8.9: Integración de Riemann. Integrales de Stieltjes
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I. En esta sección,\(\mathcal{C}\) se encuentra la familia de todos los intervalos en\(E^{n},\) y\(m\) es una premedida finita aditiva sobre\(\mathcal{C}\) (o\(\mathcal{C}_{s}\)), tal como la función de volumen\(v\) (Capítulo 7, §§1-2).
Por una\(\mathcal{C}\) partición -de\(A \in \mathcal{C}\) (o\(A \in \mathcal{C}_{s}\)), nos referimos a una familia finita
\[\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\} \subset \mathcal{C}\]
tal que
\[A=\bigcup_{i} A_{i} \text { (disjoint).}\]
Como señalamos en §5, la integral de Riemann,
\[R \int_{A} f=R \int_{A} f dm,\]
de\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) puede definirse como su contraparte Lebesgue,
\[\int_{A} f,\]
con mapas elementales reemplazados por funciones de pasos simples (mapas”\(\mathcal{C}\) -simples”.) Equivalentemente, se puede utilizar la siguiente construcción, debido a J. G. Darboux.
(a) Dado\(f : E^{n} \rightarrow E^{*}\) y a\(\mathcal{C}\) -partición
\[\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}\]
de\(A,\) definimos las sumas inferior y superior de Darboux,\(\underline{S}\) y\(\overline{S},\) de\(f\) más\(\mathcal{P}\) (con respecto a\(m\)) por
\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i=1}^{q} m A_{i} \cdot \inf f\left[A_{i}\right] \text { and } \overline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i=1}^{q} m A_{i} \cdot \sup f\left[A_{i}\right].\]
(b) Las integrales inferiores y superiores de Riemann (“R-integrales”) o\(f\) on\(A\) (con respecto a\(m)\) son
\[\left. \begin{array}{l}{R \underline{\int}_{A} f=R \underline{\int}_{A} f dm=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P}) \text { and }} \\ {R \overline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f dm=\inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(f, \mathcal{P}),}\end{array} \right\} \]
donde el “inf” y el “sup” se toman sobre todas\(\mathcal{C}\) las particiones\(\mathcal{P}\) de\(A\).
(c) Decimos que\(f\) es Riemann-integrable (“R-integrable”) con respecto a\(m\) on\(A\) iff\(f\) está limitado en\(A\) y
\[R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f.\]
Luego establecemos
\[R \int_{A} f=R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f dm=R \int_{A} f dm\]
y lo llaman la integral de Riemann (“R-integral”) de\(f\) la notación\(A.\) “Clásica”:
\[R \int_{A} f(\overline{x}) dm(\overline{x}).\]
Si\(A=[a, b] \subset E^{1},\) también escribimos
\[R \int_{a}^{b} f=R \int_{a}^{b} f(x) dm(x)\]
en su lugar.
Si\(m\) es Lebesgue medida (o premedida) en\(E^{1},\) escribimos "\(dx\)" para "”\(dm(x)\).
Para integrales de Lebesgue, reemplazamos\(R\) "" por "”\(L\), o simplemente omitimos "\(R.\)”
Si\(f\) es R-integrable en\(A,\) nosotros también decimos que
\[R \int_{A} f\]
existe (tenga en cuenta que esto implica la generosidad de\(f);\) nota que
\[R \underline{\int}_{A} f \text { and } R \overline{\int}_{A} f\]
siempre se definen en\(E^{*}\).
A continuación, siempre restringimos\(f\) a un fijo\(A \in \mathcal{C}\) (o\(A \in \mathcal{C}_{s}\));\(\mathcal{P}, \mathcal{P}^{\prime}, \mathcal{P}^{\prime \prime}, \mathcal{P}^{*}\) y\(\mathcal{P}_{k}\) denotamos\(\mathcal{C}\) -particiones de\(A.\)
Ahora obtenemos el siguiente resultado para cualquier aditivo\(m : \mathcal{C} \rightarrow[0, \infty)\).
