8.9: Integración de Riemann. Integrales de Stieltjes

I. En esta sección,\(\mathcal{C}\) se encuentra la familia de todos los intervalos en\(E^{n},\) y\(m\) es una premedida finita aditiva sobre\(\mathcal{C}\) (o\(\mathcal{C}_{s}\)), tal como la función de volumen\(v\) (Capítulo 7, §§1-2).

Por una\(\mathcal{C}\) partición -de\(A \in \mathcal{C}\) (o\(A \in \mathcal{C}_{s}\)), nos referimos a una familia finita

\[\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\} \subset \mathcal{C}\]

tal que

\[A=\bigcup_{i} A_{i} \text { (disjoint).}\]

Como señalamos en §5, la integral de Riemann,

\[R \int_{A} f=R \int_{A} f dm,\]

de\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) puede definirse como su contraparte Lebesgue,

\[\int_{A} f,\]

con mapas elementales reemplazados por funciones de pasos simples (mapas”\(\mathcal{C}\) -simples”.) Equivalentemente, se puede utilizar la siguiente construcción, debido a J. G. Darboux.

Definiciones

(a) Dado\(f : E^{n} \rightarrow E^{*}\) y a\(\mathcal{C}\) -partición

\[\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}\]

de\(A,\) definimos las sumas inferior y superior de Darboux,\(\underline{S}\) y\(\overline{S},\) de\(f\) más\(\mathcal{P}\) (con respecto a\(m\)) por

\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i=1}^{q} m A_{i} \cdot \inf f\left[A_{i}\right] \text { and } \overline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i=1}^{q} m A_{i} \cdot \sup f\left[A_{i}\right].\]

(b) Las integrales inferiores y superiores de Riemann (“R-integrales”) o\(f\) on\(A\) (con respecto a\(m)\) son

\[\left. \begin{array}{l}{R \underline{\int}_{A} f=R \underline{\int}_{A} f dm=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P}) \text { and }} \\ {R \overline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f dm=\inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(f, \mathcal{P}),}\end{array} \right\} \]

donde el “inf” y el “sup” se toman sobre todas\(\mathcal{C}\) las particiones\(\mathcal{P}\) de\(A\).

(c) Decimos que\(f\) es Riemann-integrable (“R-integrable”) con respecto a\(m\) on\(A\) iff\(f\) está limitado en\(A\) y

\[R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f.\]

Luego establecemos

\[R \int_{A} f=R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f dm=R \int_{A} f dm\]

y lo llaman la integral de Riemann (“R-integral”) de\(f\) la notación\(A.\) “Clásica”:

\[R \int_{A} f(\overline{x}) dm(\overline{x}).\]

Si\(A=[a, b] \subset E^{1},\) también escribimos

\[R \int_{a}^{b} f=R \int_{a}^{b} f(x) dm(x)\]

en su lugar.

Si\(m\) es Lebesgue medida (o premedida) en\(E^{1},\) escribimos "\(dx\)" para "”\(dm(x)\).

Para integrales de Lebesgue, reemplazamos\(R\) "" por "”\(L\), o simplemente omitimos "\(R.\)”

Si\(f\) es R-integrable en\(A,\) nosotros también decimos que

\[R \int_{A} f\]

existe (tenga en cuenta que esto implica la generosidad de\(f);\) nota que

\[R \underline{\int}_{A} f \text { and } R \overline{\int}_{A} f\]

siempre se definen en\(E^{*}\).

A continuación, siempre restringimos\(f\) a un fijo\(A \in \mathcal{C}\) (o\(A \in \mathcal{C}_{s}\));\(\mathcal{P}, \mathcal{P}^{\prime}, \mathcal{P}^{\prime \prime}, \mathcal{P}^{*}\) y\(\mathcal{P}_{k}\) denotamos\(\mathcal{C}\) -particiones de\(A.\)

Ahora obtenemos el siguiente resultado para cualquier aditivo\(m : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty)\).

