8.9.E: Problemas en las Integrales de Riemann y Stieltjes

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Sustituir\(\mathcal{M}\) "" por\(\mathcal{C},\) "" y “elemental e integrable” o “elemental y no negativo” por "\(\mathcal{C}\)-simple”, precio Corolario 1 (ii) (iv) (vii) y Teoremas 1 (i) y 2 (ii), todos en §4, y hacer Problemas 5-7 en §4, para R-integrales.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Verificar Nota 1.

Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

Hacer Problemas\(5-7\) en §5 para R-integrales.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Haga lo siguiente para R-integrales.
(i) Demostrar teoremas\(1(\mathrm{a})-(\mathrm{g})\) y\(2,\) ambos en\(§5(\mathcal{C} \text {-partitions only })\).
(ii) Demostrar el Teorema 1 y los Corolarios 1 y 2, todos en §6.
(iii) Demostrar que la definición (b) puede ser sustituida por fórmulas análogas a las fórmulas\(\left(1^{\prime}\right),\left(1^{\prime \prime}\right),\) y (1) de la Definición 1 en §5.
[Pista: Problemas de uso\(\left.1 \text { and } 2^{\prime} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Rellena todos los datos en el comprobante del Teorema\(1,\) Lemmas 3\(4,\) y y Corolario\(4 .\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para componentes\(f, g: E^{n} \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right),\) vía, acredite lo siguiente.
(i) Teoremas\(1-3\) y
(ii) aditividad y linealidad de R-integrales.
Haz también Problema 13 en §7 para R-integrales.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que si\(f: A \rightarrow E^{s}\left(C^{s}\right)\) está acotado y a.e. continuo\(A,\) entonces
\ [
R\ int_ {A} |f|\ geq\ izquierda|R\ int_ {A} f\ derecha|.
\]
Para la medida de\(m=\) Lebesgue, hágala asumiendo solo la integrabilidad R.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que si\(f, g: A \rightarrow E^{1}\) son R-integrables, entonces
(i) así es\(f^{2},\) y
(ii) así es\(f g\).
[Consejos: (i) Usar Lema 1. \(h=|f| \leq K<\infty\)Vamos A. Verifica que
\ [
\ left (\ inf h\ left [A_ {i}\ right]\ right) ^ {2} =\ inf f^ {2}\ left [A_ {i}\ right]\ text {and}\ left (\ sup h\ left [A_ {i}\ right]\ right) ^ {2} =\ sup f^ {2}\ left [A_ {i}\ derecho];
\]
así
\ [
\ comenzar {alineado}\ sup f^ {2}\ izquierda [A_ {i}\ derecha] -\ inf f^ {2}\ izquierda [A_ {i}\ derecha] &=\ izquierda (\ sup h\ izquierda [A_ {i}\ derecha] +\ inf h\ izquierda [A_ {i}\ derecha]\ derecha]\ derecha)\ izquierda (\ sup h\ izquierda [A_ {i}\ derecha] -\ inf h\ izquierda [A_ {i}\ derecha]\ derecha)\\ &\ leq\ izquierda (\ sup h\ izquierda [A_ {i}\ derecha] -\ inf h\ izquierda [A_ {i}\ derecha]\ derecha) 2 K. \ end {alineado}
\]
(ii) Usar
\ [
f g=\ frac {1} {4}\ left [(f+g) ^ {2} - (f-g) ^ {2}\ right].
\]
(iii) Para la medida de\(m=\) Lebesgue, hágala usando el Teorema 3.]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que si\(m=\) la función de volumen\(v\) (o función LS\(s_{\alpha}\) para un continuo\(\alpha\)), entonces en las fórmulas (1) y\((2),\) uno puede reemplazar\(A_{i}\) por\(\overline{A}_{i}\) (cierre de\(\left.A_{i}\right) .\)
[Pista: Mostrar que aquí\(m A=m \overline{A}\),
\ [
R\ int_ {A} f=R\ int_ {\ overline {A}} f,
\]
y la aditividad funciona aunque\(A_{i}\) tengan algunas “caras” comunes (siendo solo sus interiores disjuntos).]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