Si\(\mathcal{P}\) refina\(\mathcal{P}^{\prime}\) (§1), entonces
\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right).\]
- Prueba
-
Let\(\mathcal{P}^{\prime}=\left\{A_{i}\right\}, \mathcal{P}=\left\{B_{i k}\right\},\) y
\[(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k} B_{i k}.\]
Por aditividad,
\[m A_{i}=\sum_{k} m B_{i k}.\]
También,\(B_{i k} \subseteq A_{i}\) implica
\[\begin{aligned} f\left[B_{i k}\right] & \subseteq f\left[A_{i}\right]; \\ \sup f\left[B_{i k}\right] & \leq \sup f\left[A_{i}\right]; \text { and } \\ \inf f\left[B_{i k}\right] & \geq \inf f\left[A_{i}\right]. \end{aligned}\]
Así que configurando
\[a_{i}=\inf f\left[A_{i}\right] \text { and } b_{i k}=\inf f\left[B_{i k}\right],\]
obtenemos
\[\begin{aligned} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i} &=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m B_{i k} \\ & \leq \sum_{i, k} b_{i k} m B_{i k}=\underline{S}(f, \mathcal{P}). \end{aligned}\]
Del mismo modo,
\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}),\]
y
\[\underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P})\]
es obvio a partir de (1). \(\quad \square\)
Para cualquier\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\),
\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right).\]
De ahí
\[R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f.\]
- Prueba
-
Vamos\(\mathcal{P}=\mathcal{P}^{\prime} \cap \mathcal{P}^{\prime \prime}\) (ver §1). Como\(\mathcal{P}\) refina ambos\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\), Corolario 1 rinde
\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}) \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right).\]
Por lo tanto, en efecto, ninguna suma inferior\(\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)\) supera a ninguna suma superior\(\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)\).
De ahí también,
\[\sup _{\mathcal{P}^{\prime}} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \leq \inf _{\mathcal{P}^{\prime \prime}} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right),\]
es decir,
\[R\underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f,\]
según lo reclamado. \(\quad \square\)
Un mapa\(f : A \rightarrow E^{1}\) es\(R\) -integrable iff\(f\) está delimitado y, además,
\[(\forall \varepsilon>0) \text{ } (\exists \mathcal{P}) \quad \overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P})<\varepsilon.\]
- Prueba
-
Por las fórmulas (1) y (2),
\[\underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f \leq \overline{S}(f, \mathcal{P}).\]
Por lo tanto (3) implica
\[\left|R \overline{\int}_{A} f-R \underline{\int}_{A} f\right|<\varepsilon.\]
Como\(\varepsilon\) es arbitrario, obtenemos
\[R \overline{\int}_{A} f=R \underline{\int}_{\underline{A}} f;\]
así\(f\) es R-integrable.
Por el contrario, en caso afirmativo, las definiciones b) y c) implican la existencia\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}\) tal que
\[\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right)>R \int_{A} f-\frac{1}{2} \varepsilon\]
y
\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)<R \int_{A} f+\frac{1}{2} \varepsilon.\]
Vamos a\(\mathcal{P}\) refinar ambos\(\mathcal{P}^{\prime}\) y\(\mathcal{P}^{\prime \prime}.\) Luego por Corolario 1,
\[\begin{aligned} \overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P}) & \leq \overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime \prime}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{\prime}\right) \\ &<\left(R \int_{A} f+\frac{1}{2} \varepsilon\right)-\left(R \int_{A} f-\frac{1}{2} \varepsilon\right)=\varepsilon, \end{aligned}\]
según sea necesario. \(\quad \square\)
Let\(f\) be\(\mathcal{C}\) -simple; digamos,\(f=a_{i}\) on\(A_{i}\) para alguna\(\mathcal{C}\) -partición\(\mathcal{P}^{*}=\)\(\left\{A_{i}\right\}\) de\(A\) (luego escribimos
\[f=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}}\]
en\(A;\) ver Nota 4 del §4).
