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# 9.3.E: Problemas en Integrales de Cauchy

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene todos los datos de prueba en Teoremas$$1-3 .$$ Verificar también al menos algunos de los casos distintos de$$\int_{a}^{\infty} f .$$ Verificar la validez para$$L S$$ -integrales (nota 6).

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar Teorema 4 en detalle.

## Ejercicio$$\PageIndex{2'}$$

Verificar las Notas 2 y 3 y los ejemplos (A) - (D).

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Suponiendo$$a>0,$$ verificar lo siguiente:
(i)$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} e^{-t} d t \leq \int_{1}^{\infty} e^{-t} d t=\frac{1}{e}$$.
[Pista: Usar el Corolario 2.]
ii)$$\int_{1}^{\infty} e^{-a t} d t=\frac{e^{-a}}{a}$$.
iii)$$\int_{0}^{\infty} e^{-a t} d t=\frac{1}{a}$$.
iv)$$\int_{0}^{\infty} e^{-a t} \sin b t d t=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Verificar lo siguiente:
(i)$$\int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty} e^{-x y} d y d x=\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} e^{-x} d x \leq \frac{1}{e}(\text { converges, by } 3(\mathrm{i}))$$.
ii)$$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x y} d y d x \geq \int_{1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x y} d y d x=\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\left(1-e^{-x}\right) d x \geq \int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{x}-e^{-x}\right) d x=\infty$$.
¿Esto contradice la fórmula (4) en el texto, o Problema 5, que sigue?

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Let$$f(x, y)=e^{-x y}$$ y
\ [
g (x) =L\ int_ {0} ^ {1} e^ {-x y} d y;
\]
entonces$$g(0)=1 .$$ (¿Por qué?)
(i) Es$$g$$ R-integrable en$$A=[0,1] ?$$ Es$$f$$ así sucesivamente$$A \times A ?$$
(ii) Encontrar$$g(x)$$ usando Corolario 1 en §1.
(iii) Encuentra el valor de
\ [
R\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {1} e^ {-x y} d y d x=R\ int_ {0} ^ {1} g
\]
a dentro de$$1 / 10 .$$
[Pista: Reducirlo a Problema$$6(\mathrm{b}) \text { in } §1.]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

$$\Rightarrow 6$$. $$f, g: E^{1} \rightarrow E^{*}$$Sea$$m$$ -medible en$$A=[a, b), b \leq \infty .$$ Probar lo siguiente:
(i) Si
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {+} <\ infty\ text {o} C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {-} <\ infty,
\]
entonces$$C \int_{a}^{b-} f$$ existe y es igual a
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {+} -C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {-} =\ int_ {A} f d m (\ text {propiamente dicho}).
\]
(ii) Si$$\int_{a}^{b-} f$$ converge condicionalmente solamente, entonces
\ [
\ int_ {a} ^ {b-} f^ {+} =\ int_ {a} ^ {b-} f^ {-} =+\ infty.
\]
(iii) En caso de que$$C \int_{a}^{b-}|f|<\infty,$$ tengamos
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} |f\ pm g|=\ infty
\]
iff$$C \int_{a}^{b-}|g|=\infty ;$$ también,
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} (f\ pm g) =C\ int_ {a} ^ {b-} f\ pm C\ int_ {a} ^ {b-} g
\]
si$$C \int_{a}^{b-} g$$ existe (finito o no).

