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# 8.5: Integración de Funciones Reales Extendidas

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

Ahora definiremos integrales para funciones arbitrarias$$f : S \rightarrow E^{*}$$ en un
espacio de medidas$$(S, \mathcal{M}, m) .$$ Comenzamos con el caso$$f \geq 0$$.

## Definición

Dado$$f \geq 0$$ en$$A \in \mathcal{M},$$ definimos las integrales superior e inferior,
\ [
\ overline {\ int}\ text {y}\ subrayado {\ int},
\]
de$$f$$ on$$A$$ (con respecto a$$m )$$ by
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} f d m=\ inf _ {h}\ int_ {A} h
\]
sobre todos los mapas elementales$$h \geq f$$ en$$A,$$ y
\ [
\ int_ {-A} f=\ int_ {-A} f d m=\ sup _ {g}\ int_ {A} g
\]
sobre todos los mapas elementales y no negativos$$g \leq f$$ en $$A$$.
Si no$$f$$ es no negativo, usamos$$f^{+}=f \vee 0$$ y$$f^{-}=(-f) \vee 0$$ (§2), y establecemos
\ [
\ begin {array} [c]\ overline {\ int_ {A}} f &=\ overline {\ int_ {A}} f dm =\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ text {y}\\ subrayado {\ int_ {A}} f &=\ subrayado {\ int_ {A}} f dm =\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {+} -\ overline {\ int_ {A}} f^ {-}. \ end {matriz}

\]
Por nuestras convenciones, estas expresiones siempre están definidas. La integral$$\overline{\int}_{A} f\left(\text { or } \int_{-A} f\right)$$ se llama ortodoxa iff no tiene la forma$$\infty-\infty$$ en (1), e.g.,$$\overline{\text { if }} f \geq 0$$ (es decir,$$f^{-}=0 ),$$ o si$$\int_{A} f<\infty .$$ Una integral no ortodoxa es igual$$+\infty .$$
A menudo escribimos$$\int$$ para$$\overline{\int}$$ y la llamamos simplemente la integral (de$$f ),$$ incluso si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ neq\ int_ {A} f.
\] La notación
“clásica” es$$\int_{A} f(x) d m(x)$$.

## Definición

La función$$f$$ se denomina integrable (o$$m$$ -integrable, o Lebesgue integrable, con respecto a$$m )$$ on$$A,$$ iff
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f d m=\ int_ {A} f d m\ neq\ pm\ infty
\]

El proceso descrito anteriormente se denomina integración (abstracta) de Lebesgue en oposición a la integración de Riemann (B. Riemann, 1826-1866). Este último trata solo con funciones delimitadas y permite$$h$$ y$$g$$ en$$\left(1^{\prime}\right)$$ y$$\left(1^{\prime \prime}\right)$$ ser funciones simples de paso solamente (ver §9). Es inferior a la teoría de Lebesgue.
Los valores de
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f d m\ text {y}\ subrayan {\ int_ {A}} f d m
\]
dependen de$$m .$$ Si$$m$$ es medida Lebesgue, hablamos de integrales de Lebesgue, en el sentido más estricto. Si$$m$$ es Lebesgue-Stieltjes medida, hablamos de$$L S$$ -integrales, y así sucesivamente.
Nota 1. Si$$f$$ es elemental y (extendido) real, nuestra definición actual de
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f
\]
concuerda con la de §4. Porque si$$f \geq 0, f$$ en sí es la menor de todas las funciones elementales y no negativas
\ [
h\ geq f
\]
y la mayor de todas las funciones elementales y no negativas
\ [
g\ leq f.
\]
Así por Problema 5 en §4,
\ [
\ int_ {A} f=\ min _ {h\ geq f}\ int_ {A} h=\ max _ {g\ leq f}\ int_ {A} g,
\]
es decir,
\ [
\ int_ {A} f=\ overline {\ int} _ _ {A} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f.

