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8.5.E: Problemas en la Integración de Funciones Reales Extendidas

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Usando las fórmulas en (1) y nuestras convenciones, verificar que
    (i)\(\overline{\int}_{A} f=+\infty\) iff\(\overline{\int}_{A} f^{+}=\infty\);
    (ii)\(\underline{\int}_{A} f=\infty\) iff\(\underline{\int}_{A} f^{+}=\infty ;\) y
    (iii)\(\overline{f}_{A} f=-\infty\) iff\(\underline{\int}_{A} f^{-}=\infty\) y\(\overline{\int}_{A} f^{+}<\infty\).
    (iv) Derivar una condición similar a (iii) para\(\underline{\int}_{A} f=-\infty\).
    v) Revisión Problema 6 del Capítulo 4, §4.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Rellene los datos de prueba faltantes en Teoremas 1 a 3 y Lemmas 1 y 2.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que si\(\underline{\int_{A}} f=\infty,\) hay un mapa elemental y (extendido) real\(g \leq f\) en\(A,\) con\(\int_{A} g=\infty\).
    [Esquema: Por Problema\(1,\) tenemos
    \ [
    \ subrayado {\ int_ {A}} f^ {+} =\ infty.
    \]
    Como Lemmas 1 y 2 seguramente se mantienen para funciones no negativas, arregla una medible\(F \leq f^{+}\)\((F \geq 0),\) con

    \ [\ int_ {A} F=\ subrayado {\ int_ {A}} f^ {+} =\ infty.
    \]
    Argumentando como en Teorema\(3,\) encontramos un mapa elemental y no negativo\(g \leq F,\) con
    \ [
    (1+\ varepsilon)\ int_ {A} g=\ int_ {A} F=\ infty;
    \]
    así\(\int_{A} g=\infty\) y\(0 \leq g \leq F \leq f^{+}\) sucesivamente\(A\).
    Vamos
    \ [
    A_ {+} =A (F>0)\ in\ mathcal {M}
    \]
    y
    \ [
    A_ {0} =A (F=0)\ in\ mathcal {M}
    \]
    (Teorema 1 en §2). On\(A_{+},\)
    \ [
    g\ leq F\ leq f^ {+} =f (\ text {¿por qué? }),
    \]
    mientras está encendido\(A_{0}, g=F=0 ;\) así
    \ [
    \ int_ {A_ {+}} g=\ int_ {A} g=\ infty (\ mathrm {por qué}?) .
    \]
    Ahora redefine\(g=-\infty\) on\(A_{0}\) (solo). Mostrar que\(g\) es entonces la función requerida.]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Para cualquier\(f: S \rightarrow E^{*},\) prueba lo siguiente.
    (a) Si\(\overline{\int}_{A} f<\infty,\) entonces\(f<\infty\) a.e. on\(A\).
    (b) Si\(\underline{\int_{A}} f\) es ortodoxo y\(>-\infty,\) luego\(f>-\infty\) a.e. on\(A\).
    [Pista: Utilice el Problema 1 y aplique el Corolario 1 para\(f^{+} ;\) así probar (a). Entonces para (b), use el Teorema 1 (e').]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(\Rightarrow 5\). Para cualquier\(f, g: S \rightarrow E^{*},\) prueba que
    (i)\(\overline{\int}_{A} f+\overline{\int}_{A} g \geq \overline{\int}_{A}(f+g),\) y
    (ii)\(\underline{\int}_{A}(f+g) \geq \underline{\int}_{A} f+\underline{\int}_{A} g \quad\) si\(\left|\underline{\int}_{A} g\right|<\infty\).
    [Pista: Supongamos que

    \ [\ overline {\ int} _ {A} f+\ overline {\ int} _ {A} g<\ overline {\ int} _ {A} (f+g).
    \]
    Luego están los números
    \ [
    u>\ overline {\ int} _ {A} f\ text {y} v>\ overline {\ int} _ {A} g,
    \]
    con
    \ [
    u+v\ leq
    overline {\ int} _ {A} (f+g).
    \]
    (¿Por qué?) Así Lema 1 produce mapas elementales y (extendidos) reales\(F \geq f\) y\(G \geq g\) tales que
    \ [
    u>\ overline {\ int} _ {A} F\ text {y} v>\ overline {\ int} _ {A} G
    \]
    Como\(f+g \leq F+G\) en\(A,\) Teorema\(1(\mathrm{c})\) de §5 y Problema 6 de §4 mostrar que
    \ [
    \ overline {\ int} _ {A} (f+g)\ leq\ int_ {A} (F+G) =\ int_ {A} F+\ int_ {A} g<u+v,
    \]
    contrario a
    \ [
    u+v\ leq\ overline {\ int} _ _ {A} (f+g).
    \]
    Similarmente probar la cláusula (ii).]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Problema continuo\(5,\) probar que
    \ [
    \ overline {\ int} _ {A} (f+g)\ geq\ overline {\ int} _ {A} f+\ subrayado {\ int} _ {A} _ {A} g\ geq\ subrayado {\ int} _ {A} (f+g)\ geq\ subrayado {\ int} _ _ {A} f+\ subrayado {\ int} _ A} g
    \]
    siempre\(\left|\underline{\int}_{A} g\right|<\infty\).
    [Pista para la segunda desigualdad: Podemos suponer que
    \ [
    \ overline {\ int} _ {A} (f+g) <\ infty\ text {and}\ overline {\ int} _ {A} f>-\ infty.
    \]
    (¿Por qué?) Aplicar Problemas 5 y\(4(\mathrm{a})\) a
    \ [
    \ overline {\ int} _ {A} ((f+g) + (-g)).
    \]
    Usar teorema\(\left.1\left(\mathrm{e}^{\prime}\right) .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar lo siguiente.
    (i)\ [
    \ overline {\ int} _ {A} |f|<\ infty\ text {iff} -\ infty<\ subrayado {\ int} _ {A} f\ leq\ overline {\ int} _ {A} f<\ infty.
    \]
    (ii) Si\(\overline{f}_{A}|f|<\infty\) y\(\overline{\int}_{A}|g|<\infty,\) luego
    \ [
    \ izquierda|\ overline {\ int} _ {A} f-\ overline {\ int} _ {A} g\ derecha|\ leq\ overline {\ int} _ {A} |f-g|
    \]
    y
    \ [
    \ izquierda|\ subrayado {\ int} _ {A} f-\ subrayado {\ int} _ {A} g\ derecha|\ leq\ overline {\ int} _ {A} |f-g|.
    \]
    [Pista: Problemas de uso\(5 \text { and } 6 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar que cualquier medida firmada\(\left.\bar{s}_{f} \text { (Note } 4\right)\) es la diferencia de dos medidas:\(\bar{s}_{f}=\bar{s}_{f+}-\bar{s}_{f-}\).


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