Saltar al contenido principal

# 8.9.E: Problemas en las Integrales de Riemann y Stieltjes

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Sustituir$$\mathcal{M}$$ "" por$$\mathcal{C},$$ "" y “elemental e integrable” o “elemental y no negativo” por "$$\mathcal{C}$$-simple”, precio Corolario 1 (ii) (iv) (vii) y Teoremas 1 (i) y 2 (ii), todos en §4, y hacer Problemas 5-7 en §4, para R-integrales.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verificar Nota 1.

## Ejercicio$$\PageIndex{2'}$$

Hacer Problemas$$5-7$$ en §5 para R-integrales.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Haga lo siguiente para R-integrales.
(i) Demostrar teoremas$$1(\mathrm{a})-(\mathrm{g})$$ y$$2,$$ ambos en$$§5(\mathcal{C} \text {-partitions only })$$.
(ii) Demostrar el Teorema 1 y los Corolarios 1 y 2, todos en §6.
(iii) Demostrar que la definición (b) puede ser sustituida por fórmulas análogas a las fórmulas$$\left(1^{\prime}\right),\left(1^{\prime \prime}\right),$$ y (1) de la Definición 1 en §5.
[Pista: Problemas de uso$$\left.1 \text { and } 2^{\prime} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Rellena todos los datos en el comprobante del Teorema$$1,$$ Lemmas 3$$4,$$ y y Corolario$$4 .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Para componentes$$f, g: E^{n} \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right),$$ vía, acredite lo siguiente.
(i) Teoremas$$1-3$$ y
Haz también Problema 13 en §7 para R-integrales.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que si$$f: A \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right)$$ está acotado y a.e. continuo$$A,$$ entonces
\ [
R\ int_ {A} |f|\ geq\ izquierda|R\ int_ {A} f\ derecha|.
\]
Para la medida de$$m=$$ Lebesgue, hágala asumiendo solo la integrabilidad R.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que si$$f, g: A \rightarrow E^{1}$$ son R-integrables, entonces
(i) así es$$f^{2},$$ y
(ii) así es$$f g$$.
[Consejos: (i) Usar Lema 1. $$h=|f| \leq K<\infty$$Vamos A. Verifica que
\ [
\ left (\ inf h\ left [A_ {i}\ right]\ right) ^ {2} =\ inf f^ {2}\ left [A_ {i}\ right]\ text {and}\ left (\ sup h\ left [A_ {i}\ right]\ right) ^ {2} =\ sup f^ {2}\ left [A_ {i}\ derecho];
\]
así
\ [
\ comenzar {alineado}\ sup f^ {2}\ izquierda [A_ {i}\ derecha] -\ inf f^ {2}\ izquierda [A_ {i}\ derecha] &=\ izquierda (\ sup h\ izquierda [A_ {i}\ derecha] +\ inf h\ izquierda [A_ {i}\ derecha]\ derecha]\ derecha)\ izquierda (\ sup h\ izquierda [A_ {i}\ derecha] -\ inf h\ izquierda [A_ {i}\ derecha]\ derecha)\\ &\ leq\ izquierda (\ sup h\ izquierda [A_ {i}\ derecha] -\ inf h\ izquierda [A_ {i}\ derecha]\ derecha) 2 K. \ end {alineado}
\]
(ii) Usar
\ [
f g=\ frac {1} {4}\ left [(f+g) ^ {2} - (f-g) ^ {2}\ right].
\]
(iii) Para la medida de$$m=$$ Lebesgue, hágala usando el Teorema 3.]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar que si$$m=$$ la función de volumen$$v$$ (o función LS$$s_{\alpha}$$ para un continuo$$\alpha$$), entonces en las fórmulas (1) y$$(2),$$ uno puede reemplazar$$A_{i}$$ por$$\overline{A}_{i}$$ (cierre de$$\left.A_{i}\right) .$$
[Pista: Mostrar que aquí$$m A=m \overline{A}$$,
\ [
R\ int_ {A} f=R\ int_ {\ overline {A}} f,
\]
y la aditividad funciona aunque$$A_{i}$$ tengan algunas “caras” comunes (siendo solo sus interiores disjuntos).]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

