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# 9.4: Convergencia de Integrales Parametrizadas y Funciones

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I. Consideramos ahora las C-integrales de la forma

$C \int f(t, u) d m(t),$

donde$$m$$ esta Lebesgue o LS mide en$$E^{1}.$$ Aquí la variable$$u,$$ llamada parámetro, permanece fija en el proceso de integración; pero el resultado final depende$$u,$$ de por supuesto.

Asumimos$$f : E^{2} \rightarrow E$$ ($$E$$completo) aunque no se indique explícitamente. Como antes, damos nuestras definiciones y teoremas para el caso

$C \int_{a}^{\infty}.$

Los otros casos$$\left(C \int_{-\infty}^{a}, C \int_{a}^{b-}, \text { etc. }\right)$$ son análogos; se tratan en Problemas 2 y 3. Asumimos

$a, b, c, x, t, u, v \in E^{1}$

en todas partes, y escribir$$d t$$ "" para$$d m(t)$$ "" iff$$m$$ es medida Lebesgue.

Si

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

converge para cada uno$$u$$ en un conjunto$$B \subseteq E^{1},$$ podemos definir un mapa$$F : B \rightarrow E$$

$F(u)=C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f(t, u) d m(t).$

Esto significa que

$(\forall u \in B)(\forall \varepsilon>0)(\exists b>a)(\forall x \geq b) \quad\left|\int_{a}^{x} f(t, u) d m(t)-F(u)\right|<\varepsilon,$

así$$|F|<\infty$$ sucesivamente$$B$$.

Aquí$$b$$ depende de ambos$$\varepsilon$$ y$$u$$ (la convergencia es “puntual”). Sin embargo, puede ocurrir que uno y lo mismo se$$b$$ ajuste a todos$$u \in B,$$ así que eso$$b$$ depende$$\varepsilon$$ solo de. Entonces decimos que

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

converge uniformemente en$$B$$ (es decir, para$$u \in B$$), y escribe

$F(u)=C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t) \text { (uniformly) on } B.$

De manera explícita, esto significa que

$(\forall \varepsilon>0)(\exists b>a)(\forall u \in B)(\forall x \geq b) \quad\left|\int_{a}^{x} f(t, u) d m(t)-F(u)\right|<\varepsilon.$

Claramente, esto implica (1), pero no a la inversa. Ahora obtenemos lo siguiente.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$ (Cauchy criterion)

Supongamos

$\int_{a}^{x} f(t, u) d m(t)$

existe para$$x \geq a$$ y$$u \in B \subseteq E^{1}.$$ (Esto es automático si$$E \subseteq E^{*};$$ ver Capítulo 8, §5.)

Entonces

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

converge uniformemente en$$B$$ iff para cada$$\varepsilon>0,$$ hay$$b>a$$ tal que

$(\forall v, x \in[b, \infty))(\forall u \in B) \quad\left|\int_{v}^{x} f(t, u) d m(t)\right|<\varepsilon,$

y

$\left|\int_{a}^{b} f(t, u) d m(t)\right|<\infty.$

Prueba

La necesidad de (3) sigue como en el Teorema 2 del §3. (¡Verifica!)

Para probar suficiencia, supongamos que$$b$$ existe lo deseado para cada$$\varepsilon>0.$$ Entonces para cada uno (fijo)$$u \in B$$,

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

satisface el Teorema 2 del §3. De ahí

$F(u)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f(t, u) d m(t) \neq \pm \infty$

existe para cada$$u \in B$$ (puntual). Ahora, a partir del (3), escribiendo brevemente$$\int f$$ para$$\int f(t, u) d m(t),$$ que obtengamos

$\left|\int_{v}^{x} f\right|=\left|\int_{a}^{x} f-\int_{a}^{v} f\right|<\varepsilon$

para todos$$u \in B$$ y para todos$$x>v \geq b$$.

Haciendo$$x \rightarrow \infty$$ (con$$u$$ y$$v$$ temporalmente fijo), tenemos por (4) que

$\left|F(u)-\int_{a}^{v} f\right| \leq \varepsilon$

cuando sea$$v \geq b$$.

