\right| m A_{i}<\infty.$

(La notación "$$|a_{i}| m A_{i}$$" siempre tiene sentido por nuestras convenciones (2*) en el Capítulo 4, §4.) Si$$m$$ es Lebesgue medida, entonces decimos que$$f$$ es Lebesgue integrable, o L-integrable.

Luego definimos$$\int_{A} f,$$ la$$m$$ -integral de$$f$$ on$$A,$$ by

$\int_{A} f=\int_{A} f d m=\sum_{i} a_{i} m A_{i}.$

(Se utiliza la notación$$dm$$ "" para especificar la medida$$m$$.)

La notación “clásica” para$$\int_{A} f d m$$ is$$\int_{A} f(x) d m(x)$$.

Nota 1. La suposición

$\sum\left|a_{i}\right| m A_{i}<\infty$

implica

$(\forall i) \quad\left|a_{i}\right| m A_{i}<\infty;$

entonces$$a_{i}=0$$ si$$m A_{i}=\infty,$$ y$$m A_{i}=0$$ si$$|a_{i}|=\infty.$$ Así por nuestras convenciones, todos los términos “malos”$$a_{i} m A_{i}$$ desaparecen. De ahí que la suma en (1) tenga sentido y sea finita.

Nota 2. Esta suma también es independiente de la elección particular de$$\{A_{i}\}.$$ Para si$$\{B_{k}\}$$ es otra$$\mathcal{M}$$ -partición de$$A,$$ con$$f=b_{k}$$ on$$B_{k},$$ say, entonces$$f=a_{i}=b_{k}$$ on$$A_{i} \cap B_{k}$$ siempre que$$A_{i} \cap B_{k} \neq \emptyset.$$ También,

$(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right) \text { (disjoint);}$

por lo

$(\forall i) \quad a_{i} m A_{i}=\sum_{k} a_{i} m(A_{i} \cap B_{k}),$

y por lo tanto (ver Teorema 2 del Capítulo 7, §2, y Problema 11 ahí)

$\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)=\sum_{k} \sum_{i} b_{k} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)=\sum_{k} b_{k} m B_{k}.$

(¡Explique!)

Esto hace que nuestra definición (1) sea inequívoca y nos permite elegir cualquier$$\mathcal{M}$$ -partición$$\{A_{i}\},$$ con$$f$$ constante en cada una$$A_{i},$$ al formar integrales (1).

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Dejemos$$f : S \rightarrow E$$ ser elementales e integrables en$$A \in \mathcal{M}.$$ Entonces las siguientes afirmaciones son ciertas.

(i)$$|f|<\infty$$ a.e. en$$A.$$

(ii)$$f$$ y$$|f|$$ son elementales e integrables en cualquier$$\mathcal{M}$$ conjunto$$B \subseteq A,$$ y

$\left|\int_{B} f\right| \leq \int_{B}|f| \leq \int_{A}|f|.$

(iii) El conjunto$$B=A(f \neq 0)$$ es$$\sigma$$ -finito (Definición 4 en el Capítulo 7, §5), y

$\int_{A} f=\int_{B} f.$

iv) Si$$f=a$$ (constante) en$$A$$,

$\int_{A} f=a \cdot m A.$

v)$$\int_{A}|f|=0$$ iff$$f=0$$ a.e. on$$A$$.

vi) Si$$m Q=0,$$ entonces

$\int_{A} f=\int_{A-Q} f$

(por lo que podemos descuidar conjuntos de medida 0 en integrales).

(vii) Para cualquiera$$k$$ en el campo escalar de$$E, k f$$ es elemental e integrable, y

$\int_{A} k f=k \int_{A} f.$

Tenga en cuenta que si$$f$$ se valora escalar,$$k$$ puede ser un vector. Si$$E=E^{*},$$ asumimos$$k \in E^{1}.$$

Prueba

(i) Por la Nota 1,$$|f|=|a_{i}|=\infty$$ sólo en aquellos$$A_{i}$$ con$$m A_{i}=0.$$ Let$$Q$$ be la unión de todos los tales$$A_{i}.$$ Entonces$$m Q=0$$ y$$|f|<\infty$$ al$$A-Q,$$ probar (i).

