9.1.E: Problemas en L-Integrales y Antiderivados

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene los datos de prueba en Teoremas 1 y 2, Lema 1, y Corolarios 1-3.

Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

Verificar Nota 2.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(F\)Sea la función de Cantor (Problema 6 en el Capítulo 4, §5). Vamos
\ [
G=\ bigcup_ {k, i} G_ {k t}
\]
\(\left(G_{k t} \text { as in that problem }\right) .\) Entonces\([0,1]-G=P(\text { Cantor's set }) ; m P=0\) (Problema\(10 \text { in Chapter } 7, §8) .\)
Mostrar que\(F\) es diferenciable\(\left(F^{\prime}=0\right)\) en\(G .\) Por Teoremas 2 y 3 del Capítulo 8, §9,
\ [
R\ int_ {0} ^ {1 } F^ {\ prime} =L\ int_ {0} ^ {1} F^ {\ prime} =L\ int_ {G} F^ {\ prime} =0
\]
existe, todavía\(F(1)-F(0)=1-0 \neq 0\).
¿Esto contradice Corolario\(1 ?\) Es\(F\) un genuino antiderivado de\(f ?\) Si no, encuentra uno.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Vamos
\ [
F=\ left\ {\ begin {array} {ll} {0} & {\ text {on}\ left [0,\ frac {1} {2}\ right),\ text {and}}\\ {1} & {\ text {on}\ left [\ frac {1} {2}, 1\ right].} \ end {array}\ right.
\]
Mostrar que
\ [
R\ int_ {0} ^ {1} F^ {\ prime} =0
\]
existe, sin embargo
\ [
F (1) -F (0) =1-0=1.
\]
¿Qué pasa?
[Pista: Un primitivo genuino de\(\left.F^{\prime} \text { (call it } \phi\right)\) tiene que ser relativamente continuo en el\([0,1] ;\) hallazgo\(\phi \text { and show that } \phi(1)-\phi(0)=0 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