(Sumas de Riemann.) En lugar de\(\underline{S}\) y\(\bar{S}\), Riemann utilizó sumas
\ [
S (f,\ mathcal {P}) =\ sum_ {i} f\ left (x_ {i}\ right) d m A_ {i},
\]
donde\(m=v \text { (see Problem } 8)\) y\(x_{i}\) se elige arbitrariamente de\(\overline{A_{i}}\).
Para una\(f,\) prueba limitada que
\ [
r=R\ int_ {A} f d m
\]
existe en\(A=[a, b]\) iff para cada\(\varepsilon>0,\) hay\(\mathcal{P}_{\varepsilon}\) tal que
\ [
|S (f,\ mathcal {P}) -r|<\ varepsilon
\]
por cada refinamiento
\ [
\ mathcal {P} =\ izquierda\ {A_ {i}\ derecha\}
\]
de\(\mathcal{P}_{\varepsilon}\) y cualquier elección de\(x_{i} \in \overline{A_{i}}\).
[Pista: Demuestre que por Problema\(8,\) esto es equivalente a la fórmula (3).]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Sustituyendo\(m\) por el\(\sigma_{\alpha}\) de Problema 9 del Capítulo 7, §4, escribir\(S(f, \mathcal{P}, \alpha)\) para\(S(f, \mathcal{P})\) en Problema\(9,\) tratando Problema 9 como una definición de la integral Stieltjes,
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha\ quad\ left (\ text {or} S\ int_ {a} ^ {b} f d\ sigma_ {\ alpha}\ right ).
\]
Aquí\(f, \alpha: E^{1} \rightarrow E^{1}\) (monótona o no; incluso\(f, \alpha: E^{1} \rightarrow C\) servirá).
Demostrar que si\(\alpha: E^{1} \rightarrow E^{1}\) es continuo y\(\alpha \uparrow,\) entonces
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha=R\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha,
\]
la\(R S\) -integral.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

(Integración por partes.) Continuando Problema\(10,\) probar que
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha
\]
existe iff
\ [
S\ int_ {a} ^ {b}\ alpha d f
\]
hace, y entonces
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ Alpha+S \ int_ {a} ^ {b}\ alfa d f=k,
\]
donde
\ [
k=F (b)\ alpha (b) -f (a)\ alpha (a)\ alpha (a).
\]
[Consejos: Tome cualquier\(\mathcal{C}\) -partición\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}\) de\([a, b],\) con
\ [
\ overline {A_ {i}} =\ left [y_ {i-1}, y_ {i}\ right],
\]
decir. Para cualquier\(x_{i} \in \overline{A}_{i},\) verificar que
\ [
S (f,\ mathcal {P},\ alpha) =\ sum f\ left (x_ {i}\ right)\ left [\ alpha\ left (y_ {i}\ right) -\ alpha\ left (y_ {i-1}\ right)\ right] =\ sum f\ left (x_ {i}\ right)\ alpha\ left (y_ {i}\ derecha) -\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alfa\ izquierda (y_ {i-1}\ derecha)
\]
y
\ [
K=\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alfa\ izquierda (y_ {i}\ derecha) -\ suma f\ izquierda (x_ {i-1}\ derecha)\ alfa\ izquierda (y_ {i-1}\ derecha).
\]
Deducir que
\ [
K-S (f,\ mathcal {P},\ alpha) =S\ izquierda (\ alpha,\ mathcal {P} ^ {\ prime}, f\ derecha) =\ suma\ alfa\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ izquierda [f\ izquierda (x_ {i}\ derecha) -f\ izquierda (y_ {i}\ derecha)\ derecha] -\ suma\ alfa\ izquierda (x_ {i-1}\ derecha)\ izquierda [f\ izquierda (y_ {i}\ derecha) -f\ izquierda (x_ {i-1}\ right)\ right];
\]
aquí\(\mathcal{P}^{\prime}\) resulta combinando los puntos de partición\(x_{i}\) y\(y_{i},\) así afina\(\mathcal{P}\).
Ahora, si\(S \int_{a}^{b} \alpha d f\) existe, corrige\(\mathcal{P}_{\varepsilon}\) como en el Problema 9 y muestra que
\ [
\ izquierda|K-s (f,\ mathcal {P},\ alpha) -S\ int_ {a} ^ {b}\ alpha d f\ derecha|<\ varepsilon
\]
siempre que\(\left.\mathcal{P} \text { refines } \mathcal{P}_{\varepsilon} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Si\(\alpha: E^{1} \rightarrow E^{1}\) es de clase\(C D^{1}\) on\([a, b]\) y si
existe
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha
\] (ver Problema\(10),\) es igual a
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f (x)\ alpha^ {\ prime} (x) d x.
\]
[Consejos: Establecer\(\phi=f \alpha^{\prime}, \mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}, \overline{A_{i}}=\left[a_{i-1}, a_{i}\right]\). Entonces
\ [
S (\ phi,\ mathcal {P}) =\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alpha^ {\ prime}\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ izquierda (a_ {i} -a_ {i-1}\ derecha),\ quad x_ {i}\ in\ overline {A_ {i}}
\]
y (Corolario 3 en el Capítulo 5, §2)
\ [
S (f,\ mathcal {P},\ alpha) =\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ izquierda [\ alfa\ izquierda (a_ {i}\ derecha) -\ alfa\ izquierda (a_ {i-1}\ derecha)\ derecha)\ derecha] =\ suma f\ izquierda (x_ {i}\ derecha)\ alpha^ {\ prime}\ izquierda (q_ {i}\ derecha),\ quad q_ {i}\ en A_ {i}.
\]
Como\(f\) está acotado y\(\alpha^{\prime}\) es uniformemente continuo en\([a, b]\) (¿por qué?) , deducir que
\ [
\ begin {alineado} (\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ existe\ mathcal {P} _ _ {\ varepsilon}\ derecha)\ izquierda (\ forall\ mathcal {P} _ _ {\ varepsilon}\ derecha) (\ forall\ mathcal {P} &\ text {refinación}\ izquierda. \ mathcal {P} _ {\ varepsilon}\ derecha)\\ &|S (\ phi,\ mathcal {P}) -S (f,\ mathcal {P},\ alpha) |<\ frac {1} {2}\ varepsilon\ texto {y}\ izquierda|S (f,\ mathcal {P},\ alpha) -S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alfa\ derecha|<\ frac {1} {2}\ varepsilon. \ end {alineado}
\]
Proceda. Problema de uso 9.]

