8.5: Integración de Funciones Reales Extendidas

Ahora definiremos integrales para funciones arbitrarias\(f : S \rightarrow E^{*}\) en un
espacio de medidas\((S, \mathcal{M}, m) .\) Comenzamos con el caso\(f \geq 0\).

Definición

Dado\(f \geq 0\) en\(A \in \mathcal{M},\) definimos las integrales superior e inferior,
\ [
\ overline {\ int}\ text {y}\ subrayado {\ int},
\]
de\(f\) on\(A\) (con respecto a\(m )\) by
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} f d m=\ inf _ {h}\ int_ {A} h
\]
sobre todos los mapas elementales\(h \geq f\) en\(A,\) y
\ [
\ int_ {-A} f=\ int_ {-A} f d m=\ sup _ {g}\ int_ {A} g
\]
sobre todos los mapas elementales y no negativos\(g \leq f\) en \(A\).
Si no\(f\) es no negativo, usamos\(f^{+}=f \vee 0\) y\(f^{-}=(-f) \vee 0\) (§2), y establecemos
\ [
\ begin {array} [c]\ overline {\ int_ {A}} f &=\ overline {\ int_ {A}} f dm =\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ text {y}\\ subrayado {\ int_ {A}} f &=\ subrayado {\ int_ {A}} f dm =\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {+} -\ overline {\ int_ {A}} f^ {-}. \ end {matriz}

\]
Por nuestras convenciones, estas expresiones siempre están definidas. La integral\(\overline{\int}_{A} f\left(\text { or } \int_{-A} f\right)\) se llama ortodoxa iff no tiene la forma\(\infty-\infty\) en (1), e.g.,\(\overline{\text { if }} f \geq 0\) (es decir,\(f^{-}=0 ),\) o si\(\int_{A} f<\infty .\) Una integral no ortodoxa es igual\(+\infty .\)
A menudo escribimos\(\int\) para\(\overline{\int}\) y la llamamos simplemente la integral (de\(f ),\) incluso si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ neq\ int_ {A} f.
\] La notación
“clásica” es\(\int_{A} f(x) d m(x)\).

Definición

La función\(f\) se denomina integrable (o\(m\) -integrable, o Lebesgue integrable, con respecto a\(m )\) on\(A,\) iff
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f d m=\ int_ {A} f d m\ neq\ pm\ infty
\]

El proceso descrito anteriormente se denomina integración (abstracta) de Lebesgue en oposición a la integración de Riemann (B. Riemann, 1826-1866). Este último trata solo con funciones delimitadas y permite\(h\) y\(g\) en\(\left(1^{\prime}\right)\) y\(\left(1^{\prime \prime}\right)\) ser funciones simples de paso solamente (ver §9). Es inferior a la teoría de Lebesgue.
Los valores de
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f d m\ text {y}\ subrayan {\ int_ {A}} f d m
\]
dependen de\(m .\) Si\(m\) es medida Lebesgue, hablamos de integrales de Lebesgue, en el sentido más estricto. Si\(m\) es Lebesgue-Stieltjes medida, hablamos de\(L S\) -integrales, y así sucesivamente.
Nota 1. Si\(f\) es elemental y (extendido) real, nuestra definición actual de
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f
\]
concuerda con la de §4. Porque si\(f \geq 0, f\) en sí es la menor de todas las funciones elementales y no negativas
\ [
h\ geq f
\]
y la mayor de todas las funciones elementales y no negativas
\ [
g\ leq f.
\]
Así por Problema 5 en §4,
\ [
\ int_ {A} f=\ min _ {h\ geq f}\ int_ {A} h=\ max _ {g\ leq f}\ int_ {A} g,
\]
es decir,
\ [
\ int_ {A} f=\ overline {\ int} _ _ {A} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f.

