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# 8.10.E: Problemas de Integración Generalizada

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección. Prueba Nota 3.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Tratar el Corolario 1 (ii) como una definición de

\ [\ int_ {A} f d s
\]
para$$s: \mathcal{M} \rightarrow E$$ y elemental e integrable$$f,$$ aunque$$E \neq E^{n}\left(C^{n}\right) .$$
De ahí deducir Corolario$$1(\mathrm{i})(\mathrm{vi})$$ para este caso más general.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Usando Lema 2 en §7, con$$m=v_{s}, s: \mathcal{M} \rightarrow E,$$ constructo
\ [
\ int_ {A} f d s
\]
como en la Definición 2 de §7 para el caso$$v_{s} A \neq \infty .$$ Mostrar que esto concuerda con el Problema 2 si$$f$$ es elemental e integrable. Luego demostrar linealidad para funciones con soporte$$v_{s}$$ -finito como en §7.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Definir

\ [\ int_ {A} f d s\ quad (s:\ mathcal {M}\ fila derecha E)
\]
también para$$v_{s} A=\infty .$$
[Pista: Establecer$$\left.m=v_{s} \text { in Lemma } 3 \text { of } §7 .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar Teoremas 1 a 3 para el caso general,$$s: \mathcal{M} \rightarrow E$$ (ver Problema 4).
[Pista: Argumenta como en §7.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5'}$$

De Problemas$$2-4,$$ deducir la Definición 2 como teorema en el caso$$E=$$$$E^{n}\left(C^{n}\right) .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$s, s_{k}: \mathcal{M} \rightarrow E(k=1,2, \ldots)$$ ser cualquier conjunto de funciones. Dejar$$A \in \mathcal{M}$$ y
\ [
\ mathcal {M} _ _ {A} =\ {X\ in\ mathcal {M} | X\ subseteq A\}.
\]
Demostrar que si

\ [\ izquierda (\ forall X\ in\ mathcal {M} _ _ {A}\ derecha)\ quad\ lim _ {k\ rightarrow\ infty} s_ {k} x=S X,
\]
entonces

\ [\ lim _ {k\ rightarrow\ infty} v_ {s_ {k}} A=v_ {s} A,
\]
siempre$$\lim _{k \rightarrow \infty} v_{s_{k}}$$ que exista.
[Pista: Usando el Problema 2 en el Capítulo 7, §11, arregla una secuencia disjunta finita$$\left\{X_{i}\right\} \subseteq \mathcal{M}_{A} .$$
Entonces

\ [\ sum_ {i}\ izquierda|s X_ {i}\ derecha|=\ suma_ {i}\ lim _ {k\ fila derecha\ infty}\ izquierda|s_ {k} X_ {i}\ derecha|=\ lim _ {k\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i}\ izquierda|s_ {k} X_ {i}\ derecha|\ leq\ lim _ {k\ fila derecha\ infty} v_ {s_ {k}} A.
\]
Inferir que
\ [
v_ {s} A\ leq\ lim _ {k\ fila derecha\ infty} v_ {s k} A.
\]
También,
\ [
(\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ existe k_ {0}\ derecha)\ izquierda (\ forall k>k_ {0}\ derecha)\ quad\ sum_ {i}\ izquierda|s_ {k} X_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i}\ izquierda|s X_ {i}\ derecha| |+\ varepsilon\ leq v_ {s} A+\ varepsilon.
\]
Proceder.]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Dejar$$(X, \mathcal{M}, m)$$ y$$(Y, \mathcal{N}, n)$$ ser dos espacios de medida generalizados$$(X \in$$$$M, Y \in \mathcal{N}) \text { such that } m n \text { is defined (Note } 1) .$$ Establecer

