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9.1: L-Integrales y Antiderivados

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    I. La teoría de Lebesgue permite fortalecer muchos teoremas del cálculo. Comenzaremos con funciones encendidas\(E^{1}, f : E^{1} \rightarrow E.\) (Un lector que haya omitido la parte “estrellado” del Capítulo 8, §7, tendrá que establecer a\(E=E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right)\) lo largo.)

    Por\(L\) -integrales de tales funciones, nos referimos a integrales con respecto a la medida de Lebesgue\(m\) en\(E^{1}.\) Notación:

    \[L \int_{a}^{b} f=L \int_{a}^{b} f(x) d x=L \int_{[a, b]} f\]

    y

    \[L \int_{b}^{a} f=-L \int_{a}^{b} f.\]

    Para las integrales de Riemann, sustituimos "\(L\)" por "\(R.\)" "Comparamos dichas integrales con antiderivadas (Capítulo 5, §5), denotadas

    \[\int_{a}^{b} f,\]

    sin el "" "o\(L\)" ""\(R.\) "” Tenga en cuenta

    \[L \int_{[a, b]} f=L \int_{(a, b)} f,\]

    etc., ya que\(m\{a\}=m\{b\}=0\) aquí.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(f : E^{1} \rightarrow E\) ser\(L\) -integrable en el\(A=[a, b].\) set

    \[H(x)=L \int_{a}^{x} f, \quad x \in A.\]

    Entonces lo siguiente es cierto.

    (i) La función\(f\) es la derivada de\(H\) en cualquiera\(p \in A\) en la que\(f\) sea finita y continua. (At\(a\) y\(b\), la continuidad y las derivadas pueden ser unilaterales desde dentro.)

    (ii) La función\(H\) es absolutamente continua\(A;\) por lo tanto\(V_{H}[A]<\infty.\)

    Prueba

    (i)\(p \in(a, b], q=f(p) \neq \pm \infty.\) Dejemos que\(f\) se deje continuo en\(p;\) así, dado\(\varepsilon>0,\) podemos fijar\(c \in (a, p)\) tal que

    \[|f(x)-q|<\varepsilon \text { for } x \in (c, p).\]

    Entonces

    \[\begin{aligned}(\forall x \in(c, p)) &\left|L \int_{x}^{p}(f-q)\right| \leq L \int_{x}^{p}|f-q| \\ & \leq L \int_{x}^{p}(\varepsilon)=\varepsilon \cdot m[x, p]=\varepsilon(p-x). \end{aligned}\]

    Pero

    \[\begin{aligned} L \int_{x}^{p}(f-q) &=L \int_{x}^{p} f-L \int_{x}^{p} q \\ L \int_{x}^{p} q &=q(p-x), \quad \text { and } \\ L \int_{x}^{p} f &=L \int_{a}^{p} f-L \int_{a}^{x} f \\ &=H(p)-H(x). \end{aligned}\]

    Por lo tanto

    \[|H(p)-H(x)-q(p-x)| \leq \varepsilon(p-x);\]

    es decir,

    \[\left|\frac{H(p)-H(x)}{p-x}-q\right| \leq \varepsilon \quad(c<x<p).\]

    De ahí

    \[f(p)=q=\lim _{x \rightarrow p^{-}} \frac{\Delta H}{\Delta x}=H_{-}^{\prime}(p).\]

    Si\(f\) es correcto continuo en\(p \in[a, b),\) una fórmula similar resultados para\(H_{+}^{\prime}(p).\) Esto prueba la cláusula (i).

    (ii) Que\(\varepsilon>0\) se dé. Entonces el Teorema 6 en el Capítulo 8, §6, arroja\(\delta>0\) tal que

    \[\left|L \int_{X} f\right| \leq L \int_{X}|f|<\varepsilon\]

    siempre que

    \[m X<\delta \text { and } A \supseteq X, X \in \mathcal{M}.\]

    Aquí podemos establecer

    \[X=\bigcup_{i=1}^{r} A_{i} \text { (disjoint)}\]

    para algunos intervalos

    \[A_{i}=\left(a_{i}, b_{i}\right) \subseteq A\]

    para que

    \[m X=\sum_{i} m A_{i}=\sum_{i}\left(b_{i}-a_{i}\right)<\delta.\]

