8.10.E: Problemas de Integración Generalizada

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene los datos faltantes en las pruebas de esta sección. Prueba Nota 3.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Tratar el Corolario 1 (ii) como una definición de

\ [\ int_ {A} f d s
\]
para\(s: \mathcal{M} \rightarrow E\) y elemental e integrable\(f,\) aunque\(E \neq E^{n}\left(C^{n}\right) .\)
De ahí deducir Corolario\(1(\mathrm{i})(\mathrm{vi})\) para este caso más general.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Usando Lema 2 en §7, con\(m=v_{s}, s: \mathcal{M} \rightarrow E,\) constructo
\ [
\ int_ {A} f d s
\]
como en la Definición 2 de §7 para el caso\(v_{s} A \neq \infty .\) Mostrar que esto concuerda con el Problema 2 si\(f\) es elemental e integrable. Luego demostrar linealidad para funciones con soporte\(v_{s}\) -finito como en §7.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Definir

\ [\ int_ {A} f d s\ quad (s:\ mathcal {M}\ fila derecha E)
\]
también para\(v_{s} A=\infty .\)
[Pista: Establecer\(\left.m=v_{s} \text { in Lemma } 3 \text { of } §7 .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar Teoremas 1 a 3 para el caso general,\(s: \mathcal{M} \rightarrow E\) (ver Problema 4).
[Pista: Argumenta como en §7.]

Ejercicio\(\PageIndex{5'}\)

De Problemas\(2-4,\) deducir la Definición 2 como teorema en el caso\(E=\)\(E^{n}\left(C^{n}\right) .\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\(s, s_{k}: \mathcal{M} \rightarrow E(k=1,2, \ldots)\) ser cualquier conjunto de funciones. Dejar\(A \in \mathcal{M}\) y
\ [
\ mathcal {M} _ _ {A} =\ {X\ in\ mathcal {M} | X\ subseteq A\}.
\]
Demostrar que si

\ [\ izquierda (\ forall X\ in\ mathcal {M} _ _ {A}\ derecha)\ quad\ lim _ {k\ rightarrow\ infty} s_ {k} x=S X,
\]
entonces

\ [\ lim _ {k\ rightarrow\ infty} v_ {s_ {k}} A=v_ {s} A,
\]
siempre\(\lim _{k \rightarrow \infty} v_{s_{k}}\) que exista.
[Pista: Usando el Problema 2 en el Capítulo 7, §11, arregla una secuencia disjunta finita\(\left\{X_{i}\right\} \subseteq \mathcal{M}_{A} .\)
Entonces

\ [\ sum_ {i}\ izquierda|s X_ {i}\ derecha|=\ suma_ {i}\ lim _ {k\ fila derecha\ infty}\ izquierda|s_ {k} X_ {i}\ derecha|=\ lim _ {k\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i}\ izquierda|s_ {k} X_ {i}\ derecha|\ leq\ lim _ {k\ fila derecha\ infty} v_ {s_ {k}} A.
\]
Inferir que
\ [
v_ {s} A\ leq\ lim _ {k\ fila derecha\ infty} v_ {s k} A.
\]
También,
\ [
(\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ existe k_ {0}\ derecha)\ izquierda (\ forall k>k_ {0}\ derecha)\ quad\ sum_ {i}\ izquierda|s_ {k} X_ {i}\ derecha|\ leq\ sum_ {i}\ izquierda|s X_ {i}\ derecha| |+\ varepsilon\ leq v_ {s} A+\ varepsilon.
\]
Proceder.]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\((X, \mathcal{M}, m)\) y\((Y, \mathcal{N}, n)\) ser dos espacios de medida generalizados\((X \in\)\(M, Y \in \mathcal{N}) \text { such that } m n \text { is defined (Note } 1) .\) Establecer