(ii) Si$$\{A_{i}\}$$ es una$$\mathcal{M}$$ partición -de$$A,\{B \cap A_{i}\}$$ es uno para$$B.$$ (¡Verifica!) Tenemos$$f=a_{i}$$ y$$|f|=|a_{i}|$$ en$$B \cap A_{i} \subseteq A_{i}$$.

$\sum\left|a_{i}\right| m\left(B \cap A_{i}\right) \leq \sum\left|a_{i}\right| m A_{i}<\infty.$

(¿Por qué?) Así$$f$$ y$$|f|$$ son elementales e integrables en$$B,$$ y (ii) siguen fácilmente por la fórmula (1).

iii) Por la Nota 1,$$f=0$$ sobre$$A_{i}$$ si$$m A_{i}=\infty.$$ Así$$f \neq 0$$ en$$A_{i}$$ sólo si$$m A_{i}<\infty$$. $$\{A_{i_{k}}\}$$Sea la subsecuencia de aquellos$$A_{i}$$ en los que$$f \neq 0;$$ así

$(\forall k) \quad m A_{i_{k}}<\infty.$

$B=A(f \neq 0)=\bigcup_{k} A_{i_{k}} \in \mathcal{M} \text{ (}\sigma \text {-finite!).}$

Por (ii),$$f$$ es elemental e integrable en$$B.$$ También,

$\int_{B} f=\sum_{k} a_{i_{k}} m A_{i_{k}},$

mientras

$\int_{A} f=\sum_{i} a_{i} m A_{i}.$

Estas sumas difieren sólo en términos con$$a_{i}=0.$$ Así (iii) sigue.

Se deja al lector la prueba de (iv) - (vii). $$\quad \square$$

Nota 3. Si$$f : S \rightarrow E^{*}$$ es elemental y signo-constante encendido$$A,$$ también permitimos que

$\int_{A} f=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\pm \infty.$

Así aquí$$\int_{A} f$$ existe aunque no$$f$$ sea integrable. Aparte de las afirmaciones de integrabilidad y$$\sigma$$ -finitud, el Corolario 1 (ii) - (vii) se sostiene para tal$$f$$, con las mismas pruebas.

## Ejemplo

Let$$m$$ Be Lebesgue mide en$$E^{1}.$$ Definir$$f=1$$ sobre$$R$$ (racionales) y$$f=0$$ en$$E^{1}-R ;$$ ver Capítulo 4, §1, Ejemplo (c). Let$$A=[0,1].$$

Por Corolario 1 en el Capítulo 7, §8,$$A \cap R \in \mathcal{M}^{*}$$ y$$m(A \cap R)=0.$$ También,$$A-R \in \mathcal{M}^{*}$$.

Así$$\{A \cap R, A-R\}$$ es una$$\mathcal{M}^{*}$$ partición -de$$A,$$ con$$f=1$$ encendido$$A \cap R$$ y$$f=0$$ encendido$$A-R.$$

Por lo tanto,$$f$$ es elemental e integrable en$$A,$$ y

$\int_{A} f=1 \cdot m(A \cap R)+0 \cdot m(A-R)=0.$

Así$$f$$ es L-integrable (aunque no es en ninguna parte continua).

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (additivity)

(i) Si$$f : S \rightarrow E$$ es elemental e integrable o elemental y no negativo en$$A \in \mathcal{M},$$ entonces

$\int_{A} f=\sum_{k} \int_{B_{k}} f$

para cualquier$$\mathcal{M}$$ -partición$$\left\{B_{k}\right\}$$ de$$A$$.

(ii) Si$$f$$ es elemental e integrable en cada conjunto$$B_{k}$$ de una$$\mathcal{M}$$ partición finita

$A=\bigcup_{k} B_{k},$

es elemental e integrable en todos$$A,$$ y (2) se sostiene de nuevo.