    Entonces (1) implica que

    \[\varepsilon>L \int_{X}|f|=\sum_{i} L \int_{A_{i}}|f| \geq \sum_{i}\left|L \int_{a_{i}}^{b_{i}} f\right|=\sum_{i}\left|H\left(b_{i}\right)-H\left(a_{i}\right)\right|.\]

    Por lo tanto

    \[\sum_{i}\left|H\left(b_{i}\right)-H\left(a_{i}\right)\right|<\varepsilon\]

    siempre que

    \[\sum_{i}\left(b_{i}-a_{i}\right)<\delta\]

    y

    \[A \supseteq \bigcup_{i}\left(a_{i}, b_{i}\right) \text { (disjoint).}\]

    (Esto es lo que llamamos “continuidad absoluta en el sentido más fuerte”). Por el Problema 2 en el Capítulo 5, §8, esto implica “continuidad absoluta” en el sentido del Capítulo 5, §8, de ahí\(V_{H}[A]<\infty . \quad \square\)

    Nota 1. Lo contrario a (i) falla: la diferenciabilidad de\(H\) at\(p\) no implica la continuidad de su derivada\(f\) at\(p\) (Problema 6 en el Capítulo 5, §2).

    Nota 2. Si\(f\) es continuo en\(A-Q\) (\(Q\)contable), el Teorema 1 muestra que\(H\) es una primitiva (antiderivada):\(H=\int f\) en\(A.\) Recordemos que “Q contable” implica\(m Q=0,\) pero no a la inversa. Observe que siempre podemos asumir\(a, b \in Q.\)

    Ahora podemos probar una versión generalizada del llamado teorema fundamental del cálculo, ampliamente utilizado para computar integrales a través de antiderivados.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Si\(f : E^{1} \rightarrow E\) tiene un primitivo\(F\) encendido\(A=[a, b],\) y si\(f\) está limitado\(A-P\) para algunos\(P\) con\(m P=0,\) entonces\(f\) es\(L\) -integrable on\(A,\) y

    \[L \int_{a}^{x} f=F(x)-F(a) \quad \text {for all } x \in A.\]

    Prueba

    Por la Definición 1 del Capítulo 5, §5,\(F\) es relativamente continuo y finito\(A=[a, b],\) por lo tanto limitado en\(A\) (Teorema 2 en el Capítulo 4, §8).

    También es diferenciable, con\(F^{\prime}=f,\) on\(A-Q\) para un conjunto contable\(Q \subseteq A,\) con\(a, b \in Q.\) Arreglamos esto\(Q\) junto con\(P.\)

    Como\(A\) solo tratamos, seguramente podemos redefinir\(F\) y\(f\) seguir\(-A:\)

    \[F(x)=\left\{\begin{array}{ll}{F(a)} & {\text { if } x<a,} \\ {F(b)} & {\text { if } x>b,}\end{array}\right.\]

    y\(f=0\) encendido\(-A.\) Entonces\(f\) se limita\(-P,\) mientras\(F\) está acotado y
    continuo encendido\(E^{1},\) y\(F^{\prime}=f\) sucesivamente\(-Q;\) así\(F=\int f\) sucesivamente\(E^{1}.\)

    También, para\(n=1,2, \ldots\) y\(t \in E^{1},\) establecer

    \[f_{n}(t)=n\left[F\left(t+\frac{1}{n}\right)-F(t)\right]=\frac{F(t+1 / n)-F(t)}{1 / n}.\]

    Entonces

    \[f_{n} \rightarrow F^{\prime}=f \quad \text {on } -Q;\]

    es decir,\(f_{n} \rightarrow f\) (a.e.) en\(E^{1}\) (as\(m Q=0\)).

    Por (3), cada uno\(f_{n}\) es acotado y continuo (tal\(F\) cual). Así, por el Teorema 1 del Capítulo 8, §3,\(F\) y todos\(f_{n}\) son\(m\) -medibles en\(A\) (incluso en\(E^{1}\)). Así es\(f\) por Corolario 1 del Capítulo 8, §3.

