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# 8.9: Integración de Riemann. Integrales de Stieltjes

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I. En esta sección,$$\mathcal{C}$$ se encuentra la familia de todos los intervalos en$$E^{n},$$ y$$m$$ es una premedida finita aditiva sobre$$\mathcal{C}$$ (o$$\mathcal{C}_{s}$$), tal como la función de volumen$$v$$ (Capítulo 7, §§1-2).

Por una$$\mathcal{C}$$ partición -de$$A \in \mathcal{C}$$ (o$$A \in \mathcal{C}_{s}$$), nos referimos a una familia finita

$\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\} \subset \mathcal{C}$

tal que

$A=\bigcup_{i} A_{i} \text { (disjoint).}$

Como señalamos en §5, la integral de Riemann,

$R \int_{A} f=R \int_{A} f dm,$

de$$f : E^{n} \rightarrow E^{1}$$ puede definirse como su contraparte Lebesgue,

$\int_{A} f,$

con mapas elementales reemplazados por funciones de pasos simples (mapas”$$\mathcal{C}$$ -simples”.) Equivalentemente, se puede utilizar la siguiente construcción, debido a J. G. Darboux.

## Definiciones

(a) Dado$$f : E^{n} \rightarrow E^{*}$$ y a$$\mathcal{C}$$ -partición

$\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}$

de$$A,$$ definimos las sumas inferior y superior de Darboux,$$\underline{S}$$ y$$\overline{S},$$ de$$f$$ más$$\mathcal{P}$$ (con respecto a$$m$$) por

$\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i=1}^{q} m A_{i} \cdot \inf f\left[A_{i}\right] \text { and } \overline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i=1}^{q} m A_{i} \cdot \sup f\left[A_{i}\right].$

(b) Las integrales inferiores y superiores de Riemann (“R-integrales”) o$$f$$ on$$A$$ (con respecto a$$m)$$ son

$\left. \begin{array}{l}{R \underline{\int}_{A} f=R \underline{\int}_{A} f dm=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P}) \text { and }} \\ {R \overline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f dm=\inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(f, \mathcal{P}),}\end{array} \right\}$

donde el “inf” y el “sup” se toman sobre todas$$\mathcal{C}$$ las particiones$$\mathcal{P}$$ de$$A$$.

(c) Decimos que$$f$$ es Riemann-integrable (“R-integrable”) con respecto a$$m$$ on$$A$$ iff$$f$$ está limitado en$$A$$ y

$R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f.$

Luego establecemos

$R \int_{A} f=R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f dm=R \int_{A} f dm$

y lo llaman la integral de Riemann (“R-integral”) de$$f$$ la notación$$A.$$ “Clásica”:

$R \int_{A} f(\overline{x}) dm(\overline{x}).$

Si$$A=[a, b] \subset E^{1},$$ también escribimos

$R \int_{a}^{b} f=R \int_{a}^{b} f(x) dm(x)$

en su lugar.

Si$$m$$ es Lebesgue medida (o premedida) en$$E^{1},$$ escribimos "$$dx$$" para "”$$dm(x)$$.

Para integrales de Lebesgue, reemplazamos$$R$$ "" por "”$$L$$, o simplemente omitimos "$$R.$$

Si$$f$$ es R-integrable en$$A,$$ nosotros también decimos que

$R \int_{A} f$

existe (tenga en cuenta que esto implica la generosidad de$$f);$$ nota que

$R \underline{\int}_{A} f \text { and } R \overline{\int}_{A} f$

siempre se definen en$$E^{*}$$.

A continuación, siempre restringimos$$f$$ a un fijo$$A \in \mathcal{C}$$ (o$$A \in \mathcal{C}_{s}$$);$$\mathcal{P}, \mathcal{P}^{\prime}, \mathcal{P}^{\prime \prime}, \mathcal{P}^{*}$$ y$$\mathcal{P}_{k}$$ denotamos$$\mathcal{C}$$ -particiones de$$A.$$

Ahora obtenemos el siguiente resultado para cualquier aditivo$$m : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty)$$.

