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# 8.8: Medidas del Producto. Integrales iteradas

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Dejar$$(X, \mathcal{M}, m)$$ y$$(Y, \mathcal{N}, n)$$ ser espacios de medida, con$$X \in \mathcal{M}$$ y$$Y \in \mathcal{N}.$$ Let$$\mathcal{C}$$ be la familia de todos los “rectángulos”, es decir, conjuntos

$A \times B,$

con$$A \in \mathcal{M}, B \in \mathcal{N}, m A<\infty,$$ y$$n B<\infty$$.

Definir una premedida$$s : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}$$

$s(A \times B)=m A \cdot n B, \quad A \times B \in \mathcal{C}.$

Dejar$$p^{*}$$ ser la medida externa$$s$$ inducida en$$X \times Y$$ y

$p : \mathcal{P}^{*} \rightarrow E^{*}$

la medida$$p^{*}$$ inducida (“medida del producto”$$p=m \times n$$) en el$$\sigma$$ campo$$\mathcal{P}^{*}$$ de todos los conjuntos$$p^{*}$$ medibles en$$X \times Y$$ (Capítulo 7, §§5-6).

Consideramos funciones$$f : X \times Y \rightarrow E^{*}$$ (ampliado-real).

I. Comenzamos con algunas definiciones.

## Definiciones

(1) Dada una función$$f : X \rightarrow Y \rightarrow E^{*}$$ (de dos variables$$x, y$$), dejar$$f_{x}$$ o$$f(x, \cdot)$$ denotar la función on$$Y$$ dada por

$f_{x}(y)=f(x, y);$

surge de$$f$$ por fijación$$x$$.

De igual manera,$$f^{y}$$ o$$f(\cdot, y)$$ está dada por$$f^{y}(x)=f(x, y)$$.

(2) Definir$$g : X \rightarrow E^{*}$$ por

$g(x)=\int_{Y} f(x, \cdot) dn,$

y establecer

$\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\int_{X} g dm,$

también escrito

$\int_{X} dm(x) \int_{Y} f(x, y) dn(y).$

Esto se llama la integral iterada de$$f$$ on$$Y$$ y$$X,$$ en este orden.

Del mismo modo,

$h(y)=\int_{X} f^{y} dm$

y

$\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\int_{Y} h dn.$

Tenga en cuenta que por las reglas del §5, estas integrales siempre están definidas.

(3) Con$$f, g, h$$ lo anterior, decimos que$$f$$ es un mapa de Fubini o tiene las propiedades Fubini (después del matemático Fubini) iff

(a)$$g$$ es$$m$$ -mensurable en$$X$$ y$$h$$ es$$n$$ -mensurable en$$Y$$;

(b)$$f_{x}$$ es$$n$$ -medible en$$Y$$ para casi todos$$x$$ (es decir, para$$x \in X-Q$$,$$m Q=0); f^{y}$$ es$$m$$ -mensurable en$$X$$ para$$y \in Y-Q^{\prime}, n Q^{\prime}=0;$$ y

(c) las integrales iteradas anteriores satisfacen

$\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\int_{X \times Y} f dp$

(el punto principal).

Para secuencias monótona

$f_{k} : X \times Y \rightarrow E^{*} \quad(k=1,2, \ldots),$

ahora obtenemos el siguiente lema.

## Lema$$\PageIndex{1}$$

Si$$0 \leq f_{k} \nearrow f$$ (puntualmente) on$$X \times Y$$ y si cada uno$$f_{k}$$ tiene propiedad Fubini (a), (b) o (c), entonces$$f$$ tiene la misma propiedad.

Prueba

Para el$$k=1,2, \ldots,$$ juego

$g_{k}(x)=\int_{Y} f_{k}(x, \cdot) dn$

y

$h_{k}(y)=\int_{X} f_{k}(\cdot, y) dm.$

Por sumisión,

$0 \leq f_{k}(x, \cdot) \nearrow f(x, \cdot)$

puntualmente sobre$$Y.$$ Así por Teorema 4 en §6

$\int_{Y} f_{k}(x, \cdot) \nearrow \int_{Y} f(x, \cdot) dn,$

es decir,$$g_{k} \nearrow g$$ (puntualmente) en$$X,$$ con$$g$$ como en la Definición 2.

