8.8: Medidas del Producto. Integrales iteradas
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Dejar\((X, \mathcal{M}, m)\) y\((Y, \mathcal{N}, n)\) ser espacios de medida, con\(X \in \mathcal{M}\) y\(Y \in \mathcal{N}.\) Let\(\mathcal{C}\) be la familia de todos los “rectángulos”, es decir, conjuntos
\[A \times B,\]
con\(A \in \mathcal{M}, B \in \mathcal{N}, m A<\infty,\) y\(n B<\infty\).
Definir una premedida\(s : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}\)
\[s(A \times B)=m A \cdot n B, \quad A \times B \in \mathcal{C}.\]
Dejar\(p^{*}\) ser la medida externa\(s\) inducida en\(X \times Y\) y
\[p : \mathcal{P}^{*} \rightarrow E^{*}\]
la medida\(p^{*}\) inducida (“medida del producto”\(p=m \times n\)) en el\(\sigma\) campo\(\mathcal{P}^{*}\) de todos los conjuntos\(p^{*}\) medibles en\(X \times Y\) (Capítulo 7, §§5-6).
Consideramos funciones\(f : X \times Y \rightarrow E^{*}\) (ampliado-real).
I. Comenzamos con algunas definiciones.
(1) Dada una función\(f : X \rightarrow Y \rightarrow E^{*}\) (de dos variables\(x, y\)), dejar\(f_{x}\) o\(f(x, \cdot)\) denotar la función on\(Y\) dada por
\[f_{x}(y)=f(x, y);\]
surge de\(f\) por fijación\(x\).
De igual manera,\(f^{y}\) o\(f(\cdot, y)\) está dada por\(f^{y}(x)=f(x, y)\).
(2) Definir\(g : X \rightarrow E^{*}\) por
\[g(x)=\int_{Y} f(x, \cdot) dn,\]
y establecer
\[\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\int_{X} g dm,\]
también escrito
\[\int_{X} dm(x) \int_{Y} f(x, y) dn(y).\]
Esto se llama la integral iterada de\(f\) on\(Y\) y\(X,\) en este orden.
Del mismo modo,
\[h(y)=\int_{X} f^{y} dm\]
y
\[\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\int_{Y} h dn.\]
Tenga en cuenta que por las reglas del §5, estas integrales siempre están definidas.
(3) Con\(f, g, h\) lo anterior, decimos que\(f\) es un mapa de Fubini o tiene las propiedades Fubini (después del matemático Fubini) iff
(a)\(g\) es\(m\) -mensurable en\(X\) y\(h\) es\(n\) -mensurable en\(Y\);
(b)\(f_{x}\) es\(n\) -medible en\(Y\) para casi todos\(x\) (es decir, para\(x \in X-Q\),\(m Q=0); f^{y}\) es\(m\) -mensurable en\(X\) para\(y \in Y-Q^{\prime}, n Q^{\prime}=0;\) y
(c) las integrales iteradas anteriores satisfacen
\[\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\int_{X \times Y} f dp\]
(el punto principal).
Para secuencias monótona
\[f_{k} : X \times Y \rightarrow E^{*} \quad(k=1,2, \ldots),\]
ahora obtenemos el siguiente lema.
Si\(0 \leq f_{k} \nearrow f\) (puntualmente) on\(X \times Y\) y si cada uno\(f_{k}\) tiene propiedad Fubini (a), (b) o (c), entonces\(f\) tiene la misma propiedad.
- Prueba
-
Para el\(k=1,2, \ldots,\) juego
\[g_{k}(x)=\int_{Y} f_{k}(x, \cdot) dn\]
y
\[h_{k}(y)=\int_{X} f_{k}(\cdot, y) dm.\]
Por sumisión,
\[0 \leq f_{k}(x, \cdot) \nearrow f(x, \cdot)\]
puntualmente sobre\(Y.\) Así por Teorema 4 en §6
\[\int_{Y} f_{k}(x, \cdot) \nearrow \int_{Y} f(x, \cdot) dn,\]
es decir,\(g_{k} \nearrow g\) (puntualmente) en\(X,\) con\(g\) como en la Definición 2.
Nuevamente, por el Teorema 4 de §6
\[\int_{X} g_{k} dm \nearrow \int_{X} g dm;\]
o por Definición 2,
\[\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{X} \int_{Y} f_{k} dn dm.\]
Similarmente para
\[\int_{Y} \int_{X} f dm dn\]
y
\[\int_{X \times Y} f dp.\]
De ahí\(f\) que satisfaga (c) si todos\(f_{k}\) lo hacen.