Si, sin embargo,\(f \ngeq 0,\) esto sigue por la Definición 2 en §4. Esto también muestra que para mapas elementales y (extendidos) reales,

\ [\ overline {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f\ text {always.}
\]
(Véase también Teorema 3.)
Nota 2. Por Definición 1,
\ [
\ subrayar {\ int_ {A}} f\ leq\ overline {\ int_ {A}} f\ text {siempre.}
\]
Para si\(f \geq 0,\) entonces para cualquier mapa elemental y no negativo\(g, h\) con
\ [
g\ leq f\ leq h,
\]
tenemos
\ [
\ int_ {A} g\ leq\ int_ {A} h
\]
por Problema 5 en §4. Así
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ sup _ {g}\ int_ {A} g
\]
es un límite inferior de todos esos\(\int_{A} h,\) y así
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f\ leq\ operatorname {glb}\ int_ {A} h=\ overline {\ int} _ {A} f.
\]
En la fórmula general\((1),\) también
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f\ leq\ overline {\ int_ {A}} f,
\]
desde
\ [
\ int_ {-A} f^ {+}\ leq\ overline {\ int} _ {A} f^ {+}\ text {y}\ int_ {-A} f^ {-}\ leq\ overline J {} _ {A} f^ {-}.
\]

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier función\(f, g : S \rightarrow E^{*}\) y cualquier conjunto\(A \in \mathcal{M},\) tenemos los siguientes resultados.
(a) Si\(f=a(\text {constant})\) en\(A,\) entonces
\(\overline{\int_{A}} f= \underline{\int_{A}} f=a \cdot m A\).
(b) Si\(f=0\) en\(A\) o\(m A=0,\) entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f=0.
\]
(c) Si está\(f \geq g\) encendido\(A,\) entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ overline {\ int} _ {A} g\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} g.
\]
(d) Si está\(f \geq 0\) encendido\(A,\) entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq 0\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq 0.
\]
Del mismo modo si está\(f \leq 0\) encendido\(A\).
(e) Si\(0 \leq p < \infty,\) entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} p f=p\ overline {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} p f=p\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]
(e') Tenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} (-f) =\ subrayado {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayan {\ int_ {A}} (-f) =-\ overline {\ int_ {A}} f
\]
si una de las integrales involucradas en cada caso es ortodoxa. De lo contrario,

\ [\ overline {\ int_ {A}} (-f) =\ infty=\ subrayado {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} (-f) =\ infty=\ overline {\ int_ {A}} f.
\]
(f) Si está\(f \geq 0\) encendido\(A\) y
\ [
A\ supseteq B, B\ en\ mathcal {M},
\]
entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ overline {\ int_ {B}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {B}} f.
\]
(g) Tenemos
\ [
\ izquierda|\ overline {\ int} _ {A} f\ derecha|\ leq\ overline {\ int} _ {A} |f|\ text {y}\ izquierda|\ subrayado {\ int_ {A}} f\ derecha|\ leq\ overline {\ int_ {A}} |f|
\]
(pero no
\ [
\ izquierda|\ subrayado {\ int_ {A}} f\ derecha|\ leq\ subrayado {\ int_ {A} |f|
\]
en general).
(h) Si está\(f \geq 0\) encendido\(A\) y\(\overline{\int_{A}} f=0\) (o\(f \leq 0\) y\(\underline{\int_{A}} f=0 ),\) luego\(f=0\) a.e. on\(A\).

