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# 8.7: Integración de Funciones Complejas y Vector-Valoradas

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I. Primero consideramos funciones$$f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right) .$$ Para tales funciones, es natural (y fácil) definir la integración “componentwise” de la siguiente manera.

## Definición

Se dice que una función$$f : S \rightarrow E^{n}$$ es integrable en$$A \in \mathcal{M}$$ iff sus componentes$$n$$ (reales),$$f_{1}, \ldots, f_{n},$$ son. En este caso, definimos

\ [
\ int_ {A} f=\ int_ {A} f d m=\ izquierda (\ int_ {A} f_ {1},\ int_ {A} f_ {2},\ ldots,\ int_ {A} f_ {n}\ derecha) =\ sum_ {k=1} ^ {n}\ overline {e} _ {k}\ cdot\ int_ {A} f_ {k}
\]

donde los$$\overline{e}_{k}$$ son vectores unitarios básicos (como en el Capítulo 3, §§1-3, Teorema 2$$)$$.

En particular, una función compleja$$f$$ es integrable en$$A$$ si sus partes reales e imaginarias$$\left(f_{\text { re}} \text{ and} f_{\text { im }}\right)$$ son. Entonces también decimos que$$\int_{A} f$$ existe. Por$$(1),$$ tenemos

\ [
\ int_ {A} f=\ left (\ int_ {A} f_ {\ mathrm {re}},\ int_ {A} f_ {\ mathrm {im}}\ right) =\ int_ {A} f_ {\ mathrm {re}} +i\ int_ {A} f_ {\ mathrm {im}}.
\]

Si$$f : S \rightarrow C^{n},$$ usamos$$(1),$$ con componentes complejos$$f_{k}$$

Con esta definición, la integración de funciones se$$f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$$ reduce a la de$$f_{k} : S \rightarrow E^{1}(C),$$ y se obtiene fácilmente los mismos teoremas que en §§4-6, en la medida en que tengan sentido para los vectores.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Una función$$f : S \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$$ es integrable en$$A \in \mathcal{M}$$ iff es$$m$$ medible en$$A$$ y$$\int_{A}|f|<\infty.$$

(¡Definición alternativa!)

Prueba

Supongamos que el espacio de rango es$$E^{n}$$.

Por nuestra definición, si$$f$$ es integrable en$$A,$$ entonces sus componentes$$f_{k}$$ son. Así por Teorema 2 y Corolario 1, ambos en §6, para$$k=1,2, \ldots, n,$$ las funciones$$f_{k}^{+}$$ y$$f_{k}^{-}$$ son$$m$$ -medibles; además,

$\int_{A} f_{k}^{+} \neq \pm \infty \text { and } \int_{A} f_{k}^{-} \neq \pm \infty.$

Esto implica

$\infty>\int_{A} f_{k}^{+}+\int_{A} f_{k}^{-}=\int_{A}\left(f_{k}^{+}+f_{k}^{-}\right)=\int_{A}\left|f_{k}\right|, \quad k=1,2, \ldots, n.$

Dado que$$|f|$$ es$$m$$ -medible por el Problema 14 en §3 ($$| \cdot |$$es un mapeo continuo de$$E^{n}$$ a$$E^{1}$$), y

$|f|=\left|\sum_{k=1}^{n} \overline{e}_{k} f_{k}\right| \leq \sum_{k=1}^{n}\left|\overline{e}_{k}\right|\left|f_{k}\right|=\sum_{k=1}^{n}\left|f_{k}\right|,$

conseguimos

$\int_{A}|f| \leq \int_{A} \sum_{1}^{n}\left|f_{k}\right|=\sum_{1}^{n} \int_{A}\left|f_{k}\right|<\infty.$

Por el contrario, si$$f$$ satisface

$\int_{A}|f|<\infty$

entonces

$(\forall k) \quad\left|\int_{A} f_{k}\right|<\infty.$

Además, los$$f_{k}$$ son$$m$$ -mensurables si$$f$$ es (ver Problema 2 en §3). De ahí$$f_{k}$$ que los sean integrables en$$A$$ (por el Teorema 2 de §6), y así es$$f.$$

La prueba para$$C^{n}$$ es análoga. $$\quad \square$$

De manera similar para otros teoremas (ver Problemas 1 a 4 a continuación). Ya hemos señalado que el Teorema 5 de §6 se sostiene para funciones complejas y vectorizadas. Así lo hace el Teorema 6 en §6. Demostramos otra proposición de este tipo (Lema 1) a continuación.