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Si$$\mathcal{P}$$ refina$$\mathcal{P}^{\prime}$$ (§1), entonces

$\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right).$

Prueba

Let$$\mathcal{P}^{\prime}=\left\{A_{i}\right\}, \mathcal{P}=\left\{B_{i k}\right\},$$ y

$(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k} B_{i k}.$

Por aditividad,

$m A_{i}=\sum_{k} m B_{i k}.$

También,$$B_{i k} \subseteq A_{i}$$ implica

\begin{aligned} f\left[B_{i k}\right] & \subseteq f\left[A_{i}\right]; \\ \sup f\left[B_{i k}\right] & \leq \sup f\left[A_{i}\right]; \text { and } \\ \inf f\left[B_{i k}\right] & \geq \inf f\left[A_{i}\right]. \end{aligned}

Así que configurando

$a_{i}=\inf f\left[A_{i}\right] \text { and } b_{i k}=\inf f\left[B_{i k}\right],$

obtenemos

\begin{aligned} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i} &=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m B_{i k} \\ & \leq \sum_{i, k} b_{i k} m B_{i k}=\underline{S}(f, \mathcal{P}). \end{aligned}

Del mismo modo,

$\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}),$

y

$\underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P})$

es obvio a partir de (1). $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$

Para cualquier$$\mathcal{P}^{\prime}$$ y$$\mathcal{P}^{\prime \prime}$$,

$\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right).$

De ahí

$R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f.$

Prueba

Vamos$$\mathcal{P}=\mathcal{P}^{\prime} \cap \mathcal{P}^{\prime \prime}$$ (ver §1). Como$$\mathcal{P}$$ refina ambos$$\mathcal{P}^{\prime}$$ y$$\mathcal{P}^{\prime \prime}$$, Corolario 1 rinde

$\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right).$

Por lo tanto, en efecto, ninguna suma inferior$$\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)$$ supera a ninguna suma superior$$\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)$$.

De ahí también,

$\sup _{\mathcal{P}^{\prime}} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \inf _{\mathcal{P}^{\prime \prime}} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right),$

es decir,

$R\underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f,$

según lo reclamado. $$\quad \square$$

## Lema$$\PageIndex{1}$$

Un mapa$$f : A \rightarrow E^{1}$$ es$$R$$ -integrable iff$$f$$ está delimitado y, además,

$(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \mathcal{P}) \quad \overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P})<\varepsilon.$

Prueba

Por las fórmulas (1) y (2),

$\underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}).$

Por lo tanto (3) implica

$\left|R \overline{\int}_{A} f-R \underline{\int}_{A} f\right|<\varepsilon.$

Como$$\varepsilon$$ es arbitrario, obtenemos

$R \overline{\int}_{A} f=R \underline{\int}_{\underline{A}} f;$

así$$f$$ es R-integrable.

Por el contrario, en caso afirmativo, las definiciones b) y c) implican la existencia$$\mathcal{P}^{\prime}$$ y$$\mathcal{P}^{\prime \prime}$$ tal que

$\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)>R \int_{A} f-\frac{1}{2} \varepsilon$

y

$\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)<R \int_{A} f+\frac{1}{2} \varepsilon.$

Vamos a$$\mathcal{P}$$ refinar ambos$$\mathcal{P}^{\prime}$$ y$$\mathcal{P}^{\prime \prime}.$$ Luego por Corolario 1,

\begin{aligned} \overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P}) & \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \\ &<\left(R \int_{A} f+\frac{1}{2} \varepsilon\right)-\left(R \int_{A} f-\frac{1}{2} \varepsilon\right)=\varepsilon, \end{aligned}

según sea necesario. $$\quad \square$$

## Lema$$\PageIndex{2}$$

Let$$f$$ be$$\mathcal{C}$$ -simple; digamos,$$f=a_{i}$$ on$$A_{i}$$ para alguna$$\mathcal{C}$$ -partición$$\mathcal{P}^{*}=$$$$\left\{A_{i}\right\}$$ de$$A$$ (luego escribimos

$f=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}}$

en$$A;$$ ver Nota 4 del §4).

Entonces

$R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i}.$

Por lo tanto, cualquier función finita$$\mathcal{C}$$ -simple es R-integrable, con$$R \int_{A} f$$ como en (4).

Prueba

Dada cualquier$$\mathcal{C}$$ -partición$$\mathcal{P}=\left\{B_{k}\right\}$$ de$$A,$$ considerar

$\mathcal{P}^{*} \acdot \mathcal{P}=\left\{A_{i} \cap B_{k}\right\}.$

Como$$f=a_{i}$$ en$$A_{i} \cap B_{k}$$ (incluso en todos$$A_{i}$$),

$a_{i}=\inf f\left[A_{i} \cap B_{k}\right]=\sup f\left[A_{i} \cap B_{k}\right].$También,

$A=\bigcup_{i, k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right) \text { (disjoint)}$

y

$(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right);$

por lo

$mA_{i}=\sum_{k} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)$

y

$\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)$

para cualquiera de tales$$\mathcal{P}$$.

