Saltar al contenido principal

# 9.1.E: Problemas en L-Integrales y Antiderivados

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene los datos de prueba en Teoremas 1 y 2, Lema 1, y Corolarios 1-3.

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Verificar Nota 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

$$F$$Sea la función de Cantor (Problema 6 en el Capítulo 4, §5). Vamos
\ [
G=\ bigcup_ {k, i} G_ {k t}
\]
$$\left(G_{k t} \text { as in that problem }\right) .$$ Entonces$$[0,1]-G=P(\text { Cantor's set }) ; m P=0$$ (Problema$$10 \text { in Chapter } 7, §8) .$$
Mostrar que$$F$$ es diferenciable$$\left(F^{\prime}=0\right)$$ en$$G .$$ Por Teoremas 2 y 3 del Capítulo 8, §9,
\ [
R\ int_ {0} ^ {1 } F^ {\ prime} =L\ int_ {0} ^ {1} F^ {\ prime} =L\ int_ {G} F^ {\ prime} =0
\]
existe, todavía$$F(1)-F(0)=1-0 \neq 0$$.
¿Esto contradice Corolario$$1 ?$$ Es$$F$$ un genuino antiderivado de$$f ?$$ Si no, encuentra uno.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Vamos
\ [
F=\ left\ {\ begin {array} {ll} {0} & {\ text {on}\ left [0,\ frac {1} {2}\ right),\ text {and}}\\ {1} & {\ text {on}\ left [\ frac {1} {2}, 1\ right].} \ end {array}\ right.
\]
Mostrar que
\ [
R\ int_ {0} ^ {1} F^ {\ prime} =0
\]
existe, sin embargo
\ [
F (1) -F (0) =1-0=1.
\]
¿Qué pasa?
[Pista: Un primitivo genuino de$$\left.F^{\prime} \text { (call it } \phi\right)$$ tiene que ser relativamente continuo en el$$[0,1] ;$$ hallazgo$$\phi \text { and show that } \phi(1)-\phi(0)=0 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

¿Qué hay de malo con los siguientes cálculos?
(i)$$L \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{x^{2}}=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^{\frac{1}{2}}=-1$$.
(ii)$$L \int_{-1}^{1} \frac{d x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0 .$$ ¿Hay un primitivo en todo el intervalo?
[Pista: Ver sugerencia para el Problema 3.]
iii) ¿Qué tal$$L \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{x} d x$$ (cf. ejemplos (a) y (b) del Capítulo 5, §5)?

