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9.2.E: Problemas en L-Integrales y Continuidad Absoluta

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Rellena todos los detalles en el comprobante de Lema 1 y de los Teoremas 3 y 4 de §1.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar Teorema 1 y Corolarios 1, 2 y 5.

    Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

    Desmentir lo contrario al Corolario 4. (¡Da un ejemplo!)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    \(\Rightarrow 3\). Mostrar que si\(F: E^{1} \rightarrow E\) es integrable en L\(A=[a, b]\) y es continuo en\(p \in A,\) entonces\(p\) es un punto L de\(F .\)
    [Pista: Utilice el\(\varepsilon, \delta \text { definition of continuity. }]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Completar todos los detalles de prueba para los\(2,\) teoremas de Lema 3\(4,\) y y Corolario\(3 .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Dejar\(F=1\) encendido\(R(=\text { rationals })\) y\(F=0\) encendido\(E^{1}-R\) (función Dirichlet).
    Demostrar que\(F\) tiene exactamente tres derivados\((0,+\infty, \text { and }-\infty)\) en cada\(p \in E^{1} .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \(\Rightarrow 6\). Decimos que\(F\) es un mapa de Lipschitz, o tiene la propiedad Lipschitz uniforme en\(A,\) iff

    \ [\ left (\ existe K\ in E^ {1}\ right) (\ forall x, y\ in A)\ quad|F (x) -F (y) |\ leq K|x-y|.
    \]
    Demostrar lo siguiente:
    (i) Cualquier cosa de este tipo\(F\) es absolutamente continua en\(A=[a, b]\).
    (ii) Si todos los derivados de\(f\) satisfacer
    \ [
    |D f (x) |\ leq k<\ infty,\ quad x\ in A= [a, b],
    \]
    entonces\(f\) es un mapa de Lipschitz en\(A\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \(\Rightarrow 7\). Dejar\(g: E^{1} \rightarrow E^{1}\) y\(f: E^{1} \rightarrow E\) (real o no) ser absolutamente continuo en\(A=[a, b]\) y\(g[A],\) respectivamente.
    Demostrar que\(h=f \circ g\) es absolutamente continuo\(A,\) siempre que\(f\) sea como en Problema\(6,\) o\(g\) sea estrictamente monótona en\(A .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar que si\(F: E^{1} \rightarrow E^{1}\) es absolutamente continuo en\(A=[a, b],\) si\(Q \subseteq A,\) y si\(m Q=0,\) entonces\(m^{*} F[Q]=0(m=\) Lebesgue medida).
    [Esquema: Podemos suponer\(Q \subseteq(a, b) .\) (¿Por qué?)
    \(\quad\)Fijar\(\varepsilon>0\) y tomar\(\delta\) como en la Definición 2. Como\(m\) es regular, hay un abierto\(G\),
    \ [
    Q\ subseteq G\ subseteq (a, b),
    \]
    con\(m G<\delta .\) Por Lema 2 del Capítulo 7, §2,
    \ [
    G=\ bigcup_ {k=1} ^ {\ infty} I_ {k} (\ text {disjoint})
    \]
    para algunos\(I_{k}=\left(a_{k}, b_{k}\right]\).
    \(\quad\)Vamos\(u_{k}=\inf F\left[I_{k}\right], v_{k}=\sup F\left[I_{k}\right] ;\) así
    \ [
    F\ izquierda [I_ {k}\ derecha]\ subseteq\ izquierda [u_ {k}, v_ {k}\ derecha]\]
    y