(Sumas de Riemann.) En lugar de$$\underline{S}$$ y$$\bar{S}$$, Riemann utilizó sumas
\ [
S (f,\ mathcal {P}) =\ sum_ {i} f\ left (x_ {i}\ right) d m A_ {i},
\]
donde$$m=v \text { (see Problem } 8)$$ y$$x_{i}$$ se elige arbitrariamente de$$\overline{A_{i}}$$.
Para una$$f,$$ prueba limitada que
\ [
r=R\ int_ {A} f d m
\]
existe en$$A=[a, b]$$ iff para cada$$\varepsilon>0,$$ hay$$\mathcal{P}_{\varepsilon}$$ tal que
\ [
|S (f,\ mathcal {P}) -r|<\ varepsilon
\]
\ [
\ mathcal {P} =\ izquierda\ {A_ {i}\ derecha\}
\]
de$$\mathcal{P}_{\varepsilon}$$ y cualquier elección de$$x_{i} \in \overline{A_{i}}$$.
[Pista: Demuestre que por Problema$$8,$$ esto es equivalente a la fórmula (3).]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Sustituyendo$$m$$ por el$$\sigma_{\alpha}$$ de Problema 9 del Capítulo 7, §4, escribir$$S(f, \mathcal{P}, \alpha)$$ para$$S(f, \mathcal{P})$$ en Problema$$9,$$ tratando Problema 9 como una definición de la integral Stieltjes,
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha\ quad\ left (\ text {or} S\ int_ {a} ^ {b} f d\ sigma_ {\ alpha}\ right ).
\]
Aquí$$f, \alpha: E^{1} \rightarrow E^{1}$$ (monótona o no; incluso$$f, \alpha: E^{1} \rightarrow C$$ servirá).
Demostrar que si$$\alpha: E^{1} \rightarrow E^{1}$$ es continuo y$$\alpha \uparrow,$$ entonces
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha=R\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha,
\]
la$$R S$$ -integral.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

(Integración por partes.) Continuando Problema$$10,$$ probar que
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha
\]
existe iff
\ [
S\ int_ {a} ^ {b}\ alpha d f
\]
hace, y entonces
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ Alpha+S \ int_ {a} ^ {b}\ alfa d f=k,
\]
donde
\ [
k=F (b)\ alpha (b) -f (a)\ alpha (a)\ alpha (a).
\]
[Consejos: Tome cualquier$$\mathcal{C}$$ -partición$$\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}$$ de$$[a, b],$$ con
\ [
\ overline {A_ {i}} =\ left [y_ {i-1}, y_ {i}\ right],
\]
decir. Para cualquier$$x_{i} \in \overline{A}_{i},$$ verificar que
\ [
S (f,\ mathcal {P},\ alpha) =\ sum f\ left (x_ {i}\ right)\ left [\ alpha\ left (y_ {i}\ right) -\ alpha\ left (y_ {i-1}\ right)\ right] =\ sum f\ left (x_ {i}\ right)\ alpha\ left (y_ {i}\ derecha) -\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alfa\ izquierda (y_ {i-1}\ derecha)
\]
y
\ [
K=\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alfa\ izquierda (y_ {i}\ derecha) -\ suma f\ izquierda (x_ {i-1}\ derecha)\ alfa\ izquierda (y_ {i-1}\ derecha).
\]
Deducir que
\ [
K-S (f,\ mathcal {P},\ alpha) =S\ izquierda (\ alpha,\ mathcal {P} ^ {\ prime}, f\ derecha) =\ suma\ alfa\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ izquierda [f\ izquierda (x_ {i}\ derecha) -f\ izquierda (y_ {i}\ derecha)\ derecha] -\ suma\ alfa\ izquierda (x_ {i-1}\ derecha)\ izquierda [f\ izquierda (y_ {i}\ derecha) -f\ izquierda (x_ {i-1}\ right)\ right];
\]
aquí$$\mathcal{P}^{\prime}$$ resulta combinando los puntos de partición$$x_{i}$$ y$$y_{i},$$ así afina$$\mathcal{P}$$.
Ahora, si$$S \int_{a}^{b} \alpha d f$$ existe, corrige$$\mathcal{P}_{\varepsilon}$$ como en el Problema 9 y muestra que
\ [
\ izquierda|K-s (f,\ mathcal {P},\ alpha) -S\ int_ {a} ^ {b}\ alpha d f\ derecha|<\ varepsilon
\]
siempre que$$\left.\mathcal{P} \text { refines } \mathcal{P}_{\varepsilon} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Si$$\alpha: E^{1} \rightarrow E^{1}$$ es de clase$$C D^{1}$$ on$$[a, b]$$ y si
existe
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha
\] (ver Problema$$10),$$ es igual a
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f (x)\ alpha^ {\ prime} (x) d x.
\]
[Consejos: Establecer$$\phi=f \alpha^{\prime}, \mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}, \overline{A_{i}}=\left[a_{i-1}, a_{i}\right]$$. Entonces
\ [
S (\ phi,\ mathcal {P}) =\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alpha^ {\ prime}\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ izquierda (a_ {i} -a_ {i-1}\ derecha),\ quad x_ {i}\ in\ overline {A_ {i}}
\]
y (Corolario 3 en el Capítulo 5, §2)
\ [
S (f,\ mathcal {P},\ alpha) =\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ izquierda [\ alfa\ izquierda (a_ {i}\ derecha) -\ alfa\ izquierda (a_ {i-1}\ derecha)\ derecha)\ derecha] =\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alpha^ {\ prime}\ izquierda (q_ {i}\ derecha),\ quad q_ {i}\ en A_ {i}.
\]
Como$$f$$ está acotado y$$\alpha^{\prime}$$ es uniformemente continuo en$$[a, b]$$ (¿por qué?) , deducir que
\ [
\ begin {alineado} (\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ existe\ mathcal {P} _ _ {\ varepsilon}\ derecha)\ izquierda (\ forall\ mathcal {P} _ _ {\ varepsilon}\ derecha) (\ forall\ mathcal {P} &\ text {refinación}\ izquierda. \ mathcal {P} _ {\ varepsilon}\ derecha)\\ &|S (\ phi,\ mathcal {P}) -S (f,\ mathcal {P},\ alpha) |<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ texto {y}\ izquierda|S (f,\ mathcal {P},\ alpha) -S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alfa\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon. \ end {alineado}
\]
Proceda. Problema de uso 9.]

