8.7: Integración de Funciones Complejas y Vector-Valoradas
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I. Primero consideramos funciones\(f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right) .\) Para tales funciones, es natural (y fácil) definir la integración “componentwise” de la siguiente manera.
Se dice que una función\(f : S \rightarrow E^{n}\) es integrable en\(A \in \mathcal{M}\) iff sus componentes\(n\) (reales),\(f_{1}, \ldots, f_{n},\) son. En este caso, definimos
\ [
\ int_ {A} f=\ int_ {A} f d m=\ izquierda (\ int_ {A} f_ {1},\ int_ {A} f_ {2},\ ldots,\ int_ {A} f_ {n}\ derecha) =\ sum_ {k=1} ^ {n}\ overline {e} _ {k}\ cdot\ int_ {A} f_ {k}
\]
donde los\(\overline{e}_{k}\) son vectores unitarios básicos (como en el Capítulo 3, §§1-3, Teorema 2\()\).
En particular, una función compleja\(f\) es integrable en\(A\) si sus partes reales e imaginarias\(\left(f_{\text { re}} \text{ and} f_{\text { im }}\right)\) son. Entonces también decimos que\(\int_{A} f\) existe. Por\((1),\) tenemos
\ [
\ int_ {A} f=\ left (\ int_ {A} f_ {\ mathrm {re}},\ int_ {A} f_ {\ mathrm {im}}\ right) =\ int_ {A} f_ {\ mathrm {re}} +i\ int_ {A} f_ {\ mathrm {im}}.
\]
Si\(f : S \rightarrow C^{n},\) usamos\((1),\) con componentes complejos\(f_{k}\)
Con esta definición, la integración de funciones se\(f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) reduce a la de\(f_{k} : S \rightarrow E^{1}(C),\) y se obtiene fácilmente los mismos teoremas que en §§4-6, en la medida en que tengan sentido para los vectores.
Una función\(f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) es integrable en\(A \in \mathcal{M}\) iff es\(m\) medible en\(A\) y\(\int_{A}|f|<\infty.\)
(¡Definición alternativa!)
- Prueba
-
Supongamos que el espacio de rango es\(E^{n}\).
Por nuestra definición, si\(f\) es integrable en\(A,\) entonces sus componentes\(f_{k}\) son. Así por Teorema 2 y Corolario 1, ambos en §6, para\(k=1,2, \ldots, n,\) las funciones\(f_{k}^{+}\) y\(f_{k}^{-}\) son\(m\) -medibles; además,
\[\int_{A} f_{k}^{+} \neq \pm \infty \text { and } \int_{A} f_{k}^{-} \neq \pm \infty.\]
Esto implica
\[\infty>\int_{A} f_{k}^{+}+\int_{A} f_{k}^{-}=\int_{A}\left(f_{k}^{+}+f_{k}^{-}\right)=\int_{A}\left|f_{k}\right|, \quad k=1,2, \ldots, n.\]
Dado que\(|f|\) es\(m\) -medible por el Problema 14 en §3 (\( | \cdot | \)es un mapeo continuo de\(E^{n}\) a\(E^{1}\)), y
\[|f|=\left|\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}\left|\overline{e}_{k}\right|\left|f_{k}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}\right|,\]
conseguimos
\[\int_{A}|f| \leq \int_{A} \sum_{1}^{n}\left|f_{k}\right|=\sum_{1}^{n} \int_{A}\left|f_{k}\right|<\infty.\]
Por el contrario, si\(f\) satisface
\[\int_{A}|f|<\infty\]
entonces
\[(\forall k) \quad\left|\int_{A} f_{k}\right|<\infty.\]
Además, los\(f_{k}\) son\(m\) -mensurables si\(f\) es (ver Problema 2 en §3). De ahí\(f_{k}\) que los sean integrables en\(A\) (por el Teorema 2 de §6), y así es\(f.\)
La prueba para\(C^{n}\) es análoga. \(\quad \square\)
De manera similar para otros teoremas (ver Problemas 1 a 4 a continuación). Ya hemos señalado que el Teorema 5 de §6 se sostiene para funciones complejas y vectorizadas. Así lo hace el Teorema 6 en §6. Demostramos otra proposición de este tipo (Lema 1) a continuación.