Si, sin embargo,$$f \ngeq 0,$$ esto sigue por la Definición 2 en §4. Esto también muestra que para mapas elementales y (extendidos) reales,

\ [\ overline {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f\ text {always.}
\]
(Véase también Teorema 3.)
Nota 2. Por Definición 1,
\ [
\ subrayar {\ int_ {A}} f\ leq\ overline {\ int_ {A}} f\ text {siempre.}
\]
Para si$$f \geq 0,$$ entonces para cualquier mapa elemental y no negativo$$g, h$$ con
\ [
g\ leq f\ leq h,
\]
tenemos
\ [
\ int_ {A} g\ leq\ int_ {A} h
\]
por Problema 5 en §4. Así
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ sup _ {g}\ int_ {A} g
\]
es un límite inferior de todos esos$$\int_{A} h,$$ y así
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f\ leq\ operatorname {glb}\ int_ {A} h=\ overline {\ int} _ {A} f.
\]
En la fórmula general$$(1),$$ también
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f\ leq\ overline {\ int_ {A}} f,
\]
desde
\ [
\ int_ {-A} f^ {+}\ leq\ overline {\ int} _ {A} f^ {+}\ text {y}\ int_ {-A} f^ {-}\ leq\ overline J {} _ {A} f^ {-}.
\]

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Para cualquier función$$f, g : S \rightarrow E^{*}$$ y cualquier conjunto$$A \in \mathcal{M},$$ tenemos los siguientes resultados.
(a) Si$$f=a(\text {constant})$$ en$$A,$$ entonces
$$\overline{\int_{A}} f= \underline{\int_{A}} f=a \cdot m A$$.
(b) Si$$f=0$$ en$$A$$ o$$m A=0,$$ entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f=0.
\]
(c) Si está$$f \geq g$$ encendido$$A,$$ entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ overline {\ int} _ {A} g\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} g.
\]
(d) Si está$$f \geq 0$$ encendido$$A,$$ entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq 0\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq 0.
\]
Del mismo modo si está$$f \leq 0$$ encendido$$A$$.
(e) Si$$0 \leq p < \infty,$$ entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} p f=p\ overline {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} p f=p\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]
(e') Tenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} (-f) =\ subrayado {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayan {\ int_ {A}} (-f) =-\ overline {\ int_ {A}} f
\]
si una de las integrales involucradas en cada caso es ortodoxa. De lo contrario,

\ [\ overline {\ int_ {A}} (-f) =\ infty=\ subrayado {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} (-f) =\ infty=\ overline {\ int_ {A}} f.
\]
(f) Si está$$f \geq 0$$ encendido$$A$$ y
\ [
A\ supseteq B, B\ en\ mathcal {M},
\]
entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ overline {\ int_ {B}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {B}} f.
\]
(g) Tenemos
\ [
\ izquierda|\ overline {\ int} _ {A} f\ derecha|\ leq\ overline {\ int} _ {A} |f|\ text {y}\ izquierda|\ subrayado {\ int_ {A}} f\ derecha|\ leq\ overline {\ int_ {A}} |f|
\]
(pero no
\ [
\ izquierda|\ subrayado {\ int_ {A}} f\ derecha|\ leq\ subrayado {\ int_ {A} |f|
\]
en general).
(h) Si está$$f \geq 0$$ encendido$$A$$ y$$\overline{\int_{A}} f=0$$ (o$$f \leq 0$$ y$$\underline{\int_{A}} f=0 ),$$ luego$$f=0$$ a.e. on$$A$$.

