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9.4.E: Problemas en la Convergencia Uniforme de Funciones y C-Integrales

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Rellene todos los datos de prueba en Teoremas\(1-5,\) Corolarios 4 y\(5,\) y ejemplos\((\mathrm{A})\) y\((\mathrm{B}) .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{1'}\)

    Usando\((6),\) probar que
    \ [
    \ lim _ {x\ fila derecha q} H (x, y)\ text {(uniformemente)}
    \]
    existe en\(B \subseteq E^{1}\) iff
    \ [
    (\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ existe G_ {\ neg q}\ right) (\ forall y\ in B)\ left (\ forall x, x^ {\ prime}\ en G_ { \ neg q}\ derecha)\ quad\ izquierda|H (x, y) -H\ izquierda (x^ {\ prime}, y\ derecha)\ derecha|<\ varepsilon.
    \]
    Asumir\(E\) completa y\(|H|<\infty\) en\(G_{\neg q} \times B .\)
    [Pista: “Imitar” la prueba del Teorema 1, usando el Teorema 2 del Capítulo 4, §2.]

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Fórmulas de estado análogas a (1) y (2) para\(\int_{-\infty}^{a}, \int_{a}^{b-},\) y\(\int_{a+}^{b}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Estado y prueba Teoremas 1 a 3 y Corolarios 1 a 3 para
    \ [
    \ int_ {-\ infty} ^ {a},\ int_ {a} ^ {b-},\ text {y}\ int_ {a+} ^ {b}.
    \]
    En los Teoremas 2 y 3 exploran la convergencia absoluta para

    \ [\ int_ {a} ^ {b-}\ text {and}\ int_ {a+} ^ {b}.
    \]
    Hacer al menos algunos de los casos involucrados.
    [Pista: Utilice el Teorema 1 de §3 y el Problema 1', si ya está resuelto.]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que

    \ [\ lim _ {x\ fila derecha q} H (x, y) =F (y)\ texto {(uniformemente)}
    \]
    en\(B\) iff
    \ [
    \ lim _ {n\ fila derecha\ infty} H\ izquierda (x_ {n},\ cdot\ derecha) =F (\ texto {uniformemente})
    \]
    on \(B\)para todas las secuencias\(x_{n} \rightarrow q\left(x_{n} \neq q\right)\).
    [Pista: “Imitar” el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2. Utilice la Definición 1 del Capítulo 4, §12.]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar que si