    Además, por la amplitud,\(F\) y\(f_{n}\) son\(L\) -integrables en intervalos finitos. Así es\(f.\) Por ejemplo, vamos

    \[|f| \leq K<\infty \text { on } A-P;\]

    como\(m P=0\),

    \[\int_{A}|f| \leq \int_{A}(K)=K \cdot m A<\infty,\]

    demostrando la integrabilidad. Ahora, como

    \[F=\int f \text { on any interval }\left[t, t+\frac{1}{n}\right],\]

    Corolario 1 en Capítulo 5, §4 rendimientos

    \[\left(\forall t \in E^{1}\right) \quad\left|F\left(t+\frac{1}{n}\right)-F(t)\right| \leq \sup _{t \in-Q}\left|F^{\prime}(t)\right| \frac{1}{n} \leq \frac{K}{n}.\]

    De ahí

    \[\left|f_{n}(t)\right|=n\left|F\left(t+\frac{1}{n}\right)-F(t)\right| \leq K;\]

    es decir,\(\left|f_{n}\right| \leq K\) para todos\(n\).

    Así\(f\) y\(f_{n}\) satisfacer el Teorema 5 del Capítulo 8, §6, con\(g=K.\) Por Nota 1 ahí,

    \[\lim _{n \rightarrow \infty} L \int_{a}^{x} f_{n}=L \int_{a}^{x} f.\]

    En el siguiente lema, mostramos que también

    \[\lim _{n \rightarrow \infty} L \int_{a}^{x} f_{n}=F(x)-F(a),\]

    que completará la prueba. \(\quad \square\)

    Lema\(\PageIndex{1}\)

    Dado un continuo finito\(F : E^{1} \rightarrow E\) y dado\(f_{n}\) como en (3), tenemos

    \[\lim _{n \rightarrow \infty} L \int_{a}^{x} f_{n}=F(x)-F(a) \quad \text {for all } x \in E^{1}.\]

    Prueba

    Como antes,\(F\) y\(f_{n}\) son acotados, continuos y\(L\) -integrables en cualquier\([a, x]\) o\([x, a].\) Fijación\(a,\) let

    \[H(x)=L \int_{a}^{x} F, \quad x \in E^{1}.\]

    Por Teorema 1 y Nota 2,\(H=\int F\) también en el sentido del Capítulo 5, §5, con\(F=H^{\prime}\) (derivado de\(H\)) en\(E^{1}\).

    De ahí que por la definición 2 la misma sección,

    \[\int_{a}^{x} F=H(x)-H(a)=H(x)-0=L \int_{a}^{x} F;\]

    es decir,

    \[L \int_{a}^{x} F=\int_{a}^{x} F,\]

    y así

    \[\begin{aligned} L \int_{a}^{x} f_{n}(t) d t &=n \int_{a}^{x} F\left(t+\frac{1}{n}\right) d t-n \int_{a}^{x} F(t) d t \\ &=n \int_{a+1 / n}^{b+1 / n} F(t) d t-n \int_{a}^{x} F(t) dt. \end{aligned}\]

    (Nosotros computamos

    \[\int F(t+1 / n) d t\]

    por Teorema 2 en el Capítulo 5, §5, con\(g(t)=t+1 / n\).) Así, por aditividad,

    \[L \int_{a}^{x} f_{n}=n \int_{a+1 / n}^{x+1 / n} F-n \int_{a}^{x} F=n \int_{x}^{x+1 / n} F-n \int_{a}^{a+1 / n} F.\]

    Pero

    \[n \int_{x}^{x+1 / n} F=\frac{H\left(x+\frac{1}{n}\right)-H(x)}{\frac{1}{n}} \rightarrow H^{\prime}(x)=F(x).\]

    Del mismo modo,

    \[\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{a}^{a+1 / n} F=F(a).\]

    Esto combinado con (5) prueba (4), y de ahí el Teorema 2, también. \(\quad \square\)

    También tenemos el siguiente corolario.

    Corolario\(\PageIndex{1}\)

    Si\(f : E^{1} \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right)\) es\(R\) -integrable en\(A=[a, b],\) entonces

    \[(\forall x \in A) \quad R \int_{a}^{x} f=L \int_{a}^{b} f=F(x)-F(a),\]

    siempre\(F\) que sea primitivo\(f\) a\(A.\)

    Prueba

    Esto se desprende del Teorema 2 por la Definición (c) y del Teorema 2 del Capítulo 8, §9.