Entonces
\[R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i}.\]
Por lo tanto, cualquier función finita\(\mathcal{C}\) -simple es R-integrable, con\(R \int_{A} f\) como en (4).
- Prueba
-
Dada cualquier\(\mathcal{C}\) -partición\(\mathcal{P}=\left\{B_{k}\right\}\) de\(A,\) considerar
\[\mathcal{P}^{*} \acdot \mathcal{P}=\left\{A_{i} \cap B_{k}\right\}.\]
Como\(f=a_{i}\) en\(A_{i} \cap B_{k}\) (incluso en todos\(A_{i}\)),
\[a_{i}=\inf f\left[A_{i} \cap B_{k}\right]=\sup f\left[A_{i} \cap B_{k}\right].\]También,
\[A=\bigcup_{i, k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right) \text { (disjoint)}\]
y
\[(\forall i) \quad A_{i}=\bigcup_{k}\left(A_{i} \cap B_{k}\right);\]
por lo
\[mA_{i}=\sum_{k} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)\]
y
\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} \sum_{k} a_{i} m\left(A_{i} \cap B_{k}\right)=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}^{*}\right)\]
para cualquiera de tales\(\mathcal{P}\).
De ahí también
\[\sum_{i} a_{i} m A_{i}=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P})=R \underline{\int}_{A} f.\]
Similarmente para\(R \overline{\int}_{A} f.\) Esto prueba (4).
Si, además,\(f\) es finito, está acotado (por max\(\left|a_{i}\right|\)) ya que solo hay finitamente muchos\(a_{i};\) así\(f\) es R-integrable encendido\(A,\) y todo está probado. \(\quad \square\)
Nota 1. Así\(\underline{S}\) y\(\overline{S}\) son integrales de\(\mathcal{C}\) -mapas simples, y la definición (b) se puede replantear:
\[R \underline{\int}_{A} f=\sup_{g} R \int_{A} g \text { and } R \overline{\int}_{A} f=\inf_{h} R \int_{A} h,\]
tomando el sup y el inf sobre todos los mapas\(\mathcal{C}\) simples\(g, h\) con
\[g \leq f \leq h \text { on } A.\]
(Verificar por propiedades de glb y lub!)
Por lo tanto, ahora podemos desarrollar R-integración como en §§4-5, reemplazando mapas elementales por\(\mathcal{C}\) -mapas simples, con\(S=E^{n}.\) En particular, el Problema 5 en §5 funciona como antes.
De ahí que siga la linealidad (Teorema 1 de §6), con la misma prueba. También se obtiene aditividad (limitada a\(\mathcal{C}\) -particiones). Además, la integrabilidad R de\(f\) e\(g\) implica la de\(f g, f \vee g, f \wedge g,\) y\(|f|.\) (Ver los Problemas.)
Si\(f_{i} \rightarrow f\) (uniformemente) encendido\(A\) y si\(f_{i}\) son R-integrables encendido\(A\), así también es\(f.\) Además,
\[\lim_{i \rightarrow \infty} R \int_{A}\left|f-f_{i}\right|=0 \text { and } \lim_{i \rightarrow \infty} R \int_{A} f_{i}=R \int_{A} f.\]
- Prueba
-
Como todos\(f_{i}\) están acotados (definición (c)), así lo es\(f,\) por el Problema 10 del Capítulo 4, §12.