Pero por nuestra suposición,$$b$$ depende$$\varepsilon$$ solo de (no de$$u$$). Así, desfijando$$u$$, vemos que (5) establece la convergencia uniforme de

$\int_{a}^{\infty} f,$

según se requiera. $$\quad \square$$

## Corolario$$\PageIndex{1}$$

Bajo los supuestos del Teorema 1,

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

converge uniformemente en$$B$$ si

$C \int_{a}^{\infty}|f(t, u)| d m(t)$

lo hace.

En efecto,

$\left|\int_{v}^{x} f\right| \leq \int_{v}^{x}|f|<\varepsilon.$

## Corolario$$\PageIndex{2}$$ (comparison test)

Dejar$$f : E^{2} \rightarrow E$$ y$$M : E^{2} \rightarrow E^{*}$$ satisfacer

$|f(t, u)| \leq M(t, u)$

para$$u \in B \subseteq E^{1}$$ y$$t \geq a$$.

Entonces

$C \int_{a}^{\infty}|f(t, u)| d m(t)$

converge uniformemente en$$B$$ si

$C \int_{a}^{\infty} M(t, u) d m(t)$

lo hace.

En efecto, se aplica el Teorema 1, con

$\left|\int_{v}^{x} f\right| \leq \int_{v}^{x} M<\varepsilon.$

De ahí que tengamos el siguiente corolario.

## Corolario$$\PageIndex{3}$$ ("$$M$$-test")

Dejar$$f : E^{2} \rightarrow E$$ y$$M : E^{1} \rightarrow E^{*}$$ satisfacer

$|f(t, u)| \leq M(t)$

para$$u \in B \subseteq E^{1}$$ y$$t \geq a.$$ Supongamos

$C \int_{a}^{\infty} M(t) d m(t)$

converge. Entonces

$C \int_{a}^{\infty}|f(t, u)| d m(t)$

converge (uniformemente) en$$B.$$ Así lo hace

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

por Corolario 1.

Prueba

Set

$h(t, u)=M(t) \geq|f(t, u)|.$

Entonces aplica el Corolario 2 (con$$M$$ reemplazado por$$h$$ ahí). En efecto, la convergencia de

$C \int h=C \int M$

es trivialmente “uniforme” para$$u \in B,$$ ya que$$M$$ no depende$$u$$ en absoluto. $$\quad \square$$

Nota 1. Observe también que, si$$h(t, u)$$ no depende$$u,$$ entonces la convergencia (puntual) y (uniforme) de$$C \int h$$ son trivialmente equivalentes.

## Corolario$$\PageIndex{4}$$

Supongamos

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

converge (puntual) en$$B \subseteq E^{1}.$$ Entonces esta convergencia es uniforme iff

$\lim _{\nu \rightarrow \infty} C \int_{v}^{\infty} f(t, u) d m(t)=0 \text { (uniformly) on } B,$

es decir, iff

$(\forall \varepsilon>0)(\exists b>a)(\forall u \in B)(\forall v \geq b) \quad\left|C \int_{v}^{\infty} f(t, u) d m(t)\right|<\varepsilon.$

Prueba

La prueba (basada en el Teorema 1) se deja al lector, junto con la del siguiente corolario.

## Corolario$$\PageIndex{5}$$

Supongamos

$\int_{a}^{b} f(t, u) d m(t) \neq \pm \infty$

existe para cada uno$$u \in B \subseteq E^{1}$$.

Entonces

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

converge (uniformemente) en$$B$$ iff

$C \int_{b}^{\infty} f(t, u) d m(t)$

lo hace.

II. Las pruebas de Abel-Dirichlet para convergencia uniforme de series (Problemas 9 y 11 en el Capítulo 4, §13) tienen diversos análogos para C-integrales. Damos dos de ellos, utilizando la segunda ley de la media (Corolario 5 en §1).

Primero, sin embargo, generalizamos nuestras definiciones, “desprotagonizando” algunas ideas del Capítulo 4, §11. Específicamente, dado

$H : E^{2} \rightarrow E \text{ (} E \text { complete),}$

decimos que$$H(x, y)$$ converge de manera$$F(y),$$ uniforme sobre$$B,$$ como$$x \rightarrow q\left(q \in E^{*}\right),$$ y escribir

$\lim _{x \rightarrow q} H(x, y)=F(y) \text { (uniformly) on } B$

iff tenemos

$(\forall \varepsilon>0)\left(\exists G_{\neg q}\right)(\forall y \in B)\left(\forall x \in G_{\neg q}\right) \quad|H(x, y)-F(y)|<\varepsilon;$

de ahí$$|F|<\infty$$ en$$B$$.