II. A continuación consideramos el caso general,$$f : S \rightarrow E$$ ($$E$$completo). Ahora adoptamos el Teorema 1 como definición. (Concuerda con la Definición 1 del §4. ¡Verifica!) Incluso si$$E=E^{*},$$ siempre asumimos$$|f|<\infty$$ a.e.; así, dejando caer un conjunto nulo, podemos hacer$$f$$ finitos y usar la métrica estándar en$$E^{1}.$$

Primero, retomamos el caso$$m A<\infty$$.

## Lema$$\PageIndex{1}$$

Si$$f_{n} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$A$$ ($$m A<\infty$$), entonces

$\int_{A}\left|f_{n}-f\right| \rightarrow 0.$

Prueba

Por supuesto,

$(\forall \varepsilon>0) \text { } (\exists k) \text { } (\forall n>k) \quad\left|f_{n}-f\right|<\varepsilon \text { on } A;$

por lo

$(\forall n>k) \quad \int_{A}\left|f_{n}-f\right| \leq \int_{A}(\varepsilon)=\varepsilon \cdot m A<\infty.$

Como$$\varepsilon$$ es arbitrario, el resultado sigue. $$\quad \square$$

## Lema$$\PageIndex{2}$$

Si

$\int_{A}|f|<\infty \quad(m A<\infty)$

y

$f=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n} \text { (uniformly) on } A-Q \text { }(m Q=0)$

para algunos mapas elementales$$f_{n}$$ en$$A,$$ entonces todos pero finitamente muchos$$f_{n}$$ son elementales e integrables en$$A,$$ y

$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n}$

existe en$$E;$$ más, este último límite no depende de la secuencia$$\left\{f_{n}\right\}$$.

Prueba

Por Lemma 1,

$(\forall \varepsilon>0) \text { } (\exists q) \text { } (\forall n, k>q) \quad \int_{A}\left|f_{n}-f\right|<\varepsilon \text { and } \int_{A}\left|f_{n}-f_{k}\right|<\varepsilon.$

(Esto último se puede lograr desde

$\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{A}\left|f_{n}-f_{k}\right|=\int_{A}\left|f_{n}-f\right|<\varepsilon.)$

Ahora, como

$\left|f_{n}\right| \leq\left|f_{n}-f\right|+|f|,$

Problema 7 en rendimientos §5

$(\forall n>k) \quad \int_{A}\left|f_{n}\right| \leq \int_{A}\left|f_{n}-f\right|+\int_{A}|f|<\varepsilon+\int_{A}|f|<\infty.$

Así$$f_{n}$$ es elemental e integrable para$$n>k,$$ como se reivindica. También, por Teorema 2 y Corolario 1 (ii), ambos en §4,

$(\forall n, k>q) \quad\left|\int_{A} f_{n}-\int_{A} f_{k}\right|=\left|\int_{A}\left(f_{n}-f_{k}\right)\right| \leq \int_{A}\left|f_{n}-f_{k}\right|<\varepsilon.$

Así$$\left\{\int_{A} f_{n}\right\}$$ es una secuencia de Cauchy. Como$$E$$ está completo,

$\lim \int_{A} f_{n} \neq \pm \infty$

existe en$$E,$$ como se afirma.

Finalmente, supongamos$$g_{n} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$A-Q$$ algunos otros mapas elementales e integrables$$g_{n}.$$ Por lo que se mostró arriba,$$\lim \int_{A} g_{n}$$ existe, y

$\left|\lim \int_{A} g_{n}-\lim \int_{A} f_{n}\right|=\left|\lim \int_{A}\left(g_{n}-f_{n}\right)\right| \leq \lim \int_{A}\left|g_{n}-f_{n}-0\right|=0$

por Lemma 1, como$$g_{n}-f_{n} \rightarrow 0$$ (uniformemente) en$$A.$$ Así

$\lim \int_{A} g_{n}=\lim \int_{A} f_{n},$

y todo está probado. $$\quad \square$$

Esto nos lleva a la siguiente definición.