Ahora, dado\(\varepsilon>0,\) arreglo\(k\) tal que
\[(\forall i \geq k) \quad\left|f-f_{i}\right|<\frac{\varepsilon}{m A} \quad \text {on } A.\]
Verifica que
\[(\forall i \geq k) \text{ } (\forall \mathcal{P}) \quad\left|\underline{S}\left(f-f_{i}, \mathcal{P}\right)\right|<\varepsilon \text { and }\left|\overline{S}\left(f-f_{i}, \mathcal{P}\right)\right|<\varepsilon;\]
arreglar uno de esos\(f_{i}\) y elegir un\(\mathcal{P}\) tal que
\[\overline{S}\left(f_{i}, \mathcal{P}\right)-\underline{S}\left(f_{i}, \mathcal{P}\right)<\varepsilon,\]
que se puede hacer por Lema 1. Entonces para esto\(\mathcal{P}\),
\[\overline{S}(f, \mathcal{P})-\underline{S}(f, \mathcal{P})<3 \varepsilon.\]
(¿Por qué?) Por Lema 1, entonces,\(f\) es R-integrable en\(A\).
Por último,
\[\begin{aligned}\left|R \int_{A} f-R \int_{A} f_{i}\right| & \leq R \int_{A}\left|f-f_{i}\right| \\ & \leq R \int_{A}\left(\frac{\varepsilon}{m A}\right)=m A\left(\frac{\varepsilon}{m A}\right)=\varepsilon \end{aligned}\]
para todos\(i \geq k.\) De ahí la segunda cláusula de nuestro teorema sigue, también. \(\quad \square\)
Si\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) está acotado y regulado (Capítulo 5, §10) en\(A=[a, b],\) entonces\(f\) es R-integrable en\(A.\)
En particular, esto se aplica si\(f\) es monótona, o de variación limitada, o relativamente continua, o una función escalonada, en\(A.\)
- Prueba
-
Por Lemma 2, esto se aplica a\(\mathcal{C}\) -mapas simples.
Ahora,\(f\) déjese regular (e.g., del tipo especificado anteriormente).
Luego por el Lema 2 del Capítulo 5, §10,
\[f=\lim _{i \rightarrow \infty} g_{i} \quad \text {(uniformly)}\]
para finito\(\mathcal{C}\) -simple\(g_{i}\).
Así\(f\) es R-integrable\(A\) por el Teorema 1. \(\quad \square\)
II. De ahora en adelante, asumimos que\(m\) es una medida en un\(\sigma\) anillo\(\mathcal{M} \supseteq \mathcal{C}\) en\(E^{n}\), con\(m<\infty\) on\(\mathcal{C}\). (Para un lector que tomó el “enfoque limitado”, ahora es el momento de considerar los §§4-6 en su totalidad.) La medida\(m\) puede, pero no es necesario, ser medida Lebesgue en\(E^{n}.\)
Si\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) es R-integrable en\(A \in \mathcal{C},\) él también es Lebesgue integrable (con respecto a\(m\) lo anterior) en\(A,\) y
\[L \int_{A} f=R \int_{A} f,\]
- Prueba
-
Dada una\(\mathcal{C}\) partición\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\) -de\(A,\) definir los mapas\(\mathcal{C}\) -simples
\[g=\sum_{i} a_{i} C_{A_{i}} \text { and } h=\sum_{i} b_{i} C_{A_{i}}\]
con
\[a_{i}=\inf f\left[A_{i}\right] \text { and } b_{i}=\sup f\left[A_{i}\right].\]
Luego\(g \leq f \leq h\)\(A\) con
\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} a_{i} m A_{i}=L \int_{A} g\]
y
\[\overline{S}(f, \mathcal{P})=\sum_{i} b_{i} m A_{i}=L \int_{A} h.\]
Por Teorema 1 (c) en §5
\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=L \int_{A} g \leq L \underline{\int}_{A} f \leq L \overline{\int}_{A} f \leq L \int_{A} h=\overline{S}(f, \mathcal{P}).\]
Como esto se sostiene para cualquier\(\mathcal{P},\) que obtenemos
\[R \underline{\int}_{A} f=\sup_{\mathcal{P}} \underline{S}(f, \mathcal{P}) \leq L \underline{\int}_{A} f \leq L \overline{\int}_{A} f=\inf_{\mathcal{P}} \overline{S}(f, \mathcal{P})=R \overline{\int}_{A} f.\]
Pero por suposición,