II. A continuación consideramos el caso general,\(f : S \rightarrow E\) (\(E\)completo). Ahora adoptamos el Teorema 1 como definición. (Concuerda con la Definición 1 del §4. ¡Verifica!) Incluso si\(E=E^{*},\) siempre asumimos\(|f|<\infty\) a.e.; así, dejando caer un conjunto nulo, podemos hacer\(f\) finitos y usar la métrica estándar en\(E^{1}.\)
Primero, retomamos el caso\(m A<\infty\).
Si\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(A\) (\(m A<\infty\)), entonces
\[\int_{A}\left|f_{n}-f\right| \rightarrow 0.\]
- Prueba
-
Por supuesto,
\[(\forall \varepsilon>0) \text { } (\exists k) \text { } (\forall n>k) \quad\left|f_{n}-f\right|<\varepsilon \text { on } A;\]
por lo
\[(\forall n>k) \quad \int_{A}\left|f_{n}-f\right| \leq \int_{A}(\varepsilon)=\varepsilon \cdot m A<\infty.\]
Como\(\varepsilon\) es arbitrario, el resultado sigue. \(\quad \square\)
Si
\[\int_{A}|f|<\infty \quad(m A<\infty)\]
y
\[f=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n} \text { (uniformly) on } A-Q \text { }(m Q=0)\]
para algunos mapas elementales\(f_{n}\) en\(A,\) entonces todos pero finitamente muchos\(f_{n}\) son elementales e integrables en\(A,\) y
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n}\]
existe en\(E;\) más, este último límite no depende de la secuencia\(\left\{f_{n}\right\}\).
- Prueba
-
Por Lemma 1,
\[(\forall \varepsilon>0) \text { } (\exists q) \text { } (\forall n, k>q) \quad \int_{A}\left|f_{n}-f\right|<\varepsilon \text { and } \int_{A}\left|f_{n}-f_{k}\right|<\varepsilon.\]
(Esto último se puede lograr desde
\[\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{A}\left|f_{n}-f_{k}\right|=\int_{A}\left|f_{n}-f\right|<\varepsilon.)\]
Ahora, como
\[\left|f_{n}\right| \leq\left|f_{n}-f\right|+|f|,\]
Problema 7 en rendimientos §5
\[(\forall n>k) \quad \int_{A}\left|f_{n}\right| \leq \int_{A}\left|f_{n}-f\right|+\int_{A}|f|<\varepsilon+\int_{A}|f|<\infty.\]
Así\(f_{n}\) es elemental e integrable para\(n>k,\) como se reivindica. También, por Teorema 2 y Corolario 1 (ii), ambos en §4,
\[(\forall n, k>q) \quad\left|\int_{A} f_{n}-\int_{A} f_{k}\right|=\left|\int_{A}\left(f_{n}-f_{k}\right)\right| \leq \int_{A}\left|f_{n}-f_{k}\right|<\varepsilon.\]
Así\(\left\{\int_{A} f_{n}\right\}\) es una secuencia de Cauchy. Como\(E\) está completo,
\[\lim \int_{A} f_{n} \neq \pm \infty\]
existe en\(E,\) como se afirma.
Finalmente, supongamos\(g_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(A-Q\) algunos otros mapas elementales e integrables\(g_{n}.\) Por lo que se mostró arriba,\(\lim \int_{A} g_{n}\) existe, y
\[\left|\lim \int_{A} g_{n}-\lim \int_{A} f_{n}\right|=\left|\lim \int_{A}\left(g_{n}-f_{n}\right)\right| \leq \lim \int_{A}\left|g_{n}-f_{n}-0\right|=0\]
por Lemma 1, como\(g_{n}-f_{n} \rightarrow 0\) (uniformemente) en\(A.\) Así
\[\lim \int_{A} g_{n}=\lim \int_{A} f_{n},\]
y todo está probado. \(\quad \square\)
Esto nos lleva a la siguiente definición.
