9.4: Convergencia de Integrales Parametrizadas y Funciones

I. Consideramos ahora las C-integrales de la forma

\[C \int f(t, u) d m(t),\]

donde\(m\) esta Lebesgue o LS mide en\(E^{1}.\) Aquí la variable\(u,\) llamada parámetro, permanece fija en el proceso de integración; pero el resultado final depende\(u,\) de por supuesto.

Asumimos\(f : E^{2} \rightarrow E\) (\(E\)completo) aunque no se indique explícitamente. Como antes, damos nuestras definiciones y teoremas para el caso

\[C \int_{a}^{\infty}.\]

Los otros casos\(\left(C \int_{-\infty}^{a}, C \int_{a}^{b-}, \text { etc. }\right)\) son análogos; se tratan en Problemas 2 y 3. Asumimos

\[a, b, c, x, t, u, v \in E^{1}\]

en todas partes, y escribir\(d t\) "" para\(d m(t)\) "" iff\(m\) es medida Lebesgue.

Si

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

converge para cada uno\(u\) en un conjunto\(B \subseteq E^{1},\) podemos definir un mapa\(F : B \rightarrow E\)

\[F(u)=C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f(t, u) d m(t).\]

Esto significa que

\[(\forall u \in B)(\forall \varepsilon>0)(\exists b>a)(\forall x \geq b) \quad\left|\int_{a}^{x} f(t, u) d m(t)-F(u)\right|<\varepsilon,\]

así\(|F|<\infty\) sucesivamente\(B\).

Aquí\(b\) depende de ambos\(\varepsilon\) y\(u\) (la convergencia es “puntual”). Sin embargo, puede ocurrir que uno y lo mismo se\(b\) ajuste a todos\(u \in B,\) así que eso\(b\) depende\(\varepsilon\) solo de. Entonces decimos que

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

converge uniformemente en\(B\) (es decir, para\(u \in B\)), y escribe

\[F(u)=C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t) \text { (uniformly) on } B.\]

De manera explícita, esto significa que

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists b>a)(\forall u \in B)(\forall x \geq b) \quad\left|\int_{a}^{x} f(t, u) d m(t)-F(u)\right|<\varepsilon.\]

Claramente, esto implica (1), pero no a la inversa. Ahora obtenemos lo siguiente.

Teorema\(\PageIndex{1}\) (Cauchy criterion)

Supongamos

\[\int_{a}^{x} f(t, u) d m(t)\]

existe para\(x \geq a\) y\(u \in B \subseteq E^{1}.\) (Esto es automático si\(E \subseteq E^{*};\) ver Capítulo 8, §5.)

Entonces

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

converge uniformemente en\(B\) iff para cada\(\varepsilon>0,\) hay\(b>a\) tal que

\[(\forall v, x \in[b, \infty))(\forall u \in B) \quad\left|\int_{v}^{x} f(t, u) d m(t)\right|<\varepsilon,\]

y

\[\left|\int_{a}^{b} f(t, u) d m(t)\right|<\infty.\]

Prueba

La necesidad de (3) sigue como en el Teorema 2 del §3. (¡Verifica!)

Para probar suficiencia, supongamos que\(b\) existe lo deseado para cada\(\varepsilon>0.\) Entonces para cada uno (fijo)\(u \in B\),

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

satisface el Teorema 2 del §3. De ahí

\[F(u)=\lim _{x \rightarrow \infty} \int_{a}^{x} f(t, u) d m(t) \neq \pm \infty\]

existe para cada\(u \in B\) (puntual). Ahora, a partir del (3), escribiendo brevemente\(\int f\) para\(\int f(t, u) d m(t),\) que obtengamos

\[\left|\int_{v}^{x} f\right|=\left|\int_{a}^{x} f-\int_{a}^{v} f\right|<\varepsilon\]

para todos\(u \in B\) y para todos\(x>v \geq b\).

Haciendo\(x \rightarrow \infty\) (con\(u\) y\(v\) temporalmente fijo), tenemos por (4) que

\[\left|F(u)-\int_{a}^{v} f\right| \leq \varepsilon\]

cuando sea\(v \geq b\).