Nuevamente, por el Teorema 4 de §6

$\int_{X} g_{k} dm \nearrow \int_{X} g dm;$

o por Definición 2,

$\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{X} \int_{Y} f_{k} dn dm.$

Similarmente para

$\int_{Y} \int_{X} f dm dn$

y

$\int_{X \times Y} f dp.$

De ahí$$f$$ que satisfaga (c) si todos$$f_{k}$$ lo hacen.

A continuación, dejar$$f_{k}$$ tener propiedad (b); así$$(\forall k) f_{k}(x, \cdot)$$ es$$n$$ -medible en$$Y$$ if$$x \in X-Q_{k}$$ ($$m Q_{k}=0$$). Let

$Q=\bigcup_{k=1}^{\infty} Q_{k};$

así$$m Q=0,$$ y todos$$f_{k}(x, \cdot)$$ son$$n$$ -mensurables en$$Y,$$ Por$$x \in X-Q.$$ lo tanto, así es

$f(x, \cdot)=\lim _{k \rightarrow \infty} f_{k}(x, \cdot).$

De igual manera para$$f(\cdot, y).$$ Así$$f$$ satisface (b).

Propiedad (a) se desprende de$$g_{k} \rightarrow g$$ y$$h_{k} \rightarrow h. \quad \square$$

Usando los Problemas 9 y 10 de §6, el lector también verificará fácilmente el siguiente lema.

## Lema$$\PageIndex{2}$$

(i) Si$$f_{1}$$ y$$f_{2}$$ son no negativos,$$p$$ -mensurables mapas Fubini, así es$$af_{1}+b f_{2}$$ para$$a, b \geq 0$$.

$\int_{X \times Y} f_{1} d p<\infty \text { or } \int_{X \times Y} f_{2} d p<\infty,$

entonces$$f_{1}-f_{2}$$ es un mapa de Fubini, también

## Lema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f=\sum_{i=1}^{\infty} f_{i}$$ (puntual), con$$f_{i} \geq 0$$ on$$X \times Y$$.

(i) Si todos$$f_{i}$$ son$$p$$ -mensurables mapas de Fubini, así es$$f$$.

(ii) Si el$$f_{i}$$ tiene propiedades Fubini (a) y (b), entonces

$\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{X} \int_{Y} f_{i} dn dm$

y

$\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{Y} \int_{X} f_{i} dm dn.$

II. Por el Teorema 4 del Capítulo 7, §3, la familia$$\mathcal{C}$$ (ver arriba) es un semiring, siendo producto de dos anillos,

$\{A \in \mathcal{M} | mA<\infty\} \text { and }\{B \in \mathcal{N} | nB<\infty\}.$

(¡Verifica!) Así, usando el Teorema 2 en el Capítulo 7, §6, ahora mostramos que$$p$$ es una extensión de$$s : \mathcal{C} \rightarrow E^{1}.$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

La premedida s del producto es$$\sigma$$ -aditiva en el semiring$$\mathcal{C}.$$ Por lo tanto

(i)$$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{P}^{*}$$ y$$p=s<\infty$$ sobre$$\mathcal{C},$$ y

(ii) la función característica$$C_{D}$$ de cualquier conjunto$$D \in \mathcal{C}$$ es un mapa de Fubini.