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Si\(\mathcal{P}\) refina\(\mathcal{P}^{\prime}\) (§1), entonces

\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right).\]

Prueba

Let\(\mathcal{P}^{\prime}=\left\{A_{i}\right\}, \mathcal{P}=\left\{B_{i k}\right\},\) y

\[(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k} B_{i k}.\]

Por aditividad,

\[m A_{i}=\sum_{k} m B_{i k}.\]

También,\(B_{i k} \subseteq A_{i}\) implica

\[\begin{aligned} f\left[B_{i k}\right] & \subseteq f\left[A_{i}\right]; \\ \sup f\left[B_{i k}\right] & \leq \sup f\left[A_{i}\right]; \text { and } \\ \inf f\left[B_{i k}\right] & \geq \inf f\left[A_{i}\right]. \end{aligned}\]

Así que configurando

\[a_{i}=\inf f\left[A_{i}\right] \text { and } b_{i k}=\inf f\left[B_{i k}\right],\]

obtenemos

\[\begin{aligned} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i} &=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m B_{i k} \\ & \leq \sum_{i, k} b_{i k} m B_{i k}=\underline{S}(f, \mathcal{P}). \end{aligned}\]

Del mismo modo,

\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}),\]

y

\[\underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P})\]

es obvio a partir de (1). \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{2}\)

Para cualquier\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\),

\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right).\]

De ahí

\[R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f.\]

Prueba

Vamos\(\mathcal{P}=\mathcal{P}^{\prime} \cap \mathcal{P}^{\prime \prime}\) (ver §1). Como\(\mathcal{P}\) refina ambos\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\), Corolario 1 rinde

\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right).\]

Por lo tanto, en efecto, ninguna suma inferior\(\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)\) supera a ninguna suma superior\(\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)\).

De ahí también,

\[\sup _{\mathcal{P}^{\prime}} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \inf _{\mathcal{P}^{\prime \prime}} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right),\]

es decir,

\[R\underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f,\]

según lo reclamado. \(\quad \square\)

Lema\(\PageIndex{1}\)

Un mapa\(f : A \rightarrow E^{1}\) es\(R\) -integrable iff\(f\) está delimitado y, además,

\[(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \mathcal{P}) \quad \overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P})<\varepsilon.\]

Prueba

Por las fórmulas (1) y (2),

\[\underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}).\]

Por lo tanto (3) implica

\[\left|R \overline{\int}_{A} f-R \underline{\int}_{A} f\right|<\varepsilon.\]

Como\(\varepsilon\) es arbitrario, obtenemos

\[R \overline{\int}_{A} f=R \underline{\int}_{\underline{A}} f;\]

así\(f\) es R-integrable.

Por el contrario, en caso afirmativo, las definiciones b) y c) implican la existencia\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\) tal que

\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)>R \int_{A} f-\frac{1}{2} \varepsilon\]

y

\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)<R \int_{A} f+\frac{1}{2} \varepsilon.\]

Vamos a\(\mathcal{P}\) refinar ambos\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}.\) Luego por Corolario 1,

\[\begin{aligned} \overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P}) & \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \\ &<\left(R \int_{A} f+\frac{1}{2} \varepsilon\right)-\left(R \int_{A} f-\frac{1}{2} \varepsilon\right)=\varepsilon, \end{aligned}\]

según sea necesario. \(\quad \square\)

Lema\(\PageIndex{2}\)

Let\(f\) be\(\mathcal{C}\) -simple; digamos,\(f=a_{i}\) on\(A_{i}\) para alguna\(\mathcal{C}\) -partición\(\mathcal{P}^{*}=\)\(\left\{A_{i}\right\}\) de\(A\) (luego escribimos

\[f=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}}\]

en\(A;\) ver Nota 4 del §4).

Entonces

\[R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i}.\]

Por lo tanto, cualquier función finita\(\mathcal{C}\) -simple es R-integrable, con\(R \int_{A} f\) como en (4).

Prueba

Dada cualquier\(\mathcal{C}\) -partición\(\mathcal{P}=\left\{B_{k}\right\}\) de\(A,\) considerar

\[\mathcal{P}^{*} \acdot \mathcal{P}=\left\{A_{i} \cap B_{k}\right\}.\]

Como\(f=a_{i}\) en\(A_{i} \cap B_{k}\) (incluso en todos\(A_{i}\)),

\[a_{i}=\inf f\left[A_{i} \cap B_{k}\right]=\sup f\left[A_{i} \cap B_{k}\right].\]También,

\[A=\bigcup_{i, k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right) \text { (disjoint)}\]

y

\[(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right);\]

por lo

\[mA_{i}=\sum_{k} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)\]

y

\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)\]

para cualquiera de tales\(\mathcal{P}\).