Pero por nuestra suposición,\(b\) depende\(\varepsilon\) solo de (no de\(u\)). Así, desfijando\(u\), vemos que (5) establece la convergencia uniforme de

\[\int_{a}^{\infty} f,\]

según se requiera. \(\quad \square\)

Corolario\(\PageIndex{1}\)

Bajo los supuestos del Teorema 1,

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

converge uniformemente en\(B\) si

\[C \int_{a}^{\infty}|f(t, u)| d m(t)\]

lo hace.

En efecto,

\[\left|\int_{v}^{x} f\right| \leq \int_{v}^{x}|f|<\varepsilon.\]

Corolario\(\PageIndex{2}\) (comparison test)

Dejar\(f : E^{2} \rightarrow E\) y\(M : E^{2} \rightarrow E^{*}\) satisfacer

\[|f(t, u)| \leq M(t, u)\]

para\(u \in B \subseteq E^{1}\) y\(t \geq a\).

Entonces

\[C \int_{a}^{\infty}|f(t, u)| d m(t)\]

converge uniformemente en\(B\) si

\[C \int_{a}^{\infty} M(t, u) d m(t)\]

lo hace.

En efecto, se aplica el Teorema 1, con

\[\left|\int_{v}^{x} f\right| \leq \int_{v}^{x} M<\varepsilon.\]

De ahí que tengamos el siguiente corolario.

Corolario\(\PageIndex{3}\) ("\(M\)-test")

Dejar\(f : E^{2} \rightarrow E\) y\(M : E^{1} \rightarrow E^{*}\) satisfacer

\[|f(t, u)| \leq M(t)\]

para\(u \in B \subseteq E^{1}\) y\(t \geq a.\) Supongamos

\[C \int_{a}^{\infty} M(t) d m(t)\]

converge. Entonces

\[C \int_{a}^{\infty}|f(t, u)| d m(t)\]

converge (uniformemente) en\(B.\) Así lo hace

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

por Corolario 1.

Prueba

Set

\[h(t, u)=M(t) \geq|f(t, u)|.\]

Entonces aplica el Corolario 2 (con\(M\) reemplazado por\(h\) ahí). En efecto, la convergencia de

\[C \int h=C \int M\]

es trivialmente “uniforme” para\(u \in B,\) ya que\(M\) no depende\(u\) en absoluto. \(\quad \square\)

Nota 1. Observe también que, si\(h(t, u)\) no depende\(u,\) entonces la convergencia (puntual) y (uniforme) de\(C \int h\) son trivialmente equivalentes.

También tenemos el siguiente resultado.

Corolario\(\PageIndex{4}\)

Supongamos

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

converge (puntual) en\(B \subseteq E^{1}.\) Entonces esta convergencia es uniforme iff

\[\lim _{\nu \rightarrow \infty} C \int_{v}^{\infty} f(t, u) d m(t)=0 \text { (uniformly) on } B,\]

es decir, iff

\[(\forall \varepsilon>0)(\exists b>a)(\forall u \in B)(\forall v \geq b) \quad\left|C \int_{v}^{\infty} f(t, u) d m(t)\right|<\varepsilon.\]

Prueba

La prueba (basada en el Teorema 1) se deja al lector, junto con la del siguiente corolario.

Corolario\(\PageIndex{5}\)

Supongamos

\[\int_{a}^{b} f(t, u) d m(t) \neq \pm \infty\]

existe para cada uno\(u \in B \subseteq E^{1}\).

Entonces

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

converge (uniformemente) en\(B\) iff

\[C \int_{b}^{\infty} f(t, u) d m(t)\]

lo hace.

II. Las pruebas de Abel-Dirichlet para convergencia uniforme de series (Problemas 9 y 11 en el Capítulo 4, §13) tienen diversos análogos para C-integrales. Damos dos de ellos, utilizando la segunda ley de la media (Corolario 5 en §1).