A continuación, dejar\(f_{k}\) tener propiedad (b); así\((\forall k) f_{k}(x, \cdot)\) es\(n\) -medible en\(Y\) if\(x \in X-Q_{k}\) (\(m Q_{k}=0\)). Let
\[Q=\bigcup_{k=1}^{\infty} Q_{k};\]
así\(m Q=0,\) y todos\(f_{k}(x, \cdot)\) son\(n\) -mensurables en\(Y,\) Por\(x \in X-Q.\) lo tanto, así es
\[f(x, \cdot)=\lim _{k \rightarrow \infty} f_{k}(x, \cdot).\]
De igual manera para\(f(\cdot, y).\) Así\(f\) satisface (b).
Propiedad (a) se desprende de\(g_{k} \rightarrow g\) y\(h_{k} \rightarrow h. \quad \square\)
Usando los Problemas 9 y 10 de §6, el lector también verificará fácilmente el siguiente lema.
(i) Si\(f_{1}\) y\(f_{2}\) son no negativos,\(p\) -mensurables mapas Fubini, así es\(af_{1}+b f_{2}\) para\(a, b \geq 0\).
ii) Si, además,
\[\int_{X \times Y} f_{1} d p<\infty \text { or } \int_{X \times Y} f_{2} d p<\infty,\]
entonces\(f_{1}-f_{2}\) es un mapa de Fubini, también
Dejar\(f=\sum_{i=1}^{\infty} f_{i}\) (puntual), con\(f_{i} \geq 0\) on\(X \times Y\).
(i) Si todos\(f_{i}\) son\(p\) -mensurables mapas de Fubini, así es\(f\).
(ii) Si el\(f_{i}\) tiene propiedades Fubini (a) y (b), entonces
\[\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{X} \int_{Y} f_{i} dn dm\]
y
\[\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{Y} \int_{X} f_{i} dm dn.\]
II. Por el Teorema 4 del Capítulo 7, §3, la familia\(\mathcal{C}\) (ver arriba) es un semiring, siendo producto de dos anillos,
\[\{A \in \mathcal{M} | mA<\infty\} \text { and }\{B \in \mathcal{N} | nB<\infty\}.\]
(¡Verifica!) Así, usando el Teorema 2 en el Capítulo 7, §6, ahora mostramos que\(p\) es una extensión de\(s : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}.\)
La premedida s del producto es\(\sigma\) -aditiva en el semiring\(\mathcal{C}.\) Por lo tanto
(i)\(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{P}^{*}\) y\(p=s<\infty\) sobre\(\mathcal{C},\) y
(ii) la función característica\(C_{D}\) de cualquier conjunto\(D \in \mathcal{C}\) es un mapa de Fubini.
- Prueba
-
Que\(D=A \times B \in \mathcal{C};\) así
\[C_{D}(x, y)=C_{A}(x) \cdot C_{B}(y).\]
(¿Por qué?) Por lo tanto, para un fijo\(x, C_{D}(x, \cdot)\) es solo un múltiplo del mapa\(\mathcal{N}\) -simple\(C_{B},\) por lo tanto\(n\) -medible en\(Y.\) También,
\[g(x)=\int_{Y} C_{D}(x, \cdot) dn=C_{A}(x) \cdot \int_{Y} C_{B} dn=C_{A}(x) \cdot nB;\]
por lo que\(g=C_{A} \cdot n B\) es\(\mathcal{M}\) -simple en\(X,\) con
\[\int_{X} \int_{Y} C_{D} dn dm=\int_{X} g dm=nB \int_{X} C_{A} dm=nB \cdot m A=sD.\]
Del mismo modo para\(C_{D}(\cdot, y),\) y
\[h(y)=\int_{X} C_{D}(\cdot, y) dm.\]
Así\(C_{D}\) tiene las propiedades Fubini (a) y (b), y para cada\(D \in \mathcal{C}\)
\[\int_{X} \int_{Y} C_{D} dn dm=\int_{Y} \int_{X} C_{D} dm dn=sD.\]
Para probar\(\sigma\) -aditividad, vamos
\[D=\bigcup_{i=1}^{\infty} D_{i} \text { (disjoint), } D_{i} \in \mathcal{C};\]
por lo
\[C_{D}=\sum_{i=1}^{\infty} C_{D_{i}}.\]
(¿Por qué?) Como se muestra arriba, cada uno\(C_{D_{i}}\) tiene propiedades Fubini (a) y (b); así por (1) y Lema 3,
\[sD=\int_{X} \int_{Y} C_{D} dn dm=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{X} \int_{Y} C_{D_{i}} dn dm=\sum_{i=1}^{\infty} sD_{i},\]
según sea necesario.