Prueba

Demostramos sólo algo de lo anterior, dejando el resto al lector.
(a) Esto siguiendo por el Corolario 1 (iv) en §4.
b) Uso (a) y Corolario 1 (v) en §4.
(c) Primero, vamos a
\ [
f\ geq g\ geq 0\ text {on} A.
\]
Tome cualquier mapa elemental y no negativo\(H \geq f\) en\(A .\) Entonces también;\(H \geq g\) así por definición,
\ [
\ overline { \ int_ {A}} g=\ inf _ {h\ geq g}\ int_ {A} h\ leq\ int_ {A} H.
\]
Así
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ leq\ int_ {A} H
\]
para cualquier tal\(H .\) De ahí también
\ [
\ overline {\ int} _ {A} g\ leq\ inf _ {H\ geq f}\ int_ {A} H=\ overline {\ int} _ {A} f.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} g
\]
if\(f \geq g \geq 0\).
En el caso general,\(f \geq g\) implica
\ [
f^ {+}\ geq g^ {+}\ text {y} f^ {-}\ leq g^ {-}. \ text {(¿Por qué?) }
\]
Así por lo que se demostró anteriormente,
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+}\ geq\ overline {\ int_ {A}} g^ {+}\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ leq\ subrayado {\ int_ {A}} g^ {-}.
\]
De ahí
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ geq\ overline {\ int_ {A}} g^ {+} -\ subrayado {\ int_ {-A}} g^ {-};
\]
es decir,
\ [\ overline {\ int_ {A}}\ q\ overline { \ int_ {A}} g.
\]
Del mismo modo, se obtiene
\ [
] subrayado {\ int {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} g.
\]
(d) Es claro que (c) implica (d).
(e) Dejar\(0 \leq p<\infty\) y suponer\(f \geq 0\) en\(A .\) Tomar cualquier mapa elemental y no negativo
\ [
h\ geq f\ text {on} A.
\]
Por Corolario 1 (vii) y Nota 3 de §4,
\ [
\ int_ {A} p h=p\ int_ {A} h
\]
para cualquiera de tales\(h .\) Por lo tanto

\ [\ overline {\ int_ {A}} p f =\ inf _ {h}\ int_ {A} p h=\ inf _ {h} p\ int_ {A} h=p\ overline {\ int_ {A}} f.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} p f=p\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]
El caso general se reduce al caso\(f \geq 0\) por fórmula\((1)\).
(e') La aserción se\(\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)\) desprende\((1)\) desde que
\ [
(-f) ^ {+} =f^ {-},\ quad (-f) ^ {-} =f^ {+},
\]
y\(-(x-y)=y-x\) si\(x-y\) es ortodoxo. (¿Por qué?)
(f) Tomar cualquier mapa elemental y no negativo
\ [
h\ geq f\ geq 0\ text {on} A.
\]
Por Corolario 1 (ii) y Nota 3 de §4,
\ [
\ int_ {B} h\ geq\ int_ {A} h
\]
para cualquiera de tales\(h .\) Por lo tanto

\ [\ overline {\ int_ {B}} f=\ inf _ {h}\ int_ {B} h\ leq\ inf _ {h}\ int_ {A} h=\ overline {\ int} _ {A} f.
\]
Similarmente para\(\underline{\int}\).
(g) Esto se deduce de\((\mathrm{c})\) y\(\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)\) ya\(\pm f \leq|f|\) implica

\ [\ overline {\ int} _ {A} |f|\ geq\ overline {\ int} _ {A} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} f
\]
y
\ [
\ overline {\ int_ {A}} |f|\ geq\ overline {\ int_ {A}} (-f)\ geq -\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq -\ overline {\ int_ {A}} f.\ cuadrado
\]
Para\((\mathrm{h})\) y trabajo posterior, necesitamos los siguientes lemmas.

Lema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f : S \rightarrow E^{*}\) y\(A \in \mathcal{M} .\) Entonces son ciertas las siguientes.
(i) Si
\ [
\ int_ {A} f<q\ en E^ {*},
\]
hay un mapa elemental y (extendido) real
\ [
h\ geq f\ text {on} A,
\]
con
\ [
\ int_ {A} h<q.
\]
(ii) Si
\ [
\ int_ {A} f>p\ en E^ {*},
\]
hay un mapa elemental y (extendido) real
\ [
g\ leq f\ text {on} A,
\]
con
\ [
\ int_ {A} g>p;
\]
además,\(g\) puede hacerse elemental y no negativo si está\(f \geq 0\) encendido\(A\).