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$\Rightarrow 7$$. Supongamos que$$f: E^{1} \rightarrow E^{*}$$ es$$m$$ -integrable y signo-constante en cada
\ [
A_ {n} =\ left [a_ {n}, a_ {n+1}\ right),\ quad n=1,2,\ ldots
\]
pero cambia signo de$$A_{n}$$ a$$A_{n+1},$$ con
\ [
\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} A_ {n} = [a, \ infty)
\]
y$$\left\{a_{n}\right\} \uparrow$$ fijo.
Demostrar que si

\ [\ izquierda|\ int_ {A_ {n}} f d m\ derecha|\ searrow 0
\]
como$$n \rightarrow \infty,$$ entonces
\ [
c\ int_ {a} ^ {\ infty} f
\]
converge.
[Pista: Use el Problema 10 en el Capítulo 4, §13.]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

$$\Rightarrow 8$$. Dejar
\ [
f (x) =\ frac {\ sin x} {x},\ quad f (0) =1.
\]
Demostrar que
\ [
C\ int_ {0} ^ {\ infty} f (x) d x
\]
converge condicionalmente sólo.
[Consejos: Usar Problema 7. Mostrar que
\ [
\ izquierda.C\ int_ {0} ^ {\ infty} |f|=L\ int_ {(0,\ infty)} |f|=L\ int_ {0} ^ {\ infty} f^ {+} =L\ int_ {0} ^ {\ infty} f^ {-} =\ infty. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

$$\Rightarrow 9$$. (Aditividad.) Dado$$f: E^{1} \rightarrow E(E \text { complete) and } a<b<c \leq \infty$$, supongamos que
\ [
\ int_ {a} ^ {x} f d m\ neq\ pm\ infty
\]
(propiamente dicho) existe para cada uno$$x \in[a, c) .$$ Probar lo siguiente:
(a)$$C \int_{a}^{b-} f$$ y$$C \int_{a+}^{b} f$$ convergen.
(b) Si
\ [
C\ int_ {b} ^ {c-} f
\]
converge, así lo hace
\ [
C\ int_ {a} ^ {c-} f=C\ int_ {a} ^ {b-} f+C\ int_ {b} ^ {c-} f.
\]
[Pista: Utilice el problema 8 dividiendo adecuadamente$$[0,\infty)$$.]

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

(Prueba de comparación refinada.) Dado$$f, g: E^{1} \rightarrow E (E \text { complete) and } b \leq \infty,$$ demostrar lo siguiente:
(i) Si para algunos$$a<b$$ y$$k \in E^{1}$$,
\ [
|f|\ leq|k g|\ quad\ text {on} [a, b)
\]
entonces
\ [
\ int_ {a} ^ {b-} |g|g|<\ infty\ text {implica}\ int_ {a} ^ {b-} |f|<\ infty .
\]
(ii) Tal existe$$a, k \in E^{1}$$ si existe
\ [
\ lim _ {t\ fila derecha b-}\ frac {|f (t) |} {|g (t) |} <\ infty
\]
existe.
(iii) Si este límite no es cero, entonces
\ [
\ int_ {a} ^ {b-} |g|<\ infty\ text {iff}\ int_ {a} ^ {b-} |f|<\ infty.
\]
(Similarmente en el caso de$$\left.\int_{a+}^{b} \text { with } a \geq-\infty .\right)$$

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar que
(I)$$\int_{1}^{\infty} t^{p} d t<\infty$$ iff$$p<-1$$;
(ii)$$\int_{0+}^{1} t^{p} d t<\infty$$ iff$$p>-1$$;
(iii)$$\int_{0+}^{\infty} t^{p} d t=\infty$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Utilice los Problemas 10 y 11 para probar la convergencia de lo siguiente:
a)$$\int_{1}^{\infty} \frac{d t}{t \sqrt{1+t^{2}}}$$;
b)$$\int_{a}^{\infty} \frac{P(t)}{Q(t)} d t$$
$$(Q, P \text { polynomials of degree } s \text { and } r, s>r ; Q \neq 0 \text { for } t \geq a)$$;
c); d
)$$\int_{0}^{1-} \frac{d t}{\sqrt{1-t^{4}}}$$; e
)$$\int_{0+}^{1} t^{p} \ln t d t$$; f
)$$\int_{0}^{1-} \frac{d t}{\ln t}$$; g)$$\int_{0}^{\infty} \frac{t^{3 / 2} d t}{1+t^{2}}$$
$$\int_{0+}^{\frac{\pi}{2}-} \tan ^{p} t d t$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