De ahí también

\[\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P})=R \underline{\int}_{A} f.\]

Similarmente para\(R \overline{\int}_{A} f.\) Esto prueba (4).

Si, además,\(f\) es finito, está acotado (por max\(\left|a_{i}\right|\)) ya que solo hay finitamente muchos\(a_{i};\) así\(f\) es R-integrable encendido\(A,\) y todo está probado. \(\quad \square\)

Nota 1. Así\(\underline{S}\) y\(\overline{S}\) son integrales de\(\mathcal{C}\) -mapas simples, y la definición (b) se puede replantear:

\[R \underline{\int}_{A} f=\sup_{g} R \int_{A} g \text { and } R \overline{\int}_{A} f=\inf_{h} R \int_{A} h,\]

tomando el sup y el inf sobre todos los mapas\(\mathcal{C}\) simples\(g, h\) con

\[g \leq f \leq h \text { on } A.\]

(Verificar por propiedades de glb y lub!)

Por lo tanto, ahora podemos desarrollar R-integración como en §§4-5, reemplazando mapas elementales por\(\mathcal{C}\) -mapas simples, con\(S=E^{n}.\) En particular, el Problema 5 en §5 funciona como antes.

De ahí que siga la linealidad (Teorema 1 de §6), con la misma prueba. También se obtiene aditividad (limitada a\(\mathcal{C}\) -particiones). Además, la integrabilidad R de\(f\) e\(g\) implica la de\(f g, f \vee g, f \wedge g,\) y\(|f|.\) (Ver los Problemas.)

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Si\(f_{i} \rightarrow f\) (uniformemente) encendido\(A\) y si\(f_{i}\) son R-integrables encendido\(A\), así también es\(f.\) Además,

\[\lim_{i \rightarrow \infty} R \int_{A}\left|f-f_{i}\right|=0 \text { and } \lim_{i \rightarrow \infty} R \int_{A} f_{i}=R \int_{A} f.\]

Prueba

Como todos\(f_{i}\) están acotados (definición (c)), así lo es\(f,\) por el Problema 10 del Capítulo 4, §12.

Ahora, dado\(\varepsilon>0,\) arreglo\(k\) tal que

\[(\forall i \geq k) \quad\left|f-f_{i}\right|<\frac{\varepsilon}{m A} \quad \text {on } A.\]

Verifica que

\[(\forall i \geq k) \text{ } (\forall \mathcal{P}) \quad\left|\underline{S}\left(f-f_{i}, \mathcal{P}\right)\right|<\varepsilon \text { and }\left|\overline{S}\left(f-f_{i}, \mathcal{P}\right)\right|<\varepsilon;\]

arreglar uno de esos\(f_{i}\) y elegir un\(\mathcal{P}\) tal que

\[\overline{S}\left(f_{i}, \mathcal{P}\right)-\underline{S}\left(f_{i}, \mathcal{P}\right)<\varepsilon,\]

que se puede hacer por Lema 1. Entonces para esto\(\mathcal{P}\),

\[\overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P})<3 \varepsilon.\]

(¿Por qué?) Por Lema 1, entonces,\(f\) es R-integrable en\(A\).

Por último,

\[\begin{aligned}\left|R \int_{A} f-R \int_{A} f_{i}\right| & \leq R \int_{A}\left|f-f_{i}\right| \\ & \leq R \int_{A}\left(\frac{\varepsilon}{m A}\right)=m A\left(\frac{\varepsilon}{m A}\right)=\varepsilon \end{aligned}\]

para todos\(i \geq k.\) De ahí la segunda cláusula de nuestro teorema sigue, también. \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{3}\)

Si\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) está acotado y regulado (Capítulo 5, §10) en\(A=[a, b],\) entonces\(f\) es R-integrable en\(A.\)

En particular, esto se aplica si\(f\) es monótona, o de variación limitada, o relativamente continua, o una función escalonada, en\(A.\)

Prueba

Por Lemma 2, esto se aplica a\(\mathcal{C}\) -mapas simples.

Ahora,\(f\) déjese regular (e.g., del tipo especificado anteriormente).

