8.6.E: Problemas sobre integrabilidad y teoremas de convergencia

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

(i) Mostrar que si\(f: S \rightarrow E^{*}\) está acotado y\(m\) -medible on\(A,\) con\(m A<\infty,\) entonces\(f\) es\(m\) -integrable on\(A(\text { Theorem } 2)\) y
\ [
\ int_ {A} f=c\ cdot m A,
\]
donde inf\(f[A] \leq c \leq \sup f[A]\).
(ii) Demostrar que si\(f\) también tiene la propiedad Darboux en\(A,\) entonces

\ [\ left (\ exists x_ {0}\ in A\ right)\ quad c=f\ left (x_ {0}\ right).
\]
[Pista: Tomar\(g=1 \text { in Theorem } 3 .]\)
(iii) ¿Qué resultados si\(A=[a, b]\) y\(m=\) Lebesgue miden?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar Teorema 4 asumiendo que los\(f_{n}\) son medibles en\(A\) y que
\ [
(\ existe k)\ quad\ int_ {A} f_ {k} >-\ infty
\]
en lugar de\(f_{n} \geq 0\).
[Pista: Como\(\left\{f_{n}\right\} \uparrow\), mostrar que
\ [
(\ forall n\ geq k)\ quad\ int_ {A} f_ {n} >-\ infty.
\]
Si
\ [
(\ existe n)\ quad\ int_ {A} f_ {n} =\ infty,
\]
entonces
\ [
\ int_ {A} f=\ lim\ int_ {A} f_ {n} =\ infty.
\]
De lo contrario,
\ [
(\ forall n\ geq k)\ quad\ izquierda|\ int_ {A} f_ {n}\ derecha|<\ infty;
\]
así\(f_{n}\) es integrable. (¿Por qué?) Por Corolario 1 en §5, asumir\(\left|f_{n}\right|<\infty .\) (¿Por qué?) Aplicar el Teorema 4 a\(h_{n}=f_{n}-f_{k}(n \geq k),\) considerar dos casos:
\ [
\ left. \ int_ {A} h<\ infty\ texto {y}\ int_ {A} h=\ infty. \ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Mostrar que si\(f_{n} \nearrow f\) (puntual) en\(A \in \mathcal{M},\) hay\(\mathcal{M}\) -mapas medibles\(F_{n} \geq f_{n}\) y\(F \geq f\) en\(A,\) con\(F_{n} \nearrow F\) (puntual) en\(A,\) tal que
\ [
\ int_ {A} F=\ overline {\ int} _ {A} f\ text {y}\ int_ {A} F_ {n} =\ overline {\ int} _ {A} f_ {n}.
\]
[Pista: Por Lema 2 de §5, arregle mapas medibles\(h \geq f\) y\(h_{n} \geq f_{n}\) con las mismas integrales. Vamos
\ [
F_ {n} =\ inf _ {k\ geq n}\ izquierda (h\ cuña h_ {k}\ derecha),\ quad n=1,2,\ ldots,
\]
y\(F=\sup _{n} F_{n} \leq h .\) (¿Por qué?) Proceder.]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para\(A \in \mathcal{M}\) y cualquier función (incluso no mensurable)\(f, f_{n}: S \rightarrow E^{*},\) probar lo siguiente.
(i) Si\(f_{n} \nearrow f(\text { a.e. })\) en\(A,\) entonces
\ [
\ overline {\ int} _ {A} f_ {n}\ nearrow\ overline {\ int} _ {A} f,
\]
siempre que
\ [
(\ existe n)\ quad\ overline {\ int} _ {A} f_ {n} >-\ infty.
\]
(ii) Si\(f_{n} \searrow f(\text { a.e. })\) en\(A,\) entonces
\ [
\ subrayado {\ int} _ {A} f_ {n}\ searrow\ subrayado {\ int} _ {A} f,
\]
siempre que
\ [
(\ existe n)\ quad\ subrayado {\ int} _ {A} f_ {n} <\ infty.