\ [\ mathcal {C} =\ left\ {A\ times B | A\ in\ mathcal {M}, B\ in\ mathcal {N}, v_ {m} A<\ infty, v_ {n} B<\ infty\ right\}
\]
y\(s(A \times B)=m A \cdot n B\) for\(A \times B \in \mathcal{C}\).
Definir un mapa de Fubini como en §8, Parte IV, dejando caer, sin embargo,\(\int_{X \times Y} f d p\) de la propiedad de Fubini (c) temporalmente.
Después probar el Teorema 1 en §8, incluyendo la fórmula\((1),\) para los mapas de Fubini así modificados.
[Pista: Para\(\left.\sigma \text { -additivity, use our present Theorem } 2 \text { twice. Omit } \mathcal{P}^{*} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Continuando Problema\(7,\) dejó\(\mathcal{P}\) ser el\(\sigma\) -ring generado por\(\mathcal{C}\) en\(X \times Y .\) Prove que\((\forall D \in \mathcal{P}) C_{D}\) es un mapa de Fubini (como modificado).
[Esquema: Proceder como en Lema 5 de\(§8 . \text { For step (ii), use Theorem 2 in } §10 \text { twice. }]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Continuar más Problemas 7 y\(8,\) definir
\ [
(\ forall D\ in\ mathcal {P})\ quad p D=\ int_ {X}\ int_ {Y} C_ {D} d n d m.
\]
Mostrar que\(p\) es una medida generalizada, con\(p=s\) on\(\mathcal{C},\) y que
\ [
(\ forall D\ in\ mathcal {P})\ quad p D=\ int_ {X\ times Y} C_ {D} d p,
\]
con la siguiente convención: Si\(X \times Y \notin \mathcal{P},\) establecemos
\ [
\ int_ {X\ times Y} f d p=\ int_ {H} f d p
\]
siempre que\(H \in \mathcal{P}, f\) sea\(p\) -integrable encendido\(H,\) y\(f=0\) encendido\(-H .\)
\(\quad\) Verifica que esto sea inequívoco, es decir,
\ [
\ int_ {X\ times Y} f d p
\]
así definido es independiente de la elección de\(H\).
Por último,\(\overline{p}\) sea la finalización de\(p\) (Capítulo\(7,\) §6, Problema 15); deje\(\mathcal{P}^{*}\) ser su dominio.
Desarrollar el resto de la teoría de Fubini “imitando” Problema 12 en §8.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Las\((L S)\) medidas firmadas de Lebesgue-Stielttjes en se\(E^{1}\) definen como se muestra en el Capítulo 7, §11, Parte\(V .\) Usando la notación de esa sección, probar lo siguiente:
(i) Dada una medida de Borel-Stieltjes\(\sigma_{\alpha}^{*}\) en un intervalo\(I \subseteq E^{1}\) (o una medida LS\(s_{\alpha}=\overline{\sigma}^{*}_{\alpha}\) en\(I\)), hay dos funciones monótonas\(g \uparrow\) y\(h \uparrow(\alpha=g-h)\) tales que
\ [
m_ {g} =s_ {\ alpha} ^ {+}\ text {y} m_ {h} =s_ {\ alpha} ^ {-},
\]
ambas satisfaciendo fórmula (3) del Capítulo 7, §11, dentro\(I\).
(ii) Si\(f\) es\(s_{\alpha}\) -integrable en\(A \subseteq I,\) entonces
\ [
\ int_ {A} f d s_ {\ alpha} =\ int_ {A} f d m_ {g} -\ int_ {A} f d m_ {h}
\]
para cualquiera\(g \uparrow\) y\(h \uparrow\) (finito) tal que\(\alpha=g-h\).
[Consejos: (i) Definir\(s_{\alpha}^{+}\) y\(s_{\alpha}^{-}\) por la fórmula (3) del Capítulo\(7,\) §7. Después argumentando como en el Teorema 2 en el Capítulo 7, §9, encontrar\(g \uparrow\) y\(h \uparrow\) con\(m_{g}=s_{\alpha}^{+}\) y\(m_{h}=s_{\alpha}^{-}\).
(ii) Primero vamos\(A=(a, b] \subseteq I,\) luego\(A \in B .\) Proceder.]