Prueba

Si\(f \geq 0,\) esto es inmediato por la Definición 1 y las propiedades de glb y lub.
Si, sin embargo,\(f \ngeq 0,\) y si
\ [
q>\ int_ {A} f=\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayan {\ int_ {A}} f^ {-},
\]
nuestras convenciones rinden
\ [
\ infty>\ int_ {A} f^ {+}. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Así hay\(u, v \in E^{*}\) tales que\(q=u+v\) y
\ [
0\ leq\ int_ {A} f^ {+} <u<\ infty
\]
y
\ [
-\ int_ {A} f^ {-} <v.
\]
Para ver por qué esto es así, elige\(u\) tan cerca de\(\overline{\int}_{A} f^{+}\) eso
\ [
q-u>-\ subraye {\ int_ {A}} f^ {-}
\]
y establece\(v=q-u\).
Como el lema se mantiene para funciones positivas, encontramos mapas elementales y no negativos\(h^{\prime}\) y\(h^{\prime \prime},\) con
\ [
h^ {\ prime}\ geq f^ {+}, h^ {\ prime\ prime}\ leq f^ {-},
\]
\ [
\ int_ {A} h^ {\\ prime} <u-v<\ infty\ text {and}\ int_ {A} h^ {\ prime\ prime} >.
\]
Dejar\(h=h^{\prime}-h^{\prime \prime} .\) Entonces
\ [
h\ geq f^ {+} -f^ {-} =f,
\]
y por Problema 6 en §4,
\ [
\ int_ {A} h=\ int_ {A} h^ {\ prime} -\ int_ {A} h^ {\ prime\ prime}\ quad\ left (\ text {for}\ int_ {A} h^ {\ prime}\ text {es finito! }\ derecho).
\]
De ahí
que se pruebe en su totalidad
\ [\ int_ {A} h>u+v=q,
\]
y la cláusula (i).
La cláusula (ii) se desprende de (i) por el Teorema 1\(\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)\) si

\ [\ subrayan {\ int_ {A}} f<\ infty.
\]
(¡Verifica!) Para el caso\(\underline{\int_{A}} f=\infty,\) ver Problema\(3 . \square\)

Nota 3. El lema anterior muestra que las fórmulas\(\left(1^{\prime}\right)\) y\(\left(1^{\prime \prime}\right)\) hold (y podrían usarse como definiciones) incluso para el cambio de signo\(f, g,\) y\(h\).

Lema\(\PageIndex{2}\)

Si\(f : S \rightarrow E^{*}\) y\(A \in \mathcal{M},\) hay\(\mathcal{M}\) -mapas medibles\(g\) y\(h,\) con
\ [
g\ leq f\ leq h\ text {on} A,
\]
tal que
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {int_ {A}} h\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} g.
\]
Podemos tomar\(g, h \geq 0\) si\(f \geq 0\) en\(A\).

Prueba

Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ infty,
\]
el mapa constante\(h=\infty\) satisface la afirmación del teorema.
Si
\ [
-\ infty<\ overline {\ int_ {A}} f<\ infty,
\]
let
\ [
q_ {n} =\ overline {\ int_ {A}} f+\ frac {1} {n},\ quad n=1,2,\ ldots;
\]
so
\ [
q_ {n}\ fila derecha\ overline {\ int_ {A}} f<q_ {n}.
\]
Por Lema\(1,\) para cada uno\(n\) hay un mapa\(h_{n} \geq f\) elemental y (extendido) real (por lo tanto medible)\(A,\) con
\ [
q_ {n}\ geq\ int_ {A} h_ {n}\ geq\ overline {\ int_ {A}} f.
\]
Vamos
\ [
h=\ inf _ {n} h_ {n}\ geq f.
\]
Por Lema 1 en §2,\(h\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A .\) También,
\ [
(\ forall n)\ quad q_ {n} >\ int_ {A} h_ {n}\ geq\ overline { \ int_ {A}} h\ geq\ overline {\ int_ {A}} f
\]
por Teorema 1\((\mathrm{c}) .\) Por lo tanto

