8.12.E: Problemas de Diferenciación y Temas Relacionados

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene todos los datos de prueba en esta sección. Verificar la nota al pie de página 4 y la Nota 2.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dada una medida\(s: \mathcal{M}^{\prime} \rightarrow E^{*}\left(\mathcal{M}^{\prime} \supseteq \overline{\mathcal{K}}\right),\) prueban que
(i)\(s\) es topológico;
(ii) su restricción Borel\(\sigma\) es fuertemente regular; y
(iii)\(\underline{D} s, \overline{D} s,\) y\(s^{\prime}\) no cambian si\(s\) o\(m\) están restringidos al campo Borel\(\mathcal{B}\) en \(E^{n} ;\)tampoco esto afecta a las proposiciones sobre\(\overline{\mathcal{K}}\) diferenciación demostradas aquí.
[Consejos: (i) Usar Lema 2 del Capítulo 7, §2. ii) Utilizar también el Problema 10 en el Capítulo 7, §7. iii) Todo depende de\(\overline{\mathcal{K} .]}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Qué análogos\(2(\mathrm{i})-(\text { iii })\) aplicar a\(\Omega\) -diferenciación en\(E^{n} ? \operatorname{In}(S, \rho) ?\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

(i) Demostrar que cualquier medida\(m\) -singular\(s\) en el\(E^{n},\) finito\(\overline{\mathcal{K}},\) tiene una derivada cero (e.a.).
(ii) Para\(\Omega\) -derivados, probar que esto se mantiene si también\(s\) es regular.
[Pista para (i): Por Problema 2, podemos suponer que es regular (si no, reemplazarlo por\(\sigma\)).
Supongamos
\ [
m E^ {n} (\ overline {D} s>0) >a>0
\]
y encuentra una contradicción con Lema 2.]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dar otra prueba para el Teorema 4 en el Capítulo\(7,812 .\)
[Pista: Arreglar un cubo abierto\(J \in \overline{\mathcal{K}} .\) Por Problema 2 (iii), restringir\(s\) y\(m\) a

\ [\ mathcal {M} _ {0} =\ {X\ in\ mathcal {B} | X\ subseteq J\}
\]
para hacerlos finitos. Aplicar Corolario 2 en §11 a\(s\). Después usa el\(4,\) Teorema del Problema 1 de la presente sección, y el Teorema 1 del Capítulo 7, §12.
Para\(\Omega\) -diferenciación, asumir\(s\) regular; argumentar como en Corolario\(1,\) usando el Corolario 2
de 11.]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que si
\ [
F (x) =L\ int_ {a} ^ {x} f d m\ quad (a\ leq x\ leq b),
\]
con\(f: E^{1} \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right) m\) -integrable on\(A=[a, b],\) entonces\(F\) es diferenciable, con\(F^{\prime}=f,\) a.e. on\(A .\)
[Pista: Vía componentes, reducir todo al caso \(f \geq 0, F \uparrow\)on\(A .\)
Vamos
\ [
s=\ int f d m
\]
on\(\mathcal{M}^{*}\). \(t=m_{F}\)Sea la medida\(F\) de LS inducida. Demostrar que\(s=t\) en intervalos en\(A\); así\(s^{\prime}=t^{\prime}=F^{\prime}\) a.e. en\(A\) (Problema 9 en el Capítulo 7, §11). Uso Teorema 1.]