\[R \underline{\int}_{A} f=R \overline{\int}_{A} f.\]
Así estas desigualdades se convierten en ecuaciones:
\[R \int_{A} f=\underline{\int}_{A} f=\overline{\int}_{A} f=R \int_{A} f.\]
Además, por definición (c),\(f\) está acotada\(A;\) así\(|f|<K<\infty\) sucesivamente\(A.\) Por lo tanto
\[\left|\int_{A} f\right| \leq \int_{A}|f| \leq K \cdot m A<\infty.\]
Así
\[\underline{\int}_{A} f=\overline{\int}_{A} f \neq \pm \infty,\]
es decir,\(f\) es Lebesgue integrable, y
\[L \int_{A} f=R \int_{A} f,\]
según lo reclamado. \(\quad \square\)
Nota 2. Lo contrario falla. Por ejemplo, como se muestra en el ejemplo en §4,\(f=C_{R}\) (\(R=\)racionales) es L-integrable en\(A=[0,1].\)
Sin embargo, no\(f\) es\(R\) -integrable.
Para\(\mathcal{C}\) -particiones implican intervalos que contienen tanto los racionales (sobre los cuales\(f=1\)) como los irracionales (sobre los cuales\(f=0\)). Así, para cualquier\(\mathcal{P}\),
\[\underline{S}(f, \mathcal{P})=0 \text { and } \overline{S}(f, \mathcal{P})=1 \cdot m A=1.\]
(¿Por qué?) Entonces
\[R \overline{\int}_{A} f=\inf \overline{S}(f, \mathcal{P})=1,\]
mientras
\[R \underline{\int}_{A} f=0 \neq R \overline{\int}_{A} f.\]
Nota 3. Por Teorema 1, cualquiera\(R \int_{A} f\) es también una integral de Lebesgue. Así, las reglas de §§5-6 se aplican a las R-integrales, siempre que las funciones involucradas sean R-integrables. Para un estudio más profundo, necesitamos algunas ideas más.
(d) La malla\(|\mathcal{P}|\)\(\mathcal{C}\) de una partición\(\mathcal{P}=\left\{A_{1}, \ldots, A_{q}\right\}\) es la más grande de las diagonales\(d A_{i}:\)
\[|\mathcal{P}|=\max \left\{d A_{1}, d A_{2}, \ldots, d A_{q}\right\}.\]
Nota 4. Para cualquiera\(A \in \mathcal{C},\) hay una secuencia de\(\mathcal{C}\) -particiones\(\mathcal{P}_{k}\) tal que
(i) cada uno\(P_{k+1}\) afina\(P_{k}\) y
ii)\(\lim _{k \rightarrow \infty}\left|P_{k}\right|=0\).
Para construir tal secuencia, bisectar los bordes de\(A\) manera que se obtengan\(2^{n}\) subintervalos de diagonal\(\frac{1}{2} dA\) (Capítulo 3, §7). Repita esto con cada uno de los subintervalos, y así sucesivamente. Entonces
\[\left|P_{k}\right|=\frac{d A}{2^{k}} \rightarrow 0.\]
\(f : A \rightarrow E^{1}\)Déjese acotar. Dejar\(\left\{\mathcal{P}_{k}\right\}\) satisfacer (i) de la Nota 4. Si se\(P_{k}=\left\{A_{1}^{k}, \ldots, A_{q_{k}}^{k}\right\},\) pone
\[g_{k}=\sum_{i=1}^{q_{k}} C_{A_{i}^{k}} \inf f\left[A_{i}^{k}\right]\]
y
\[h_{k}=\sum_{i=1}^{q_{k}} C_{A_{i}^{k} \sup } f\left[A_{i}^{k}\right].\]
Luego las funciones
\[g=\sup _{k} g_{k} \text { and } h=\inf _{k} h_{k}\]
son integrables en Lebesgue\(A,\) y
\[\int_{A} g=\lim _{k \rightarrow \infty} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \leq R \underline{\int}_{A} f \leq R \overline{\int}_{A} f \leq \lim_{k \rightarrow \infty} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\int_{A} h.\]
- Prueba
-
Al igual que en el Teorema 2, obtenemos\(g_{k} \leq f \leq h_{k}\)\(A\) con
\[\int_{A} g_{k}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)\]
y
\[\int_{A} h_{k}=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right).\]
Ya\(\mathcal{P}_{k},\) que\(\mathcal{P}_{k+1}\) refina también sigue fácilmente que
\[g_{k} \leq g_{k+1} \leq \sup _{k} g_{k}=g \leq f \leq h=\inf _{k} h_{k} \leq h_{k+1} \leq h_{k}.\]
(¡Verifica!)