Prueba

Demostramos sólo algo de lo anterior, dejando el resto al lector.
(a) Esto siguiendo por el Corolario 1 (iv) en §4.
b) Uso (a) y Corolario 1 (v) en §4.
(c) Primero, vamos a
\ [
f\ geq g\ geq 0\ text {on} A.
\]
Tome cualquier mapa elemental y no negativo$$H \geq f$$ en$$A .$$ Entonces también;$$H \geq g$$ así por definición,
\ [
\ overline { \ int_ {A}} g=\ inf _ {h\ geq g}\ int_ {A} h\ leq\ int_ {A} H.
\]
Así
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ leq\ int_ {A} H
\]
para cualquier tal$$H .$$ De ahí también
\ [
\ overline {\ int} _ {A} g\ leq\ inf _ {H\ geq f}\ int_ {A} H=\ overline {\ int} _ {A} f.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} g
\]
if$$f \geq g \geq 0$$.
En el caso general,$$f \geq g$$ implica
\ [
f^ {+}\ geq g^ {+}\ text {y} f^ {-}\ leq g^ {-}. \ text {(¿Por qué?) }
\]
Así por lo que se demostró anteriormente,
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+}\ geq\ overline {\ int_ {A}} g^ {+}\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ leq\ subrayado {\ int_ {A}} g^ {-}.
\]
De ahí
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ geq\ overline {\ int_ {A}} g^ {+} -\ subrayado {\ int_ {-A}} g^ {-};
\]
es decir,
\ [\ overline {\ int_ {A}}\ q\ overline { \ int_ {A}} g.
\]
Del mismo modo, se obtiene
\ [
] subrayado {\ int {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} g.
\]
(d) Es claro que (c) implica (d).
(e) Dejar$$0 \leq p<\infty$$ y suponer$$f \geq 0$$ en$$A .$$ Tomar cualquier mapa elemental y no negativo
\ [
h\ geq f\ text {on} A.
\]
Por Corolario 1 (vii) y Nota 3 de §4,
\ [
\ int_ {A} p h=p\ int_ {A} h
\]
para cualquiera de tales$$h .$$ Por lo tanto

\ [\ overline {\ int_ {A}} p f =\ inf _ {h}\ int_ {A} p h=\ inf _ {h} p\ int_ {A} h=p\ overline {\ int_ {A}} f.
\]
Del mismo modo,
\ [
\ subrayado {\ int_ {A}} p f=p\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]
El caso general se reduce al caso$$f \geq 0$$ por fórmula$$(1)$$.
(e') La aserción se$$\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)$$ desprende$$(1)$$ desde que
\ [
(-f) ^ {+} =f^ {-},\ quad (-f) ^ {-} =f^ {+},
\]
y$$-(x-y)=y-x$$ si$$x-y$$ es ortodoxo. (¿Por qué?)
(f) Tomar cualquier mapa elemental y no negativo
\ [
h\ geq f\ geq 0\ text {on} A.
\]
Por Corolario 1 (ii) y Nota 3 de §4,
\ [
\ int_ {B} h\ geq\ int_ {A} h
\]
para cualquiera de tales$$h .$$ Por lo tanto

\ [\ overline {\ int_ {B}} f=\ inf _ {h}\ int_ {B} h\ leq\ inf _ {h}\ int_ {A} h=\ overline {\ int} _ {A} f.
\]
Similarmente para$$\underline{\int}$$.
(g) Esto se deduce de$$(\mathrm{c})$$ y$$\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)$$ ya$$\pm f \leq|f|$$ implica

\ [\ overline {\ int} _ {A} |f|\ geq\ overline {\ int} _ {A} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} f
\]
y
\ [
\ overline {\ int_ {A}} |f|\ geq\ overline {\ int_ {A}} (-f)\ geq -\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq -\ overline {\ int_ {A}} f.\ cuadrado
\]
Para$$(\mathrm{h})$$ y trabajo posterior, necesitamos los siguientes lemmas.

## Lema$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f : S \rightarrow E^{*}$$ y$$A \in \mathcal{M} .$$ Entonces son ciertas las siguientes.
(i) Si
\ [
\ int_ {A} f<q\ en E^ {*},
\]
hay un mapa elemental y (extendido) real
\ [
h\ geq f\ text {on} A,
\]
con
\ [
\ int_ {A} h<q.
\]
(ii) Si
\ [
\ int_ {A} f>p\ en E^ {*},
\]
hay un mapa elemental y (extendido) real
\ [
g\ leq f\ text {on} A,
\]
con
\ [
\ int_ {A} g>p;
\]
además,$$g$$ puede hacerse elemental y no negativo si está$$f \geq 0$$ encendido$$A$$.