    Precaución. Las fórmulas (2) y (6) pueden fallar si no\(f\) es acotada, o si no\(F\) es primitiva en el sentido de la Definición 1 del Capítulo 5, §5: Necesitamos\(F^{\prime}=f\) en\(A-Q, Q\) contable (¡no\(m Q=0\) es suficiente!). Incluso\(R\) -integrabilidad (que hace\(f\) acotada y a.e. continua) no es suficiente si

    \[F \neq \int f.\]

    Para ver ejemplos, consulte Problemas 2-5.

    Corolario\(\PageIndex{2}\)

    Si\(f\) es relativamente continuo y finito\(A=[a, b]\) y tiene una derivada acotada on\(A-Q\) (\(Q\)contable), entonces\(f^{\prime}\) es\(L\) -integrable en\(A\) y

    \[L \int_{a}^{x} f^{\prime}=f(x)-f(a) \quad \text { for } x \in A.\]

    Esto es simplemente Teorema 2 con\(F, f, P\) reemplazado por\(f, f^{\prime}, Q,\) respectivamente

    Corolario\(\PageIndex{3}\)

    Si en el Teorema 2 la primitiva

    \[F=\int f\]

    es exacto en algunos\(B \subseteq A,\) entonces

    \[f(x)=\frac{d}{d x} L \int_{a}^{x} f, \quad x \in B.\]

    (Recordemos que\(\frac{d}{d x} F(x)\) es notación clásica para\(F^{\prime}(x)\).)

    Prueba

    Por (2), esto se sostiene\(B \subseteq A\) si\(F^{\prime}=f\) hay. \(\quad \square\)

    II. Obsérvese que bajo los supuestos del Teorema 2,

    \[L \int_{a}^{x} f=F(x)-F(a)=\int_{a}^{x} f.\]

    Así todas las leyes que rigen lo primitivo\(\int f\) se aplican a\(L \int f.\) Por ejemplo, el Teorema 2 del Capítulo 5, §5, arroja el siguiente corolario.

    Corolario\(\PageIndex{4}\) (change of variable)

    Dejar\(g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) ser relativamente continuo\(A=[a, b]\) y tener una derivada acotada on\(A-Q\) (\(Q\)contable).

    Supongamos que\(f : E^{1} \rightarrow E\) (real o no) tiene un primitivo en\(g[A],\) exacto encendido\(g[A-Q],\) y que\(f\) está limitado en\(g[A-Q]\).

    Entonces\(f\) es\(L\) -integrable en\(g[A],\) la función

    \[(f \circ g) g^{\prime}\]

    es\(L\) -integrable en\(A,\) y

    \[L \int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=L \int_{p}^{q} f(y) d y,\]

    dónde\(p=g(a)\) y\(q=g(b)\).

    Para esta y otras aplicaciones de primitivas, ver Problema 9. Sin embargo, a menudo un enfoque directo es más fuerte (aunque no más simple), como ilustramos a continuación.

    Lema\(\PageIndex{2}\) (Bonnet)

    Supongamos que\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) es\(\geq 0\) y monótonamente decreciente en\(A=[a, b].\) Entonces, si\(g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) es\(L\) -integrable en\(A,\) así también es\(f g,\) y

    \[L \int_{a}^{b} f g=f(a) \cdot L \int_{a}^{c} g \quad \text { for some } c \in A.\]

    Prueba

    La\(L\) -integrabilidad de\(f g\) sigue por el Teorema 3 en el Capítulo 8, §6, ya que\(f\) es monótona y acotada, de ahí incluso\(R\) -integrable (Corolario 3 en el Capítulo 8, §9).

    Usando esto y Lema 1 de la misma sección, fix para cada\(n\) una\(\mathcal{C}\) -partición

    \[\mathcal{P}_{n}=\left\{A_{n i}\right\} \quad\left(i=1,2, \ldots, q_{n}\right)\]

    de\(A\) para que

    \[(\forall n) \quad \frac{1}{n}>\overline{S}\left(f, \mathcal{P}_{n}\right)-\underline{S}\left(f, \mathcal{P}_{n}\right)=\sum_{i=1}^{q_{n}} w_{n i} m A_{n i},\]

    donde hemos establecido

    \[w_{n i}=\sup f\left[A_{n i}\right]-\inf f\left[A_{n i}\right].\]