Primero, sin embargo, generalizamos nuestras definiciones, “desprotagonizando” algunas ideas del Capítulo 4, §11. Específicamente, dado

\[H : E^{2} \rightarrow E \text{ (} E \text { complete),}\]

decimos que\(H(x, y)\) converge de manera\(F(y),\) uniforme sobre\(B,\) como\(x \rightarrow q\left(q \in E^{*}\right),\) y escribir

\[\lim _{x \rightarrow q} H(x, y)=F(y) \text { (uniformly) on } B\]

iff tenemos

\[(\forall \varepsilon>0)\left(\exists G_{\neg q}\right)(\forall y \in B)\left(\forall x \in G_{\neg q}\right) \quad|H(x, y)-F(y)|<\varepsilon;\]

de ahí\(|F|<\infty\) en\(B\).

Si aquí\(q=\infty,\) el globo eliminado\(G_{\neg q}\) tiene la forma\((b, \infty).\) Así, si

\[H(x, u)=\int_{a}^{x} f(t, u) d t,\]

(6) se convierte en (2) como caso especial. Si (6) se mantiene\("\left(\exists G_{\neg q}\right) "\) e\("(\forall y \in B)"\) intercambia, como en (1), la convergencia es solo puntual.

Como en el Capítulo 8, §8, denotamos por\(f(\cdot, y),\) o\(f^{y},\) la función de\(x\) solo (on\(E^{1}\)) dada por

\[f^{y}(x)=f(x, y).\]

Del mismo modo,

\[f_{x}(y)=f(x, y).\]

Por supuesto, podemos sustituir\(f(x, y)\) por\(f(t, u)\) o\(H(t, u),\) etc.

Utilizamos la medida de Lebesgue en los Teoremas 2 y 3 a continuación.

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Asumir\(f, g : E^{2} \rightarrow E^{1}\) satisfacer

i)\(C \int_{a}^{\infty} g(t, u) d t\) converge (uniformemente) en\(B\);

(ii) cada uno\(g^{u}(u \in B)\) es\(L\) -mensurable en\(A=[a, \infty)\);

(iii) cada uno\(f^{u}(u \in B)\) es monótona\((\downarrow\) o\(\uparrow)\) encendido\(A;\) y

iv)\(|f|<K \in E^{1}\) (acotado) en\(A \times B\).

Entonces

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) g(t, u) d t\]

converge uniformemente en\(B\).

Prueba

Dada la suposición de\(\varepsilon>0,\) uso (i) y el Teorema 1 para elegir de\(b>a\) manera que

\[\left|L \int_{v}^{x} g(t, u) d t\right|<\frac{\varepsilon}{2 K},\]

escrito brevemente como

\[\left|L \int_{v}^{x} g^{u}\right|<\frac{\varepsilon}{2 K},\]

para todos\(u \in B\) y\(x>v \geq b,\) con\(K\) como en (iv).

De ahí que por (ii), cada uno\(g^{u}(u \in B)\) es\(L\) -integrable en cualquier intervalo\([v, x] \subset A\), con\(x>v \geq b.\) Así dado tal\(u\) y\([v, x],\) podemos usar (iii) y Corolario 5 de §1 para encontrar que

\[L \int_{v}^{x} f^{u} g^{u}=f^{u}(v) L \int_{v}^{c} g^{u}+f^{u}(x) L \int_{c}^{x} g^{u}\]

para algunos\(c \in[v, x]\).

Combinando con (7) y usando (iv), obtenemos fácilmente

\[\left|L \int_{v}^{x} f(t, u) g(t, u) d t\right|<\varepsilon\]

cuando\(u \in B\) y\(x>v \geq b.\) (¡Verifica!)

Nuestra aseveración sigue ahora por el Teorema 1. \(\quad \square\)

Teorema\(\PageIndex{3}\) (Abel-Dirichlet test)

Deja que\(f, g : E^{2} \rightarrow E^{*}\) satisfaga

a)\(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t, u)=0\) (uniformemente) para\(u \in B\);

(b) cada uno no\(f^{u}(u \in B)\) está aumentando\((\downarrow)\)\(A=[0, \infty)\);

(c) cada uno\(g^{u}(u \in B)\) es\(L\) -mensurable en\(A;\) y

d)\(\left(\exists K \in E^{1}\right)(\forall x \in A)(\forall u \in B)\left|L \int_{a}^{x} g(t, u) d t\right|<K\).

Entonces

\[C \int_{a}^{\infty} f(t, u) g(t, u) d t\]

converge uniformemente en\(B\).