Prueba

Si$$f \geq 0,$$ esto es inmediato por la Definición 1 y las propiedades de glb y lub.
Si, sin embargo,$$f \ngeq 0,$$ y si
\ [
q>\ int_ {A} f=\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayan {\ int_ {A}} f^ {-},
\]
nuestras convenciones rinden
\ [
\ infty>\ int_ {A} f^ {+}. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Así hay$$u, v \in E^{*}$$ tales que$$q=u+v$$ y
\ [
0\ leq\ int_ {A} f^ {+} <u<\ infty
\]
y
\ [
-\ int_ {A} f^ {-} <v.
\]
Para ver por qué esto es así, elige$$u$$ tan cerca de$$\overline{\int}_{A} f^{+}$$ eso
\ [
q-u>-\ subraye {\ int_ {A}} f^ {-}
\]
y establece$$v=q-u$$.
Como el lema se mantiene para funciones positivas, encontramos mapas elementales y no negativos$$h^{\prime}$$ y$$h^{\prime \prime},$$ con
\ [
h^ {\ prime}\ geq f^ {+}, h^ {\ prime\ prime}\ leq f^ {-},
\]
\ [
\ int_ {A} h^ {\\ prime} <u-v<\ infty\ text {and}\ int_ {A} h^ {\ prime\ prime} >.
\]
Dejar$$h=h^{\prime}-h^{\prime \prime} .$$ Entonces
\ [
h\ geq f^ {+} -f^ {-} =f,
\]
y por Problema 6 en §4,
\ [
\ int_ {A} h=\ int_ {A} h^ {\ prime} -\ int_ {A} h^ {\ prime\ prime}\ quad\ left (\ text {for}\ int_ {A} h^ {\ prime}\ text {es finito! }\ derecho).
\]
De ahí
que se pruebe en su totalidad
\ [\ int_ {A} h>u+v=q,
\]
y la cláusula (i).
La cláusula (ii) se desprende de (i) por el Teorema 1$$\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)$$ si

\ [\ subrayan {\ int_ {A}} f<\ infty.
\]
(¡Verifica!) Para el caso$$\underline{\int_{A}} f=\infty,$$ ver Problema$$3 . \square$$

Nota 3. El lema anterior muestra que las fórmulas$$\left(1^{\prime}\right)$$ y$$\left(1^{\prime \prime}\right)$$ hold (y podrían usarse como definiciones) incluso para el cambio de signo$$f, g,$$ y$$h$$.

## Lema$$\PageIndex{2}$$

Si$$f : S \rightarrow E^{*}$$ y$$A \in \mathcal{M},$$ hay$$\mathcal{M}$$ -mapas medibles$$g$$ y$$h,$$ con
\ [
g\ leq f\ leq h\ text {on} A,
\]
tal que
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {int_ {A}} h\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} g.
\]
Podemos tomar$$g, h \geq 0$$ si$$f \geq 0$$ en$$A$$.

Prueba

Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ infty,
\]
el mapa constante$$h=\infty$$ satisface la afirmación del teorema.
Si
\ [
-\ infty<\ overline {\ int_ {A}} f<\ infty,
\]
let
\ [
q_ {n} =\ overline {\ int_ {A}} f+\ frac {1} {n},\ quad n=1,2,\ ldots;
\]
so
\ [
q_ {n}\ fila derecha\ overline {\ int_ {A}} f<q_ {n}.
\]
Por Lema$$1,$$ para cada uno$$n$$ hay un mapa$$h_{n} \geq f$$ elemental y (extendido) real (por lo tanto medible)$$A,$$ con
\ [
q_ {n}\ geq\ int_ {A} h_ {n}\ geq\ overline {\ int_ {A}} f.
\]
Vamos
\ [
h=\ inf _ {n} h_ {n}\ geq f.
\]
Por Lema 1 en §2,$$h$$ es$$\mathcal{M}$$ -medible en$$A .$$ También,
\ [
(\ forall n)\ quad q_ {n} >\ int_ {A} h_ {n}\ geq\ overline { \ int_ {A}} h\ geq\ overline {\ int_ {A}} f
\]
por Teorema 1$$(\mathrm{c}) .$$ Por lo tanto