¿Qué hay de malo con los siguientes cálculos?
(i)\(L \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{x^{2}}=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^{\frac{1}{2}}=-1\).
(ii)\(L \int_{-1}^{1} \frac{d x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0 .\) ¿Hay un primitivo en todo el intervalo?
[Pista: Ver sugerencia para el Problema 3.]
iii) ¿Qué tal\(L \int_{-1}^{1} \frac{|x|}{x} d x\) (cf. ejemplos (a) y (b) del Capítulo 5, §5)?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Vamos
\ [
F (x) =x^ {2}\ cos\ frac {\ pi} {x^ {2}},\ quad F (0) =1.
\]
Demostrar lo siguiente:
(i)\(F\) es diferenciable en\(A=[0,1]\).
(ii)\(f=F^{\prime}\) está delimitado en cualquiera\([a, b] \subset(0,1),\) pero no en\(A\).
(iii) Dejar
\ [
a_ {n} =\ sqrt {\ frac {2} {4 n+1}}\ text {y} b_ {n} =\ frac {1} {\ sqrt {2 n}}\ text {for} n=1,2,\ ldots
\]
Mostrar que
\ [
A\ supseteq\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty}\ left [a_ {n}, b_ {n}\ derecha] (\ texto { disjoint})
\]
y
\ [
L\ int_ {a_ {n}} ^ {b_ {n}} f=\ frac {1} {2 n};
\]
entonces
\ [
L\ int_ {a} ^ {b} f\ geq L\ int_ {\ cup_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]} f\ geq\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {1} {2 n } =\ infty,
\]
y no\(f=F^{\prime}\) es L-integrable en\(A\).
¿Qué está mal? ¿Hay alguna contradicción con el teorema\(2 ?\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Considerar tanto a
)\(f(x)=\frac{\sin x}{x}, f(0)=1,\) como a
b)\(f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x}, f(0)=1\).
En cada caso, muestra que\(f\) es continuo encendido\(A=[0,1]\) y
\ [
R\ int_ {A} f\ leq 1
\]
existe, sin embargo no “funciona” vía primitivas. ¿Qué está mal? ¿Existe un primitivo?
Para usar Corolario\(1,\) primero expandir\(\sin x\) y\(e^{-x}\) en una serie de Taylor y encontrar la serie para
\ [
\ int f
\]
por el Teorema 3 del Capítulo 5, §9.
Encuentra
\ [
R\ int_ {A} f
\]
aproximadamente, a dentro\(1 / 10,\) usando el término restante de la serie para estimar la precisión.
[Pista: Los primitivos existen, según el Teorema 2 del Capítulo 5, §11, aunque no sean ninguna de las “funciones de cálculo” conocidas. \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Toma\(A, G_{n}=\left(a_{n}, b_{n}\right),\) y\(P(m P>0)\) como en el Problema 17 (iii) del Capítulo 7, §8.
Definir\(F=0\) en\(P\) y
\ [
F (x) =\ izquierda (x-a_ {n}\ derecha) ^ {2}\ izquierda (x-b_ {n}\ derecha) ^ {2}\ sin\ frac {1} {\ izquierda (b_ {n} -a_ {n}\ derecha)\ izquierda (x-a_ {n}\ derecha)\ izquierda (x-b_ {n}\ derecha)\ quad\ texto {si} x\ notin P.
\]
Demostrar que\(F\) tiene una derivada acotada\(f,\) pero no\(f\) es R-integrable en\(A ;\) lo que se aplica el Teorema 2, pero Corolario 1 no.
[Consejos: Si se\(p \notin P,\) computa\(F^{\prime}(p)\) como en cálculo.
Si\(p \in P\) y\(x \rightarrow p+\) otra vez\(A-P,\) entonces siempre\(x\) está en algunos\(\left(a_{n}, b_{n}\right), p \leq a_{n}<x .\) (¿Por qué?) Deducir eso\(\Delta x=x-p>x-a_{n}\) y
\ [
\ izquierda|\ frac {\ Delta F} {\ Delta x}\ derecha|\ leq\ izquierda (x-a_ {n}\ derecha) (b-a) ^ {2}\ leq|\ Delta x| (b-a) ^ {2};
\]
entonces\(F_{+}^{\prime}(p)=0 .\) (¿Y si\(x \rightarrow p+\) más\(P\)?) De igual manera, demuestra eso\(F_{-}^{\prime}=0\) en\(P\).
Demostrar sin embargo que\(F^{\prime}(x)\) oscila de 1 a\(-1\) como\(x \rightarrow a_{n}+\) o\(x \rightarrow b_{n}-\), de ahí también como\(x \rightarrow p \in P\) (¿por qué?) ; así\(F^{\prime}\) es discontinuo en todos\(P,\) con\(m P>0 .\) Ahora use el Teorema 3 en el Capítulo 8, §9.]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\Rightarrow 8\). Si
\ [
Q\ subseteq A= [a, b]
\]
y\(m Q=0,\) encuentra un mapa continuo\(g: A \rightarrow E^{1}, g \geq 0, g \uparrow,\) con
\ [
g^ {\ prime} =+\ infty\ quad\ text {on} Q.
\]
[Consejos: Por Teorema 2 del Capítulo 7, §8, fijar (\(\forall n\)) un abierto\(G_{n} \supseteq Q,\) con
\ [
m G_ {n} <2^ {-n}.
\]
Set
\ [
g_ {n} (x) =m\ left (G_ {n}\ cap [a, x]\ derecha)
\]
y
\ [
g=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} g_ {n}
\]
on\(A ; \sum g_{n}\) converge uniformemente en\(A .\) (¿Por qué?)
Por el Problema 4 en el Capítulo 7, §9, y el Teorema 2 del Capítulo 7, §4, cada uno\(g_{n}\) (de ahí g) es continuo. (¿Por qué?) Si\([p, x] \subseteq G_{n},\) muestran que
\ [
g_ {n} (x) =g_ {n} (p) + (x-p),
\]
así que
\ [
\ frac {\ Delta g_ {n}} {\ Delta x} =1
\]
y
\ [
\ izquierda. \ frac {\ Delta g} {\ Delta x} =\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {\ Delta g_ {n}} {\ Delta x}\ fila derecha\ infty. \ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