La aserción (i) sigue ahora por el Teorema 2 en el Capítulo 7, §6. De ahí
\[sD=pD=\int_{X \times Y} C_{D} dp;\]
por lo que por la fórmula (1),\(C_{D}\) también tiene propiedad Fubini (c), y todo está probado. \(\quad \square\)
A continuación, deja\(\mathcal{P}\) ser el\(\sigma\) anillo -generado por el semiring\(\mathcal{C}\) (so\(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}^{*}\)).
\(\mathcal{P}\)es la familia menos establecida de\(\mathcal{R}\) tal manera que
i)\(\mathcal{R} \supseteq \mathcal{C}\);
ii)\(\mathcal{R}\) esté cerrado bajo uniones disjuntas contables; y
iii)\(H-D \in \mathcal{R}\) si\(D \in \mathcal{R}\) y\(D \subseteq H, H \in \mathcal{C}\).
Esto es simplemente el Teorema 3 en el Capítulo 7, §3, con notación cambiada.
Si\(D \in \mathcal{P}\) (\(\sigma\)-generado por\(\mathcal{C}),\) entonces\(C_{D}\) es un mapa de Fubini.
- Prueba
-
\(\mathcal{R}\)Sea la familia de todos\(D \in \mathcal{P}\) tales que\(C_{D}\) sea un mapa de Fubini. Demostraremos que\(\mathcal{R}\) satisface (i) - (iii) del Lema 4, y así\(\mathcal{P} \subseteq \mathcal{R}.\)
ii) Dejar
\[D=\bigcup_{i=1}^{\infty} D_{i} \text { (disjoint),} \quad D_{i} \in \mathcal{R}.\]
Entonces
\[C_{D}=\sum_{i=1}^{\infty} C_{D_{i}},\]
y cada uno\(C_{D_{i}}\) es un mapa de Fubini. De ahí que así sea\(C_{D}\) por Lema 3. Así\(D \in \mathcal{R}\), demostrando (ii).
(iii) Debemos mostrar que\(C_{H-D}\) es un mapa de Fubini si\(C_{D}\) es y si\(D \subseteq H, H \in \mathcal{C}.\) Ahora,\(D \subseteq H\) implica
\[C_{H-D}=C_{H}-C_{D}.\]
(¿Por qué?) También, por el Teorema 1,\(H \in \mathcal{C}\) implica
\[\int_{X \times Y} C_{H} d p=p H=s H<\infty,\]
y\(C_{H}\) es un mapa de Fubini. Así es\(C_{D}\) por suposición. Así también es
\[C_{H-D}=C_{H}-C_{D}\]
por Lemma 2 (ii). Así\(H-D \in \mathcal{R},\) demostrando (iii).
Por Lemma 4, entonces,\(\mathcal{P} \subseteq \mathcal{R}.\) De ahí\((\forall D \in \mathcal{P}) C_{D}\) es un mapa de Fubini. \(\quad \square\)
Ahora podemos establecer uno de los teoremas principales, debido a Fubini.
Supongamos que\(f : X \times Y \rightarrow E^{*}\) es\(\mathcal{P}\) -medible en\(X \times Y\) (\(\mathcal{P}\)como arriba) rom. Entonces\(f\) es un mapa de Fubini si cualquiera
(i)\(f \geq 0\) en\(X \times Y,\) o
ii) uno de
\[\int_{X \times Y}|f| dp, \int_{X} \int_{Y}|f| dn dm, o r \int_{Y} \int_{X}|f| dm dn\]
es finito.
En ambos casos,
\[\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\int_{X \times Y} f dp.\]
- Prueba
-
Primero, vamos
\[f=\sum_{i=1}^{\infty} a_{i} C_{D_{i}} \quad\left(a_{i} \geq 0, D_{i} \in \mathcal{P}\right),\]
es decir,\(f\) es\(\mathcal{P}\) -elemental, de ahí ciertamente\(p\) -medible. (¿Por qué?) Por Lemmas 5 y 2, cada uno\(a_{i} C_{D_{i}}\) es un mapa de Fubini. De ahí que así sea\(f\) (Lema 3). La fórmula (2) es simplemente propiedad de Fubini (c).
Ahora tome cualquier\(\mathcal{P}\) -mensurable\(f \geq 0.\) Por Lema 2 en §2,
\[f=\lim _{k \rightarrow \infty} f_{k} \text { on } X \times Y\]
para alguna secuencia\(\left\{f_{k}\right\} \uparrow\) de mapas\(\mathcal{P}\) -elementales,\(f_{k} \geq 0.\) Como se muestra arriba, cada uno\(f_{k}\) es un mapa de Fubini. De ahí que así sea\(f\) por Lema 1. Esto resuelve el caso (i).