\ [\ overline {\ int_ {A}} f=\ lim _ {n\ rightarrow\ infty} q_ {n}\ geq\ overline {\ int_ {A}} h\ geq\ overline {\ int_ {A} f,
\]
así
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} h,
\]
según sea necesario.
Finalmente, si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=-\ infty,
\]
la misma prueba funciona con$$q_{n}=-n .$$ (¡Verifica! $$)$$
Del mismo modo, se encuentra un mapa medible$$g \leq f,$$ con

\]

Prueba de Teorema 1 (h). Si$$f \geq 0,$$ eliges$$h \geq f$$ como en Lema$$2 .$$ Vamos
\ [
D=A (h>0)\ text {y} A_ {n} =A\ left (h>\ frac {1} {n}\ right);
\]
así
\ [
D=\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} A_ {n} (\ text {por qué}?)
\]
y$$D, A_{n} \in \mathcal{M}$$ por el Teorema 1 de §2. Además,
\ [
0=\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} h\ geq\ int_ {A_ {n}}\ izquierda (\ frac {1} {n}\ derecha) =\ frac {1} {n} m A_ {n}\ geq 0.
\]
Así$$(\forall n) m A_{n}=0 .$$ pues
\ [
m d=M\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} A_ {n} =m A (h>0) =0;
\]
así$$0 \leq f \leq h \leq 0 (\text { i.e., } f=0)$$ a.e. en$$A$$.
El caso se$$f \leq 0$$ reduce a$$(-f) \geq 0$$. $$\square$$

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} |f|<\ infty,
\]
entonces$$|f|<\infty$$ a.e. on$$A,$$ y$$A(f \neq 0)$$ es$$\sigma$$ -finito.

Prueba

Por Lema$$1,$$ fijar un elemental y no negativo$$h \geq|f|$$ con
\ [
\ int_ {A} h<\ infty
\]
(así$$h$$ es elemental e integrable).
Ahora, por Corolario$$1(\mathrm{i})-(\text { iii })$$ en §4, nuestras aseveraciones se aplican a$$h,$$ por lo tanto ciertamente a$$f . \square$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

(aditividad). Dado$$f : S \rightarrow E^{*}$$ y una$$\mathcal{M}$$ -partición$$\mathcal{P}=\left\{B_{n}\right\}$$ de$$A \in \mathcal{M},$$ tenemos
\ [
\ text {(a)}\ overline {\ int} _ {A} f=\ sum_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f\ quad\ text {y}\ quad\ text {(b)}\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ sum_ {n}\ subrayado {\ int_ {B_ {n}}} f,
\]
siempre que
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ left (\ subrayado {\ int_ {A}} f,\ text {respectivamente}\ right)
\]
sea ortodoxo, o$$\mathcal{P}$$ finito.
De ahí$$f$$ que si es integrable en cada uno de finitamente muchos conjuntos M disjuntos$$B_{n},$$ es así sucesivamente
\ [
A=\ bigcup_ {n} B_ {n},
\]
y$$(2)(\mathrm{a})(\mathrm{b})$$ se aplican fórmulas.

Prueba

Asumir primero$$f \geq 0$$ en$$A .$$ Entonces por Teorema$$1(\mathrm{f}),$$ si uno de