$$\Rightarrow 13$$. (La prueba de Abel-Dirichlet.) Dado$$f, g: E^{1} \rightarrow E^{1},$$ supongamos que
(a)$$f \downarrow,$$ con$$\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=0$$;
(b)$$g$$ es L-medible en$$A=[a, \infty) ;$$ y;
(c)$$\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall x \in A) \quad\left|L \int_{a}^{x} g\right|<K$$.
Entonces$$C \int_{a}^{\infty} f(x) g(x) d x$$ converge.
[Esquema: Set
\ [
G (x) =\ int_ {a} ^ {x} g;
\]
así$$|G|<K$$ sucesivamente$$A .$$ Por Lema 2 de §1,$$f g$$ es L-integrable en cada uno$$[u, v] \subset A,$$ y$$(\exists c \in[u, v])$$ tal que
\ [
\ izquierda|L\ int_ {u} ^ {v} f g\ derecha|=\ izquierda|f (u)\ int_ {u} ^ {c} g\ derecha|=|f (u) [G (c) -G (u)] |<2 K f (u).
\]
Ahora, por$$(\mathrm{a})$$,
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k\ en A) (\ forall u\ geq k)\ quad|f (u) |<\ frac {\ varepsilon} {2 K};
\]
so
\ [
(\ forall v\ geq u\ geq k)\ quad\ izquierda|l\ int_ {u} ^ {v} f g\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Ahora usa Teorema$$2 .$$
$$\quad$$ Ahora extiende esto a$$g: E^{1} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right) .$$]

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

$$\Rightarrow 14$$. Do Problema$$13,$$ reemplazar los supuestos (a) y (c) por
(a')$$f$$ es monótona y acotada$$[a, \infty)=A,$$ y
(c')$$C \int_{a}^{\infty} g(x) d x$$ converge.
[Pista: Si$$f \uparrow,$$ decir, establecer$$q=\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)$$ y$$F=q-f ;$$ así
\ [
f g=q g-f g.
\]
Aplicar Problema 13 a
\ [
\ izquierda.C\ int_ {a} ^ {\ infty} F (x) g (x) d x. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Utilice los Problemas 13 y 14 para probar la convergencia de lo siguiente: a
)$$\int_{0}^{\infty} t^{p} \sin t d t$$.
[Pista: La integral converge iff$$p<0 .]$$
(b)$$\int_{0+}^{\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t}} d t$$.
$$\left[\text { Hint: Integrate } \int_{u}^{v} \frac{\cos t}{\sqrt{t}} d t \text { by parts; then let } u \rightarrow 0 \text { and } v \rightarrow \infty .\right]$$
c)$$\int_{1}^{\infty} \frac{\cos t}{t^{p}} d t$$.
d)$$\int_{0}^{\infty} \sin t^{2} d t$$.
$$\left[\text { Hint: Substitute } t^{2}=u ; \text { then use }(\mathrm{a}) .\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{16}$$

El valor principal$$(\mathrm{CPV})$$ de Cauchy$$C \int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t$$ está definido por
\ [
(\ mathrm {CPV})\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f=\ lim _ {x\ rightarrow\ infty}\ int_ {-x} ^ {x} f (t) d t
\]
(si existe). Demostrar lo siguiente:
(i) Si$$C \int f(t) d t$$ existe, también lo hace$$(\mathrm{CPV}) \int f,$$ y los dos son iguales.
Desmentir lo contrario.
[Pista: Toma$$f(t)=\operatorname{sign}(t) / \sqrt{|t|} .]$$
(ii) Haz lo mismo para
\ [
(\ mathrm {CPV})\ int_ {a} ^ {b} f=\ lim _ {\ delta\ rightarrow 0+}\ left (\ int_ {a} ^ {p-\ delta} f+\ int_ {p+\ delta} ^ {b} f\ right),
\]
$$p$$ siendo la única singularidad en $$(a, b)$$.

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