## Definición

Si$$f : S \rightarrow E$$ es integrable en$$A \in \mathcal{M}$$$$(m A<\infty),$$ establecemos

$\int_{A} f=\int_{A} f d m=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n}$

para cualquier mapa elemental e integrable$$f_{n}$$ tal que$$f_{n} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$A-Q, m Q=0$$.

En efecto, dichos mapas existen por el Teorema 3 del §1, y el Lema 2 excluye la ambigüedad.

*Nota 1. Si$$f$$ en sí es elemental e integrable, la Definición 2 concuerda con la del §4. Para, eligiendo$$f_{n}=f(n=1,2, \ldots),$$ obtenemos

$\int_{A} f=\int_{A} f_{n}$

(este último como en §4).

*Nota 2. Podemos descuidar conjuntos en los que$$f=0,$$ junto con conjuntos nulos. Porque si$$f=0$$ en$$A-B$$$$(A \supseteq B, B \in \mathcal{M}),$$ podemos elegir$$f_{n}=0$$$$A-B$$ en la Definición 2. Entonces

$\int_{A} f=\lim \int_{A} f_{n}=\lim \int_{B} f_{n}=\int_{B} f.$

Así definimos ahora

$\int_{A} f=\int_{B} f,$

incluso si$$m A=\infty,$$ se proporciona$$f=0$$ en$$A-B,$$ i.e.

$f=f C_{B} \text { on } A$

$$(C_{B}=$$función característica de$$B),$$ con$$A \supseteq B, B \in \mathcal{M},$$ y$$m B<\infty$$.

Si tal$$B$$ existe, decimos que$$f$$ tiene$$m$$ -soporte finito en$$A$$.

*Nota 3. Por Corolario 1 en §5

$\int_{A}|f|<\infty$

implica que$$A(f \neq 0)$$ es$$\sigma$$ -finito. Descuidando$$A(f=0),$$ podemos suponer que

$A=\bigcup B_{n}, m B_{n}<\infty, \text { and }\left\{B_{n}\right\} \uparrow$

(si no, sustitúyase$$B_{n}$$ por$$\cup_{k=1}^{n} B_{k}$$); así$$B_{n} \nearrow A$$.

## Lema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$\phi : S \rightarrow E$$ ser integrable en$$A$$. Dejar$$B_{n} \nearrow A, m B_{n}<\infty$$ y establecer

$f_{n}=\phi C_{B_{n}}, \quad n=1,2, \ldots.$

Entonces$$f_{n} \rightarrow \phi$$ (puntual) en$$A,$$ todos$$f_{n}$$ son integrables en$$A,$$ y

$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n}$

existe en$$E.$$ Además, este límite no depende de la elección de$$\left\{B_{n}\right\}$$.

Prueba

Arreglar cualquier$$x \in A.$$ As$$B_{n} \nearrow A=\cup B_{n}$$,

$\left(\exists n_{0}\right) \text { } \left(\forall n>n_{0}\right) \quad x \in B_{n}.$

Por suposición,$$f_{n}=\phi$$ en$$B_{n}.$$ Así

$\left(\forall n>n_{0}\right) \quad f_{n}(x)=\phi(x);$

so$$f_{n} \rightarrow \phi$$ (pointwise) on$$A$$.

Además,$$f_{n}=\phi C_{B_{n}}$$ es$$m$$ -medible en$$A$$ (como$$\phi$$ y$$C_{B_{n}}$$ son); y

$\left|f_{n}\right|=|\phi| C_{B_{n}}$

implica

$\int_{A}\left|f_{n}\right| \leq \int_{A}|\phi|<\infty.$

Así todos$$f_{n}$$ son integrables en$$A$$.