Así\(\left\{g_{k}\right\} \uparrow\)\(\left\{h_{k}\right\} \downarrow,\) y así
\[g=\sup _{k} g_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} g_{k} \text { and } h=\inf _{k} h_{k}=\lim _{k \rightarrow \infty} h_{k}.\]
Además, como\(f\) está acotado
\[\left(\exists K \in E^{1}\right) \quad|f|<K \text { on } A.\]
La definición de\(g_{k}\) y\(h_{k}\) luego implica
\[(\forall k) \quad\left|g_{k}\right| \leq K \text { and }\left|h_{k}\right| \leq K \text { (why?),}\]
con
\[\int_{A}(K)=K \cdot m A<\infty.\]
Los\(g_{k}\) y\(h_{k}\) son medibles (incluso simples)\(A,\) con\(g_{k} \rightarrow g\) y\(h_{k} \rightarrow h\).
Así por Teorema 5 y Nota 1, ambos de §6,\(g\) y\(h\) son Lebesgue integrables, con
\[\int_{A} g=\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{A} g_{k} \text { and } \int_{A} h=\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{A} h_{k}.\]
Como
\[\int_{A} g_{k}=\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \leq R \underline{\int}_{A} f\]
y
\[\int_{A} h_{k}=\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \geq R \overline{\int}_{A} f,\]
paso al límite en rendimientos de igualdades (6). Así se prueba el lema. \(\quad \square\)
Con todo como en Lema 3, que\(B\) sea la unión de los límites de todos los intervalos de todos\(\mathcal{P}_{k}.\) Let\(\left|\mathcal{P}_{k}\right| \rightarrow 0.\) Entonces tenemos lo siguiente.
(i) Si\(f\) es continuo en\(p \in A,\) ese entonces\(h(p)=g(p)\).
ii) Lo contrario sostiene si\(p \in A-B\).
- Prueba
-
Para cada uno\(k, p\) está en uno de los intervalos en\(\mathcal{P}_{k};\) llamarlo\(A_{kp}\).
Si\(p \in A-B, p\) es un punto interior de\(A_{kp};\) por lo que hay un globo
\[G_{p}\left(\delta_{k}\right) \subseteq A_{kp}.\]
Asimismo, por la definición de\(g_{k}\) y\(h_{k}\),
\[g_{k}(p)=\inf f\left[A_{k p}\right] \text { and } h_{k}=\sup f\left[A_{k p}\right].\]
(¿Por qué?)
Ahora arregla\(\varepsilon>0.\) Si\(g(p)=h(p),\) entonces
\[0=h(p)-g(p)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left[h_{k}(p)-g_{k}(p)\right];\]
por lo
\[(\exists k) \quad\left|h_{k}(p)-g_{k}(p)\right|=\sup f\left[A_{k p}\right]-\inf f\left[A_{k p}\right]<\varepsilon.\]
A medida\(G_{p}\left(\delta_{k}\right) \subseteq A_{k p},\) que obtenemos
\[\left(\forall x \in G_{p}\left(\delta_{k}\right)\right) \quad|f(x)-f(p)| \leq \sup f\left[A_{k p}\right]-\inf f\left[A_{k p}\right]<\varepsilon,\]
prueba de continuidad (cláusula ii)).