Si aquí$$q=\infty,$$ el globo eliminado$$G_{\neg q}$$ tiene la forma$$(b, \infty).$$ Así, si

$H(x, u)=\int_{a}^{x} f(t, u) d t,$

(6) se convierte en (2) como caso especial. Si (6) se mantiene$$"\left(\exists G_{\neg q}\right) "$$ e$$"(\forall y \in B)"$$ intercambia, como en (1), la convergencia es solo puntual.

Como en el Capítulo 8, §8, denotamos por$$f(\cdot, y),$$ o$$f^{y},$$ la función de$$x$$ solo (on$$E^{1}$$) dada por

$f^{y}(x)=f(x, y).$

Del mismo modo,

$f_{x}(y)=f(x, y).$

Por supuesto, podemos sustituir$$f(x, y)$$ por$$f(t, u)$$ o$$H(t, u),$$ etc.

Utilizamos la medida de Lebesgue en los Teoremas 2 y 3 a continuación.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Asumir$$f, g : E^{2} \rightarrow E^{1}$$ satisfacer

i)$$C \int_{a}^{\infty} g(t, u) d t$$ converge (uniformemente) en$$B$$;

(ii) cada uno$$g^{u}(u \in B)$$ es$$L$$ -mensurable en$$A=[a, \infty)$$;

(iii) cada uno$$f^{u}(u \in B)$$ es monótona$$(\downarrow$$ o$$\uparrow)$$ encendido$$A;$$ y

iv)$$|f|<K \in E^{1}$$ (acotado) en$$A \times B$$.

Entonces

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) g(t, u) d t$

converge uniformemente en$$B$$.

Prueba

Dada la suposición de$$\varepsilon>0,$$ uso (i) y el Teorema 1 para elegir de$$b>a$$ manera que

$\left|L \int_{v}^{x} g(t, u) d t\right|<\frac{\varepsilon}{2 K},$

escrito brevemente como

$\left|L \int_{v}^{x} g^{u}\right|<\frac{\varepsilon}{2 K},$

para todos$$u \in B$$ y$$x>v \geq b,$$ con$$K$$ como en (iv).

De ahí que por (ii), cada uno$$g^{u}(u \in B)$$ es$$L$$ -integrable en cualquier intervalo$$[v, x] \subset A$$, con$$x>v \geq b.$$ Así dado tal$$u$$ y$$[v, x],$$ podemos usar (iii) y Corolario 5 de §1 para encontrar que

$L \int_{v}^{x} f^{u} g^{u}=f^{u}(v) L \int_{v}^{c} g^{u}+f^{u}(x) L \int_{c}^{x} g^{u}$

para algunos$$c \in[v, x]$$.

Combinando con (7) y usando (iv), obtenemos fácilmente

$\left|L \int_{v}^{x} f(t, u) g(t, u) d t\right|<\varepsilon$

cuando$$u \in B$$ y$$x>v \geq b.$$ (¡Verifica!)

Nuestra aseveración sigue ahora por el Teorema 1. $$\quad \square$$

## Teorema$$\PageIndex{3}$$ (Abel-Dirichlet test)

Deja que$$f, g : E^{2} \rightarrow E^{*}$$ satisfaga

a)$$\lim _{t \rightarrow \infty} f(t, u)=0$$ (uniformemente) para$$u \in B$$;

(b) cada uno no$$f^{u}(u \in B)$$ está aumentando$$(\downarrow)$$$$A=[0, \infty)$$;

(c) cada uno$$g^{u}(u \in B)$$ es$$L$$ -mensurable en$$A;$$ y

d)$$\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall x \in A)(\forall u \in B)\left|L \int_{a}^{x} g(t, u) d t\right|<K$$.

Entonces

$C \int_{a}^{\infty} f(t, u) g(t, u) d t$

converge uniformemente en$$B$$.