\ [\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f=\ infty,
\]
así es$$\overline{\int}_{A} f,$$ y todo es trivial. Así supongamos que todos$$\int_{B_{n}} f$$ son finitos.
Entonces para cualquiera$$\varepsilon>0$$ y$$n \in N,$$ hay un mapa elemental y no negativo$$h_{n} \geq f$$ encendido$$B_{n},$$ con
\ [
\ int_ {B_ {n}} h_ {n} <\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f+\ frac {\ varepsilon} {2^ {n}}.
\]
(¿Por qué?) Ahora definir$$h : A \rightarrow E^{*}$$ por$$h=h_{n}$$ en$$B_{n}, n=1,2, \ldots$$
Claramente,$$h$$ es elemental y no negativo en cada uno de$$B_{n},$$ ahí en$$A$$ (Corolario 3 en §1), y$$h \geq f$$ en$$A .$$ Así por Teorema 1 de §4,
\ [
\ overline {\ int} _ {A} f\ leq\ int_ {A} h=\ suma_ {n}\ int_ {B_ {n}} h_ {n}\ leq\ suma_ {n}\ izquierda (\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f+\ frac {\ varepsilon} {2^ {n}}\ derecha)\ leq\ sum_ {n} overlínea {\ int} _ {B_ {n}} f+\ varepsilon.
\]
Haciendo$$\varepsilon \rightarrow 0,$$ obtenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ leq\ suma_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f.
\]
Para probar también
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ suma_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f,
\]
tomar cualquier mapa elemental y no negativo$$H \geq f$$ en$$A .$$ Luego otra vez,
\ [
\ int_ {A} H=\ suma_ {n}\ int_ {B_ {n}} H\ geq\ sum_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f.
\]
Como esto se mantiene para cualquiera de tales también$$H,$$ tenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ inf _ {H}\ int_ {A} H\ geq\ sum_ {n}\ overline {\ int} _ {B_ {n}} f.
\]
Esto prueba la fórmula (a) para$$f \geq 0 .$$ La prueba de$$(\mathrm{b})$$ es bastante similar.
Si$$f \ngeq 0,$$ tenemos
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-},
\]
donde por la primera parte de la prueba,
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+ } =\ suma_ {n}\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f^ {+}\ texto {y}\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-} =\ suma_ {n}\ subrayado {\ int_ {B_ {n}}} f^ {-}.
\]
Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f
\]
es ortodoxo, una de estas sumas debe ser finita, por lo que su diferencia puede reorganizarse para dar
\ [
\ overline {\ int_ {A }} f=\ suma_ {n}\ izquierda (\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f^ {+} -\ subrayado {\ int_ {B_ {n}}} f^ {-}\ derecha) =\ suma_ {n}\ overline {\ int_ {B_ {n}}} f,
\]
probando (a). De igual manera para (b).
Este reordenamiento funciona también si$$\mathcal{P}$$ es finito (es decir, las sumas tienen un número finito de términos$$) .$$ Para, entonces, todo se reduce a conmutatividad y asociatividad de adición, y nuestras convenciones$$\left(2^{*}\right)$$ del Capítulo 4, §4. Así todo está probado. $$\square$$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Si$$m Q=0 (Q \in \mathcal{M}),$$ entonces para$$A \in \mathcal{M}$$
\ [
\ overline {\ int} _ {A-Q} f=\ overline {\ int_ {A}} f\ text {y}\ subrayado {\ int_ {A-Q}} f=\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]
Para por Teorema 2,
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f=\ overline {\ int_ {A-Q}} f+\ overline {\ int_ {A\ cap Q}} f,
\]
donde
\ [
\ overline {\ int_ {A\ cap Q}} f=0
\]
por Teorema 1 (b).

## Corolario$$\PageIndex{3}$$

Si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ left (o r\ subrayado {\ int_ {A}} f\ right)
\]
es ortodoxo, así es
\ [
\ overline {\ int_ {X}} f\ left (\ subrayado {\ int_ {X}} f\ derecho)
\]
siempre que sea$$A \supseteq X, X \in \mathcal{M}$$.
Porque si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f^ {+},\ overline {\ int_ {A}} f^ {-},\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {+},\ text {o}\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {-}\ text {es finito,}
\]
permanece así también cuando$$A$$ se reduce a$$X$$ (ver Teorema 1$$(\mathrm{f})$$. De ahí que la ortodoxia siga por fórmula$$(1)$$.
Nota 4. Dado$$f : S \rightarrow E^{*},$$ podemos definir dos funciones de conjunto aditivas (por Teorema 2)$$\overline{s}$$ y$$\underline{s}$$ configurando para$$X \in \mathcal{M}$$