Prueba

Que$$D=A \times B \in \mathcal{C};$$ así

$C_{D}(x, y)=C_{A}(x) \cdot C_{B}(y).$

(¿Por qué?) Por lo tanto, para un fijo$$x, C_{D}(x, \cdot)$$ es solo un múltiplo del mapa$$\mathcal{N}$$ -simple$$C_{B},$$ por lo tanto$$n$$ -medible en$$Y.$$ También,

$g(x)=\int_{Y} C_{D}(x, \cdot) dn=C_{A}(x) \cdot \int_{Y} C_{B} dn=C_{A}(x) \cdot nB;$

por lo que$$g=C_{A} \cdot n B$$ es$$\mathcal{M}$$ -simple en$$X,$$ con

$\int_{X} \int_{Y} C_{D} dn dm=\int_{X} g dm=nB \int_{X} C_{A} dm=nB \cdot m A=sD.$

Del mismo modo para$$C_{D}(\cdot, y),$$ y

$h(y)=\int_{X} C_{D}(\cdot, y) dm.$

Así$$C_{D}$$ tiene las propiedades Fubini (a) y (b), y para cada$$D \in \mathcal{C}$$

$\int_{X} \int_{Y} C_{D} dn dm=\int_{Y} \int_{X} C_{D} dm dn=sD.$

Para probar$$\sigma$$ -aditividad, vamos

$D=\bigcup_{i=1}^{\infty} D_{i} \text { (disjoint), } D_{i} \in \mathcal{C};$

por lo

$C_{D}=\sum_{i=1}^{\infty} C_{D_{i}}.$

(¿Por qué?) Como se muestra arriba, cada uno$$C_{D_{i}}$$ tiene propiedades Fubini (a) y (b); así por (1) y Lema 3,

$sD=\int_{X} \int_{Y} C_{D} dn dm=\sum_{i=1}^{\infty} \int_{X} \int_{Y} C_{D_{i}} dn dm=\sum_{i=1}^{\infty} sD_{i},$

según sea necesario.

La aserción (i) sigue ahora por el Teorema 2 en el Capítulo 7, §6. De ahí

$sD=pD=\int_{X \times Y} C_{D} dp;$

por lo que por la fórmula (1),$$C_{D}$$ también tiene propiedad Fubini (c), y todo está probado. $$\quad \square$$

A continuación, deja$$\mathcal{P}$$ ser el$$\sigma$$ anillo -generado por el semiring$$\mathcal{C}$$ (so$$\mathcal{C} \subseteq \mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}^{*}$$).

## Lema$$\PageIndex{4}$$

$$\mathcal{P}$$es la familia menos establecida de$$\mathcal{R}$$ tal manera que

i)$$\mathcal{R} \supseteq \mathcal{C}$$;

ii)$$\mathcal{R}$$ esté cerrado bajo uniones disjuntas contables; y

iii)$$H-D \in \mathcal{R}$$ si$$D \in \mathcal{R}$$ y$$D \subseteq H, H \in \mathcal{C}$$.

Esto es simplemente el Teorema 3 en el Capítulo 7, §3, con notación cambiada.

## Lema$$\PageIndex{5}$$

Si$$D \in \mathcal{P}$$ ($$\sigma$$-generado por$$\mathcal{C}),$$ entonces$$C_{D}$$ es un mapa de Fubini.

Prueba

$$\mathcal{R}$$Sea la familia de todos$$D \in \mathcal{P}$$ tales que$$C_{D}$$ sea un mapa de Fubini. Demostraremos que$$\mathcal{R}$$ satisface (i) - (iii) del Lema 4, y así$$\mathcal{P} \subseteq \mathcal{R}.$$

ii) Dejar

$D=\bigcup_{i=1}^{\infty} D_{i} \text { (disjoint),} \quad D_{i} \in \mathcal{R}.$

Entonces

$C_{D}=\sum_{i=1}^{\infty} C_{D_{i}},$

y cada uno$$C_{D_{i}}$$ es un mapa de Fubini. De ahí que así sea$$C_{D}$$ por Lema 3. Así$$D \in \mathcal{R}$$, demostrando (ii).

