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# 8.12.E: Problemas de Diferenciación y Temas Relacionados

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene todos los datos de prueba en esta sección. Verificar la nota al pie de página 4 y la Nota 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dada una medida$$s: \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*}\left(\mathcal{M}^{\prime} \supseteq \overline{\mathcal{K}}\right),$$ prueban que
(i)$$s$$ es topológico;
(ii) su restricción Borel$$\sigma$$ es fuertemente regular; y
(iii)$$\underline{D} s, \overline{D} s,$$ y$$s^{\prime}$$ no cambian si$$s$$ o$$m$$ están restringidos al campo Borel$$\mathcal{B}$$ en $$E^{n} ;$$tampoco esto afecta a las proposiciones sobre$$\overline{\mathcal{K}}$$ diferenciación demostradas aquí.
[Consejos: (i) Usar Lema 2 del Capítulo 7, §2. ii) Utilizar también el Problema 10 en el Capítulo 7, §7. iii) Todo depende de$$\overline{\mathcal{K} .]}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Qué análogos$$2(\mathrm{i})-(\text { iii })$$ aplicar a$$\Omega$$ -diferenciación en$$E^{n} ? \operatorname{In}(S, \rho) ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

(i) Demostrar que cualquier medida$$m$$ -singular$$s$$ en el$$E^{n},$$ finito$$\overline{\mathcal{K}},$$ tiene una derivada cero (e.a.).
(ii) Para$$\Omega$$ -derivados, probar que esto se mantiene si también$$s$$ es regular.
[Pista para (i): Por Problema 2, podemos suponer que es regular (si no, reemplazarlo por$$\sigma$$).
Supongamos
\ [
m E^ {n} (\ overline {D} s>0) >a>0
\]
y encuentra una contradicción con Lema 2.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dar otra prueba para el Teorema 4 en el Capítulo$$7,812 .$$
[Pista: Arreglar un cubo abierto$$J \in \overline{\mathcal{K}} .$$ Por Problema 2 (iii), restringir$$s$$ y$$m$$ a

\ [\ mathcal {M} _ {0} =\ {X\ in\ mathcal {B} | X\ subseteq J\}
\]
para hacerlos finitos. Aplicar Corolario 2 en §11 a$$s$$. Después usa el$$4,$$ Teorema del Problema 1 de la presente sección, y el Teorema 1 del Capítulo 7, §12.
Para$$\Omega$$ -diferenciación, asumir$$s$$ regular; argumentar como en Corolario$$1,$$ usando el Corolario 2
de 11.]

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que si
\ [
F (x) =L\ int_ {a} ^ {x} f d m\ quad (a\ leq x\ leq b),
\]
con$$f: E^{1} \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right) m$$ -integrable on$$A=[a, b],$$ entonces$$F$$ es diferenciable, con$$F^{\prime}=f,$$ a.e. on$$A .$$
[Pista: Vía componentes, reducir todo al caso $$f \geq 0, F \uparrow$$on$$A .$$
Vamos
\ [
s=\ int f d m
\]
on$$\mathcal{M}^{*}$$. $$t=m_{F}$$Sea la medida$$F$$ de LS inducida. Demostrar que$$s=t$$ en intervalos en$$A$$; así$$s^{\prime}=t^{\prime}=F^{\prime}$$ a.e. en$$A$$ (Problema 9 en el Capítulo 7, §11). Uso Teorema 1.]

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