Al igual$$f_{n}=0$$ que en$$A-B_{n}(m B<\infty)$$,

$\int_{A} f_{n}$

se define. Desde$$f_{n} \rightarrow \phi$$ (puntual) y$$\left|f_{n}\right| \leq|\phi|$$ en el$$A,$$ Teorema 5 en §6, con$$g=|\phi|,$$ rendimientos

$\int_{A}\left|f_{n}-\phi\right| \rightarrow 0.$

El resto es como en Lema 2, con nuestro presente Teorema 2 a continuación (asumiendo$$m$$ -finito soporte de$$f$$ y$$g),$$ reemplazando Teorema 2 de §4. Así todo está probado. $$\quad \square$$

## Definición

Si$$\phi : S \rightarrow E$$ es integrable en$$A \in \mathcal{M},$$ establecemos

$\int_{A} \phi=\int_{A} \phi d m=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n},$

con el$$f_{n}$$ as en Lemma 3 (aunque no$$\phi$$ tenga soporte$$m$$ -finito).

## Teorema$$\PageIndex{2}$$ (linearity)

Si$$f, g : S \rightarrow E$$ son integrables en$$A \in \mathcal{M},$$ lo que es

$p f+q g$

para cualquier escalar$$p, q.$$ Por otra parte,

$\int_{A}(p f+q g)=p \int_{A} f+q \int_{A} g.$

Además si$$f$$ y$$g$$ son de valor escalar,$$p$$ y$$q$$ pueden ser vectores en$$E$$.

Prueba

Por el momento,$$f, g$$ denota mapeos con soporte$$m$$ -finito en$$A.$$ Integrabilidad es claro ya que$$p f+q g$$ es medible en$$A$$ (como$$f$$ y$$g$$ son), y

$|p f+q g| \leq|p||f|+|q||g|$

rendimientos

$\int_{A}|p f+q g| \leq|g| \int_{A}|f|+|q| \int_{A}|g|<\infty.$

Ahora, como se señaló anteriormente, supongamos que

$f=f C_{B_{1}} \text { and } g=g C_{B_{2}}$

para algunos$$B_{1}, B_{2} \subseteq A(m B_{1}+m B_{2}<\infty).$$ Let$$B=B_{1} \cup B_{2};$$ so

$f=g=p f+q g=0 \text { on } A-B;$

$\int_{A} f=\int_{B} f, \int_{A} g=\int_{B} g, \text { and } \int_{A}(p f+q g)=\int_{B}(p f+q g).$

También,$$m B<\infty;$$ así que por la Definición 2,

$\int_{B} f=\lim \int_{B} f_{n} \text { and } \int_{B} g=\lim \int_{B} g_{n}$

para algunos mapas elementales e integrables

$f_{n} \rightarrow f \text { (uniformly) and } g_{n} \rightarrow g \text { (uniformly) on } B-Q, m Q=0.$

Así

$p f_{n}+q g_{n} \rightarrow p f+q g \text { (uniformly) on } B-Q.$

Pero por el Teorema 2 y el Corolario 1 (vii), ambos de §4 (para mapas elementales e integrables),

$\int_{B}\left(p f_{n}+q g_{n}\right)=p \int_{B} f_{n}+q \int_{B} g_{n}.$

De ahí

\begin{aligned} \int_{A}(p f+q g)=& \int_{B}(p f+q g)=\lim \int_{B}\left(p f_{n}+q g_{n}\right) \\ &=\lim \left(p \int_{B} f_{n}+q \int_{B} g_{n}\right)=p \int_{B} f+q \int_{B} g=p \int_{A} f+q \int_{A} g. \end{aligned}

Esto prueba la afirmación del teorema, proporcionado$$f$$ y$$g$$ tener soporte$$m$$ -finito en$$A.$$ Para el caso general, ahora retomamos la notación$$f, g, \ldots$$ para cualquier función, y extendemos el resultado a cualquier función integrable.