(iii) Debemos mostrar que$$C_{H-D}$$ es un mapa de Fubini si$$C_{D}$$ es y si$$D \subseteq H, H \in \mathcal{C}.$$ Ahora,$$D \subseteq H$$ implica

$C_{H-D}=C_{H}-C_{D}.$

(¿Por qué?) También, por el Teorema 1,$$H \in \mathcal{C}$$ implica

$\int_{X \times Y} C_{H} d p=p H=s H<\infty,$

y$$C_{H}$$ es un mapa de Fubini. Así es$$C_{D}$$ por suposición. Así también es

$C_{H-D}=C_{H}-C_{D}$

por Lemma 2 (ii). Así$$H-D \in \mathcal{R},$$ demostrando (iii).

Por Lemma 4, entonces,$$\mathcal{P} \subseteq \mathcal{R}.$$ De ahí$$(\forall D \in \mathcal{P}) C_{D}$$ es un mapa de Fubini. $$\quad \square$$

Ahora podemos establecer uno de los teoremas principales, debido a Fubini.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$ (Fubini I)

Supongamos que$$f : X \times Y \rightarrow E^{*}$$ es$$\mathcal{P}$$ -medible en$$X \times Y$$ ($$\mathcal{P}$$como arriba) rom. Entonces$$f$$ es un mapa de Fubini si cualquiera

(i)$$f \geq 0$$ en$$X \times Y,$$ o

ii) uno de

$\int_{X \times Y}|f| dp, \int_{X} \int_{Y}|f| dn dm, o r \int_{Y} \int_{X}|f| dm dn$

es finito.

En ambos casos,

$\int_{X} \int_{Y} f dn dm=\int_{Y} \int_{X} f dm dn=\int_{X \times Y} f dp.$

Prueba

Primero, vamos

$f=\sum_{i=1}^{\infty} a_{i} C_{D_{i}} \quad\left(a_{i} \geq 0, D_{i} \in \mathcal{P}\right),$

es decir,$$f$$ es$$\mathcal{P}$$ -elemental, de ahí ciertamente$$p$$ -medible. (¿Por qué?) Por Lemmas 5 y 2, cada uno$$a_{i} C_{D_{i}}$$ es un mapa de Fubini. De ahí que así sea$$f$$ (Lema 3). La fórmula (2) es simplemente propiedad de Fubini (c).

Ahora tome cualquier$$\mathcal{P}$$ -mensurable$$f \geq 0.$$ Por Lema 2 en §2,

$f=\lim _{k \rightarrow \infty} f_{k} \text { on } X \times Y$

para alguna secuencia$$\left\{f_{k}\right\} \uparrow$$ de mapas$$\mathcal{P}$$ -elementales,$$f_{k} \geq 0.$$ Como se muestra arriba, cada uno$$f_{k}$$ es un mapa de Fubini. De ahí que así sea$$f$$ por Lema 1. Esto resuelve el caso (i).

A continuación, asuma (ii). Como$$f$$ es$$\mathcal{P}$$ -medible, así son$$f^{+}, f_{-},$$ y$$|f|$$ (Teorema 2 en §2). Al ser no negativos, son mapas de Fubini por caso (i).

Así es$$f=f^{+}-f^{-}$$ por Lema 2 (ii), ya que$$f^{+} \leq|f|$$ implica

$\int_{X \times Y} f^{+} d p<\infty$

por nuestra suposición (ii). (Las tres integrales son iguales, al igual$$|f|$$ que un mapa de Fubini.)

Así todo está probado. $$\quad \square$$

III. Ahora queremos sustituir$$\mathcal{P}$$ por$$\mathcal{P}^{*}$$ en Lema 5 y Teorema 2. Esto solo funciona bajo ciertas condiciones$$\sigma$$ de finitud, como se muestra a continuación.

## Lema$$\PageIndex{6}$$

$$D \in \mathcal{P}^{*}$$Sea$$\sigma$$ -finito, es decir,

$D=\bigcup_{i=1}^{\infty} D_{i} \text { (disjoint)}$

para algunos$$D_{i} \in \mathcal{P}^{*},$$ con$$pD_{i}<\infty$$$$(i=1,2, \ldots).$$

Entonces hay$$a K \in \mathcal{P}$$ tal que$$p(K-D)=0$$ y$$D \subseteq K$$.