(i) Demostrar Corolario 4.
(ii) Estado y probar análogos anteriores para el Corolario 5 del Capítulo 5, §5, y los Teoremas 3 y 4 del Capítulo 5, §10.
[Pista para (i): Para primitivas, este es el Problema 3 en el Capítulo 5, §5. Como\(g[Q]\) es contable (Problema 2 en el Capítulo 1, §9) y\(f\) está limitado en
\ [
g [A] -g [Q]\ subseteq g [A-Q],
\]
\(\left.f \text { satisfies Theorem 2 on } g[A], \text { with } P=g[Q], \text { while }(f \circ g) g^{\prime} \text { satisfies it on } A .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\Rightarrow 10\). Mostrar que si\(h: E^{1} \rightarrow E^{*}\) es L-integrable on\(A=[a, b],\) y
\ [
(\ forall x\ in A)\ quad L\ int_ {a} ^ {x} h=0,
\]
entonces\(h=0\) a.e. on\(A\).
[Consejos: Vamos\(K=A(h>0)\) y\(H=A-K,\) con, digamos,\(m K=\varepsilon>0 .\)
Entonces por Corolario 1 en el Capítulo 7, §1 y Definición 2 del Capítulo 7, §5,
\ [
H\ subseteq\ bigcup_ {n} B_ {n} (d i s j o i n t)
\]
para algunos intervalos \(B_{n} \subseteq A,\)con
\ [
\ suma_ {n} m B_ {n} <m H+\ varepsilon=m H+m K=m A.
\]
(¿Por qué?) Establecer\(B=\cup_{n} B_{n} ;\) así
\ [
\ int_ {B} h=\ suma_ {n}\ int_ {B_ {n}} h=0
\]
(para\(L \int h=0\) intervalos\(B_{n}\)). Así
\ [
\ int_ {A-B} h=\ int_ {A} h-\ int_ {B} h=0.
\]
Pero\(B \supseteq H ;\) así
\ [
A-B\ subseteq A-H=K,
\]
donde\(h>0,\) aunque\(m(A-B)>0 .\) (¿Por qué?)
De ahí encontrar una contradicción al Teorema\(1(\mathrm{h})\) del Capítulo 8, §5. Del mismo modo, desmentir que\(m A(h<0)=\varepsilon>0 .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\Rightarrow 11\). \(F \uparrow\)Vamos\(A=[a, b],|F|<\infty,\) con la función derivada\(F^{\prime}=f .\) Tomando el teorema 3 del Capítulo 7, §10, por sentado, demostrar que
\ [
L\ int_ {a} ^ {x} f\ leq F (x) -F (a),\ quad x\ in A,
\]
[Consejos: Con\(f_{n}\) como en\((3), F\) y\(f_{n}\) están acotados sobre\(A\) y medible por el Teorema 1 del Capítulo 8, §2. (¿Por qué?) Deducir eso\(f_{n} \rightarrow f\) (a.e.) en\(A .\) Argumenta como en Lema 1 usando el lema de Fatou (Capítulo 8, §6, Lema 2).]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

(“Truncamiento.”) Demostrar que si\(g: S \rightarrow E\) es m-integrable on\(A \in \mathcal{M}\) en un espacio de medida\((S, \mathcal{M}, m),\) entonces para cualquiera\(\varepsilon>0,\) hay un acotado,\(M\) -medible e integrable en\(A \operatorname{map} g_{0}: S \rightarrow E\) tal que
\ [
\ int_ {A}\ izquierda|g-g_ {0}\ derecha| d m<\ varepsilon.
\]
[Esquema: Redefinir\(g=0\) en un conjunto nulo, para hacer\(g \mathcal{M}\) -medible on\(A .\) Entonces para el\(n=1,2, \ldots\) conjunto
\ [
g_ {n} =\ left\ {\ begin {array} {ll} {g} & {\ text {on} A (|g|<n),\ text {and}}\\ {0} & {\ text {en otra parte.}}\ end { array}\ derecho.
\]
(La función\(g_{n}\) se llama el trunca\(n\) th de\(g\).)
\(\quad\)Cada uno\(g_{n}\) es acotado y\(\mathcal{M}\) -medible en\(A\) (¿por qué?) , y
\ [
\ int_ {A} |g| d m<\ infty
\]
por integrabilidad. También,\(\left|g_{n}\right| \leq|g|\) y\(g_{n} \rightarrow g(\text {pointwise})\) en\(A .\) (¿Por qué?)
Ahora usa el Teorema 5 del Capítulo 8, §6, para mostrar que uno de los\(g_{n}\) puede servir como el deseado\(\left.g_{o} .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Rellena todos los datos de prueba en Lemma\(2 .\) Demuébalo por sin límites\(g\).
[Consejos: Por problema\(12,\) corrige un límite\(g_{o}\left(\left|g_{o}\right| \leq B\right),\) con
\ [
L\ int_ {A}\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|<\ frac {1} {2}\ frac {\ varepsilon} {f (a) -f (b)}.
\]
Verifica que
\ [
\ begin {alineado}\ izquierda|s_ {n}\ derecha|\ leq\ suma_ {i=1} ^ {q_ {n}}\ int_ {A_ {n i}} w_ {n i} |g| &\ leq\ sum_ {i}\ int_ {A_ {n i}} w_ {n i}\ izquierda|g_ {o}\ derecha|+\ suma_ {i}\ int_ {A_ {n i}} w_ {n i}\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|\\ &\ leq B\ suma_ {i} w_ {n i} m A _ {n i} +\ suma_ {i}\ int_ {A_ {n i}} [f (a) -f (b)]\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|\\ &<\ frac {1} {n} +\ int_ {A} [f (a) -f (b)]\ izquierda|g-g_ {o}\ derecha|<\ frac {1} {n} +\ frac {1} {2}\ varepsilon. \ end {alineado}
\]
Por todo lo\(n>2 / \varepsilon,\) que conseguimos de\(\left|s_{n}\right|<\frac{1}{2} \varepsilon+\frac{1}{2} \varepsilon=\varepsilon .\) ahí\(s_{n} \rightarrow 0 .\) ahora terminar como en el texto.]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Demostrar que el Teorema 4 falla si no\(F\) es diferenciable en algunos\(p \in A .\)
[Pista: Ver Problemas 2 y 3.]