    \ [
    m^ {*} F\ izquierda [I_ {k}\ derecha]\ leq v_ {k} -u_ {k} -u_ {k}.
    \]
    Además,
    \ [
    \ suma\ izquierda (b_ {k} -a_ {k}\ derecha) =\ suma m I_ {k} =m G<\ delta.
    \]
    De Definición\(2,\) muestran que
    \ [
    \ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ left (v_ {k} -u_ {k}\ right)\ leq\ varepsilon
    \]
    (primero considerar sumas parciales). Como
    \ [
    F [Q]\ subseteq F [G]\ subseteq\ bigcup_ {k} F\ izquierda [I_ {k}\ derecha],
    \]
    obtener
    \ [
    \ izquierda.m^ {*} F [Q]\ leq\ suma_ {k} m^ {*} F\ izquierda [I_ {k}\ derecha] =\ suma_ {k} izquierda\ (v_ {k} -u_ {k}\ derecha)\ leq\ varepsilon\ fila derecha 0. \ derecho]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Mostrar que si\(F\) es como en el Problema 8 y si
    \ [
    A= [a, b]\ supseteq B,\ quad B\ in\ mathcal {M} ^ {*}
    \]
    (L-conjuntos medibles), entonces
    \ [
    F [B]\ in\ mathcal {M} ^ {*}.
    \]
    \(\left(" F \text { preserves } \mathcal{M}^{*} \text {-sets." }\right)\)
    [Esquema: (i) Si\(B\) está cerrado, es compacto, y así es\(F[B]\) (Teoremas 1 y 4 del Capítulo 4, §6).
    (ii) Si\(B \in \mathcal{F}_{\sigma},\) entonces
    \ [
    B=\ bigcup_ {i} B_ {i},\ quad B_ {i}\ in\ mathcal {F};
    \]
    así por (i),
    \ [
    F [B] =\ bigcup_ {i} F\ left [B_ {i}\ derecha]\ in\ mathcal {F} _ _ {\ sigma}\ subseteq\ mathcal {M} ^ {*}.
    \]
    (iii) Si\(B \in \mathcal{M}^{*},\) entonces por el Teorema 2 del Capítulo 7, §8,

    \ [\ left (\ existe K\ in\ mathcal {F} _ {\ sigma}\ derecha)\ quad K\ subseteq B, m (B-K) =0.
    \]
    Ahora usa Problema\(8, \text { with } Q=B-K .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\Rightarrow 10\). (Cambio de variable.) Supongamos que\(g: E^{1} \rightarrow E^{1}\) es absolutamente continuo y uno a uno encendido\(A=[a, b],\) mientras que\(f: E^{1} \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right)\) es L-integrable en\(g[A] .\)
    Prove que\((f \circ g) g^{\prime}\) es L-integrable on\(A\) y
    \ [
    L\ int_ {a} ^ {b} (f\ circ g) g^ {\ prime} =L\ int_ {p} ^ {q} f,
    \]
    dónde\(p=g(a)\) y\(q=g(b)\).
    [Consejos: Dejar\(F=L \int f\) y\(H=F \circ g\) seguir\(A .\)
    Por los teoremas 2 y 3 y Problema 7 (final),\(F\) y\(H\) son absolutamente continuos en\(g[A]\) y\(A,\) respectivamente; y\(H^{\prime}\) es L-integrable en\(A .\) Así por Teorema 3
    \ [
    H=L\ int H^ {\ prime} =L\ int (f\ circ g) g^ {\ prime},
    \]
    como\(\left.H^{\prime}=(f \circ g) g^{\prime} \text { a.e. on } A .\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Establecer\(f(x)=0\) si no se define otra cosa, encuentre los intervalos (si los hay) en los que\(f\)\(f(x)\) es absolutamente continuo si se define en
    (a)\(\sin x\);
    (b)\(\cos 2 x\);
    (c)\(1 / x\);
    (d)\(\tan x\);
    (e)\(x^{x}\);
    f)\(x \sin (1 / x)\); g
    )\(x^{2} \sin x^{-2}(\text { Problem } 5 \text { in } §1)\); h
    )\(\left.\sqrt{x^{3}} \cdot \sin (1 / x) \text { (verify that }\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \frac{3}{2}+x^{-\frac{1}{2}}\right)\);
    [Pista: Problemas de uso 6 y 7.]


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