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Vamos
\ [
F (x) =x^ {2}\ cos\ frac {\ pi} {x^ {2}},\ quad F (0) =1.
\]
Demostrar lo siguiente:
(i)$$F$$ es diferenciable en$$A=[0,1]$$.
(ii)$$f=F^{\prime}$$ está delimitado en cualquiera$$[a, b] \subset(0,1),$$ pero no en$$A$$.
(iii) Dejar
\ [
a_ {n} =\ sqrt {\ frac {2} {4 n+1}}\ text {y} b_ {n} =\ frac {1} {\ sqrt {2 n}}\ text {for} n=1,2,\ ldots
\]
Mostrar que
\ [
A\ supseteq\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty}\ left [a_ {n}, b_ {n}\ derecha] (\ texto { disjoint})
\]
y
\ [
L\ int_ {a_ {n}} ^ {b_ {n}} f=\ frac {1} {2 n};
\]
entonces
\ [
L\ int_ {a} ^ {b} f\ geq L\ int_ {\ cup_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]} f\ geq\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {2 n } =\ infty,
\]
y no$$f=F^{\prime}$$ es L-integrable en$$A$$.
¿Qué está mal? ¿Hay alguna contradicción con el teorema$$2 ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Considerar tanto a
)$$f(x)=\frac{\sin x}{x}, f(0)=1,$$ como a
b)$$f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x}, f(0)=1$$.
En cada caso, muestra que$$f$$ es continuo encendido$$A=[0,1]$$ y
\ [
R\ int_ {A} f\ leq 1
\]
existe, sin embargo no “funciona” vía primitivas. ¿Qué está mal? ¿Existe un primitivo?
Para usar Corolario$$1,$$ primero expandir$$\sin x$$ y$$e^{-x}$$ en una serie de Taylor y encontrar la serie para
\ [
\ int f
\]
por el Teorema 3 del Capítulo 5, §9.
Encuentra
\ [
R\ int_ {A} f
\]
aproximadamente, a dentro$$1 / 10,$$ usando el término restante de la serie para estimar la precisión.
[Pista: Los primitivos existen, según el Teorema 2 del Capítulo 5, §11, aunque no sean ninguna de las “funciones de cálculo” conocidas. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Toma$$A, G_{n}=\left(a_{n}, b_{n}\right),$$ y$$P(m P>0)$$ como en el Problema 17 (iii) del Capítulo 7, §8.
Definir$$F=0$$ en$$P$$ y
\ [
F (x) =\ izquierda (x-a_ {n}\ derecha) ^ {2}\ izquierda (x-b_ {n}\ derecha) ^ {2}\ sin\ frac {1} {\ izquierda (b_ {n} -a_ {n}\ derecha)\ izquierda (x-a_ {n}\ derecha)\ izquierda (x-b_ {n}\ derecha)\ quad\ texto {si} x\ notin P.
\]
Demostrar que$$F$$ tiene una derivada acotada$$f,$$ pero no$$f$$ es R-integrable en$$A ;$$ lo que se aplica el Teorema 2, pero Corolario 1 no.
[Consejos: Si se$$p \notin P,$$ computa$$F^{\prime}(p)$$ como en cálculo.
Si$$p \in P$$ y$$x \rightarrow p+$$ otra vez$$A-P,$$ entonces siempre$$x$$ está en algunos$$\left(a_{n}, b_{n}\right), p \leq a_{n}<x .$$ (¿Por qué?) Deducir eso$$\Delta x=x-p>x-a_{n}$$ y
\ [
\ izquierda|\ frac {\ Delta F} {\ Delta x}\ derecha|\ leq\ izquierda (x-a_ {n}\ derecha) (b-a) ^ {2}\ leq|\ Delta x| (b-a) ^ {2};
\]
entonces$$F_{+}^{\prime}(p)=0 .$$ (¿Y si$$x \rightarrow p+$$ más$$P$$?) De igual manera, demuestra eso$$F_{-}^{\prime}=0$$ en$$P$$.
Demostrar sin embargo que$$F^{\prime}(x)$$ oscila de 1 a$$-1$$ como$$x \rightarrow a_{n}+$$ o$$x \rightarrow b_{n}-$$, de ahí también como$$x \rightarrow p \in P$$ (¿por qué?) ; así$$F^{\prime}$$ es discontinuo en todos$$P,$$ con$$m P>0 .$$ Ahora use el Teorema 3 en el Capítulo 8, §9.]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$\Rightarrow 8$$. Si
\ [
Q\ subseteq A= [a, b]
\]
y$$m Q=0,$$ encuentra un mapa continuo$$g: A \rightarrow E^{1}, g \geq 0, g \uparrow,$$ con
\ [
g^ {\ prime} =+\ infty\ quad\ text {on} Q.
\]
[Consejos: Por Teorema 2 del Capítulo 7, §8, fijar ($$\forall n$$) un abierto$$G_{n} \supseteq Q,$$ con
\ [
m G_ {n} <2^ {-n}.
\]
Set
\ [
g_ {n} (x) =m\ left (G_ {n}\ cap [a, x]\ derecha)
\]
y
\ [
g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} g_ {n}
\]
on$$A ; \sum g_{n}$$ converge uniformemente en$$A .$$ (¿Por qué?)
Por el Problema 4 en el Capítulo 7, §9, y el Teorema 2 del Capítulo 7, §4, cada uno$$g_{n}$$ (de ahí g) es continuo. (¿Por qué?) Si$$[p, x] \subseteq G_{n},$$ muestran que
\ [
g_ {n} (x) =g_ {n} (p) + (x-p),
\]
así que
\ [
\ frac {\ Delta g_ {n}} {\ Delta x} =1
\]
y
\ [
\ izquierda. \ frac {\ Delta g} {\ Delta x} =\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {\ Delta g_ {n}} {\ Delta x}\ fila derecha\ infty. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

(i) Demostrar Corolario 4.
(ii) Estado y probar análogos anteriores para el Corolario 5 del Capítulo 5, §5, y los Teoremas 3 y 4 del Capítulo 5, §10.
[Pista para (i): Para primitivas, este es el Problema 3 en el Capítulo 5, §5. Como$$g[Q]$$ es contable (Problema 2 en el Capítulo 1, §9) y$$f$$ está limitado en
\ [
g [A] -g [Q]\ subseteq g [A-Q],
\]
$$\left.f \text { satisfies Theorem 2 on } g[A], \text { with } P=g[Q], \text { while }(f \circ g) g^{\prime} \text { satisfies it on } A .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$\Rightarrow 10$$. Mostrar que si$$h: E^{1} \rightarrow E^{*}$$ es L-integrable on$$A=[a, b],$$ y
\ [
(\ forall x\ in A)\ quad L\ int_ {a} ^ {x} h=0,
\]
entonces$$h=0$$ a.e. on$$A$$.
[Consejos: Vamos$$K=A(h>0)$$ y$$H=A-K,$$ con, digamos,$$m K=\varepsilon>0 .$$
Entonces por Corolario 1 en el Capítulo 7, §1 y Definición 2 del Capítulo 7, §5,
\ [
H\ subseteq\ bigcup_ {n} B_ {n} (d i s j o i n t)
\]
para algunos intervalos $$B_{n} \subseteq A,$$con
\ [
\ suma_ {n} m B_ {n} <m H+\ varepsilon=m H+m K=m A.
\]
(¿Por qué?) Establecer$$B=\cup_{n} B_{n} ;$$ así
\ [
\ int_ {B} h=\ suma_ {n}\ int_ {B_ {n}} h=0
\]
(para$$L \int h=0$$ intervalos$$B_{n}$$). Así
\ [
\ int_ {A-B} h=\ int_ {A} h-\ int_ {B} h=0.
\]
Pero$$B \supseteq H ;$$ así
\ [
A-B\ subseteq A-H=K,
\]
donde$$h>0,$$ aunque$$m(A-B)>0 .$$ (¿Por qué?)
De ahí encontrar una contradicción al Teorema$$1(\mathrm{h})$$ del Capítulo 8, §5. Del mismo modo, desmentir que$$m A(h<0)=\varepsilon>0 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