Usando la Definición 3, establecemos

$A=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n},\left\{B_{n}\right\} \uparrow, m B_{n}<\infty,$

y

$f_{n}=f C_{B_{n}}, g_{n}=g C_{B_{n}}, \quad n=1,2, \ldots.$

Entonces por definición,

$\int_{A} f=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} f_{n} \text { and } \int_{A} g=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} g_{n},$

y así

$p \int_{A} f+q \int_{A} g=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(p \int_{A} f_{n}+q \int_{A} g_{n}\right).$

Al igual$$f_{n}, g_{n}$$ que tienen soportes$$m$$ -finitos, la primera parte de la prueba rinde

$p \int_{A} f_{n}+q \int_{A} g_{n}=\int_{A}\left(p f_{n}+q g_{n}\right).$

Así como se afirma,

$p \int_{A} f+q \int_{A} g=\lim \int_{A}\left(p f_{n}+q g_{n}\right)=\int_{A}(p f+q g). \quad \square$

De manera similar, se extiende el Corolario 1 (ii) (iii) (v) de §4 primero a los mapas con soporte$$m$$ -finito, y luego a todos los mapas integrables. Las otras partes de ese corolario no necesitan nuevas pruebas. (¿Por qué?)

## Teorema$$\PageIndex{3}$$ (additivity)

(i) Si$$f : S \rightarrow E$$ es integrable en cada uno de los$$n$$$$\mathcal{M}$$ conjuntos$$A_{k},$$ disjuntos es así en su unión

$A=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k},$

y

$\int_{A} f=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f.$

(ii) Esto se aplica también a los sindicatos contables, si$$f$$ es integrable en todos$$A.$$

Prueba

Vamos a$$f$$ tener soporte$$m$$ -finito:$$f=f C_{B}$$ on$$A, m B<\infty.$$ Entonces

$\int_{A} f=\int_{B} f \text { and } \int_{A_{k}} f=\int_{B_{k}} f,$

donde

$B_{k}=A_{k} \cap B, \quad k=1,2, \ldots, n.$

Por Definición 2, arregle mapas elementales e integrables$$f_{i}$$ (encendido$$A$$) y un conjunto$$Q$$$$(m Q=0)$$ tal que$$f_{i} \rightarrow f$$ (uniformemente) en$$B-Q$$ (por lo tanto también encendido$$B_{k}-Q$$), con

$\int_{A} f=\int_{B} f=\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{B} f_{i} \quad \text { and } \int_{A_{k}} f=\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{B_{k}} f_{i}, \quad k=1,2, \ldots, n.$

Como los$$f_{i}$$ son elementales e integrables, el Teorema 1 en §4 rinde

$\int_{A} f_{i}=\int_{B} f_{i}=\sum_{k=1}^{n} \int_{B_{k}} f_{i}=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f_{i}.$

De ahí

$\int_{A} f=\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{B} f_{i}=\lim _{i \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{B_{k}} f_{i}=\sum_{k=1}^{n}\left(\lim _{i \rightarrow \infty} \int_{A_{k}} f_{i}\right)=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f.$

Así, la cláusula (i) se mantiene para mapas con soporte$$m$$ -finito. Para otras funciones, (i) ahora sigue de manera bastante similar, de la Definición 3. (¡Verifica!)

En cuanto a (ii), dejar$$f$$ ser integrable en

$A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \text { (disjoint),} \quad A_{k} \in \mathcal{M}.$

En este caso, establecer$$g_{n}=f C_{B_{n}},$$ dónde$$B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, n=1,2, \ldots$$. Por cláusula (i), tenemos

$\int_{A} g_{n}=\int_{B_{n}} g_{n}=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} g_{n}=\sum_{k=1}^{n} \int_{A_{k}} f,$

ya que$$g_{n}=f$$ en cada uno$$A_{k} \subseteq B_{n}$$.

También, como se ve fácilmente,$$\left|g_{n}\right| \leq|f|$$ encendido$$A$$ y$$g_{n} \rightarrow f$$ (puntual) en$$A$$ (prueba como en Lemma 3). Así, por el Teorema 5 en §6

$\int_{A}\left|g_{n}-f\right| \rightarrow 0.$

Como

$\left|\int_{A} g_{n}-\int_{A} f\right|=\left|\int_{A}\left(g_{n}-f\right)\right| \leq \int_{A}\left|g_{n}-f\right|,$

obtenemos

$\int_{A} f=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{A} g_{n},$

y el resultado sigue por (3). $$\quad \square$$

8.7: Integración de Funciones Complejas y Vector-Valoradas is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.