Prueba

Como$$\mathcal{P}$$ es un$$\sigma$$ -anillo que$$\mathcal{C},$$ lo contiene también contiene$$\mathcal{C}_{\sigma}.$$ Así por Teorema 3 del Capítulo 7, §5,$$p^{*}$$ es$$\mathcal{P}$$ -regular.

Por lo demás, proceda como en los Teoremas 1 y 2 del Capítulo 7, §7. $$\quad \square$$

## Lema$$\PageIndex{7}$$

Si$$D \in \mathcal{P}^{*}$$ es$$\sigma$$ -finito (Lema 6), entonces$$C_{D}$$ es un mapa de Fubini.

Prueba

Por Lemma 6

$(\exists K \in \mathcal{P}) \quad p(K-D)=0, D \subseteq K.$

Que$$Q=K-D,$$ así$$p Q=0,$$ y$$C_{Q}=C_{K}-C_{D};$$ eso es,$$C_{D}=C_{K}-C_{Q}$$ y

$\int_{X \times Y} C_{Q} d p=p Q=0.$

Como$$K \in \mathcal{P}, C_{K}$$ es un mapa de Fubini. Así, por Lema 2 (ii), todos se reducen a probar lo mismo para$$C_{Q}.$$

Ahora bien, como$$p Q=0, Q$$ es ciertamente$$\sigma$$ -finito; así por Lemma 6

$(\exists Z \in \mathcal{P}) \quad Q \subseteq Z, p Z=p Q=0.$

Otra vez$$C_{Z}$$ es un mapa de Fubini; entonces

$\int_{X} \int_{Y} C_{Z} d n d m=\int_{X \times Y} C_{Z} d p=p Z=0.$

Como$$Q \subseteq Z,$$ lo hemos hecho$$C_{Q} \leq C_{Z},$$ y así

\begin{aligned} \int_{X} \int_{Y} C_{Q} dn dm &=\int_{X}\left[\int_{Y} C_{Q}(x, \cdot) dn\right] dm \\ & \leq \int_{X}\left[\int_{Y} C_{Z}(x, \cdot) dn\right] dm=\int_{X \times Y} C_{Z} dp=0. \end{aligned}

Del mismo modo,

$\int_{Y} \int_{X} C_{Q} dm dn=\int_{Y}\left[\int_{X} C_{Q}(\cdot, y) dm\right] dn=0.$

Así configurando

$g(x)=\int_{Y} C_{Q}(x, \cdot) dn \text { and } h(y)=\int_{X} C_{Q}(\cdot, y) dm,$

tenemos

$\int_{X} g dm=0=\int_{Y} h dn.$

De ahí que por Teorema 1 (h) en §5,$$g=0$$ a.e. on$$X,$$ y$$h=0$$ a.e. on$$Y.$$ So$$g$$ y$$h$$ son “casi” medibles (Definición 2 de §3); es decir,$$C_{Q}$$ tiene la propiedad Fubini (a).

De igual manera, se establece (b), y (3) arroja la propiedad Fubini (c), ya que

$\int_{X} \int_{Y} C_{Q} dn dm=\int_{Y} \int_{X} C_{Q} dm dn=\int_{X \times Y} C_{Q} dp=0,$

según sea necesario. $$\quad \square$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$ (Fubini II)

Supongamos que$$f : X \times Y \rightarrow E^{*}$$ es$$\mathcal{P}^{*}$$ -medible en$$X \times Y$$ y satisface la condición (i) o (ii) del Teorema 2.

Entonces$$f$$ es un mapa de Fubini, siempre que$$f$$ tiene$$\sigma$$ -soporte finito, es decir,$$f$$ desaparece fuera de algún conjunto$$\sigma$$ -finito$$H \subseteq X \times Y$$.

Prueba

Primero, vamos

$f=\sum_{i=1}^{\infty} a_{i} C_{D_{i}} \quad\left(a_{i}>0, D_{i} \in \mathcal{P}^{*}\right),$

con$$f=0$$ on$$-H$$ (como arriba).