Prueba

(i) Si$$f$$ es elemental e integrable o elemental y no negativo en$$A=\bigcup_{k} B_{k},$$ él seguramente es así en cada uno$$B_{k}$$ por el Corolario 2 de §1 y Corolario 1 (ii) anterior.

Así para cada uno$$k,$$ podemos fijar una$$\mathcal{M}$$ -partición$$B_{k}=\bigcup_{i} A_{k i},$$ con$$f$$ constante$$(f=a_{k i})$$ on$$A_{k i}, i=1,2, \ldots$$. Entonces

$A=\bigcup_{k} B_{k}=\bigcup_{k} \bigcup_{i} A_{k i}$

es una$$\mathcal{M}$$ partición -de$$A$$ en los conjuntos disjuntos$$A_{k i} \in \mathcal{M}$$.

Ahora, por definición,

$\int_{B_{k}} f=\sum_{i} a_{k i} m A_{k i}$

y

$\int_{A} f=\sum_{k, i} a_{k i} m A_{k i}=\sum_{k}\left(\sum_{i} a_{k i} m A_{k i}\right)=\sum_{k} \int_{B_{k}} f$

por reglas para series dobles. Esto prueba la fórmula (2).

(ii) Si$$f$$ es elemental e integrable$$B_{k}(k=1, \ldots, n),$$ entonces con la misma notación, tenemos

$\sum_{i}\left|a_{k i}\right| m A_{k i}<\infty$

$\sum_{k=1}^{n} \sum_{i}\left|a_{k i}\right| m A_{k i}<\infty.$

Esto significa, sin embargo, que$$f$$ es elemental e integrable en$$A,$$ y así sigue la cláusula (ii). $$\quad \square$$

Precaución. La cláusula (ii) falla si la partición$$\{B_{k}\}$$ es infinita.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(i) Si$$f, g : S \rightarrow E^{*}$$ son elementales y no negativos en$$A,$$ entonces

$\int_{A}(f+g)=\int_{A} f+\int_{A} g.$

(ii) Si$$f, g : S \rightarrow E$$ son elementales e integrables en$$A,$$ lo que es$$f \pm g,$$ y

$\int_{A}(f \pm g)=\int_{A} f \pm \int_{A} g.$

Prueba

Argumentando como en la prueba del Teorema 1 de §1, podemos hacer$$f$$ y$$g$$ constantes en conjuntos de uno y el mismo$$\mathcal{M}$$ -partición de$$A,$$ decir,$$f=a_{i}$$ y$$A_{i} \in \mathcal{M};$$ así$$g=b_{i}$$ sucesivamente

$f \pm g=a_{i} \pm b_{i} \text { on } A_{i}, \quad i=1,2, \ldots.$

En el caso (i),$$f, g \geq 0;$$ por lo que la integrabilidad es irrelevante por la Nota 3, y la fórmula (1) rinde

$\int_{A}(f+g)=\sum_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right) m A_{i}=\sum_{i} a_{i} m A_{i}+\sum b_{i} m A_{i}=\int_{A} f+\int_{A} g.$

En (ii), de manera similar obtenemos

$\sum_{i}\left|a_{i} \pm b_{i}\right| m A_{i} \leq \sum\left|a_{i}\right| m A_{i}+\sum_{i}\left|b_{i}\right| m A_{i}<\infty.$

(¿Por qué?) Así$$f \pm g$$ es elemental e integrable en$$A.$$ Como antes, también obtenemos

$\int_{A}(f \pm g)=\int_{A} f \pm \int_{A} g,$

simplemente por reglas para la adición de series convergentes. (¡Verifica!) $$\quad \square$$

Nota 4. Como sabemos, se define la función característica$$C_{B}$$ de$$B \subseteq S$$ un conjunto

$C_{B}(x)=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {x \in B,} \\ {0,} & {x \in S-B.}\end{array}\right.$

Si$$g : S \rightarrow E$$ es elemental encendido$$A,$$ para que

$g=a_{i} \text { on } A_{i}, 1,2, \ldots,$

para algunos$$\mathcal{M}$$ -partición

$A=\bigcup A_{i},$

entonces

$g=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}} \text { on } A.$

(Esta suma siempre existe para conjuntos disconjuntos$$A_{i}.$$ ¿Por qué?) A menudo utilizaremos esta notación.