\ [\ overline {\ int_ {A}} f=\ lim _ {n\ rightarrow\ infty} q_ {n}\ geq\ overline {\ int_ {A}} h\ geq\ overline {\ int_ {A} f,
\]
así
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} h,
\]
según sea necesario.
Finalmente, si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=-\ infty,
\]
la misma prueba funciona con\(q_{n}=-n .\) (¡Verifica! \()\)
Del mismo modo, se encuentra un mapa medible\(g \leq f,\) con

\ [\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} g.\ cuadrado
\]

Prueba de Teorema 1 (h). Si\(f \geq 0,\) eliges\(h \geq f\) como en Lema\(2 .\) Vamos
\ [
D=A (h>0)\ text {y} A_ {n} =A\ left (h>\ frac {1} {n}\ right);
\]
así
\ [
D=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} A_ {n} (\ text {por qué}?)
\]
y\(D, A_{n} \in \mathcal{M}\) por el Teorema 1 de §2. Además,
\ [
0=\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} h\ geq\ int_ {A_ {n}}\ izquierda (\ frac {1} {n}\ derecha) =\ frac {1} {n} m A_ {n}\ geq 0.
\]
Así\((\forall n) m A_{n}=0 .\) pues
\ [
m d=M\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} A_ {n} =m A (h>0) =0;
\]
así\(0 \leq f \leq h \leq 0 (\text { i.e., } f=0)\) a.e. en\(A\).
El caso se\(f \leq 0\) reduce a\((-f) \geq 0\). \(\square\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} |f|<\ infty,
\]
entonces\(|f|<\infty\) a.e. on\(A,\) y\(A(f \neq 0)\) es\(\sigma\) -finito.

Prueba

Por Lema\(1,\) fijar un elemental y no negativo\(h \geq|f|\) con
\ [
\ int_ {A} h<\ infty
\]
(así\(h\) es elemental e integrable).
Ahora, por Corolario\(1(\mathrm{i})-(\text { iii })\) en §4, nuestras aseveraciones se aplican a\(h,\) por lo tanto ciertamente a\(f . \square\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

(aditividad). Dado\(f : S \rightarrow E^{*}\) y una\(\mathcal{M}\) -partición\(\mathcal{P}=\left\{B_{n}\right\}\) de\(A \in \mathcal{M},\) tenemos
\ [
\ text {(a)}\ overline {\ int} _ {A} f=\ sum_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f\ quad\ text {y}\ quad\ text {(b)}\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ sum_ {n}\ subrayado {\ int_ {B_ {n}}} f,
\]
siempre que
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ left (\ subrayado {\ int_ {A}} f,\ text {respectivamente}\ right)
\]
sea ortodoxo, o\(\mathcal{P}\) finito.
De ahí\(f\) que si es integrable en cada uno de finitamente muchos conjuntos M disjuntos\(B_{n},\) es así sucesivamente
\ [
A=\ bigcup_ {n} B_ {n},
\]
y\((2)(\mathrm{a})(\mathrm{b})\) se aplican fórmulas.

Prueba

Asumir primero\(f \geq 0\) en\(A .\) Entonces por Teorema\(1(\mathrm{f}),\) si uno de