Luego por el Lema 2 del Capítulo 5, §10,

\[f=\lim _{i \rightarrow \infty} g_{i} \quad \text {(uniformly)}\]

para finito\(\mathcal{C}\) -simple\(g_{i}\).

Así\(f\) es R-integrable\(A\) por el Teorema 1. \(\quad \square\)

II. De ahora en adelante, asumimos que\(m\) es una medida en un\(\sigma\) anillo\(\mathcal{M} \supseteq \mathcal{C}\) en\(E^{n}\), con\(m<\infty\) on\(\mathcal{C}\). (Para un lector que tomó el “enfoque limitado”, ahora es el momento de considerar los §§4-6 en su totalidad.) La medida\(m\) puede, pero no es necesario, ser medida Lebesgue en\(E^{n}.\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) es R-integrable en\(A \in \mathcal{C},\) él también es Lebesgue integrable (con respecto a\(m\) lo anterior) en\(A,\) y

\[L \int_{A} f=R \int_{A} f,\]

Prueba

Dada una\(\mathcal{C}\) partición\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\) -de\(A,\) definir los mapas\(\mathcal{C}\) -simples

\[g=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}} \text { and } h=\sum_{i} b_{i} C_{A_{i}}\]

con

\[a_{i}=\inf f\left[A_{i}\right] \text { and } b_{i}=\sup f\left[A_{i}\right].\]

Luego\(g \leq f \leq h\)\(A\) con

\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=L \int_{A} g\]

y

\[\overline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} b_{i} m A_{i}=L \int_{A} h.\]

Por Teorema 1 (c) en §5

\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=L \int_{A} g \leq L \underline{\int}_{A} f \leq L \overline{\int}_{A} f \leq L \int_{A} h=\overline{S}(f, \mathcal{P}).\]

Como esto se sostiene para cualquier\(\mathcal{P},\) que obtenemos

\[R \underline{\int}_{A} f=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq L \underline{\int}_{A} f \leq L \overline{\int}_{A} f=\inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(f, \mathcal{P})=R \overline{\int}_{A} f.\]

Pero por suposición,

\[R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f.\]

Así estas desigualdades se convierten en ecuaciones:

\[R \int_{A} f=\underline{\int}_{A} f=\overline{\int}_{A} f=R \int_{A} f.\]

Además, por definición (c),\(f\) está acotada\(A;\) así\(|f|<K<\infty\) sucesivamente\(A.\) Por lo tanto

\[\left|\int_{A} f\right| \leq \int_{A}|f| \leq K \cdot m A<\infty.\]

Así

\[\underline{\int}_{A} f=\overline{\int}_{A} f \neq \pm \infty,\]

es decir,\(f\) es Lebesgue integrable, y

\[L \int_{A} f=R \int_{A} f,\]

según lo reclamado. \(\quad \square\)

Nota 2. Lo contrario falla. Por ejemplo, como se muestra en el ejemplo en §4,\(f=C_{R}\) (\(R=\)racionales) es L-integrable en\(A=[0,1].\)

Sin embargo, no\(f\) es\(R\) -integrable.

Para\(\mathcal{C}\) -particiones implican intervalos que contienen tanto los racionales (sobre los cuales\(f=1\)) como los irracionales (sobre los cuales\(f=0\)). Así, para cualquier\(\mathcal{P}\),

\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=0 \text { and } \overline{S}(f, \mathcal{P})=1 \cdot m A=1.\]

(¿Por qué?) Entonces

\[R \overline{\int}_{A} f=\inf \overline{S}(f, \mathcal{P})=1,\]

mientras

\[R \underline{\int}_{A} f=0 \neq R \overline{\int}_{A} f.\]

Nota 3. Por Teorema 1, cualquiera\(R \int_{A} f\) es también una integral de Lebesgue. Así, las reglas de §§5-6 se aplican a las R-integrales, siempre que las funciones involucradas sean R-integrables. Para un estudio más profundo, necesitamos algunas ideas más.

Definiciones (continuación)

(d) La malla\(|\mathcal{P}|\)\(\mathcal{C}\) de una partición\(\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}\) es la más grande de las diagonales\(d A_{i}:\)

\[|\mathcal{P}|=\max \left\{d A_{1}, d A_{2}, \ldots, d A_{q}\right\}.\]

Nota 4. Para cualquiera\(A \in \mathcal{C},\) hay una secuencia de\(\mathcal{C}\) -particiones\(\mathcal{P}_{k}\) tal que

(i) cada uno\(P_{k+1}\) afina\(P_{k}\) y

ii)\(\lim _{k \rightarrow \infty}\left|P_{k}\right|=0\).