Esquema de prueba

Argumentar como en el Problema 13 de §3, sustituyendo el Teorema 2 en §3 por el Teorema 1 de la presente sección.

Por Lemma 2 en §1, obtener

\[\left|L \int_{v}^{x} f^{u} g^{u}\right|=\left|f^{u}(v) L \int_{a}^{x} g^{u}\right| \leq K f(v, u)\]

para\(u \in B\) y\(x>v \geq a\).

Luego use la suposición (a) para arreglar de\(k\) manera que

\[|f(t, u)|<\frac{\varepsilon}{2 K}\]

para\(t>k\) y\(u \in B. \quad \square\)

Nota 2. Vía componentes, los teoremas 2 y 3 se extienden al caso\(g : E^{2} \rightarrow\)\(E^{n}\left(C^{n}\right).\)

Nota 3. Mientras que los Corolarios 2 y 3 se aplican solo a la convergencia absoluta, los Teoremas 2 y 3 cubren la convergencia condicional, también (¡una gran ventaja!). Los teoremas también se aplican si\(f\) o\(g\) es independiente de\(u\) (ver Nota 1). Esto reemplaza a los Problemas 13 y 14 en §3.

Ejemplos

(A) La integral

\[\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t u}{t} d t\]

converge uniformemente en\(B_{\delta}=[\delta, \infty)\) if\(\delta>0,\) y pointwise on\(B=[0, \infty)\).

En efecto, podemos usar el Teorema 3, con

\[g(t, u)=\sin t u\]

y

\[f(t, u)=\frac{1}{t}, f(0, u)=1,\]

decir. Entonces el límite

\[\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}=0\]

es trivialmente uniforme para\(u \in B_{\delta},\) como\(f\) es independiente de\(u.\) Así se satisface la suposición (a). Así es (d) porque

\[\left|\int_{0}^{x} \sin t u d t\right|=\left|\frac{1}{u} \int_{0}^{x u} \sin \theta d \theta\right| \leq \frac{1}{\delta} \cdot 2.\]

(¡Explique!) El resto es fácil.

Tenga en cuenta que el Teorema 2 falla aquí ya que la suposición (i) no se satisface.

(B) La integral

\[\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t} e^{-t u} \sin a t d t\]

converge uniformemente en\(B=[0, \infty).\) Lo hace absolutamente encendido\(B_{\delta}=[\delta, \infty),\) si\(\delta>0.\)

Aquí usaremos el Teorema 2 (aunque el Teorema 3 funciona, también). Set

\[f(t, u)=e^{-t u}\]

y

\[g(t, u)=\frac{\sin a t}{t}, g(0, u)=a.\]

Entonces

\[\int_{0}^{\infty} g(t, u) d t\]

converge (sustituto\(x=a t\) en Problema 8 o 15 en §3). La convergencia es trivialmente uniforme, por la Nota 1. Así se mantiene la suposición (i), y también lo hacen los demás supuestos. De ahí el resultado.

Para convergencia absoluta en\(B_{\delta},\) uso Corolario 3 con

\[M(t)=e^{-\delta t},\]

así\(M \geq|f g|\).

Tenga en cuenta que, de manera bastante similar, se trata C-integrales de la forma

\[\int_{a}^{\infty} e^{-t u} g(t) d t, \int_{a}^{\infty} e^{-t^{2} u} g(t) d t, \text { etc.,}\]

siempre

\[\int_{a}^{\infty} g(t) d t\]

converge\((a \geq 0)\).

De hecho, el Teorema 2 afirma (aproximadamente) que la convergencia uniforme de\(C \int g\) implica que la de\(C \int f g,\) proporcionada\(f\) es monótona (in\(t\)) y acotada.

III. Concluimos con algunos teoremas sobre convergencia uniforme de funciones\(H : E^{2} \rightarrow E\) (ver (6)). En el Teorema 4,\(m\) es de nuevo una medida LS (o Lebesgue) en\(E^{1};\) el globo eliminado\(G_{\neg q}^{*}\) es fija.