\]
[Pista: Reemplazar\(f, f_{n}\) por\(F, F_{n}\) como en Problema\(4 .\) Luego aplique el Problema 3 para obtener\(F_{n} ;\) así (i). Para (ii), use (i) y Teorema\(1\left(\mathrm{e}^{\prime}\right)\) en §5. (Todo es ortodoxo; ¿por qué?)]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Mostrar con ejemplos que
(i) las condiciones
\ [
\ overline {\ int} _ {A} f_ {n} >-\ infty\ text {y}\ subrayan {\ int} _ {A} f_ {n} <\ infty
\]
en el Problema 5 son esenciales; y
(ii) El problema\(5(\mathrm{i})\) falla para integrales inferiores. ¿Qué pasa con\(5(\mathrm{ii}) ?\)
[Consejos: (i) Que\(A=(0,1) \subset E^{1}, m=\) Lebesgue mida,\(f_{n}=-\infty\) en\(\left(0, \frac{1}{n}\right), f_{n}=1\) otra parte.
ii) Dejar\(\mathcal{M}=\left\{E^{1}, \emptyset\right\}, m E^{1}=1, m \emptyset=0, f_{n}=1\) en\((-n, n), f_{n}=0\) otra parte. Si está\(f=1\) encendido\(A=E^{1},\) entonces\(f_{n} \rightarrow f,\) pero no
\ [
\ subraye {\ int} _ {A} f_ {n}\ fila derecha\ subraye {\ int} _ {A} f.
\] ¡
Explique!]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dado\(f_{n}: S \rightarrow E^{*}\) y\(A \in \mathcal{M},\) vamos
\ [
g_ {n} =\ inf _ {k\ geq n} f_ {k}\ texto {y} h_ {n} =\ sup _ {k\ geq n} f_ {k}\ quad (n=1,2,\ ldots).
\]
Demostrar que
(i)\(\overline{\int}_{A} \underline{\lim} f_{n} \leq \underline{\lim} \underline{\int}_{A} f_{n}\) proporcionó\((\exists n) \overline{\int}_{A} g_{n}>-\infty ;\) y
(ii)\(\underline{\int}_{A} \overline{\lim } f_{n} \leq \overline{\lim } \underline{\int}_{A} f_{n} \text{provided}(\exists n) \underline{\int}_{A} h_{n}<\infty\).
[Pista: Aplicar Problema 5 a\(\left.g_{n} \text { and } h_{n} .\right]\)
(iii) Dar ejemplos para los cuales
\ [
\ overline {\ int} _ {A}\ subrayado {\ lim} f_ {n}\ neq\ overline {\ lim} _ {A}\ overline {\ int} _ {A} f_ {n}\ text {y}\ subrayado {\ int} _ {A}\ overline {\ lim} f_ {n}\ neq\ subrayado {\ lim}\ subrayado {\ int} _ {A} f_ {n}.
\]
(Ver Nota 2).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(f_{n} \geq 0\)Vamos\(A \in \mathcal{M}\) y\(f_{n} \rightarrow f(\text { a.e. })\) Vamos\(A .\)\(A \supseteq X, X \in \mathcal{M} .\)
Probaremos lo siguiente.
(i) Si
\ [
\ overline {\ int} _ {A} f_ {n}\ fila derecha\ overline {\ int} _ {A} f<\ infty,
\]
entonces
\ [
\ overline {\ int} _ {X} f_ {n}\ fila derecha\ overline {\ int} _ {X} f.
\]
(ii) Esto falla para el cambio de signo\(f_{n}\).
[Consejos: Si (i) falla, entonces
\ [
\ subraye {\ lim} _ {X}\ overline {\ int} _ {X} f_ {n} <\ overline {\ int} _ {X} f\ text {or}\ underline {\ lim} _ {X}\ overline {\ int} _ {X} f_ {n} >\ overline {\ int} _ {X} f.
\]
Encuentra una subsecuencia de
\ [
\ left\ {\ overline {\ int} _ {X} f_ {n}\ right\}\ text {o}\ left\ {\ overline {\ int} _ {A-X} f_ {n}\ right\}\ right\}
\]
contradice Lema 2.
(ii) Dejar que\(m=\) Lebesgue mida;\(A=(0,1), X=\left(0, \frac{1}{2}\right)\),
\ [
f_ {n} =\ izquierda\ {\ begin {array} {ll} {n} & {\ text {on}\ left (0,\ frac {1} {2 n}\ right],}\\ {-n} & {\ text {on}\ left (1-\ frac {1} {2 n}, 1\ right [.} \ end {array}\ derecho.
\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\Rightarrow 9\). (i) Mostrar que si\(f\) y\(g\) son\(m\) -medibles y no negativos en\(A,\) entonces
\ [
(\ forall a, b\ geq 0)\ quad\ int_ {A} (a f+b g) =a\ int_ {A} f+b\ int_ {A} g.
