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# 9.2.E: Problemas en L-Integrales y Continuidad Absoluta

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellena todos los detalles en el comprobante de Lema 1 y de los Teoremas 3 y 4 de §1.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar Teorema 1 y Corolarios 1, 2 y 5.

## Ejercicio$$\PageIndex{2'}$$

Desmentir lo contrario al Corolario 4. (¡Da un ejemplo!)

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

$$\Rightarrow 3$$. Mostrar que si$$F: E^{1} \rightarrow E$$ es integrable en L$$A=[a, b]$$ y es continuo en$$p \in A,$$ entonces$$p$$ es un punto L de$$F .$$
[Pista: Utilice el$$\varepsilon, \delta \text { definition of continuity. }]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Completar todos los detalles de prueba para los$$2,$$ teoremas de Lema 3$$4,$$ y y Corolario$$3 .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$F=1$$ encendido$$R(=\text { rationals })$$ y$$F=0$$ encendido$$E^{1}-R$$ (función Dirichlet).
Demostrar que$$F$$ tiene exactamente tres derivados$$(0,+\infty, \text { and }-\infty)$$ en cada$$p \in E^{1} .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$\Rightarrow 6$$. Decimos que$$F$$ es un mapa de Lipschitz, o tiene la propiedad Lipschitz uniforme en$$A,$$ iff

\ [\ left (\ existe K\ in E^ {1}\ right) (\ forall x, y\ in A)\ quad|F (x) -F (y) |\ leq K|x-y|.
\]
Demostrar lo siguiente:
(i) Cualquier cosa de este tipo$$F$$ es absolutamente continua en$$A=[a, b]$$.
(ii) Si todos los derivados de$$f$$ satisfacer
\ [
|D f (x) |\ leq k<\ infty,\ quad x\ in A= [a, b],
\]
entonces$$f$$ es un mapa de Lipschitz en$$A$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow 7$$. Dejar$$g: E^{1} \rightarrow E^{1}$$ y$$f: E^{1} \rightarrow E$$ (real o no) ser absolutamente continuo en$$A=[a, b]$$ y$$g[A],$$ respectivamente.
Demostrar que$$h=f \circ g$$ es absolutamente continuo$$A,$$ siempre que$$f$$ sea como en Problema$$6,$$ o$$g$$ sea estrictamente monótona en$$A .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Demostrar que si$$F: E^{1} \rightarrow E^{1}$$ es absolutamente continuo en$$A=[a, b],$$ si$$Q \subseteq A,$$ y si$$m Q=0,$$ entonces$$m^{*} F[Q]=0(m=$$ Lebesgue medida).
[Esquema: Podemos suponer$$Q \subseteq(a, b) .$$ (¿Por qué?)
$$\quad$$Fijar$$\varepsilon>0$$ y tomar$$\delta$$ como en la Definición 2. Como$$m$$ es regular, hay un abierto$$G$$,
\ [
Q\ subseteq G\ subseteq (a, b),
\]
con$$m G<\delta .$$ Por Lema 2 del Capítulo 7, §2,
\ [
G=\ bigcup_ {k=1} ^ {\ infty} I_ {k} (\ text {disjoint})
\]
para algunos$$I_{k}=\left(a_{k}, b_{k}\right]$$.
$$\quad$$Vamos$$u_{k}=\inf F\left[I_{k}\right], v_{k}=\sup F\left[I_{k}\right] ;$$ así
\ [
F\ izquierda [I_ {k}\ derecha]\ subseteq\ izquierda [u_ {k}, v_ {k}\ derecha]\]
y