$$\Rightarrow 11$$. $$F \uparrow$$Vamos$$A=[a, b],|F|<\infty,$$ con la función derivada$$F^{\prime}=f .$$ Tomando el teorema 3 del Capítulo 7, §10, por sentado, demostrar que
\ [
L\ int_ {a} ^ {x} f\ leq F (x) -F (a),\ quad x\ in A,
\]
[Consejos: Con$$f_{n}$$ como en$$(3), F$$ y$$f_{n}$$ están acotados sobre$$A$$ y medible por el Teorema 1 del Capítulo 8, §2. (¿Por qué?) Deducir eso$$f_{n} \rightarrow f$$ (a.e.) en$$A .$$ Argumenta como en Lema 1 usando el lema de Fatou (Capítulo 8, §6, Lema 2).]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

(“Truncamiento.”) Demostrar que si$$g: S \rightarrow E$$ es m-integrable on$$A \in \mathcal{M}$$ en un espacio de medida$$(S, \mathcal{M}, m),$$ entonces para cualquiera$$\varepsilon>0,$$ hay un acotado,$$M$$ -medible e integrable en$$A \operatorname{map} g_{0}: S \rightarrow E$$ tal que
\ [
\ int_ {A}\ izquierda|g-g_ {0}\ derecha| d m<\ varepsilon.
\]
[Esquema: Redefinir$$g=0$$ en un conjunto nulo, para hacer$$g \mathcal{M}$$ -medible on$$A .$$ Entonces para el$$n=1,2, \ldots$$ conjunto
\ [
g_ {n} =\ left\ {\ begin {array} {ll} {g} & {\ text {on} A (|g|<n),\ text {and}}\\ {0} & {\ text {en otra parte.}}\ end { array}\ derecho.
\]
(La función$$g_{n}$$ se llama el trunca$$n$$ th de$$g$$.)
$$\quad$$Cada uno$$g_{n}$$ es acotado y$$\mathcal{M}$$ -medible en$$A$$ (¿por qué?) , y
\ [
\ int_ {A} |g| d m<\ infty
\]
por integrabilidad. También,$$\left|g_{n}\right| \leq|g|$$ y$$g_{n} \rightarrow g(\text {pointwise})$$ en$$A .$$ (¿Por qué?)
Ahora usa el Teorema 5 del Capítulo 8, §6, para mostrar que uno de los$$g_{n}$$ puede servir como el deseado$$\left.g_{o} .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Rellena todos los datos de prueba en Lemma$$2 .$$ Demuébalo por sin límites$$g$$.
[Consejos: Por problema$$12,$$ corrige un límite$$g_{o}\left(\left|g_{o}\right| \leq B\right),$$ con
\ [
L\ int_ {A}\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ frac {\ varepsilon} {f (a) -f (b)}.
\]
Verifica que
\ [
\ begin {alineado}\ izquierda|s_ {n}\ derecha|\ leq\ suma_ {i=1} ^ {q_ {n}}\ int_ {A_ {n i}} w_ {n i} |g| &\ leq\ sum_ {i}\ int_ {A_ {n i}} w_ {n i}\ izquierda|g_ {o}\ derecha|+\ suma_ {i}\ int_ {A_ {n i}} w_ {n i}\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|\\ &\ leq B\ suma_ {i} w_ {n i} m A _ {n i} +\ suma_ {i}\ int_ {A_ {n i}} [f (a) -f (b)]\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|\\ &<\ frac {1} {n} +\ int_ {A} [f (a) -f (b)]\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|<\ frac {1} {n} +\ frac {1} {2}\ varepsilon. \ end {alineado}
\]
Por todo lo$$n>2 / \varepsilon,$$ que conseguimos de$$\left|s_{n}\right|<\frac{1}{2} \varepsilon+\frac{1}{2} \varepsilon=\varepsilon .$$ ahí$$s_{n} \rightarrow 0 .$$ ahora terminar como en el texto.]

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Demostrar que el Teorema 4 falla si no$$F$$ es diferenciable en algunos$$p \in A .$$
[Pista: Ver Problemas 2 y 3.]

9.1.E: Problemas en L-Integrales y Antiderivados is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.