\ [\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f=\ infty,
\]
así es\(\overline{\int}_{A} f,\) y todo es trivial. Así supongamos que todos\(\int_{B_{n}} f\) son finitos.
Entonces para cualquiera\(\varepsilon>0\) y\(n \in N,\) hay un mapa elemental y no negativo\(h_{n} \geq f\) encendido\(B_{n},\) con
\ [
\ int_ {B_ {n}} h_ {n} <\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f+\ frac {\ varepsilon} {2^ {n}}.
\]
(¿Por qué?) Ahora definir\(h : A \rightarrow E^{*}\) por\(h=h_{n}\) en\(B_{n}, n=1,2, \ldots\)
Claramente,\(h\) es elemental y no negativo en cada uno de\(B_{n},\) ahí en\(A\) (Corolario 3 en §1), y\(h \geq f\) en\(A .\) Así por Teorema 1 de §4,
\ [
\ overline {\ int} _ {A} f\ leq\ int_ {A} h=\ suma_ {n}\ int_ {B_ {n}} h_ {n}\ leq\ suma_ {n}\ izquierda (\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f+\ frac {\ varepsilon} {2^ {n}}\ derecha)\ leq\ sum_ {n} overlínea {\ int} _ {B_ {n}} f+\ varepsilon.
\]
Haciendo\(\varepsilon \rightarrow 0,\) obtenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ leq\ suma_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f.
\]
Para probar también
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ suma_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f,
\]
tomar cualquier mapa elemental y no negativo\(H \geq f\) en\(A .\) Luego otra vez,
\ [
\ int_ {A} H=\ suma_ {n}\ int_ {B_ {n}} H\ geq\ sum_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f.
\]
Como esto se mantiene para cualquiera de tales también\(H,\) tenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ inf _ {H}\ int_ {A} H\ geq\ sum_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f.
\]
Esto prueba la fórmula (a) para\(f \geq 0 .\) La prueba de\((\mathrm{b})\) es bastante similar.
Si\(f \ngeq 0,\) tenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-},
\]
donde por la primera parte de la prueba,
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+ } =\ suma_ {n}\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f^ {+}\ texto {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-} =\ suma_ {n}\ subrayado {\ int_ {B_ {n}}} f^ {-}.
\]
Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f
\]
es ortodoxo, una de estas sumas debe ser finita, por lo que su diferencia puede reorganizarse para dar
\ [
\ overline {\ int_ {A }} f=\ suma_ {n}\ izquierda (\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {B_ {n}}} f^ {-}\ derecha) =\ suma_ {n}\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f,
\]
probando (a). De igual manera para (b).
Este reordenamiento funciona también si\(\mathcal{P}\) es finito (es decir, las sumas tienen un número finito de términos\() .\) Para, entonces, todo se reduce a conmutatividad y asociatividad de adición, y nuestras convenciones\(\left(2^{*}\right)\) del Capítulo 4, §4. Así todo está probado. \(\square\)

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Si\(m Q=0 (Q \in \mathcal{M}),\) entonces para\(A \in \mathcal{M}\)
\ [
\ overline {\ int} _ {A-Q} f=\ overline {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A-Q}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]
Para por Teorema 2,
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A-Q}} f+\ overline {\ int_ {A\ cap Q}} f,
\]
donde
\ [
\ overline {\ int_ {A\ cap Q}} f=0
\]
por Teorema 1 (b).

Corolario\(\PageIndex{3}\)

Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ left (o r\ subrayado {\ int_ {A}} f\ right)
\]
es ortodoxo, así es
\ [
\ overline {\ int_ {X}} f\ left (\ subrayado {\ int_ {X}} f\ derecho)
\]
siempre que sea\(A \supseteq X, X \in \mathcal{M}\).
Porque si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+},\ overline {\ int_ {A}} f^ {-},\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {+},\ text {o}\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ text {es finito,}
\]
permanece así también cuando\(A\) se reduce a\(X\) (ver Teorema 1\((\mathrm{f})\). De ahí que la ortodoxia siga por fórmula\((1)\).
Nota 4. Dado\(f : S \rightarrow E^{*},\) podemos definir dos funciones de conjunto aditivas (por Teorema 2)\(\overline{s}\) y\(\underline{s}\) configurando para\(X \in \mathcal{M}\)