Para construir tal secuencia, bisectar los bordes de\(A\) manera que se obtengan\(2^{n}\) subintervalos de diagonal\(\frac{1}{2} dA\) (Capítulo 3, §7). Repita esto con cada uno de los subintervalos, y así sucesivamente. Entonces

\[\left|P_{k}\right|=\frac{d A}{2^{k}} \rightarrow 0.\]

Lema\(\PageIndex{3}\)

\(f : A \rightarrow E^{1}\)Déjese acotar. Dejar\(\left\{\mathcal{P}_{k}\right\}\) satisfacer (i) de la Nota 4. Si se\(P_{k}=\left\{A_{1}^{k}, \ldots, A_{q_{k}}^{k}\right\},\) pone

\[g_{k}=\sum_{i=1}^{q_{k}} C_{A_{i}^{k}} \inf f\left[A_{i}^{k}\right]\]

y

\[h_{k}=\sum_{i=1}^{q_{k}} C_{A_{i}^{k} \sup } f\left[A_{i}^{k}\right].\]

Luego las funciones

\[g=\sup _{k} g_{k} \text { and } h=\inf _{k} h_{k}\]

son integrables en Lebesgue\(A,\) y

\[\int_{A} g=\lim _{k \rightarrow \infty} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \leq R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f \leq \lim_{k \rightarrow \infty} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\int_{A} h.\]

Prueba

Al igual que en el Teorema 2, obtenemos\(g_{k} \leq f \leq h_{k}\)\(A\) con

\[\int_{A} g_{k}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)\]

y

\[\int_{A} h_{k}=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right).\]

Ya\(\mathcal{P}_{k},\) que\(\mathcal{P}_{k+1}\) refina también sigue fácilmente que

\[g_{k} \leq g_{k+1} \leq \sup _{k} g_{k}=g \leq f \leq h=\inf _{k} h_{k} \leq h_{k+1} \leq h_{k}.\]

(¡Verifica!)

Así\(\left\{g_{k}\right\} \uparrow\)\(\left\{h_{k}\right\} \downarrow,\) y así

\[g=\sup _{k} g_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} g_{k} \text { and } h=\inf _{k} h_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} h_{k}.\]

Además, como\(f\) está acotado

\[\left(\exists K \in E^{1}\right) \quad|f|<K \text { on } A.\]

La definición de\(g_{k}\) y\(h_{k}\) luego implica

\[(\forall k) \quad\left|g_{k}\right| \leq K \text { and }\left|h_{k}\right| \leq K \text { (why?),}\]

con

\[\int_{A}(K)=K \cdot m A<\infty.\]

Los\(g_{k}\) y\(h_{k}\) son medibles (incluso simples)\(A,\) con\(g_{k} \rightarrow g\) y\(h_{k} \rightarrow h\).

Así por Teorema 5 y Nota 1, ambos de §6,\(g\) y\(h\) son Lebesgue integrables, con

\[\int_{A} g=\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{A} g_{k} \text { and } \int_{A} h=\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{A} h_{k}.\]

Como

\[\int_{A} g_{k}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \leq R \underline{\int}_{A} f\]

y

\[\int_{A} h_{k}=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \geq R \overline{\int}_{A} f,\]

paso al límite en rendimientos de igualdades (6). Así se prueba el lema. \(\quad \square\)

Lema\(\PageIndex{4}\)

Con todo como en Lema 3, que\(B\) sea la unión de los límites de todos los intervalos de todos\(\mathcal{P}_{k}.\) Let\(\left|\mathcal{P}_{k}\right| \rightarrow 0.\) Entonces tenemos lo siguiente.

(i) Si\(f\) es continuo en\(p \in A,\) ese entonces\(h(p)=g(p)\).

ii) Lo contrario sostiene si\(p \in A-B\).

Prueba

Para cada uno\(k, p\) está en uno de los intervalos en\(\mathcal{P}_{k};\) llamarlo\(A_{kp}\).