Como$$f=a_{i} \neq 0$$ en$$A_{i},$$ debemos tener$$D_{i} \subseteq H;$$ así que todos$$D_{i}$$ son$$\sigma$$ -finitos. (¿Por qué?) Así por Lemma 7, cada uno$$C_{D_{i}}$$ es un mapa de Fubini, y también lo es$$f.$$ (¿Por qué?)

Si$$f$$ es$$\mathcal{P}^{*}$$ -medible y no negativo, y$$f=0$$ en adelante$$-H,$$ podemos proceder como en el Teorema 2, haciendo$$f_{k}$$ desaparecer todos en$$-H.$$ Entonces los mapas$$f_{k}$$ y$$f$$ son Fubini por lo que se mostró arriba.

Por último, en el caso ii),$$f=0$$ el$$-H$$ implica

$f^{+}=f^{-}=|f|=0 \text { on }-H.$

Así$$f^{+}, f^{-},$$ y$$f$$ son los mapas de Fubini por la parte (i) y el argumento del Teorema 2. $$\quad \square$$

Nota 1. El soporte$$\sigma$$ -finito es automático si$$f$$ es$$p$$ -integrable (Corolario 1 en §5), o si$$p$$ o ambos$$m$$ y$$n$$ son$$\sigma$$ -finitos (ver Problema 3). La condición también es redundante si$$f$$ es$$\mathcal{P}$$ -medible (Teorema 2; ver también Problema 4).

Nota 2. Por inducción, nuestras definiciones y teoremas 2 y 3 se extienden a cualquier número finito$$q$$ de espacios de medida

$\left(X_{i}, \mathcal{M}_{i}, m_{i}\right), \quad i=1, \ldots, q.$

Uno escribe

$p=m_{1} \times m_{2}$

si$$q=2$$ y establece

$m_{1} \times m_{2} \times \cdots \times m_{q+1}=\left(m_{1} \times \cdots \times m_{q}\right) \times m_{q+1}.$

Los teoremas 2 y 3 con supuestos similares establecen entonces que el orden de integraciones es inmaterial.

Nota 3. La medida de Lebesgue$$E^{q}$$ puede ser tratada como el producto$$q$$ de medidas unidimensionales. De igual manera para las medidas$$L S$$ del producto (pero este método es menos general que el descrito en los Problemas 9 y 10 del Capítulo 7, §9).

IV. Los teoremas 2 (ii) y 3 (ii) se mantienen también para funciones

$f : X \times Y \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)$

si las Definiciones 2 y 3 se modifican de la siguiente manera (para que tengan sentido para tales mapas): En la Definición 2, establezca

$g(x)=\int_{Y} f_{x} dn$

si$$f_{x}$$ es$$n$$ -integrable en$$Y,$$ y de$$g(x)=0$$ otra manera. De manera similar para$$h(y).$$ En la Definición 3, sustitúyase “medible” por “integrable”

Para la prueba de los teoremas, aplicar los Teoremas 2 (i) y 3 (i) a$$|f|.$$ Esto rinde

$\int_{Y} \int_{X}|f| dm dn=\int_{X} \int_{Y}|f| dn dm=\int_{X \times Y}|f| dp.$

De ahí que si una de estas integrales es finita,$$f$$ es$$p$$ -integrable$$X \times Y,$$ y también lo son sus$$q$$ componentes. El resultado luego sigue al señalar que$$f$$ es un mapa de Fubini (en el sentido modificado) si sus componentes son. (¡Verifica!) Ver también Problema 12 a continuación.

V. En conclusión, señalar que integrales de la forma

$\int_{D} f dp \quad\left(D \in \mathcal{P}^{*}\right)$

reducir a

$\int_{X \times Y} f \cdot C_{D} dp.$

Por lo tanto, basta con considerar integrales por encima$$X \times Y$$.

8.8: Medidas del Producto. Integrales iteradas is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.