Si\(f : S \rightarrow E\) es integrable en\(A \in \mathcal{M}\)\((m A<\infty),\) establecemos
\[\int_{A} f=\int_{A} f d m=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n}\]
para cualquier mapa elemental e integrable\(f_{n}\) tal que\(f_{n} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(A-Q, m Q=0\).
En efecto, dichos mapas existen por el Teorema 3 del §1, y el Lema 2 excluye la ambigüedad.
*Nota 1. Si\(f\) en sí es elemental e integrable, la Definición 2 concuerda con la del §4. Para, eligiendo\(f_{n}=f(n=1,2, \ldots),\) obtenemos
\[\int_{A} f=\int_{A} f_{n}\]
(este último como en §4).
*Nota 2. Podemos descuidar conjuntos en los que\(f=0,\) junto con conjuntos nulos. Porque si\(f=0\) en\(A-B\)\((A \supseteq B, B \in \mathcal{M}),\) podemos elegir\(f_{n}=0\)\(A-B\) en la Definición 2. Entonces
\[\int_{A} f=\lim \int_{A} f_{n}=\lim \int_{B} f_{n}=\int_{B} f.\]
Así definimos ahora
\[\int_{A} f=\int_{B} f,\]
incluso si\(m A=\infty,\) se proporciona\(f=0\) en\(A-B,\) i.e.
\[f=f C_{B} \text { on } A\]
\((C_{B}=\)función característica de\(B),\) con\(A \supseteq B, B \in \mathcal{M},\) y\(m B<\infty\).
Si tal\(B\) existe, decimos que\(f\) tiene\(m\) -soporte finito en\(A\).
*Nota 3. Por Corolario 1 en §5
\[\int_{A}|f|<\infty\]
implica que\(A(f \neq 0)\) es\(\sigma\) -finito. Descuidando\(A(f=0),\) podemos suponer que
\[A=\bigcup B_{n}, m B_{n}<\infty, \text { and }\left\{B_{n}\right\} \uparrow\]
(si no, sustitúyase\(B_{n}\) por\(\cup_{k=1}^{n} B_{k}\)); así\(B_{n} \nearrow A\).
Dejar\(\phi : S \rightarrow E\) ser integrable en\(A\). Dejar\(B_{n} \nearrow A, m B_{n}<\infty\) y establecer
\[f_{n}=\phi C_{B_{n}}, \quad n=1,2, \ldots.\]
Entonces\(f_{n} \rightarrow \phi\) (puntual) en\(A,\) todos\(f_{n}\) son integrables en\(A,\) y
\[\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n}\]
existe en\(E.\) Además, este límite no depende de la elección de\(\left\{B_{n}\right\}\).
- Prueba
-
Arreglar cualquier\(x \in A.\) As\(B_{n} \nearrow A=\cup B_{n}\),
\[\left(\exists n_{0}\right) \text { } \left(\forall n>n_{0}\right) \quad x \in B_{n}.\]
Por suposición,\(f_{n}=\phi\) en\(B_{n}.\) Así
\[\left(\forall n>n_{0}\right) \quad f_{n}(x)=\phi(x);\]
so\(f_{n} \rightarrow \phi\) (pointwise) on\(A\).
Además,\(f_{n}=\phi C_{B_{n}}\) es\(m\) -medible en\(A\) (como\(\phi\) y\(C_{B_{n}}\) son); y
\[\left|f_{n}\right|=|\phi| C_{B_{n}}\]
implica
\[\int_{A}\left|f_{n}\right| \leq \int_{A}|\phi|<\infty.\]
Así todos\(f_{n}\) son integrables en\(A\).