A continuación, asuma (ii). Como\(f\) es\(\mathcal{P}\) -medible, así son\(f^{+}, f_{-},\) y\(|f|\) (Teorema 2 en §2). Al ser no negativos, son mapas de Fubini por caso (i).
Así es\(f=f^{+}-f^{-}\) por Lema 2 (ii), ya que\(f^{+} \leq|f|\) implica
\[\int_{X \times Y} f^{+} d p<\infty\]
por nuestra suposición (ii). (Las tres integrales son iguales, al igual\(|f|\) que un mapa de Fubini.)
Así todo está probado. \(\quad \square\)
III. Ahora queremos sustituir\(\mathcal{P}\) por\(\mathcal{P}^{*}\) en Lema 5 y Teorema 2. Esto solo funciona bajo ciertas condiciones\(\sigma\) de finitud, como se muestra a continuación.
\(D \in \mathcal{P}^{*}\)Sea\(\sigma\) -finito, es decir,
\[D=\bigcup_{i=1}^{\infty} D_{i} \text { (disjoint)}\]
para algunos\(D_{i} \in \mathcal{P}^{*},\) con\(pD_{i}<\infty\)\((i=1,2, \ldots).\)
Entonces hay\(a K \in \mathcal{P}\) tal que\(p(K-D)=0\) y\(D \subseteq K\).
- Prueba
-
Como\(\mathcal{P}\) es un\(\sigma\) -anillo que\(\mathcal{C},\) lo contiene también contiene\(\mathcal{C}_{\sigma}.\) Así por Teorema 3 del Capítulo 7, §5,\(p^{*}\) es\(\mathcal{P}\) -regular.
Por lo demás, proceda como en los Teoremas 1 y 2 del Capítulo 7, §7. \(\quad \square\)
Si\(D \in \mathcal{P}^{*}\) es\(\sigma\) -finito (Lema 6), entonces\(C_{D}\) es un mapa de Fubini.
- Prueba
-
Por Lemma 6
\[(\exists K \in \mathcal{P}) \quad p(K-D)=0, D \subseteq K.\]
Que\(Q=K-D,\) así\(p Q=0,\) y\(C_{Q}=C_{K}-C_{D};\) eso es,\(C_{D}=C_{K}-C_{Q}\) y
\[\int_{X \times Y} C_{Q} d p=p Q=0.\]
Como\(K \in \mathcal{P}, C_{K}\) es un mapa de Fubini. Así, por Lema 2 (ii), todos se reducen a probar lo mismo para\(C_{Q}.\)
Ahora bien, como\(p Q=0, Q\) es ciertamente\(\sigma\) -finito; así por Lemma 6
\[(\exists Z \in \mathcal{P}) \quad Q \subseteq Z, p Z=p Q=0.\]
Otra vez\(C_{Z}\) es un mapa de Fubini; entonces
\[\int_{X} \int_{Y} C_{Z} d n d m=\int_{X \times Y} C_{Z} d p=p Z=0.\]
Como\(Q \subseteq Z,\) lo hemos hecho\(C_{Q} \leq C_{Z},\) y así
\[\begin{aligned} \int_{X} \int_{Y} C_{Q} dn dm &=\int_{X}\left[\int_{Y} C_{Q}(x, \cdot) dn\right] dm \\ & \leq \int_{X}\left[\int_{Y} C_{Z}(x, \cdot) dn\right] dm=\int_{X \times Y} C_{Z} dp=0. \end{aligned}\]
Del mismo modo,
\[\int_{Y} \int_{X} C_{Q} dm dn=\int_{Y}\left[\int_{X} C_{Q}(\cdot, y) dm\right] dn=0.\]
Así configurando
\[g(x)=\int_{Y} C_{Q}(x, \cdot) dn \text { and } h(y)=\int_{X} C_{Q}(\cdot, y) dm,\]
tenemos
\[\int_{X} g dm=0=\int_{Y} h dn.\]
De ahí que por Teorema 1 (h) en §5,\(g=0\) a.e. on\(X,\) y\(h=0\) a.e. on\(Y.\) So\(g\) y\(h\) son “casi” medibles (Definición 2 de §3); es decir,\(C_{Q}\) tiene la propiedad Fubini (a).
