9.3.E: Problemas en Integrales de Cauchy

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Rellene todos los datos de prueba en Teoremas\(1-3 .\) Verificar también al menos algunos de los casos distintos de\(\int_{a}^{\infty} f .\) Verificar la validez para\(L S\) -integrales (nota 6).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar Teorema 4 en detalle.

Ejercicio\(\PageIndex{2'}\)

Verificar las Notas 2 y 3 y los ejemplos (A) - (D).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Suponiendo\(a>0,\) verificar lo siguiente:
(i)\(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{t} e^{-t} d t \leq \int_{1}^{\infty} e^{-t} d t=\frac{1}{e}\).
[Pista: Usar el Corolario 2.]
ii)\(\int_{1}^{\infty} e^{-a t} d t=\frac{e^{-a}}{a}\).
iii)\(\int_{0}^{\infty} e^{-a t} d t=\frac{1}{a}\).
iv)\(\int_{0}^{\infty} e^{-a t} \sin b t d t=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Verificar lo siguiente:
(i)\(\int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty} e^{-x y} d y d x=\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} e^{-x} d x \leq \frac{1}{e}(\text { converges, by } 3(\mathrm{i}))\).
ii)\(\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x y} d y d x \geq \int_{1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x y} d y d x=\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\left(1-e^{-x}\right) d x \geq \int_{1}^{\infty}\left(\frac{1}{x}-e^{-x}\right) d x=\infty\).
¿Esto contradice la fórmula (4) en el texto, o Problema 5, que sigue?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Let\(f(x, y)=e^{-x y}\) y
\ [
g (x) =L\ int_ {0} ^ {1} e^ {-x y} d y;
\]
entonces\(g(0)=1 .\) (¿Por qué?)
(i) Es\(g\) R-integrable en\(A=[0,1] ?\) Es\(f\) así sucesivamente\(A \times A ?\)
(ii) Encontrar\(g(x)\) usando Corolario 1 en §1.
(iii) Encuentra el valor de
\ [
R\ int_ {0} ^ {1}\ int_ {0} ^ {1} e^ {-x y} d y d x=R\ int_ {0} ^ {1} g
\]
a dentro de\(1 / 10 .\)
[Pista: Reducirlo a Problema\(6(\mathrm{b}) \text { in } §1.]\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\Rightarrow 6\). \(f, g: E^{1} \rightarrow E^{*}\)Sea\(m\) -medible en\(A=[a, b), b \leq \infty .\) Probar lo siguiente:
(i) Si
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {+} <\ infty\ text {o} C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {-} <\ infty,
\]
entonces\(C \int_{a}^{b-} f\) existe y es igual a
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {+} -C\ int_ {a} ^ {b-} f^ {-} =\ int_ {A} f d m (\ text {propiamente dicho}).
\]
(ii) Si\(\int_{a}^{b-} f\) converge condicionalmente solamente, entonces
\ [
\ int_ {a} ^ {b-} f^ {+} =\ int_ {a} ^ {b-} f^ {-} =+\ infty.
\]
(iii) En caso de que\(C \int_{a}^{b-}|f|<\infty,\) tengamos
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} |f\ pm g|=\ infty
\]
iff\(C \int_{a}^{b-}|g|=\infty ;\) también,
\ [
C\ int_ {a} ^ {b-} (f\ pm g) =C\ int_ {a} ^ {b-} f\ pm C\ int_ {a} ^ {b-} g
\]
si\(C \int_{a}^{b-} g\) existe (finito o no).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\Rightarrow 7\). Supongamos que\(f: E^{1} \rightarrow E^{*}\) es\(m\) -integrable y signo-constante en cada
\ [
A_ {n} =\ left [a_ {n}, a_ {n+1}\ right),\ quad n=1,2,\ ldots
\]
pero cambia signo de\(A_{n}\) a\(A_{n+1},\) con
\ [
\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} A_ {n} = [a, \ infty)
\]
y\(\left\{a_{n}\right\} \uparrow\) fijo.
Demostrar que si