Si\(p \in A-B, p\) es un punto interior de\(A_{kp};\) por lo que hay un globo

\[G_{p}\left(\delta_{k}\right) \subseteq A_{kp}.\]

Asimismo, por la definición de\(g_{k}\) y\(h_{k}\),

\[g_{k}(p)=\inf f\left[A_{k p}\right] \text { and } h_{k}=\sup f\left[A_{k p}\right].\]

(¿Por qué?)

Ahora arregla\(\varepsilon>0.\) Si\(g(p)=h(p),\) entonces

\[0=h(p)-g(p)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left[h_{k}(p)-g_{k}(p)\right];\]

por lo

\[(\exists k) \quad\left|h_{k}(p)-g_{k}(p)\right|=\sup f\left[A_{k p}\right]-\inf f\left[A_{k p}\right]<\varepsilon.\]

A medida\(G_{p}\left(\delta_{k}\right) \subseteq A_{k p},\) que obtenemos

\[\left(\forall x \in G_{p}\left(\delta_{k}\right)\right) \quad|f(x)-f(p)| \leq \sup f\left[A_{k p}\right]-\inf f\left[A_{k p}\right]<\varepsilon,\]

prueba de continuidad (cláusula ii)).

Para (i), dado\(\varepsilon>0,\) elegir\(\delta>0\) para que

\[\left(\forall x, y \in A \cap G_{p}(\delta)\right) \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon.\]

Porque

\[(\forall \delta>0)\left(\exists k_{0}\right)\left(\forall k>k_{0}\right) \quad\left|\mathcal{P}_{k}\right|<\delta\]

para\(k>k_{0}, A_{k p} \subseteq G_{p}(\delta).\) Deducir que

\[\left(\forall k>k_{0}\right) \quad\left|h_{k}(p)-g_{k}(p)\right| \leq \varepsilon. \quad \square\]

Nota 5. La medida de Lebesgue de\(B\) en Lema 4 es cero; porque\(B\) consiste en contabilizadamente muchas “caras” (intervalos degenerados), cada una de medida cero.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Un mapa\(f : A \rightarrow E^{1}\) es R-integrable en\(A\) (con medida de\(m=\) Lebesgue) iff\(f\) está limitado\(A\) y continuo\(A-Q\) para algunos\(Q\) con\(m Q=0\).

Tenga en cuenta que la continuidad relativa en no\(A-Q\) es suficiente tomar\(f=C_{R}\) de la Nota 2.

Prueba

Si estas condiciones se mantienen, elija\(\left\{\mathcal{P}_{k}\right\}\) como en Lema 4.

Entonces por la supuesta continuidad,\(g=h\) encendido\(A-Q, m Q=0\).

Así

\[\int_{A} g=\int_{A} h\]

(Corolario 2 en §5).

Por lo tanto, por la fórmula (6),\(f\) es R-integrable en\(A\).

Por el contrario, si es así, use Lemma 1 con

\[\varepsilon=1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{k}, \ldots\]

para conseguir para cada uno\(k\) de\(\mathcal{P}_{k}\) tal manera que

\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)<\frac{1}{k} \rightarrow 0.\]

Por Corolario 1, esto se mantendrá si refinamos cada\(\mathcal{P}_{k},\) paso a paso, para lograr también las propiedades (i) y (ii) de la Nota 4. Después aplican las Lemmas 3 y 4.

Como

\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \rightarrow 0,\]

fórmula (6) muestran que

\[\int_{A} g=\lim_{k \rightarrow \infty} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\lim_{k \rightarrow \infty} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\int_{A} h.\]

Como\(h\) y\(g\) son integrables en\(A\),

\[\int_{A}(h-g)=\int_{A} h-\int_{A} g=0.\]

También\(h-g \geq 0;\) así por Teorema 1 (h) en §5,\(h=g\) on\(A-Q^{\prime}, m Q^{\prime}=0\) (bajo medida Lebesgue). De ahí que por Lemma 4,\(f\) es continuo en

\[A-Q^{\prime}-B,\]

con\(mB=0\) (Nota 5).

Deja\(Q=Q^{\prime} \cup B.\) Entonces\(m Q=0\) y

\[A-Q=A-Q^{\prime}-B;\]

así\(f\) es continuo en\(A-Q.\) Esto completa la prueba. \(\quad \square\)

Nota 6. La primera parte de la prueba no implica\(B\) y así funciona aunque no\(m\) sea la medida Lebesgue. La segunda parte lo requiere\(mB=0\).