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Supongamos

\[\lim _{x \rightarrow q} H(x, y)=F(y) \text { (uniformly)}\]

para\(y \in B \subseteq E^{1}.\) Entonces tenemos lo siguiente:

(i) Si todos\(H_{x}\left(x \in G_{\neg q}^{*}\right)\) son continuos o\(m\) -mensurables en\(B,\) así también lo es\(F\).

(ii) Lo mismo se aplica a\(m\) -integrabilidad en\(B,\) proporcionado\(m B<\infty;\) y luego

\[\lim _{x \rightarrow q} \int_{B}\left|H_{x}-F\right|=0;\]

de ahí

\[\lim _{x \rightarrow q} \int_{B} H_{x}=\int_{B} F=\int_{B}\left(\lim _{x \rightarrow q} H_{x}\right).\]

La fórmula (8') se conoce como la regla de paso al límite bajo el signo integral.

Prueba

(i) Fijar una secuencia\(x_{k} \rightarrow q\)\((x_{k}\) en el globo eliminado\(G_{\neg q}^{*}),\) y establecer

\[H_{k}=H_{x_{k}} \quad(k=1,2, \ldots).\]

La convergencia uniforme

\[H(x, y) \rightarrow F(y)\]

se conserva como\(x\) corridas sobre esa secuencia (ver Problema 4). De ahí que si todos\(H_{k}\) son continuos o medibles, así es\(F\) (Teorema 2 en el Capítulo 4, §12 y Teorema 4 en el Capítulo 8, §1. Así queda demostrada la cláusula i).

(ii) Ahora que todos\(H_{x}\) sean\(m\) -integrables en\(B;\) let

\[m B<\infty.\]

Entonces los\(H_{k}\) son\(m\) -mensurables\(B,\) y así lo es\(F,\) por (i). Además, por (6),

\[(\forall \varepsilon>0)\left(\exists G_{\neg q}\right)\left(\forall x \in G_{\neg q}\right) \quad \int_{B}\left|H_{x}-F\right| \leq \int_{B}(\varepsilon)=\varepsilon m B<\infty,\]

demostrando (8). Además, como

\[\int_{B}\left|H_{x}-F\right|<\infty,\]

\(H_{x}-F\)es\(m\) -integrable encendido\(B,\) y también lo es

\[F=H_{x}-\left(H_{x}-F\right).\]

De ahí

\[\left|\int_{B} H_{x}-\int_{B} F\right|=\left|\int_{B}\left(H_{x}-F\right)\right| \leq \int_{B}\left|H_{x}-F\right| \rightarrow 0,\]

como\(x \rightarrow q,\) por (8). Así también se prueba (8'). \(\quad \square\)

De manera muy similar (manteniéndonos\(E\) completos y usando secuencias), obtenemos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que

(i) todos\(H_{x}\left(x \in G_{-q}^{*}\right)\) son continuos y finitos en un intervalo finito\(B \subset E^{1}\), y diferenciables\(B-Q,\) para un conjunto contable fijo\(Q\);

(ii)\(\lim _{x \rightarrow q} H\left(x, y_{0}\right) \neq \pm \infty\) existe para algunos\(y_{0} \in B;\) y

(iii)\(\lim _{x \rightarrow q} D_{2} H(x, y)=f(y)\) (uniformemente) existe en\(B-Q\).

\(f,\)Entonces así definido, tiene un primitivo\(F\) en\(B,\) exacto encendido\(B-Q\) (así\(F^{\prime}=f\) sucesivamente por\(B-Q);\) otra parte,

\[F(y)=\lim _{x \rightarrow y} H(x, y) \text { (uniformly) for } y \in B.\]

Esquema de Prueba

Tenga en cuenta que

\[D_{2} H(x, y)=\frac{d}{d y} H_{x}(y).\]

Usar el Teorema 1 del Capítulo 5, §9, con\(F_{n}=H_{x_{n}}, x_{n} \rightarrow q. \quad \square\)

Nota 4. Si\(x \rightarrow q\) sobre una ruta\(P\) (agrupamiento en\(q\)), uno debe reemplazar\(G_{\neg q}\) y\(G_{\neg q}^{*}\) por\(P \cap G_{\neg q}\) y\(P \cap G_{\neg q}^{*}\) en (6) y en los teoremas 4 y 5.