\]
(ii) Si, además,\(\int_{A} f<\infty\) o\(\int_{A} g<\infty,\) esta fórmula se mantiene para alguna\(a, b \in E^{1} .\)
[Pista: Proceder como en el Teorema 1.]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\Rightarrow 10\). Si
\ [
f=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} f_ {n},
\]
con todo\(f_{n}\) medible y no negativo encendido\(A,\) entonces
\ [
\ int_ {A} f=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ int_ {A} f_ {n}.
\]
[Pista: Aplicar el Teorema 4 a los mapas
\ [
g_ {n} =\ sum_ {k=1} ^ {n} f_ {k}\ nearrow f.
\] Problema de
uso 9.]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Si
\ [
q=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ int_ {A}\ izquierda|f_ {n}\ derecha|<\ infty
\]
y los\(f_{n}\) son\(m\) -medibles en\(A,\) entonces
\ [
\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda|f_ {n}\ derecha|<\ infty (a. e.) \ text {on} A
\]
y\(f=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}\) es\(m\) -integrable\(A,\) con
\ [
\ int_ {A} f=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ int_ {A} f_ {n}.
\]
[Pista: Dejar\(g=\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{n}\right| .\) Por Problema 10,
\ [
\ int_ {A} g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ int_ {A}\ izquierda|f_ {n}\ derecha|=q<\ infty;
\]
así\(g<\infty(a . e .)\) sucesivamente\(A .\) (¿Por qué?) Aplica el Teorema 5 y la Nota 1 a los mapas
\ [
g_ {n} =\ sum_ {k=1} ^ {n} f_ {k};
\]
tenga en cuenta que\(\left.\left|g_{n}\right| \leq g .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

(Convergencia en medida; ver Problema 11 ii) del §3).
(i) Demostrar el teorema de Riesz: Si\(f_{n} \rightarrow f\) en medida on\(A \subseteq S\), hay una subsecuencia\(\left\{f_{n_{k}}\right\}\) tal que\(f_{n_{k}} \rightarrow f\) (casi uniformemente), de ahí (a.e.), on\(A\).
[Esquema: Tomando
\ [
\ sigma_ {k} =\ delta_ {k} =2^ {-k},
\]
pick, paso a paso, naturals
\ [
n_ {1} <n_ {2} <\ cdots<n_ {k} <\ cdots
\]
y establece\(D_{k} \in \mathcal{M}\) tal que \((\forall k)\)
\ [
m D_ {k} <2^ {-k}
\]
y
\ [
\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {n_ {k}}, f\ derecha) <2^ {-k}
\]
on\(A-D_{k} .\) (¡Explica!) Vamos
\ [
E_ {n} =\ bigcup_ {k=n} ^ {\ infty} D_ {k},
\]
\(m E_{n}<2^{1-n} .(\) ¿Por qué?) Mostrar que
\ [
(\ forall n) (\ forall k>n)\ quad\ rho^ {\ prime}\ left (f_ {n_ {k}}, f\ right) <2^ {1-n}
\]
on\(\left.A-E_{n} . \text { Use Problem } 11 \text { in } §3 .\right]\)
(ii) Para mapas\(f_{n}: S \rightarrow E\) y\(g: S \rightarrow E^{1}\) deducir que si
\ [
f_ {n}\ fila derecha f
\]
en medida sobre\(A\) y
\ [
(\ forall n)\ quad\ izquierda|f_ {n}\ derecha|\ leq g (\ text {a.e.})\ text {on} A,
\]
luego
\ [
|f|\ leq g (\ text {a.e.})\ text {on} A.
\]
\(\left[\text { Hint: } f_{n_{k}} \rightarrow f(a . e .) \text { on } A .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Continuando con el problema\(12(\text { ii }),\) vamos
\ [
f_ {n}\ fila derecha f
\]
en medida sobre\(A \in \mathcal{M}\left(f_{n}: S \rightarrow E\right)\) y
\ [
(\ forall n)\ quad\ izquierda|f_ {n}\ derecha|\ leq g (\ mathrm {a.e.}) \ text {on} A,
\]
con
\ [
\ overline {\ int_ {A}} g<\ infty.
\]
Demostrar que

\ [\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ overline {\ int} _ {A}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|=0.
\]
¿
\ [
\ overline {\ int} _ {A} f_ {n}\ fila derecha\ overline {\ int} _ {A} f?