    Considera cualquiera de tales\(\mathcal{P}=\left\{A_{i}\right\}, i=1, \ldots, q\) (dejamos caer el\(n\) "" "por brevedad). Si\(A_{i}=\left[a_{i-1}, a_{i}\right],\) entonces desde entonces\(f \downarrow\),

    \[w_{i}=f\left(a_{i-1}\right)-f\left(a_{i}\right) \geq\left|f(x)-f\left(a_{i-1}\right)\right|, \quad x \in A_{i}.\]

    Bajo la medida de Lebesgue (Problema 8 del Capítulo 8, §9), podemos establecer

    \[A_{i}=\left[a_{i-1}, a_{i}\right] \quad(\forall i)\]

    y aún así obtener

    \[\begin{aligned} L \int_{A} f g &=\sum_{i=1}^{q} f\left(a_{i-1}\right) L \int_{A_{i}} g(x) d x \\ &+\sum_{i=1}^{q} L \int_{A_{i}}\left[f(x)-f\left(a_{i-1}\right)\right] g(x) d x. \end{aligned}\]

    (¡Verifica!) Aquí\(a_{0}=a\) y\(a_{q}=b\).

    Ahora, establece

    \[G(x)=L \int_{a}^{x} g\]

    y reescribe la primera suma (llámala\(r\) o\(r_{n}\)) como

    \[\begin{aligned} r &=\sum_{i=1}^{q} f\left(a_{i-1}\right)\left[G\left(a_{i}\right)-G\left(a_{i-1}\right)\right] \\ &=\sum_{i=1}^{q-1} G\left(a_{i}\right)\left[f\left(a_{i-1}\right)-f\left(a_{i}\right)\right]+G(b) f\left(a_{q-1}\right), \end{aligned}\]

    o

    \[r=\sum_{i=1}^{q-1} G\left(a_{i}\right) w_{i}+G(b) f\left(a_{q-1}\right),\]

    porque\(f\left(a_{i-1}\right)-f\left(a_{i}\right)=w_{i}\) y\(G(a)=0\).

    Ahora, por el Teorema 1 (con\(H, f\) reemplazado por\(G, g\)),\(G\) es continuo por\(A=\)\([a, b];\) lo que\(G\) alcanza un mayor valor\(K\) y un menor valor\(k\) en\(A.\)

    Como\(f \downarrow\) y\(f \geq 0\) en\(A,\) tenemos

    \[w_{i} \geq 0 \text { and } f\left(a_{q-1}\right) \geq 0.\]

    Por lo tanto, reemplazando\(G(b)\) y\(G\left(a_{i}\right)\) por\(K(\text { or } k)\) en\((13)\) y señalando que

    \[\sum_{i=1}^{q-1} w_{i}=f(a)-f\left(a_{q-1}\right),\]

    obtenemos

    \[k f(a) \leq r \leq K f(a);\]

    más plenamente, con\(k=\min G[A]\) y\(K=\max G[A]\),

    \[(\forall n) \quad k f(a) \leq r_{n} \leq K f(a).\]

    A continuación, let\(s\) (o más bien\(s_{n}\) ser la segunda suma en (12). Señalando que

    \[w_{i} \geq\left|f(x)-f\left(a_{i-1}\right)\right|,\]

    supongamos primero que\(|g| \leq B\) (acotado) en\(A\).

    Entonces para todos\(n\),

    \[\left|s_{n}\right| \leq \sum_{i=1}^{q_{n}} L \int_{A_{n i}}\left(w_{n i} B\right)=B \sum_{i=1}^{q_{n}} w_{n i} m A_{n i}<\frac{B}{n} \rightarrow 0 \quad \ \text{(by (11)).}\]

    Pero por (12),

    \[L \int_{A} f g=r_{n}+s_{n} \quad(\forall n).\]

    Como\(s_{n} \rightarrow 0\),

    \[L \int_{A} f g=\lim _{n \rightarrow \infty} r_{n},\]

    y así por (14),

    \[k f(a) \leq L \int_{A} f g \leq K f(a).\]

    Por continuidad,\(f(a) G(x)\) adquiere el valor intermedio\(L \int_{A} f g\) en alguna\(c \in A;\) manera

    \[L \int_{A} f g=f(a) G(c)=f(a) L \int_{a}^{c} g,\]

    desde

    \[G(x)=L \int_{a}^{x} f.\]