De ahí también

$\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P})=R \underline{\int}_{A} f.$

Similarmente para$$R \overline{\int}_{A} f.$$ Esto prueba (4).

Si, además,$$f$$ es finito, está acotado (por max$$\left|a_{i}\right|$$) ya que solo hay finitamente muchos$$a_{i};$$ así$$f$$ es R-integrable encendido$$A,$$ y todo está probado. $$\quad \square$$

Nota 1. Así$$\underline{S}$$ y$$\overline{S}$$ son integrales de$$\mathcal{C}$$ -mapas simples, y la definición (b) se puede replantear:

$R \underline{\int}_{A} f=\sup_{g} R \int_{A} g \text { and } R \overline{\int}_{A} f=\inf_{h} R \int_{A} h,$

tomando el sup y el inf sobre todos los mapas$$\mathcal{C}$$ simples$$g, h$$ con

$g \leq f \leq h \text { on } A.$

(Verificar por propiedades de glb y lub!)

Por lo tanto, ahora podemos desarrollar R-integración como en §§4-5, reemplazando mapas elementales por$$\mathcal{C}$$ -mapas simples, con$$S=E^{n}.$$ En particular, el Problema 5 en §5 funciona como antes.

De ahí que siga la linealidad (Teorema 1 de §6), con la misma prueba. También se obtiene aditividad (limitada a$$\mathcal{C}$$ -particiones). Además, la integrabilidad R de$$f$$ e$$g$$ implica la de$$f g, f \vee g, f \wedge g,$$ y$$|f|.$$ (Ver los Problemas.)

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Si$$f_{i} \rightarrow f$$ (uniformemente) encendido$$A$$ y si$$f_{i}$$ son R-integrables encendido$$A$$, así también es$$f.$$ Además,

$\lim_{i \rightarrow \infty} R \int_{A}\left|f-f_{i}\right|=0 \text { and } \lim_{i \rightarrow \infty} R \int_{A} f_{i}=R \int_{A} f.$

Prueba

Como todos$$f_{i}$$ están acotados (definición (c)), así lo es$$f,$$ por el Problema 10 del Capítulo 4, §12.

Ahora, dado$$\varepsilon>0,$$ arreglo$$k$$ tal que

$(\forall i \geq k) \quad\left|f-f_{i}\right|<\frac{\varepsilon}{m A} \quad \text {on } A.$

Verifica que

$(\forall i \geq k) \text{ } (\forall \mathcal{P}) \quad\left|\underline{S}\left(f-f_{i}, \mathcal{P}\right)\right|<\varepsilon \text { and }\left|\overline{S}\left(f-f_{i}, \mathcal{P}\right)\right|<\varepsilon;$

arreglar uno de esos$$f_{i}$$ y elegir un$$\mathcal{P}$$ tal que

$\overline{S}\left(f_{i}, \mathcal{P}\right)-\underline{S}\left(f_{i}, \mathcal{P}\right)<\varepsilon,$

que se puede hacer por Lema 1. Entonces para esto$$\mathcal{P}$$,

$\overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P})<3 \varepsilon.$

(¿Por qué?) Por Lema 1, entonces,$$f$$ es R-integrable en$$A$$.

Por último,

\begin{aligned}\left|R \int_{A} f-R \int_{A} f_{i}\right| & \leq R \int_{A}\left|f-f_{i}\right| \\ & \leq R \int_{A}\left(\frac{\varepsilon}{m A}\right)=m A\left(\frac{\varepsilon}{m A}\right)=\varepsilon \end{aligned}

para todos$$i \geq k.$$ De ahí la segunda cláusula de nuestro teorema sigue, también. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{3}$$

Si$$f : E^{1} \rightarrow E^{1}$$ está acotado y regulado (Capítulo 5, §10) en$$A=[a, b],$$ entonces$$f$$ es R-integrable en$$A.$$

En particular, esto se aplica si$$f$$ es monótona, o de variación limitada, o relativamente continua, o una función escalonada, en$$A.$$

Prueba

Por Lemma 2, esto se aplica a$$\mathcal{C}$$ -mapas simples.