Esquema de prueba

Argumentar como en el Problema 13 de §3, sustituyendo el Teorema 2 en §3 por el Teorema 1 de la presente sección.

Por Lemma 2 en §1, obtener

$\left|L \int_{v}^{x} f^{u} g^{u}\right|=\left|f^{u}(v) L \int_{a}^{x} g^{u}\right| \leq K f(v, u)$

para$$u \in B$$ y$$x>v \geq a$$.

Luego use la suposición (a) para arreglar de$$k$$ manera que

$|f(t, u)|<\frac{\varepsilon}{2 K}$

para$$t>k$$ y$$u \in B. \quad \square$$

Nota 2. Vía componentes, los teoremas 2 y 3 se extienden al caso$$g : E^{2} \rightarrow$$$$E^{n}\left(C^{n}\right).$$

Nota 3. Mientras que los Corolarios 2 y 3 se aplican solo a la convergencia absoluta, los Teoremas 2 y 3 cubren la convergencia condicional, también (¡una gran ventaja!). Los teoremas también se aplican si$$f$$ o$$g$$ es independiente de$$u$$ (ver Nota 1). Esto reemplaza a los Problemas 13 y 14 en §3.

## Ejemplos

(A) La integral

$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t u}{t} d t$

converge uniformemente en$$B_{\delta}=[\delta, \infty)$$ if$$\delta>0,$$ y pointwise on$$B=[0, \infty)$$.

En efecto, podemos usar el Teorema 3, con

$g(t, u)=\sin t u$

y

$f(t, u)=\frac{1}{t}, f(0, u)=1,$

decir. Entonces el límite

$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}=0$

es trivialmente uniforme para$$u \in B_{\delta},$$ como$$f$$ es independiente de$$u.$$ Así se satisface la suposición (a). Así es (d) porque

$\left|\int_{0}^{x} \sin t u d t\right|=\left|\frac{1}{u} \int_{0}^{x u} \sin \theta d \theta\right| \leq \frac{1}{\delta} \cdot 2.$

(¡Explique!) El resto es fácil.

Tenga en cuenta que el Teorema 2 falla aquí ya que la suposición (i) no se satisface.

(B) La integral

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} e^{-t u} \sin a t d t$

converge uniformemente en$$B=[0, \infty).$$ Lo hace absolutamente encendido$$B_{\delta}=[\delta, \infty),$$ si$$\delta>0.$$

Aquí usaremos el Teorema 2 (aunque el Teorema 3 funciona, también). Set

$f(t, u)=e^{-t u}$

y

$g(t, u)=\frac{\sin a t}{t}, g(0, u)=a.$

Entonces

$\int_{0}^{\infty} g(t, u) d t$

converge (sustituto$$x=a t$$ en Problema 8 o 15 en §3). La convergencia es trivialmente uniforme, por la Nota 1. Así se mantiene la suposición (i), y también lo hacen los demás supuestos. De ahí el resultado.

Para convergencia absoluta en$$B_{\delta},$$ uso Corolario 3 con

$M(t)=e^{-\delta t},$

así$$M \geq|f g|$$.

Tenga en cuenta que, de manera bastante similar, se trata C-integrales de la forma

$\int_{a}^{\infty} e^{-t u} g(t) d t, \int_{a}^{\infty} e^{-t^{2} u} g(t) d t, \text { etc.,}$

siempre

$\int_{a}^{\infty} g(t) d t$

converge$$(a \geq 0)$$.

De hecho, el Teorema 2 afirma (aproximadamente) que la convergencia uniforme de$$C \int g$$ implica que la de$$C \int f g,$$ proporcionada$$f$$ es monótona (in$$t$$) y acotada.

III. Concluimos con algunos teoremas sobre convergencia uniforme de funciones$$H : E^{2} \rightarrow E$$ (ver (6)). En el Teorema 4,$$m$$ es de nuevo una medida LS (o Lebesgue) en$$E^{1};$$ el globo eliminado$$G_{\neg q}^{*}$$ es fija.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Supongamos

$\lim _{x \rightarrow q} H(x, y)=F(y) \text { (uniformly)}$

para$$y \in B \subseteq E^{1}.$$ Entonces tenemos lo siguiente:

(i) Si todos$$H_{x}\left(x \in G_{\neg q}^{*}\right)$$ son continuos o$$m$$ -mensurables en$$B,$$ así también lo es$$F$$.