\]
[Esquema: Del Corolario 1 de §5, inferir eso\(g=0\) en\(A-C,\) donde
\ [
C=\ bigcup_ {k=1} ^ {\ infty} C_ {k} (\ text {disjoint}),
\]
\(m C_{k}<\infty .\) (Podemos asumir\(g \mathcal{M}\) -mensurable en\(A .\) ¿Por qué?) Además,
\ [
\ infty>\ int_ {A} g=\ int_ {A-C} g+\ int_ {C} g=0+\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ int_ {C_ {k}} g;
\]
así converge la serie. De ahí
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe p)\ quad\ int_ {A} g-\ varepsilon<\ suma_ {k=1} ^ {p}\ int_ {C_ {k}} g=\ int_ {H} g,
\]
donde
\ [
H=\ bigcup_ {k=1} ^ {p} C_ {k}\ en\ mathcal {M}
\]
y \(m H<\infty .\)Como\(\left|f_{n}-f\right| \leq 2 g(\text { a.e. }),\) obtenemos
\ [
\ text {(1)}\ subrayamos {\ int} _ {A}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|\ leq\ overline {\ int} _ {A}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|\ leq\ overline {\ int} _ {H}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|+\ int_ {A-H} 2 g<\ overline {\ int_ {H}}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|+2\ varepsilon.
\]
(¡Explique!)
Como\(m H<\infty,\) podemos arreglar\(\sigma>0\) con
\ [
\ sigma\ cdot m H<\ varepsilon.
\]
También, por Teorema\(6,\) fijar\(\delta\) tal que
\ [
2\ int_ {X} g<\ varepsilon
\]
siempre\(A \supseteq X, X \in \mathcal{M}\) y\(m X<\delta\).
Como\(f_{n} \rightarrow f\) en medida en\(H,\) encontramos\(\mathcal{M}\) -conjuntos\(D_{n} \subseteq H\) tales que
\ [
\ left (\ forall n>n_ {0}\ right)\ quad m D_ {n} <\ delta\]
y
\ [

\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|<\ sigma\ text {on} A_ {n} =H-D_ {n}.
\]
(Podemos usar la métrica estándar, as\(|f|\) y\(\left|f_{n}\right|<\infty\) a.e. ¿Por qué?) Así de\((1),\) obtenemos
\ [
\ begin {alineado}\ overline {\ int} _ {A}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha| &\ leq\ overline {\ int_ {H}}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|+2\ varepsilon\\ &=\ overline {\ int} _ {A_ {n}}\ izquierda |f_ {n} -f\ derecha|+\ overline {\ int} _ {D_ {n}}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|+2\ varepsilon\\ &<\ overline {\ int} _ {A_ {n}}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|+3\ varepsilon\\ &\ leq\ sigma\ cdot m H+3\ varepsilon<4\ varepsilon\ end {alineado}
\]
para\(n>n_{0} .\) (¡Explique!) De ahí
\ [
\ lim\ overline {\ int_ {A}}\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|=0.
\]
Ver también Problema 7 en §5 y Nota 1 de §6 (para funciones medibles) en lo que respecta a
\ [
\ left. \ lim\ overline {\ int_ {A}} f_ {n}\ cdot\ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Hacer Problema 12 en §3 (teoremas de Lebesgue-Egorov) por\(T=E,\) asumir
\ [
(\ forall n)\ quad\ izquierda|f_ {n}\ derecha|\ leq g (a. e.) \ text {on} A,
\]
con
\ [
\ int_ {A} g<\ infty
\]
(en lugar de\(m A<\infty)\).
[Pista: Con\(H_{i}(k)\) como antes, basta con que
\ [
\ lim _ {i\ rightarrow\ infty} m\ left (A-H_ {i} (k)\ right) =0.
\]
(¿Por qué?) Verifica que
\ [
(\ forall n)\ quad\ rho^ {\ prime}\ izquierda (f_ {n}, f\ derecha) =\ izquierda|f_ {n} -f\ derecha|\ leq 2 g (a. e.) \ text {on} A,
\]
y
\ [
(\ forall i, k)\ quad A-H_ {i} (k)\ subseteq A\ left (2 g\ geq\ frac {1} {k}\ derecha)\ copa Q (m Q=0).
\]
Inferir que
\ [
(\ forall i, k)\ quad m\ left (A-H_ {i} (k)\ right) <\ infty.
\]
Ahora, como\((\forall k) H_{i}(k) \searrow \emptyset\) (¿por qué?) , se aplica la continuidad correcta.]