De igual manera, se establece (b), y (3) arroja la propiedad Fubini (c), ya que
\[\int_{X} \int_{Y} C_{Q} dn dm=\int_{Y} \int_{X} C_{Q} dm dn=\int_{X \times Y} C_{Q} dp=0,\]
según sea necesario. \(\quad \square\)
Supongamos que\(f : X \times Y \rightarrow E^{*}\) es\(\mathcal{P}^{*}\) -medible en\(X \times Y\) y satisface la condición (i) o (ii) del Teorema 2.
Entonces\(f\) es un mapa de Fubini, siempre que\(f\) tiene\(\sigma\) -soporte finito, es decir,\(f\) desaparece fuera de algún conjunto\(\sigma\) -finito\(H \subseteq X \times Y\).
- Prueba
-
Primero, vamos
\[f=\sum_{i=1}^{\infty} a_{i} C_{D_{i}} \quad\left(a_{i}>0, D_{i} \in \mathcal{P}^{*}\right),\]
con\(f=0\) on\(-H\) (como arriba).
Como\(f=a_{i} \neq 0\) en\(A_{i},\) debemos tener\(D_{i} \subseteq H;\) así que todos\(D_{i}\) son\(\sigma\) -finitos. (¿Por qué?) Así por Lemma 7, cada uno\(C_{D_{i}}\) es un mapa de Fubini, y también lo es\(f.\) (¿Por qué?)
Si\(f\) es\(\mathcal{P}^{*}\) -medible y no negativo, y\(f=0\) en adelante\(-H,\) podemos proceder como en el Teorema 2, haciendo\(f_{k}\) desaparecer todos en\(-H.\) Entonces los mapas\(f_{k}\) y\(f\) son Fubini por lo que se mostró arriba.
Por último, en el caso ii),\(f=0\) el\(-H\) implica
\[f^{+}=f^{-}=|f|=0 \text { on }-H.\]
Así\(f^{+}, f^{-},\) y\(f\) son los mapas de Fubini por la parte (i) y el argumento del Teorema 2. \(\quad \square\)
Nota 1. El soporte\(\sigma\) -finito es automático si\(f\) es\(p\) -integrable (Corolario 1 en §5), o si\(p\) o ambos\(m\) y\(n\) son\(\sigma\) -finitos (ver Problema 3). La condición también es redundante si\(f\) es\(\mathcal{P}\) -medible (Teorema 2; ver también Problema 4).
Nota 2. Por inducción, nuestras definiciones y teoremas 2 y 3 se extienden a cualquier número finito\(q\) de espacios de medida
\[\left(X_{i}, \mathcal{M}_{i}, m_{i}\right), \quad i=1, \ldots, q.\]
Uno escribe
\[p=m_{1} \times m_{2}\]
si\(q=2\) y establece
\[m_{1} \times m_{2} \times \cdots \times m_{q+1}=\left(m_{1} \times \cdots \times m_{q}\right) \times m_{q+1}.\]
Los teoremas 2 y 3 con supuestos similares establecen entonces que el orden de integraciones es inmaterial.
Nota 3. La medida de Lebesgue\(E^{q}\) puede ser tratada como el producto\(q\) de medidas unidimensionales. De igual manera para las medidas\(L S\) del producto (pero este método es menos general que el descrito en los Problemas 9 y 10 del Capítulo 7, §9).
IV. Los teoremas 2 (ii) y 3 (ii) se mantienen también para funciones
\[f : X \times Y \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\]
si las Definiciones 2 y 3 se modifican de la siguiente manera (para que tengan sentido para tales mapas): En la Definición 2, establezca
\[g(x)=\int_{Y} f_{x} dn\]
si\(f_{x}\) es\(n\) -integrable en\(Y,\) y de\(g(x)=0\) otra manera. De manera similar para\(h(y).\) En la Definición 3, sustitúyase “medible” por “integrable”
Para la prueba de los teoremas, aplicar los Teoremas 2 (i) y 3 (i) a\(|f|.\) Esto rinde
\[\int_{Y} \int_{X}|f| dm dn=\int_{X} \int_{Y}|f| dn dm=\int_{X \times Y}|f| dp.\]
De ahí que si una de estas integrales es finita,\(f\) es\(p\) -integrable\(X \times Y,\) y también lo son sus\(q\) componentes. El resultado luego sigue al señalar que\(f\) es un mapa de Fubini (en el sentido modificado) si sus componentes son. (¡Verifica!) Ver también Problema 12 a continuación.
V. En conclusión, señalar que integrales de la forma
\[\int_{D} f dp \quad\left(D \in \mathcal{P}^{*}\right)\]
reducir a
\[\int_{X \times Y} f \cdot C_{D} dp.\]
Por lo tanto, basta con considerar integrales por encima\(X \times Y\).