\ [\ overline {s} X=\ overline {\ int_ {X}} f\ text {y}\ subrayado {s} X=\ subrayado {\ int_ {X}} f.
\]
Se llaman, respectivamente, las integrales indefinidas superior e inferior de$$f,$$ también denotadas por
\ [
\ overline {\ int} f\ text {y}\ subrayado {\ int} f
\]
$$\left(\text { or } \overline{s}_{f} \text { and } \underline{s}_{f}\right)$$.
Por Teorema 2 y Corolario$$3,$$ si
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f
\]
es ortodoxo, entonces$$\overline{s}$$ es$$\sigma$$ -aditivo (y semifinito) cuando se restringe a$$\mathcal{M}$$ -conjuntos$$X \subseteq A .$$ También
\ [
\ overline {s}\ emptyset=\ subrayado {s}\ emptyset=0
\]
por el Teorema 1 (b).
Dichas funciones de conjunto se denominan medidas firmadas (ver Capítulo 7, §11). En particular, si están$$f \geq 0$$$$S, \overline{s}$$ encendidos y$$\underline{s}$$ son$$\sigma$$ -aditivos y no negativos en todas las medidas de$$\mathcal{M},$$ ahí sobre$$\mathcal{M}$$.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Si$$f : S \rightarrow E^{*}$$ es m medible (Definición 2 en §3) en$$A,$$ entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f =\ subrayado {\ int_ {A}} f.
\]

Prueba

Primero, vamos$$f \geq 0$$$$A .$$ Por Corolario$$2,$$ podemos suponer que$$f$$ es$$\mathcal{M}$$ -medible en$$A$$ (dejar caer un conjunto de medida cero). Ahora arregla$$\varepsilon>0$$.
Dejar$$A_{0}=A(f=0), A_{\infty}=A(f=\infty),$$ y
\ [
A_ {n} =A\ izquierda ((1+\ varepsilon) ^ {n}\ leq f< (1+\ varepsilon) ^ {n+1}\ derecha),\ quad n=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots
\]
Claramente, estos son$$\mathcal{M}$$ conjuntos disjuntos (Teorema 1 de §2), y
\ [
A=A_ {0}\ copa A_ {\ infty}\ copa\ bigcup_ {n=-\ infty} ^ {\ infty} A_ {n}.
\]
Así, configurando
\ [
g=\ left\ {\ begin {array} {ll} {0} & {\ text {on} A_ {0}}\\ {\ infty} & {\ text {on} A_ {\ infty},\ text {y}}\\ {(1+\ varepsilon) ^ {n}} & {\ text {on} A_ {n} (n=0,\ pm 1,\ pm 2,\ ldots)}\ end {array}\ right.
\]
y
$$h=(1+\varepsilon) g$$ sucesivamente$$A$$,
obtenemos dos mapas elementales y no negativos, con
\ [
g\ leq f\ leq h\ text {on} A. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Por la Nota 1,
\ [
\ subrayar {\ int_ {A}} g =\ overline {\ int_ {A}} g.
\]
Ahora bien, si$$\int_{A} g=\infty,$$ entonces
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} f\ geq\ int_ {A} g
\]
rinde
\ [
\ overline {\ int_ {A}} f\ geq\ subrayado {\ int_ {A}} f=\ infty.
\]
Si, sin embargo,$$\int_{A} g<\infty,$$ entonces
\ [
\ int_ {A} h=\ int_ {A} (1+\ varepsilon) g =( 1+\ varepsilon)\ int_ {A} g<\ infty;
\]
así$$g$$ y$$h$$ son elementales e integrables en$$A .$$ Así por Teorema 2 (ii) en §4,
\ [
\ int_ {A} h-\ int_ {A} g=\ int_ {A} (h-g) =\ int_ {A} ((1+\ varepsilon) g-g) =\ varepsilon\ int_ {A} g.
\]
Además,$$g \leq f \leq h$$ implica
\ [
\ int_ {A} g\ leq\ underlínea {\ int_ {A} } f\ leq\ overline {\ int_ {A}} f\ leq\ int_ {A} h;
\]
so
\ [
\ izquierda|\ overline {\ int} _ {A} f-\ subrayado {\ int_ {A}} f\ derecha|\ leq\ int_ {A} h-\ int_ {A} g\ leq\ varepsilon\ int_ _ {A} g.
\]
Como$$\varepsilon$$ es arbitrario, todo está probado para$$f \geq 0$$.
El caso$$f \ngeq 0$$ ahora sigue por la fórmula (1), ya que$$f^{+}$$ y$$f^{-}$$ son$$\mathcal{M}-$$ medibles (Teorema 2 en §2). $$\square$$

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