Al igual\(f_{n}=0\) que en\(A-B_{n}(m B<\infty)\),
\[\int_{A} f_{n}\]
se define. Desde\(f_{n} \rightarrow \phi\) (puntual) y\(\left|f_{n}\right| \leq|\phi|\) en el\(A,\) Teorema 5 en §6, con\(g=|\phi|,\) rendimientos
\[\int_{A}\left|f_{n}-\phi\right| \rightarrow 0.\]
El resto es como en Lema 2, con nuestro presente Teorema 2 a continuación (asumiendo\(m\) -finito soporte de\(f\) y\(g),\) reemplazando Teorema 2 de §4. Así todo está probado. \(\quad \square\)
Si\(\phi : S \rightarrow E\) es integrable en\(A \in \mathcal{M},\) establecemos
\[\int_{A} \phi=\int_{A} \phi d m=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n},\]
con el\(f_{n}\) as en Lemma 3 (aunque no\(\phi\) tenga soporte\(m\) -finito).
Si\(f, g : S \rightarrow E\) son integrables en\(A \in \mathcal{M},\) lo que es
\[p f+q g\]
para cualquier escalar\(p, q.\) Por otra parte,
\[\int_{A}(p f+q g)=p \int_{A} f+q \int_{A} g.\]
Además si\(f\) y\(g\) son de valor escalar,\(p\) y\(q\) pueden ser vectores en\(E\).
- Prueba
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Por el momento,\(f, g\) denota mapeos con soporte\(m\) -finito en\(A.\) Integrabilidad es claro ya que\(p f+q g\) es medible en\(A\) (como\(f\) y\(g\) son), y
\[|p f+q g| \leq|p||f|+|q||g|\]
rendimientos
\[\int_{A}|p f+q g| \leq|g| \int_{A}|f|+|q| \int_{A}|g|<\infty.\]
Ahora, como se señaló anteriormente, supongamos que
\[f=f C_{B_{1}} \text { and } g=g C_{B_{2}}\]
para algunos\(B_{1}, B_{2} \subseteq A(m B_{1}+m B_{2}<\infty).\) Let\(B=B_{1} \cup B_{2};\) so
\[f=g=p f+q g=0 \text { on } A-B;\]
adicionalmente,
\[\int_{A} f=\int_{B} f, \int_{A} g=\int_{B} g, \text { and } \int_{A}(p f+q g)=\int_{B}(p f+q g).\]
También,\(m B<\infty;\) así que por la Definición 2,
\[\int_{B} f=\lim \int_{B} f_{n} \text { and } \int_{B} g=\lim \int_{B} g_{n}\]
para algunos mapas elementales e integrables
\[f_{n} \rightarrow f \text { (uniformly) and } g_{n} \rightarrow g \text { (uniformly) on } B-Q, m Q=0.\]
Así
\[p f_{n}+q g_{n} \rightarrow p f+q g \text { (uniformly) on } B-Q.\]
Pero por el Teorema 2 y el Corolario 1 (vii), ambos de §4 (para mapas elementales e integrables),
\[\int_{B}\left(p f_{n}+q g_{n}\right)=p \int_{B} f_{n}+q \int_{B} g_{n}.\]
De ahí
\[\begin{aligned} \int_{A}(p f+q g)=& \int_{B}(p f+q g)=\lim \int_{B}\left(p f_{n}+q g_{n}\right) \\ &=\lim \left(p \int_{B} f_{n}+q \int_{B} g_{n}\right)=p \int_{B} f+q \int_{B} g=p \int_{A} f+q \int_{A} g. \end{aligned}\]
Esto prueba la afirmación del teorema, proporcionado\(f\) y\(g\) tener soporte\(m\) -finito en\(A.\) Para el caso general, ahora retomamos la notación\(f, g, \ldots\) para cualquier función, y extendemos el resultado a cualquier función integrable.