Ahora,$$f$$ déjese regular (e.g., del tipo especificado anteriormente).

Luego por el Lema 2 del Capítulo 5, §10,

$f=\lim _{i \rightarrow \infty} g_{i} \quad \text {(uniformly)}$

para finito$$\mathcal{C}$$ -simple$$g_{i}$$.

Así$$f$$ es R-integrable$$A$$ por el Teorema 1. $$\quad \square$$

II. De ahora en adelante, asumimos que$$m$$ es una medida en un$$\sigma$$ anillo$$\mathcal{M} \supseteq \mathcal{C}$$ en$$E^{n}$$, con$$m<\infty$$ on$$\mathcal{C}$$. (Para un lector que tomó el “enfoque limitado”, ahora es el momento de considerar los §§4-6 en su totalidad.) La medida$$m$$ puede, pero no es necesario, ser medida Lebesgue en$$E^{n}.$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$f : E^{n} \rightarrow E^{1}$$ es R-integrable en$$A \in \mathcal{C},$$ él también es Lebesgue integrable (con respecto a$$m$$ lo anterior) en$$A,$$ y

$L \int_{A} f=R \int_{A} f,$

Prueba

Dada una$$\mathcal{C}$$ partición$$\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}$$ -de$$A,$$ definir los mapas$$\mathcal{C}$$ -simples

$g=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}} \text { and } h=\sum_{i} b_{i} C_{A_{i}}$

con

$a_{i}=\inf f\left[A_{i}\right] \text { and } b_{i}=\sup f\left[A_{i}\right].$

Luego$$g \leq f \leq h$$$$A$$ con

$\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=L \int_{A} g$

y

$\overline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} b_{i} m A_{i}=L \int_{A} h.$

Por Teorema 1 (c) en §5

$\underline{S}(f, \mathcal{P})=L \int_{A} g \leq L \underline{\int}_{A} f \leq L \overline{\int}_{A} f \leq L \int_{A} h=\overline{S}(f, \mathcal{P}).$

Como esto se sostiene para cualquier$$\mathcal{P},$$ que obtenemos

$R \underline{\int}_{A} f=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq L \underline{\int}_{A} f \leq L \overline{\int}_{A} f=\inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(f, \mathcal{P})=R \overline{\int}_{A} f.$

Pero por suposición,

$R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f.$

Así estas desigualdades se convierten en ecuaciones:

$R \int_{A} f=\underline{\int}_{A} f=\overline{\int}_{A} f=R \int_{A} f.$

Además, por definición (c),$$f$$ está acotada$$A;$$ así$$|f|<K<\infty$$ sucesivamente$$A.$$ Por lo tanto

$\left|\int_{A} f\right| \leq \int_{A}|f| \leq K \cdot m A<\infty.$

Así

$\underline{\int}_{A} f=\overline{\int}_{A} f \neq \pm \infty,$

es decir,$$f$$ es Lebesgue integrable, y

$L \int_{A} f=R \int_{A} f,$

según lo reclamado. $$\quad \square$$

Nota 2. Lo contrario falla. Por ejemplo, como se muestra en el ejemplo en §4,$$f=C_{R}$$ ($$R=$$racionales) es L-integrable en$$A=[0,1].$$

Sin embargo, no$$f$$ es$$R$$ -integrable.

Para$$\mathcal{C}$$ -particiones implican intervalos que contienen tanto los racionales (sobre los cuales$$f=1$$) como los irracionales (sobre los cuales$$f=0$$). Así, para cualquier$$\mathcal{P}$$,

$\underline{S}(f, \mathcal{P})=0 \text { and } \overline{S}(f, \mathcal{P})=1 \cdot m A=1.$

(¿Por qué?) Entonces

$R \overline{\int}_{A} f=\inf \overline{S}(f, \mathcal{P})=1,$

mientras

$R \underline{\int}_{A} f=0 \neq R \overline{\int}_{A} f.$

Nota 3. Por Teorema 1, cualquiera$$R \int_{A} f$$ es también una integral de Lebesgue. Así, las reglas de §§5-6 se aplican a las R-integrales, siempre que las funciones involucradas sean R-integrables. Para un estudio más profundo, necesitamos algunas ideas más.