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

(Leyes de la media.) \(f, g, \alpha: E^{1} \rightarrow E^{1} ; p \leq f \leq q\)Vamos\(A=[a, b] ;\)\(p, q \in E^{1} .\) Probará lo siguiente.
(i) Si\(\alpha \uparrow\) y si
existe
\ [
s\ int_ {a} ^ {b} f d
\ alpha\], entonces\((\exists c \in[p, q])\) tal que
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha=c [\ alpha (b) -\ alpha (a)].
\]
Del mismo modo, si
existe
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f d
\ alpha\], entonces\((\exists c \in[p, q])\) tal que
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha=c [\ alpha (b+) -\ alpha (a-)].
\]
(i') Si\(f\) también tiene la propiedad Darboux on\(A,\) entonces\(c=f\left(x_{0}\right)\) para algunos\(x_{0} \in A .\)
(ii) Si\(\alpha\) es continuo, y\(f \uparrow\) on\(A,\) entonces
\ [
S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha= [f (b)\ alpha (b) -f (a) \ alpha (a)] -S\ int_ {a} ^ {b}\ alpha d f
\]
existe, y\((\exists z \in A)\) tal que
\ [
\ begin {alineado} S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha &=f (a) S\ int_ {a} ^ {z} d\ alpha+f (b) S\ int_ {z} ^ {b} d\ alpha\ &=f (a) [\ alpha (z) -\ alpha (a)] +f (b) [\ alpha (b) -\ alpha (z)]. \ end {alineado}
\]
(ii') Si\(g\) es continuo y\(f \uparrow\) encendido\(A,\) entonces\((\exists z \in A)\) tal que
\ [
R\ int_ {a} ^ {b} f (x) g (x) d x=p\ cdot R\ int_ {a} ^ {z} g (x) d x+q\ cdot R\ int_ {z} ^ {b} g (x) d x.
\]
Si se\(f \downarrow,\) reemplaza\(f\) por\(-f .\) (Véase también Corolario 5 en el Capítulo\(9,\) §1.)
[Consejos: (i) Como\(\alpha \uparrow,\) obtenemos
\ [
p [\ alpha (b) -\ alpha (a)]\ leq S\ int_ {a} ^ {b} f d\ alpha\ leq q [\ alpha (b) -\ alpha (a)].
\]
(¿Por qué?) Ahora argumentan como en §6, Teorema 3 y Problema 2.
(ii) Usar Problema\(11,\) y aplicar (i) a\(\int \alpha d f\).
(ii') Por Teorema 2 del Capítulo\(5, \$ 10, g\) tiene una primitiva\(\beta \in C D^{1} .\) Aplicar Problema 12 a\(\left.S \int_{a}^{b} f d \beta .\right]\)