Para (i), dado\(\varepsilon>0,\) elegir\(\delta>0\) para que
\[\left(\forall x, y \in A \cap G_{p}(\delta)\right) \quad|f(x)-f(y)|<\varepsilon.\]
Porque
\[(\forall \delta>0)\left(\exists k_{0}\right)\left(\forall k>k_{0}\right) \quad\left|\mathcal{P}_{k}\right|<\delta\]
para\(k>k_{0}, A_{k p} \subseteq G_{p}(\delta).\) Deducir que
\[\left(\forall k>k_{0}\right) \quad\left|h_{k}(p)-g_{k}(p)\right| \leq \varepsilon. \quad \square\]
Nota 5. La medida de Lebesgue de\(B\) en Lema 4 es cero; porque\(B\) consiste en contabilizadamente muchas “caras” (intervalos degenerados), cada una de medida cero.
Un mapa\(f : A \rightarrow E^{1}\) es R-integrable en\(A\) (con medida de\(m=\) Lebesgue) iff\(f\) está limitado\(A\) y continuo\(A-Q\) para algunos\(Q\) con\(m Q=0\).
Tenga en cuenta que la continuidad relativa en no\(A-Q\) es suficiente tomar\(f=C_{R}\) de la Nota 2.
- Prueba
-
Si estas condiciones se mantienen, elija\(\left\{\mathcal{P}_{k}\right\}\) como en Lema 4.
Entonces por la supuesta continuidad,\(g=h\) encendido\(A-Q, m Q=0\).
Así
\[\int_{A} g=\int_{A} h\]
(Corolario 2 en §5).
Por lo tanto, por la fórmula (6),\(f\) es R-integrable en\(A\).
Por el contrario, si es así, use Lemma 1 con
\[\varepsilon=1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{k}, \ldots\]
para conseguir para cada uno\(k\) de\(\mathcal{P}_{k}\) tal manera que
\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)<\frac{1}{k} \rightarrow 0.\]
Por Corolario 1, esto se mantendrá si refinamos cada\(\mathcal{P}_{k},\) paso a paso, para lograr también las propiedades (i) y (ii) de la Nota 4. Después aplican las Lemmas 3 y 4.
Como
\[\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right) \rightarrow 0,\]
fórmula (6) muestran que
\[\int_{A} g=\lim_{k \rightarrow \infty} \underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\lim_{k \rightarrow \infty} \overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{k}\right)=\int_{A} h.\]
Como\(h\) y\(g\) son integrables en\(A\),
\[\int_{A}(h-g)=\int_{A} h-\int_{A} g=0.\]
También\(h-g \geq 0;\) así por Teorema 1 (h) en §5,\(h=g\) on\(A-Q^{\prime}, m Q^{\prime}=0\) (bajo medida Lebesgue). De ahí que por Lemma 4,\(f\) es continuo en
\[A-Q^{\prime}-B,\]
con\(mB=0\) (Nota 5).
Deja\(Q=Q^{\prime} \cup B.\) Entonces\(m Q=0\) y
\[A-Q=A-Q^{\prime}-B;\]
así\(f\) es continuo en\(A-Q.\) Esto completa la prueba. \(\quad \square\)
Nota 6. La primera parte de la prueba no implica\(B\) y así funciona aunque no\(m\) sea la medida Lebesgue. La segunda parte lo requiere\(mB=0\).
El teorema 3 muestra que las R-integrales están limitadas a funciones continuas a.e. y por lo tanto son menos flexibles que las integrales L: Menos funciones son R-integrables, y los teoremas de convergencia (§6, Teoremas 4 y 5) fallan a menos que\(R \int_{A} f\) exista.