## Definiciones (continuación)

(d) La malla$$|\mathcal{P}|$$$$\mathcal{C}$$ de una partición$$\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}$$ es la más grande de las diagonales$$d A_{i}:$$

$|\mathcal{P}|=\max \left\{d A_{1}, d A_{2}, \ldots, d A_{q}\right\}.$

Nota 4. Para cualquiera$$A \in \mathcal{C},$$ hay una secuencia de$$\mathcal{C}$$ -particiones$$\mathcal{P}_{k}$$ tal que

(i) cada uno$$P_{k+1}$$ afina$$P_{k}$$ y

ii)$$\lim _{k \rightarrow \infty}\left|P_{k}\right|=0$$.

Para construir tal secuencia, bisectar los bordes de$$A$$ manera que se obtengan$$2^{n}$$ subintervalos de diagonal$$\frac{1}{2} dA$$ (Capítulo 3, §7). Repita esto con cada uno de los subintervalos, y así sucesivamente. Entonces

$\left|P_{k}\right|=\frac{d A}{2^{k}} \rightarrow 0.$

## Lema$$\PageIndex{3}$$

$$f : A \rightarrow E^{1}$$Déjese acotar. Dejar$$\left\{\mathcal{P}_{k}\right\}$$ satisfacer (i) de la Nota 4. Si se$$P_{k}=\left\{A_{1}^{k}, \ldots, A_{q_{k}}^{k}\right\},$$ pone

$g_{k}=\sum_{i=1}^{q_{k}} C_{A_{i}^{k}} \inf f\left[A_{i}^{k}\right]$

y

$h_{k}=\sum_{i=1}^{q_{k}} C_{A_{i}^{k} \sup } f\left[A_{i}^{k}\right].$

Luego las funciones

$g=\sup _{k} g_{k} \text { and } h=\inf _{k} h_{k}$

son integrables en Lebesgue$$A,$$ y

$\int_{A} g=\lim _{k \rightarrow \infty} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \leq R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f \leq \lim_{k \rightarrow \infty} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\int_{A} h.$

Prueba

Al igual que en el Teorema 2, obtenemos$$g_{k} \leq f \leq h_{k}$$$$A$$ con

$\int_{A} g_{k}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)$

y

$\int_{A} h_{k}=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right).$

Ya$$\mathcal{P}_{k},$$ que$$\mathcal{P}_{k+1}$$ refina también sigue fácilmente que

$g_{k} \leq g_{k+1} \leq \sup _{k} g_{k}=g \leq f \leq h=\inf _{k} h_{k} \leq h_{k+1} \leq h_{k}.$

(¡Verifica!)

Así$$\left\{g_{k}\right\} \uparrow$$$$\left\{h_{k}\right\} \downarrow,$$ y así

$g=\sup _{k} g_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} g_{k} \text { and } h=\inf _{k} h_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} h_{k}.$

Además, como$$f$$ está acotado

$\left(\exists K \in E^{1}\right) \quad|f|<K \text { on } A.$

La definición de$$g_{k}$$ y$$h_{k}$$ luego implica

$(\forall k) \quad\left|g_{k}\right| \leq K \text { and }\left|h_{k}\right| \leq K \text { (why?),}$

con

$\int_{A}(K)=K \cdot m A<\infty.$

Los$$g_{k}$$ y$$h_{k}$$ son medibles (incluso simples)$$A,$$ con$$g_{k} \rightarrow g$$ y$$h_{k} \rightarrow h$$.

Así por Teorema 5 y Nota 1, ambos de §6,$$g$$ y$$h$$ son Lebesgue integrables, con

$\int_{A} g=\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{A} g_{k} \text { and } \int_{A} h=\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{A} h_{k}.$

Como

$\int_{A} g_{k}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \leq R \underline{\int}_{A} f$

y

$\int_{A} h_{k}=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \geq R \overline{\int}_{A} f,$

paso al límite en rendimientos de igualdades (6). Así se prueba el lema. $$\quad \square$$

## Lema$$\PageIndex{4}$$

Con todo como en Lema 3, que$$B$$ sea la unión de los límites de todos los intervalos de todos$$\mathcal{P}_{k}.$$ Let$$\left|\mathcal{P}_{k}\right| \rightarrow 0.$$ Entonces tenemos lo siguiente.

(i) Si$$f$$ es continuo en$$p \in A,$$ ese entonces$$h(p)=g(p)$$.

ii) Lo contrario sostiene si$$p \in A-B$$.

Prueba

Para cada uno$$k, p$$ está en uno de los intervalos en$$\mathcal{P}_{k};$$ llamarlo$$A_{kp}$$.