\ [\ izquierda|\ int_ {A_ {n}} f d m\ derecha|\ searrow 0
\]
como\(n \rightarrow \infty,\) entonces
\ [
c\ int_ {a} ^ {\ infty} f
\]
converge.
[Pista: Use el Problema 10 en el Capítulo 4, §13.]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\Rightarrow 8\). Dejar
\ [
f (x) =\ frac {\ sin x} {x},\ quad f (0) =1.
\]
Demostrar que
\ [
C\ int_ {0} ^ {\ infty} f (x) d x
\]
converge condicionalmente sólo.
[Consejos: Usar Problema 7. Mostrar que
\ [
\ izquierda.C\ int_ {0} ^ {\ infty} |f|=L\ int_ {(0,\ infty)} |f|=L\ int_ {0} ^ {\ infty} f^ {+} =L\ int_ {0} ^ {\ infty} f^ {-} =\ infty. \ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\Rightarrow 9\). (Aditividad.) Dado\(f: E^{1} \rightarrow E(E \text { complete) and } a<b<c \leq \infty\), supongamos que
\ [
\ int_ {a} ^ {x} f d m\ neq\ pm\ infty
\]
(propiamente dicho) existe para cada uno\(x \in[a, c) .\) Probar lo siguiente:
(a)\(C \int_{a}^{b-} f\) y\(C \int_{a+}^{b} f\) convergen.
(b) Si
\ [
C\ int_ {b} ^ {c-} f
\]
converge, así lo hace
\ [
C\ int_ {a} ^ {c-} f=C\ int_ {a} ^ {b-} f+C\ int_ {b} ^ {c-} f.
\]
(c) La aditividad contable no necesariamente se mantiene para C-integrales.
[Pista: Utilice el problema 8 dividiendo adecuadamente\([0,\infty)\).]

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

(Prueba de comparación refinada.) Dado\(f, g: E^{1} \rightarrow E (E \text { complete) and } b \leq \infty,\) demostrar lo siguiente:
(i) Si para algunos\(a<b\) y\(k \in E^{1}\),
\ [
|f|\ leq|k g|\ quad\ text {on} [a, b)
\]
entonces
\ [
\ int_ {a} ^ {b-} |g|g|<\ infty\ text {implica}\ int_ {a} ^ {b-} |f|<\ infty .
\]
(ii) Tal existe\(a, k \in E^{1}\) si existe
\ [
\ lim _ {t\ fila derecha b-}\ frac {|f (t) |} {|g (t) |} <\ infty
\]
existe.
(iii) Si este límite no es cero, entonces
\ [
\ int_ {a} ^ {b-} |g|<\ infty\ text {iff}\ int_ {a} ^ {b-} |f|<\ infty.
\]
(Similarmente en el caso de\(\left.\int_{a+}^{b} \text { with } a \geq-\infty .\right)\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar que
(I)\(\int_{1}^{\infty} t^{p} d t<\infty\) iff\(p<-1\);
(ii)\(\int_{0+}^{1} t^{p} d t<\infty\) iff\(p>-1\);
(iii)\(\int_{0+}^{\infty} t^{p} d t=\infty\).