Usando la Definición 3, establecemos
\[A=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n},\left\{B_{n}\right\} \uparrow, m B_{n}<\infty,\]
y
\[f_{n}=f C_{B_{n}}, g_{n}=g C_{B_{n}}, \quad n=1,2, \ldots.\]
Entonces por definición,
\[\int_{A} f=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n} \text { and } \int_{A} g=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} g_{n},\]
y así
\[p \int_{A} f+q \int_{A} g=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(p \int_{A} f_{n}+q \int_{A} g_{n}\right).\]
Al igual\(f_{n}, g_{n}\) que tienen soportes\(m\) -finitos, la primera parte de la prueba rinde
\[p \int_{A} f_{n}+q \int_{A} g_{n}=\int_{A}\left(p f_{n}+q g_{n}\right).\]
Así como se afirma,
\[p \int_{A} f+q \int_{A} g=\lim \int_{A}\left(p f_{n}+q g_{n}\right)=\int_{A}(p f+q g). \quad \square\]
De manera similar, se extiende el Corolario 1 (ii) (iii) (v) de §4 primero a los mapas con soporte\(m\) -finito, y luego a todos los mapas integrables. Las otras partes de ese corolario no necesitan nuevas pruebas. (¿Por qué?)
(i) Si\(f : S \rightarrow E\) es integrable en cada uno de los\(n\)\(\mathcal{M}\) conjuntos\(A_{k},\) disjuntos es así en su unión
\[A=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k},\]
y
\[\int_{A} f=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f.\]
(ii) Esto se aplica también a los sindicatos contables, si\(f\) es integrable en todos\(A.\)
- Prueba
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Vamos a\(f\) tener soporte\(m\) -finito:\(f=f C_{B}\) on\(A, m B<\infty.\) Entonces
\[\int_{A} f=\int_{B} f \text { and } \int_{A_{k}} f=\int_{B_{k}} f,\]
donde
\[B_{k}=A_{k} \cap B, \quad k=1,2, \ldots, n.\]
Por Definición 2, arregle mapas elementales e integrables\(f_{i}\) (encendido\(A\)) y un conjunto\(Q\)\((m Q=0)\) tal que\(f_{i} \rightarrow f\) (uniformemente) en\(B-Q\) (por lo tanto también encendido\(B_{k}-Q\)), con
\[\int_{A} f=\int_{B} f=\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{B} f_{i} \quad \text { and } \int_{A_{k}} f=\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{B_{k}} f_{i}, \quad k=1,2, \ldots, n.\]
Como los\(f_{i}\) son elementales e integrables, el Teorema 1 en §4 rinde
\[\int_{A} f_{i}=\int_{B} f_{i}=\sum_{k=1}^{n} \int_{B_{k}} f_{i}=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f_{i}.\]
De ahí
\[\int_{A} f=\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{B} f_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{B_{k}} f_{i}=\sum_{k=1}^{n}\left(\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{A_{k}} f_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f.\]
Así, la cláusula (i) se mantiene para mapas con soporte\(m\) -finito. Para otras funciones, (i) ahora sigue de manera bastante similar, de la Definición 3. (¡Verifica!)
En cuanto a (ii), dejar\(f\) ser integrable en
\[A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \text { (disjoint),} \quad A_{k} \in \mathcal{M}.\]
En este caso, establecer\(g_{n}=f C_{B_{n}},\) dónde\(B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, n=1,2, \ldots\). Por cláusula (i), tenemos
\[\int_{A} g_{n}=\int_{B_{n}} g_{n}=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} g_{n}=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f,\]
ya que\(g_{n}=f\) en cada uno\(A_{k} \subseteq B_{n}\).
También, como se ve fácilmente,\(\left|g_{n}\right| \leq|f|\) encendido\(A\) y\(g_{n} \rightarrow f\) (puntual) en\(A\) (prueba como en Lemma 3). Así, por el Teorema 5 en §6
\[\int_{A}\left|g_{n}-f\right| \rightarrow 0.\]
Como
\[\left|\int_{A} g_{n}-\int_{A} f\right|=\left|\int_{A}\left(g_{n}-f\right)\right| \leq \int_{A}\left|g_{n}-f\right|,\]
obtenemos
\[\int_{A} f=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} g_{n},\]
y el resultado sigue por (3). \(\quad \square\)