Si$$p \in A-B, p$$ es un punto interior de$$A_{kp};$$ por lo que hay un globo

$G_{p}\left(\delta_{k}\right) \subseteq A_{kp}.$

Asimismo, por la definición de$$g_{k}$$ y$$h_{k}$$,

$g_{k}(p)=\inf f\left[A_{k p}\right] \text { and } h_{k}=\sup f\left[A_{k p}\right].$

(¿Por qué?)

Ahora arregla$$\varepsilon>0.$$ Si$$g(p)=h(p),$$ entonces

$0=h(p)-g(p)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left[h_{k}(p)-g_{k}(p)\right];$

por lo

$(\exists k) \quad\left|h_{k}(p)-g_{k}(p)\right|=\sup f\left[A_{k p}\right]-\inf f\left[A_{k p}\right]<\varepsilon.$

A medida$$G_{p}\left(\delta_{k}\right) \subseteq A_{k p},$$ que obtenemos

$\left(\forall x \in G_{p}\left(\delta_{k}\right)\right) \quad|f(x)-f(p)| \leq \sup f\left[A_{k p}\right]-\inf f\left[A_{k p}\right]<\varepsilon,$

prueba de continuidad (cláusula ii)).

Para (i), dado$$\varepsilon>0,$$ elegir$$\delta>0$$ para que

$\left(\forall x, y \in A \cap G_{p}(\delta)\right) \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon.$

Porque

$(\forall \delta>0)\left(\exists k_{0}\right)\left(\forall k>k_{0}\right) \quad\left|\mathcal{P}_{k}\right|<\delta$

para$$k>k_{0}, A_{k p} \subseteq G_{p}(\delta).$$ Deducir que

$\left(\forall k>k_{0}\right) \quad\left|h_{k}(p)-g_{k}(p)\right| \leq \varepsilon. \quad \square$

Nota 5. La medida de Lebesgue de$$B$$ en Lema 4 es cero; porque$$B$$ consiste en contabilizadamente muchas “caras” (intervalos degenerados), cada una de medida cero.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Un mapa$$f : A \rightarrow E^{1}$$ es R-integrable en$$A$$ (con medida de$$m=$$ Lebesgue) iff$$f$$ está limitado$$A$$ y continuo$$A-Q$$ para algunos$$Q$$ con$$m Q=0$$.

Tenga en cuenta que la continuidad relativa en no$$A-Q$$ es suficiente tomar$$f=C_{R}$$ de la Nota 2.

Prueba

Si estas condiciones se mantienen, elija$$\left\{\mathcal{P}_{k}\right\}$$ como en Lema 4.

Entonces por la supuesta continuidad,$$g=h$$ encendido$$A-Q, m Q=0$$.

Así

$\int_{A} g=\int_{A} h$

(Corolario 2 en §5).

Por lo tanto, por la fórmula (6),$$f$$ es R-integrable en$$A$$.

Por el contrario, si es así, use Lemma 1 con

$\varepsilon=1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{k}, \ldots$

para conseguir para cada uno$$k$$ de$$\mathcal{P}_{k}$$ tal manera que

$\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)<\frac{1}{k} \rightarrow 0.$

Por Corolario 1, esto se mantendrá si refinamos cada$$\mathcal{P}_{k},$$ paso a paso, para lograr también las propiedades (i) y (ii) de la Nota 4. Después aplican las Lemmas 3 y 4.

Como

$\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \rightarrow 0,$

fórmula (6) muestran que

$\int_{A} g=\lim_{k \rightarrow \infty} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\lim_{k \rightarrow \infty} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\int_{A} h.$

Como$$h$$ y$$g$$ son integrables en$$A$$,

$\int_{A}(h-g)=\int_{A} h-\int_{A} g=0.$

También$$h-g \geq 0;$$ así por Teorema 1 (h) en §5,$$h=g$$ on$$A-Q^{\prime}, m Q^{\prime}=0$$ (bajo medida Lebesgue). De ahí que por Lemma 4,$$f$$ es continuo en

$A-Q^{\prime}-B,$

con$$mB=0$$ (Nota 5).

Deja$$Q=Q^{\prime} \cup B.$$ Entonces$$m Q=0$$ y

$A-Q=A-Q^{\prime}-B;$

así$$f$$ es continuo en$$A-Q.$$ Esto completa la prueba. $$\quad \square$$

Nota 6. La primera parte de la prueba no implica$$B$$ y así funciona aunque no$$m$$ sea la medida Lebesgue. La segunda parte lo requiere$$mB=0$$.