III. Funciones\(f : E^{n} \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right).\) Para tales funciones, las R-integrales se definen por componentes (ver §7). Así\(f=\left(f_{1}, \ldots, f_{s}\right)\) es R-integrable en\(A\) iff todos\(f_{k}\)\((k \leq s)\) son, y luego
\[R \int_{A} f=\sum_{k=1}^{s} \overline{e}_{k} R \int_{A} f_{k}.\]
Una función compleja\(f\) es R-integrable iff\(f_{re}\) y\(f_{im}\) son, y luego
\[R \int_{A} f=R \int_{A} f_{re}+i R \int_{A} f_{im}.\]
Vía componentes, Teoremas 1 a 3, Corolarios 3 y 4, aditividad, linealidad, etc., aplican.
IV. Integrales de Stieltjes. Riemann utilizó\(v\) solo la premedida de Lebesgue. Pero como vimos, su método admite otras premedidas, también.
Así en\(E^{1},\) podemos dejar que\(m\) sea la\(LS\) premedida\(s_{\alpha}\) o la\(LS\) medida\(m_{\alpha}\) donde\(\alpha \uparrow\) (Capítulo 7, §5, Ejemplo (b), y Capítulo 7, §9).
Entonces
\[R \int_{A} f dm\]
se llama el Riemann-Stieltjes (RS) integral de\(f\) con respecto a\(\alpha,\) también escrito
\[R \int_{A} f d \alpha \quad \text {or} \quad R \int_{a}^{b} f(x) d \alpha(x)\]
(este último si\(A=[a, b]\));\(f\) y\(\alpha\) se denominan integrando e integrador, respectivamente.
Si\(\alpha(x)=x, m_{\alpha}\) se convierte en la medida Lebesgue, y
\[R \int f(x) d \alpha(x)\]
se convierte en
\[R \int f(x) dx.\]
Nuestra teoría sigue siendo válida; solo el Teorema 3 ahora se lee de la siguiente manera.
Si\(f\) es acotado y a.e. continuo encendido\(A=[a, b]\) (bajo una medida LS\(m_{\alpha}\)) entonces
\[R \int_{a}^{b} f d \alpha\]
existe. Lo contrario se mantiene si\(\alpha\) es continuo encendido\(A\).
Para por las Notas 5 y 6, el “solo si” en el Teorema 3 se mantiene si\(m_{\alpha} B=0.\) Aquí consiste en contabilizadamente muchos puntos finales de subintervalos de partición. Pero (ver Capítulo §9)\(m_{\alpha}\{p\}=0\) si\(\alpha\) es continuo en\(p.\) Así implica lo posterior\(m_{\alpha} B=0\).
La integración de RS-se ha utilizado en muchos campos (e.g., teoría de probabilidad, física, etc.), pero es reemplazada por la integración de LS, es decir, la integración de Lebesgue con respecto a la\(m_{\alpha},\) cual está completamente cubierta por la teoría general de §§1-8.
En realidad, el propio Stieltjes utilizó definiciones algo diferentes (ver Problemas 10-13), que equivalen a aplicar la función set\(\sigma_{\alpha}\) del Problema 9 en el Capítulo 7, §4, en lugar de\(s_{\alpha}\) o\(m_{\alpha}.\) Reservamos el nombre “Integrales de Stieltjes”, denotado
\[S \int_{a}^{b} f d \alpha,\]
para tales integrales, y “RS-integrales” para aquellas basadas en\(m_{\alpha}\) o\(s_{\alpha}\) (esta terminología no es estándar).
Observe que no\(\sigma_{\alpha}\) necesita ser\(\geq 0.\) Así, por primera vez, nos encontramos con la integración con respecto a las funciones de conjunto de cambio de signo. Una teoría mucho más general se presenta en §10 (ver Problema 10 ahí).