\ [\ mathcal {C} =\ left\ {A\ times B | A\ in\ mathcal {M}, B\ in\ mathcal {N}, v_ {m} A<\ infty, v_ {n} B<\ infty\ right\}
\]
y$$s(A \times B)=m A \cdot n B$$ for$$A \times B \in \mathcal{C}$$.
Definir un mapa de Fubini como en §8, Parte IV, dejando caer, sin embargo,$$\int_{X \times Y} f d p$$ de la propiedad de Fubini (c) temporalmente.
Después probar el Teorema 1 en §8, incluyendo la fórmula$$(1),$$ para los mapas de Fubini así modificados.
[Pista: Para$$\left.\sigma \text { -additivity, use our present Theorem } 2 \text { twice. Omit } \mathcal{P}^{*} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Continuando Problema$$7,$$ dejó$$\mathcal{P}$$ ser el$$\sigma$$ -ring generado por$$\mathcal{C}$$ en$$X \times Y .$$ Prove que$$(\forall D \in \mathcal{P}) C_{D}$$ es un mapa de Fubini (como modificado).
[Esquema: Proceder como en Lema 5 de$$§8 . \text { For step (ii), use Theorem 2 in } §10 \text { twice. }]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Continuar más Problemas 7 y$$8,$$ definir
\ [
(\ forall D\ in\ mathcal {P})\ quad p D=\ int_ {X}\ int_ {Y} C_ {D} d n d m.
\]
Mostrar que$$p$$ es una medida generalizada, con$$p=s$$ on$$\mathcal{C},$$ y que
\ [
(\ forall D\ in\ mathcal {P})\ quad p D=\ int_ {X\ times Y} C_ {D} d p,
\]
con la siguiente convención: Si$$X \times Y \notin \mathcal{P},$$ establecemos
\ [
\ int_ {X\ times Y} f d p=\ int_ {H} f d p
\]
siempre que$$H \in \mathcal{P}, f$$ sea$$p$$ -integrable encendido$$H,$$ y$$f=0$$ encendido$$-H .$$
$$\quad$$ Verifica que esto sea inequívoco, es decir,
\ [
\ int_ {X\ times Y} f d p
\]
así definido es independiente de la elección de$$H$$.
Por último,$$\overline{p}$$ sea la finalización de$$p$$ (Capítulo$$7,$$ §6, Problema 15); deje$$\mathcal{P}^{*}$$ ser su dominio.
Desarrollar el resto de la teoría de Fubini “imitando” Problema 12 en §8.

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Las$$(L S)$$ medidas firmadas de Lebesgue-Stielttjes en se$$E^{1}$$ definen como se muestra en el Capítulo 7, §11, Parte$$V .$$ Usando la notación de esa sección, probar lo siguiente:
(i) Dada una medida de Borel-Stieltjes$$\sigma_{\alpha}^{*}$$ en un intervalo$$I \subseteq E^{1}$$ (o una medida LS$$s_{\alpha}=\overline{\sigma}^{*}_{\alpha}$$ en$$I$$), hay dos funciones monótonas$$g \uparrow$$ y$$h \uparrow(\alpha=g-h)$$ tales que
\ [
m_ {g} =s_ {\ alpha} ^ {+}\ text {y} m_ {h} =s_ {\ alpha} ^ {-},
\]
ambas satisfaciendo fórmula (3) del Capítulo 7, §11, dentro$$I$$.
(ii) Si$$f$$ es$$s_{\alpha}$$ -integrable en$$A \subseteq I,$$ entonces
\ [
\ int_ {A} f d s_ {\ alpha} =\ int_ {A} f d m_ {g} -\ int_ {A} f d m_ {h}
\]
para cualquiera$$g \uparrow$$ y$$h \uparrow$$ (finito) tal que$$\alpha=g-h$$.
[Consejos: (i) Definir$$s_{\alpha}^{+}$$ y$$s_{\alpha}^{-}$$ por la fórmula (3) del Capítulo$$7,$$ §7. Después argumentando como en el Teorema 2 en el Capítulo 7, §9, encontrar$$g \uparrow$$ y$$h \uparrow$$ con$$m_{g}=s_{\alpha}^{+}$$ y$$m_{h}=s_{\alpha}^{-}$$.
(ii) Primero vamos$$A=(a, b] \subseteq I,$$ luego$$A \in B .$$ Proceder.]

8.10.E: Problemas de Integración Generalizada is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.