\ [
m^ {*} F\ izquierda [I_ {k}\ derecha]\ leq v_ {k} -u_ {k} -u_ {k}.
\]
\ [
\ suma\ izquierda (b_ {k} -a_ {k}\ derecha) =\ suma m I_ {k} =m G<\ delta.
\]
De Definición$$2,$$ muestran que
\ [
\ sum_ {k=1} ^ {\ infty}\ left (v_ {k} -u_ {k}\ right)\ leq\ varepsilon
\]
(primero considerar sumas parciales). Como
\ [
F [Q]\ subseteq F [G]\ subseteq\ bigcup_ {k} F\ izquierda [I_ {k}\ derecha],
\]
obtener
\ [
\ izquierda.m^ {*} F [Q]\ leq\ suma_ {k} m^ {*} F\ izquierda [I_ {k}\ derecha] =\ suma_ {k} izquierda\ (v_ {k} -u_ {k}\ derecha)\ leq\ varepsilon\ fila derecha 0. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Mostrar que si$$F$$ es como en el Problema 8 y si
\ [
A= [a, b]\ supseteq B,\ quad B\ in\ mathcal {M} ^ {*}
\]
(L-conjuntos medibles), entonces
\ [
F [B]\ in\ mathcal {M} ^ {*}.
\]
$$\left(" F \text { preserves } \mathcal{M}^{*} \text {-sets." }\right)$$
[Esquema: (i) Si$$B$$ está cerrado, es compacto, y así es$$F[B]$$ (Teoremas 1 y 4 del Capítulo 4, §6).
(ii) Si$$B \in \mathcal{F}_{\sigma},$$ entonces
\ [
B=\ bigcup_ {i} B_ {i},\ quad B_ {i}\ in\ mathcal {F};
\]
así por (i),
\ [
F [B] =\ bigcup_ {i} F\ left [B_ {i}\ derecha]\ in\ mathcal {F} _ _ {\ sigma}\ subseteq\ mathcal {M} ^ {*}.
\]
(iii) Si$$B \in \mathcal{M}^{*},$$ entonces por el Teorema 2 del Capítulo 7, §8,

\ [\ left (\ existe K\ in\ mathcal {F} _ {\ sigma}\ derecha)\ quad K\ subseteq B, m (B-K) =0.
\]
Ahora usa Problema$$8, \text { with } Q=B-K .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

$$\Rightarrow 10$$. (Cambio de variable.) Supongamos que$$g: E^{1} \rightarrow E^{1}$$ es absolutamente continuo y uno a uno encendido$$A=[a, b],$$ mientras que$$f: E^{1} \rightarrow E^{*}\left(E^{n}, C^{n}\right)$$ es L-integrable en$$g[A] .$$
Prove que$$(f \circ g) g^{\prime}$$ es L-integrable on$$A$$ y
\ [
L\ int_ {a} ^ {b} (f\ circ g) g^ {\ prime} =L\ int_ {p} ^ {q} f,
\]
dónde$$p=g(a)$$ y$$q=g(b)$$.
[Consejos: Dejar$$F=L \int f$$ y$$H=F \circ g$$ seguir$$A .$$
Por los teoremas 2 y 3 y Problema 7 (final),$$F$$ y$$H$$ son absolutamente continuos en$$g[A]$$ y$$A,$$ respectivamente; y$$H^{\prime}$$ es L-integrable en$$A .$$ Así por Teorema 3
\ [
H=L\ int H^ {\ prime} =L\ int (f\ circ g) g^ {\ prime},
\]
como$$\left.H^{\prime}=(f \circ g) g^{\prime} \text { a.e. on } A .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Establecer$$f(x)=0$$ si no se define otra cosa, encuentre los intervalos (si los hay) en los que$$f$$$$f(x)$$ es absolutamente continuo si se define en
(a)$$\sin x$$;
(b)$$\cos 2 x$$;
(c)$$1 / x$$;
(d)$$\tan x$$;
(e)$$x^{x}$$;
f)$$x \sin (1 / x)$$; g
)$$x^{2} \sin x^{-2}(\text { Problem } 5 \text { in } §1)$$; h
)$$\left.\sqrt{x^{3}} \cdot \sin (1 / x) \text { (verify that }\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \frac{3}{2}+x^{-\frac{1}{2}}\right)$$;
[Pista: Problemas de uso 6 y 7.]

9.2.E: Problemas en L-Integrales y Continuidad Absoluta is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.