(ii) Lo mismo se aplica a$$m$$ -integrabilidad en$$B,$$ proporcionado$$m B<\infty;$$ y luego

$\lim _{x \rightarrow q} \int_{B}\left|H_{x}-F\right|=0;$

de ahí

$\lim _{x \rightarrow q} \int_{B} H_{x}=\int_{B} F=\int_{B}\left(\lim _{x \rightarrow q} H_{x}\right).$

La fórmula (8') se conoce como la regla de paso al límite bajo el signo integral.

Prueba

(i) Fijar una secuencia$$x_{k} \rightarrow q$$$$(x_{k}$$ en el globo eliminado$$G_{\neg q}^{*}),$$ y establecer

$H_{k}=H_{x_{k}} \quad(k=1,2, \ldots).$

La convergencia uniforme

$H(x, y) \rightarrow F(y)$

se conserva como$$x$$ corridas sobre esa secuencia (ver Problema 4). De ahí que si todos$$H_{k}$$ son continuos o medibles, así es$$F$$ (Teorema 2 en el Capítulo 4, §12 y Teorema 4 en el Capítulo 8, §1. Así queda demostrada la cláusula i).

(ii) Ahora que todos$$H_{x}$$ sean$$m$$ -integrables en$$B;$$ let

$m B<\infty.$

Entonces los$$H_{k}$$ son$$m$$ -mensurables$$B,$$ y así lo es$$F,$$ por (i). Además, por (6),

$(\forall \varepsilon>0)\left(\exists G_{\neg q}\right)\left(\forall x \in G_{\neg q}\right) \quad \int_{B}\left|H_{x}-F\right| \leq \int_{B}(\varepsilon)=\varepsilon m B<\infty,$

$\int_{B}\left|H_{x}-F\right|<\infty,$

$$H_{x}-F$$es$$m$$ -integrable encendido$$B,$$ y también lo es

$F=H_{x}-\left(H_{x}-F\right).$

De ahí

$\left|\int_{B} H_{x}-\int_{B} F\right|=\left|\int_{B}\left(H_{x}-F\right)\right| \leq \int_{B}\left|H_{x}-F\right| \rightarrow 0,$

como$$x \rightarrow q,$$ por (8). Así también se prueba (8'). $$\quad \square$$

De manera muy similar (manteniéndonos$$E$$ completos y usando secuencias), obtenemos el siguiente resultado.

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Supongamos que

(i) todos$$H_{x}\left(x \in G_{-q}^{*}\right)$$ son continuos y finitos en un intervalo finito$$B \subset E^{1}$$, y diferenciables$$B-Q,$$ para un conjunto contable fijo$$Q$$;

(ii)$$\lim _{x \rightarrow q} H\left(x, y_{0}\right) \neq \pm \infty$$ existe para algunos$$y_{0} \in B;$$ y

(iii)$$\lim _{x \rightarrow q} D_{2} H(x, y)=f(y)$$ (uniformemente) existe en$$B-Q$$.

$$f,$$Entonces así definido, tiene un primitivo$$F$$ en$$B,$$ exacto encendido$$B-Q$$ (así$$F^{\prime}=f$$ sucesivamente por$$B-Q);$$ otra parte,

$F(y)=\lim _{x \rightarrow y} H(x, y) \text { (uniformly) for } y \in B.$

Esquema de Prueba

Tenga en cuenta que

$D_{2} H(x, y)=\frac{d}{d y} H_{x}(y).$

Usar el Teorema 1 del Capítulo 5, §9, con$$F_{n}=H_{x_{n}}, x_{n} \rightarrow q. \quad \square$$

Nota 4. Si$$x \rightarrow q$$ sobre una ruta$$P$$ (agrupamiento en$$q$$), uno debe reemplazar$$G_{\neg q}$$ y$$G_{\neg q}^{*}$$ por$$P \cap G_{\neg q}$$ y$$P \cap G_{\neg q}^{*}$$ en (6) y en los teoremas 4 y 5.

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