Si$$m$$ es Lebesgue medida en$$E^{1},$$ la integral

$\int_{A} g=\sum_{i} a_{i} m A_{i}$

tiene una interpretación geométrica simple; ver Figura 33. $$A=[a, b] \subset E^{1};$$Dejar$$g$$ ser acotado y no negativo en$$E^{1}.$$ Cada producto$$a_{i} m A_{i}$$ es el área de un rectángulo con base$$A_{i}$$ y altitud$$a_{i}.$$ (Asumimos$$A_{i}$$ que el ser intervalos aquí.) El área total,

$\int_{A} g=\sum_{i} a_{i} m A_{i},$

puede tratarse como una aproximación al área bajo alguna curva$$y=f(x)$$, donde$$f$$ se aproxima por$$g$$ (Teorema 3 en §1). Históricamente, la integración surgió de tales aproximaciones.

Integración de funciones elementales ampliadas reales. La nota 3 se puede extender a las funciones de cambio de signo de la siguiente manera.

## Definición

Si

$f=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}} \quad\left(a_{i} \in E^{*}\right)$

en

$A=\bigcup_{i} A_{i} \quad\left(A_{i} \in \mathcal{M}\right),$

nosotros fijamos

$\int_{A} f=\int_{A} f^{+}-\int_{A} f^{-},$

con

$f^{+}=f \vee 0 \geq 0 \text { and } f^{-}=(-f) \vee 0 \geq 0;$

ver §2.

Por Teorema 2 en §2,$$f^{+}$$ y$$f^{-}$$ son elementales y no negativos por$$A;$$ lo

$\int_{A} f^{+} \text { and } \int_{A} f^{-}$

están definidos por la Nota 3, y así lo es

$\int_{A} f=\int_{A} f^{+}-\int_{A} f^{-}$

por nuestras convenciones (2*) en el Capítulo 4, §4.

Tendremos uso para la fórmula (3), aunque

$\int_{A} f^{+}=\int_{A} f^{-}=\infty;$

entonces decimos que$$\int_{A} f$$ es poco ortodoxo y lo equiparamos$$+\infty,$$ por convención; cf. Capítulo 4, §4. (Otras integrales se llaman ortodoxas.) Así, para las funciones elementales y (extendidas) reales, siempre$$\int_{A} f$$ se define. (Desarrollamos aún más esta idea en §5.)

Nota 5. Con$$f$$ lo anterior, claramente tenemos

$f^{+}=a_{i}^{+} \text { and } f^{-}=a_{i}^{-} \text { on } A_{i},$

donde

$a_{i}^{+}=\max \left(a_{i}, 0\right) \text { and } a_{i}^{-}=\max \left(-a_{i}, 0\right).$

Por lo tanto

$\int_{A} f^{+}=\sum a_{i}^{+} \cdot m A_{i} \text { and } \int_{A} f^{-}=\sum a_{i}^{-} \cdot m A_{i},$

para que

$\int_{A} f=\int_{A} f^{+}-\int_{A} f^{-}=\sum_{i} a_{i}^{+} \cdot m A_{i}-\sum_{i} a_{i}^{-} \cdot m A_{i}.$

Si$$\int_{A} f^{+}<\infty$$ o$$\int_{A} f^{-}<\infty,$$ podemos restar las dos series a términos (Problema 14 del Capítulo 4, §13) para obtener

$\int_{A} f=\sum_{i}\left(a_{i}^{+}-a_{i}^{-}\right) m A_{i}=\sum_{i} a_{i} m A_{i}$

para$$a_{i}^{+}-a_{i}^{-}=a_{i}.$$ Así las fórmulas (3) y (4) concuerdan con nuestras definiciones anteriores.

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