El teorema 3 muestra que las R-integrales están limitadas a funciones continuas a.e. y por lo tanto son menos flexibles que las integrales L: Menos funciones son R-integrables, y los teoremas de convergencia (§6, Teoremas 4 y 5) fallan a menos que$$R \int_{A} f$$ exista.

III. Funciones$$f : E^{n} \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right).$$ Para tales funciones, las R-integrales se definen por componentes (ver §7). Así$$f=\left(f_{1}, \ldots, f_{s}\right)$$ es R-integrable en$$A$$ iff todos$$f_{k}$$$$(k \leq s)$$ son, y luego

$R \int_{A} f=\sum_{k=1}^{s} \overline{e}_{k} R \int_{A} f_{k}.$

Una función compleja$$f$$ es R-integrable iff$$f_{re}$$ y$$f_{im}$$ son, y luego

$R \int_{A} f=R \int_{A} f_{re}+i R \int_{A} f_{im}.$

Vía componentes, Teoremas 1 a 3, Corolarios 3 y 4, aditividad, linealidad, etc., aplican.

IV. Integrales de Stieltjes. Riemann utilizó$$v$$ solo la premedida de Lebesgue. Pero como vimos, su método admite otras premedidas, también.

Así en$$E^{1},$$ podemos dejar que$$m$$ sea la$$LS$$ premedida$$s_{\alpha}$$ o la$$LS$$ medida$$m_{\alpha}$$ donde$$\alpha \uparrow$$ (Capítulo 7, §5, Ejemplo (b), y Capítulo 7, §9).

Entonces

$R \int_{A} f dm$

se llama el Riemann-Stieltjes (RS) integral de$$f$$ con respecto a$$\alpha,$$ también escrito

$R \int_{A} f d \alpha \quad \text {or} \quad R \int_{a}^{b} f(x) d \alpha(x)$

(este último si$$A=[a, b]$$);$$f$$ y$$\alpha$$ se denominan integrando e integrador, respectivamente.

Si$$\alpha(x)=x, m_{\alpha}$$ se convierte en la medida Lebesgue, y

$R \int f(x) d \alpha(x)$

se convierte en

$R \int f(x) dx.$

Nuestra teoría sigue siendo válida; solo el Teorema 3 ahora se lee de la siguiente manera.

## Corolario$$\PageIndex{4}$$

Si$$f$$ es acotado y a.e. continuo encendido$$A=[a, b]$$ (bajo una medida LS$$m_{\alpha}$$) entonces

$R \int_{a}^{b} f d \alpha$

existe. Lo contrario se mantiene si$$\alpha$$ es continuo encendido$$A$$.

Para por las Notas 5 y 6, el “solo si” en el Teorema 3 se mantiene si$$m_{\alpha} B=0.$$ Aquí consiste en contabilizadamente muchos puntos finales de subintervalos de partición. Pero (ver Capítulo §9)$$m_{\alpha}\{p\}=0$$ si$$\alpha$$ es continuo en$$p.$$ Así implica lo posterior$$m_{\alpha} B=0$$.

La integración de RS-se ha utilizado en muchos campos (e.g., teoría de probabilidad, física, etc.), pero es reemplazada por la integración de LS, es decir, la integración de Lebesgue con respecto a la$$m_{\alpha},$$ cual está completamente cubierta por la teoría general de §§1-8.

En realidad, el propio Stieltjes utilizó definiciones algo diferentes (ver Problemas 10-13), que equivalen a aplicar la función set$$\sigma_{\alpha}$$ del Problema 9 en el Capítulo 7, §4, en lugar de$$s_{\alpha}$$ o$$m_{\alpha}.$$ Reservamos el nombre “Integrales de Stieltjes”, denotado

$S \int_{a}^{b} f d \alpha,$

para tales integrales, y “RS-integrales” para aquellas basadas en$$m_{\alpha}$$ o$$s_{\alpha}$$ (esta terminología no es estándar).

Observe que no$$\sigma_{\alpha}$$ necesita ser$$\geq 0.$$ Así, por primera vez, nos encontramos con la integración con respecto a las funciones de conjunto de cambio de signo. Una teoría mucho más general se presenta en §10 (ver Problema 10 ahí).

8.9: Integración de Riemann. Integrales de Stieltjes is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.