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Utilice los Problemas 10 y 11 para probar la convergencia de lo siguiente:
a)\(\int_{1}^{\infty} \frac{d t}{t \sqrt{1+t^{2}}}\);
b)\(\int_{a}^{\infty} \frac{P(t)}{Q(t)} d t\)
\((Q, P \text { polynomials of degree } s \text { and } r, s>r ; Q \neq 0 \text { for } t \geq a)\);
c); d
)\(\int_{0}^{1-} \frac{d t}{\sqrt{1-t^{4}}}\); e
)\(\int_{0+}^{1} t^{p} \ln t d t\); f
)\(\int_{0}^{1-} \frac{d t}{\ln t}\); g)\(\int_{0}^{\infty} \frac{t^{3 / 2} d t}{1+t^{2}}\)
\(\int_{0+}^{\frac{\pi}{2}-} \tan ^{p} t d t\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(\Rightarrow 13\). (La prueba de Abel-Dirichlet.) Dado\(f, g: E^{1} \rightarrow E^{1},\) supongamos que
(a)\(f \downarrow,\) con\(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=0\);
(b)\(g\) es L-medible en\(A=[a, \infty) ; \) y;
(c)\(\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall x \in A) \quad\left|L \int_{a}^{x} g\right|<K\).
Entonces\(C \int_{a}^{\infty} f(x) g(x) d x\) converge.
[Esquema: Set
\ [
G (x) =\ int_ {a} ^ {x} g;
\]
así\(|G|<K\) sucesivamente\(A .\) Por Lema 2 de §1,\(f g\) es L-integrable en cada uno\([u, v] \subset A,\) y\((\exists c \in[u, v])\) tal que
\ [
\ izquierda|L\ int_ {u} ^ {v} f g\ derecha|=\ izquierda|f (u)\ int_ {u} ^ {c} g\ derecha|=|f (u) [G (c) -G (u)] |<2 K f (u).
\]
Ahora, por\((\mathrm{a})\),
\ [
(\ forall\ varepsilon>0) (\ existe k\ en A) (\ forall u\ geq k)\ quad|f (u) |<\ frac {\ varepsilon} {2 K};
\]
so
\ [
(\ forall v\ geq u\ geq k)\ quad\ izquierda|l\ int_ {u} ^ {v} f g\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Ahora usa Teorema\(2 .\)
\(\quad\) Ahora extiende esto a\(g: E^{1} \rightarrow E^{n}\left(C^{n}\right) .\)]

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(\Rightarrow 14\). Do Problema\(13,\) reemplazar los supuestos (a) y (c) por
(a')\(f\) es monótona y acotada\([a, \infty)=A,\) y
(c')\(C \int_{a}^{\infty} g(x) d x\) converge.
[Pista: Si\(f \uparrow,\) decir, establecer\(q=\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)\) y\(F=q-f ;\) así
\ [
f g=q g-f g.
\]
Aplicar Problema 13 a
\ [
\ izquierda.C\ int_ {a} ^ {\ infty} F (x) g (x) d x. \ derecho]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

Utilice los Problemas 13 y 14 para probar la convergencia de lo siguiente: a
)\(\int_{0}^{\infty} t^{p} \sin t d t\).
[Pista: La integral converge iff\(p<0 .]\)
(b)\(\int_{0+}^{\infty} \frac{\cos t}{\sqrt{t}} d t\).
\(\left[\text { Hint: Integrate } \int_{u}^{v} \frac{\cos t}{\sqrt{t}} d t \text { by parts; then let } u \rightarrow 0 \text { and } v \rightarrow \infty .\right]\)
c)\(\int_{1}^{\infty} \frac{\cos t}{t^{p}} d t\).
d)\(\int_{0}^{\infty} \sin t^{2} d t\).
\(\left[\text { Hint: Substitute } t^{2}=u ; \text { then use }(\mathrm{a}) .\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

El valor principal\((\mathrm{CPV})\) de Cauchy\(C \int_{-\infty}^{\infty} f(t) d t\) está definido por
\ [
(\ mathrm {CPV})\ int_ {-\ infty} ^ {\ infty} f=\ lim _ {x\ rightarrow\ infty}\ int_ {-x} ^ {x} f (t) d t
\]
(si existe). Demostrar lo siguiente:
(i) Si\(C \int f(t) d t\) existe, también lo hace\((\mathrm{CPV}) \int f,\) y los dos son iguales.
Desmentir lo contrario.
[Pista: Toma\(f(t)=\operatorname{sign}(t) / \sqrt{|t|} .]\)
(ii) Haz lo mismo para
\ [
(\ mathrm {CPV})\ int_ {a} ^ {b} f=\ lim _ {\ delta\ rightarrow 0+}\ left (\ int_ {a} ^ {p-\ delta} f+\ int_ {p+\ delta} ^ {b} f\ right),
\]
\(p\) siendo la única singularidad en \((a, b)\).