\ [\ overline {s} X=\ overline {\ int_ {X}} f\ text {y}\ subrayado {s} X=\ subrayado {\ int_ {X}} f.
\]
Se llaman, respectivamente, las integrales indefinidas superior e inferior de\(f,\) también denotadas por
\ [
\ overline {\ int} f\ text {y}\ subrayado {\ int} f
\]
\(\left(\text { or } \overline{s}_{f} \text { and } \underline{s}_{f}\right)\).
Por Teorema 2 y Corolario\(3,\) si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f
\]
es ortodoxo, entonces\(\overline{s}\) es\(\sigma\) -aditivo (y semifinito) cuando se restringe a\(\mathcal{M}\) -conjuntos\(X \subseteq A .\) También
\ [
\ overline {s}\ emptyset=\ subrayado {s}\ emptyset=0
\]
por el Teorema 1 (b).
Dichas funciones de conjunto se denominan medidas firmadas (ver Capítulo 7, §11). En particular, si están\(f \geq 0\)\(S, \overline{s}\) encendidos y\(\underline{s}\) son\(\sigma\) -aditivos y no negativos en todas las medidas de\(\mathcal{M},\) ahí sobre\(\mathcal{M}\).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Si\(f : S \rightarrow E^{*}\) es m medible (Definición 2 en §3) en\(A,\) entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f =\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]

Prueba

Primero, vamos\(f \geq 0\)\(A .\) Por Corolario\(2,\) podemos suponer que\(f\) es\(\mathcal{M}\) -medible en\(A\) (dejar caer un conjunto de medida cero). Ahora arregla\(\varepsilon>0\).
Dejar\(A_{0}=A(f=0), A_{\infty}=A(f=\infty),\) y
\ [
A_ {n} =A\ izquierda ((1+\ varepsilon) ^ {n}\ leq f< (1+\ varepsilon) ^ {n+1}\ derecha),\ quad n=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots
\]
Claramente, estos son\(\mathcal{M}\) conjuntos disjuntos (Teorema 1 de §2), y
\ [
A=A_ {0}\ copa A_ {\ infty}\ copa\ bigcup_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} A_ {n}.
\]
Así, configurando
\ [
g=\ left\ {\ begin {array} {ll} {0} & {\ text {on} A_ {0}}\\ {\ infty} & {\ text {on} A_ {\ infty},\ text {y}}\\ {(1+\ varepsilon) ^ {n}} & {\ text {on} A_ {n} (n=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots)}\ end {array}\ right.
\]
y
\(h=(1+\varepsilon) g\) sucesivamente\(A\),
obtenemos dos mapas elementales y no negativos, con
\ [
g\ leq f\ leq h\ text {on} A. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Por la Nota 1,
\ [
\ subrayar {\ int_ {A}} g =\ overline {\ int_ {A}} g.
\]
Ahora bien, si\(\int_{A} g=\infty,\) entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ int_ {A} g
\]
rinde
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ infty.
\]
Si, sin embargo,\(\int_{A} g<\infty,\) entonces
\ [
\ int_ {A} h=\ int_ {A} (1+\ varepsilon) g =( 1+\ varepsilon)\ int_ {A} g<\ infty;
\]
así\(g\) y\(h\) son elementales e integrables en\(A .\) Así por Teorema 2 (ii) en §4,
\ [
\ int_ {A} h-\ int_ {A} g=\ int_ {A} (h-g) =\ int_ {A} ((1+\ varepsilon) g-g) =\ varepsilon\ int_ {A} g.
\]
Además,\(g \leq f \leq h\) implica
\ [
\ int_ {A} g\ leq\ underlínea {\ int_ {A} } f\ leq\ overline {\ int_ {A}} f\ leq\ int_ {A} h;
\]
so
\ [
\ izquierda|\ overline {\ int} _ {A} f-\ subrayado {\ int_ {A}} f\ derecha|\ leq\ int_ {A} h-\ int_ {A} g\ leq\ varepsilon\ int_ _ {A} g.
\]
Como\(\varepsilon\) es arbitrario, todo está probado para\(f \geq 0\).
El caso\(f \ngeq 0\) ahora sigue por la fórmula (1), ya que\(f^{+}\) y\(f^{-}\) son\(\mathcal{M}-\) medibles (Teorema 2 en §2). \(\square\)