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

(Leyes de la media.) $$f, g, \alpha: E^{1} \rightarrow E^{1} ; p \leq f \leq q$$Vamos$$A=[a, b] ;$$$$p, q \in E^{1} .$$ Probará lo siguiente.
(i) Si$$\alpha \uparrow$$ y si
existe
\ [
s\ int_ {a} ^ {b} f d
\ alpha\], entonces$$(\exists c \in[p, q])$$ tal que
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha=c [\ alpha (b) -\ alpha (a)].
\]
Del mismo modo, si
existe
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f d
\ alpha\], entonces$$(\exists c \in[p, q])$$ tal que
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha=c [\ alpha (b+) -\ alpha (a-)].
\]
(i') Si$$f$$ también tiene la propiedad Darboux on$$A,$$ entonces$$c=f\left(x_{0}\right)$$ para algunos$$x_{0} \in A .$$
(ii) Si$$\alpha$$ es continuo, y$$f \uparrow$$ on$$A,$$ entonces
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha= [f (b)\ alpha (b) -f (a) \ alpha (a)] -S\ int_ {a} ^ {b}\ alpha d f
\]
existe, y$$(\exists z \in A)$$ tal que
\ [
\ begin {alineado} S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha &=f (a) S\ int_ {a} ^ {z} d\ alpha+f (b) S\ int_ {z} ^ {b} d\ alpha\ &=f (a) [\ alpha (z) -\ alpha (a)] +f (b) [\ alpha (b) -\ alpha (z)]. \ end {alineado}
\]
(ii') Si$$g$$ es continuo y$$f \uparrow$$ encendido$$A,$$ entonces$$(\exists z \in A)$$ tal que
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f (x) g (x) d x=p\ cdot R\ int_ {a} ^ {z} g (x) d x+q\ cdot R\ int_ {z} ^ {b} g (x) d x.
\]
Si se$$f \downarrow,$$ reemplaza$$f$$ por$$-f .$$ (Véase también Corolario 5 en el Capítulo$$9,$$ §1.)
[Consejos: (i) Como$$\alpha \uparrow,$$ obtenemos
\ [
p [\ alpha (b) -\ alpha (a)]\ leq S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha\ leq q [\ alpha (b) -\ alpha (a)].
\]
(¿Por qué?) Ahora argumentan como en §6, Teorema 3 y Problema 2.
(ii) Usar Problema$$11,$$ y aplicar (i) a$$\int \alpha d f$$.
(ii') Por Teorema 2 del Capítulo$$5, \ 10, g$$ tiene una primitiva$$\beta \in C D^{1} .$$ Aplicar Problema 12 a$$\left.S \int_{a}^{b} f d \beta .\right]$$

8.9.E: Problemas en las Integrales de Riemann y Stieltjes is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.