    Por lo tanto, todo está demostrado para un acotado\(g.\)

    El paso a un no acotado\(g\) se logra mediante el llamado método de truncamiento descrito en los Problemas 12 y 13. (¡Verifica!) \(\quad \square\)

    Corolario\(\PageIndex{5}\) (second law of the mean)

    Dejar\(f : E^{1} \rightarrow E^{1}\) ser monótona en\(A=[a, b].\) Entonces si\(g : E^{1} \rightarrow E^{1}\) es\(L\) -integrable en\(A,\) así también es\(f g,\) y

    \[L \int_{a}^{b} f g=f(a) L \int_{a}^{c} g+f(b) L \int_{c}^{b} g \quad \text {for some } c \in A.\]

    Prueba

    Si, digamos,\(f \downarrow\) en el\(A,\) set

    \[h(x)=f(x)-f(b).\]

    Entonces\(h \geq 0\) y\(h \downarrow\)\(A;\) así por Lema 2,

    \[\int_{a}^{b} g h=h(a) L \int_{a}^{c} g \quad \text {for some } c \in A.\]

    Como

    \[h(a)=f(a)-f(b),\]

    esto implica fácilmente (15).

    Si\(f \uparrow,\) aplicar este resultado para\(-f\) obtener (15) de nuevo. \(\quad \square\)

    Nota 3. Podemos reafirmar (15) como

    \[(\exists c \in A) \quad L \int_{a}^{b} f g=p L \int_{a}^{c} g+q L \int_{c}^{b} g,\]

    siempre y cuando

    (i)\(f \uparrow\)\(p \leq f(a+) \leq f(b-) \leq q,\) y/o

    ii)\(f \downarrow\) y\(p \geq f(a+) \geq f(b-) \geq q\).

    Esta afirmación se fortalece ligeramente (15).

    Para probar la cláusula (i), redefinir

    \[f(a)=p \text { and } f(b)=q.\]

    Entonces aún\(f \uparrow;\) así (15) aplica y arroja el resultado deseado. De manera similar para el (ii). Para un continuo\(g,\) véase también el Problema 13 (ii') en el Capítulo 8, §9, basado en la teoría de Stieltjes.

    III. Ahora damos un análogo útil a la noción de primitivo.

    Definición

    Un mapa\(F : E^{1} \rightarrow E\) se llama\(L\) -primitivo o indefinido\(L\) -integral de\(f : E^{1} \rightarrow E,\) on\(A=[a, b]\) iff\(f\) es\(L\) -integrable en\(A\) y

    \[F(x)=c+L \int_{a}^{x} f\]

    para todos\(x \in A\) y algunos fijos finitos\(c \in E\).

    Notación:

    \[F=L \int f \quad\left(\text {not } F=\int f\right)\]

    o

    \[F(x)=L \int f(x) d x \quad \text {on } A.\]

    Por (16), todas las\(L\) -primitivas de\(f\) on\(A\) difieren solo por constantes finitas.

    Si\(E=E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right),\) se puede utilizar este concepto para levantar la restricción de la amplitud\(f\) en el Teorema 2 y los corolarios de esta sección. El comprobante se entregará en §2. Sin embargo, a modo de comparación, exponemos los principales teoremas ya ahora.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Let

    \[F=L \int f \quad \text {on } A=[a, b]\]

    para algunos\(f : E^{1} \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right)\).

    Entonces\(F\) es diferenciable, con

    \[F^{\prime}=f \quad \text {a.e. on } A.\]

    En notación clásica,

    \[f(x)=\frac{d}{d x} L \int_{a}^{x} f(t) d t \quad \text {for almost all } x \in A.\]

    Se esbozó una prueba en el Problema 6 del Capítulo 8, §12. (Es breve pero requiere más material “estrellado” que el utilizado en §2.)

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    Dejar\(F : E^{1} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right)\) ser diferenciable en\(A=[a, b]\) (at\(a\) y\(b\) la diferenciabilidad puede ser unilateral). Dejar\(F^{\prime}=f\) ser\(L\) -integrable en\(A\).

    Entonces

    \[L \int_{a}^{x} f=F(x)-F(a) \quad \text {for all } x \in A.\]


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