El teorema 3 muestra que las R-integrales están limitadas a funciones continuas a.e. y por lo tanto son menos flexibles que las integrales L: Menos funciones son R-integrables, y los teoremas de convergencia (§6, Teoremas 4 y 5) fallan a menos que\(R \int_{A} f\) exista.

III. Funciones\(f : E^{n} \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right).\) Para tales funciones, las R-integrales se definen por componentes (ver §7). Así\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{s}\right)\) es R-integrable en\(A\) iff todos\(f_{k}\)\((k \leq s)\) son, y luego

\[R \int_{A} f=\sum_{k=1}^{s} \overline{e}_{k} R \int_{A} f_{k}.\]

Una función compleja\(f\) es R-integrable iff\(f_{re}\) y\(f_{im}\) son, y luego

\[R \int_{A} f=R \int_{A} f_{re}+i R \int_{A} f_{im}.\]

Vía componentes, Teoremas 1 a 3, Corolarios 3 y 4, aditividad, linealidad, etc., aplican.

IV. Integrales de Stieltjes. Riemann utilizó\(v\) solo la premedida de Lebesgue. Pero como vimos, su método admite otras premedidas, también.

Así en\(E^{1},\) podemos dejar que\(m\) sea la\(LS\) premedida\(s_{\alpha}\) o la\(LS\) medida\(m_{\alpha}\) donde\(\alpha \uparrow\) (Capítulo 7, §5, Ejemplo (b), y Capítulo 7, §9).

Entonces

\[R \int_{A} f dm\]

se llama el Riemann-Stieltjes (RS) integral de\(f\) con respecto a\(\alpha,\) también escrito

\[R \int_{A} f d \alpha \quad \text {or} \quad R \int_{a}^{b} f(x) d \alpha(x)\]

(este último si\(A=[a, b]\));\(f\) y\(\alpha\) se denominan integrando e integrador, respectivamente.

Si\(\alpha(x)=x, m_{\alpha}\) se convierte en la medida Lebesgue, y

\[R \int f(x) d \alpha(x)\]

se convierte en

\[R \int f(x) dx.\]

Nuestra teoría sigue siendo válida; solo el Teorema 3 ahora se lee de la siguiente manera.

Corolario\(\PageIndex{4}\)

Si\(f\) es acotado y a.e. continuo encendido\(A=[a, b]\) (bajo una medida LS\(m_{\alpha}\)) entonces

\[R \int_{a}^{b} f d \alpha\]

existe. Lo contrario se mantiene si\(\alpha\) es continuo encendido\(A\).

Para por las Notas 5 y 6, el “solo si” en el Teorema 3 se mantiene si\(m_{\alpha} B=0.\) Aquí consiste en contabilizadamente muchos puntos finales de subintervalos de partición. Pero (ver Capítulo §9)\(m_{\alpha}\{p\}=0\) si\(\alpha\) es continuo en\(p.\) Así implica lo posterior\(m_{\alpha} B=0\).

La integración de RS-se ha utilizado en muchos campos (e.g., teoría de probabilidad, física, etc.), pero es reemplazada por la integración de LS, es decir, la integración de Lebesgue con respecto a la\(m_{\alpha},\) cual está completamente cubierta por la teoría general de §§1-8.

En realidad, el propio Stieltjes utilizó definiciones algo diferentes (ver Problemas 10-13), que equivalen a aplicar la función set\(\sigma_{\alpha}\) del Problema 9 en el Capítulo 7, §4, en lugar de\(s_{\alpha}\) o\(m_{\alpha}.\) Reservamos el nombre “Integrales de Stieltjes”, denotado

\[S \int_{a}^{b} f d \alpha,\]

para tales integrales, y “RS-integrales” para aquellas basadas en\(m_{\alpha}\) o\(s_{\alpha}\) (esta terminología no es estándar).

Observe que no\(\sigma_{\alpha}\) necesita ser\(\geq 0.\) Así, por primera vez, nos encontramos con la integración con respecto a las funciones de conjunto de cambio de signo. Una teoría mucho más general se presenta en §10 (ver Problema 10 ahí).