    \ [\ lim _ {x\ rightarrow q} H (x, y) =F (y)\ text {(uniformemente)}
    \]
    encendido\(A\) y encendido\(B,\) entonces esta convergencia se mantiene en\(A \cup B .\) De ahí deducir proposiciones similares sobre\(C\) -integrales.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que las integrales enumeradas a continuación violan el Corolario 4 y por lo tanto no convergen uniformemente sobre\(P=(0, \delta)\) aunque existan L-integrales adecuadas para cada uno\(u \in P .\) Así se demuestra que el Teorema 1 (ii) no se aplica a la convergencia uniforme.
    a)\(\int_{0+}^{1} \frac{u d t}{t^{2}-u^{2}}\);
    b)\(\int_{0+}^{1} \frac{u^{2}-t^{2}}{\left(t^{2}+u^{2}\right)^{2}} d t\);
    c)\(\int_{0+}^{1} \frac{t u\left(t^{2}-u^{2}\right)}{\left(t^{2}+u^{2}\right)^{2}} d t\).
    \([\text { Hint for }(\mathrm{b}): \text { To disprove uniform convergence, fix any } \varepsilon, v>0 .\)Entonces
    \ [
    \ int_ {0} ^ {v}\ frac {u^ {2} -t^ {2}} {\ left (t^ {2} +u^ {2}\ derecha) ^ {2}} d t=\ frac {v} {v^ {2} +u^ {2}}\ fila derecha\ frac {1} {v}
    \]
    como si\(u \rightarrow 0 .\) así\(v<\frac{1}{2 \varepsilon}\),
    \ [
    \ izquierda. (\ existe u\ en P)\ quad\ int_ {0} ^ {v}\ frac {u^ {2} -t^ {2}} {\ left (t^ {2} +u^ {2}\ derecha) ^ {2}} d t>\ frac {1} {2 v} >\ varepsilon. \ derecho]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Usando Corolarios 3 para\(5,\) mostrar que las siguientes integrales convergen (uniformemente) en\(U\) (como se listan) pero solo puntualmente en\(P\) (para este último, proceder como en el Problema 6). Especificar\(P\) y\(M(t)\) en cada caso donde no se den.
    a)\(\int_{0}^{\infty} e^{-u t^{2}} d t ; U=[\delta, \infty) ; P=(0, \delta)\).
    \(\left.\left[\text { Hint: Set } M(t)=e^{-\delta t} \text { for } t \geq 1 \text { (Corollaries } 3 \text { and } 5\right) .\right]\)
    b)\(\int_{0}^{\infty} e^{-u t} t^{a} \cos t d t(a \geq 0) ; U=[\delta, \infty)\).
    c)\(\int_{0+}^{1} t^{u-1} d t ; U=[\delta, \infty)\).
    d)\(\int_{0+}^{1} t^{-u} \sin t d t ; U=[0, \delta], 0<\delta<2 ; P=[\delta, 2) ; M(t)=t^{1-\delta}\).
    [Pista: Se corrige\(v\) tan pequeño que
    \ [
    (\ forall t\ in (0, v))\ quad\ frac {\ sin t} {t} >\ frac {1} {2}.
    \]
    Entonces, si\(u \rightarrow 2\),
    \ [
    \ izquierda. \ int_ {0} ^ {v} t^ {-u}\ sin t d t\ geq\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {v}\ frac {d t} {t^ {u-1}}\ fila derecha\ infty. \ derecho]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    En el ejemplo (A), desmentir la convergencia uniforme sobre\(P=(0, \infty)\).
    [Pista: Proceder como en Problema\(6 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Hacer ejemplo (B) usando el Teorema 3 y el Corolario 5. Desmentir la convergencia uniforme en\(B .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Mostrar que
    \ [
    \ int_ {0+} ^ {\ infty}\ frac {\ sin t u} {t}\ cos t d t
    \]
    converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado\(U,\) con\(\pm 1 \notin U .\)
    [Pista: Transformar en
    \ [
    \ left. \ frac {1} {2}\ int_ {0+} ^ {\ infty}\ frac {1} {t}\ {\ sin [(u+1) t] +\ sin [(u-1) t]\} d t. \ derecho]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Mostrar que
    \ [
    \ int_ {0} ^ {\ infty} t\ sin t^ {3}\ sin t u d t
    \]
    converge (uniformemente) en cualquier intervalo finito\(U\).
    [Pista: Integrar
    \ [
    \ int_ {x} ^ {y} t\ sin t^ {3}\ sin t u d t
    \]
    por partes dos veces. Entonces deja\(y \rightarrow \infty \text { and } x \rightarrow 0 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Mostrar que
    \ [
    \ int_ {0+} ^ {\ infty} e^ {-t u}\ frac {\ cos t} {t^ {a}} d t\ quad (0<a<1)
    \]
    converge (uniformemente) para\(u \geq 0 .\)
    [Consejos: Para\(\left.t \rightarrow 0+, \text { use } M(t)=t^{-a} . \text { For } t \rightarrow \infty, \text { use example (B) and Theorem 2. }\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Demostrar que

    \ [\ int_ {0+} ^ {\ infty}\ frac {\ cos t u} {t^ {a}} d t\ quad (0<a<1)
    \]
    converge (uniformemente) para\(u \geq \delta>0,\) pero (puntual) para\(u>0 .\)
    [Pista: Usar Teorema 3 con\(g(t, u)=\cos t u\) y
    \ [
    \ izquierda|\ int_ {0} ^ {x} g\ derecha|=\ izquierda|\ frac {\ sin x u} {u}\ derecha|\ leq\ frac {1} {\ delta}.
    \]
    Para\(u>0\),
    \ [
    \ int_ {v} ^ {\ infty}\ frac {\ cos t u} {t^ {a}} d t=u^ {a-1}\ int_ {v u} ^ {\ infty}\ frac {\ cos z} {z} d z\ fila derecha\ infty
    \]
    si\(v=1 / u \text { and } u \rightarrow 0 . \text { Use Corollary } 4 .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

    Dado\(A, B \subseteq E^{1}(m A<\infty)\) y\(f: E^{2} \rightarrow E,\) supongamos que
    (i) cada uno\(f(x, \cdot)=f_{x}(x \in A)\) es relativamente (o uniformemente) continuo encendido\(B ;\) y
    (ii)\(\operatorname{each} f(\cdot, y)=f^{y}(y \in B)\) es\(m\) -integrable en\(A\).
    Establecer
    \ [
    F (y) =\ int_ {A} f (x, y) d m (x),\ quad y\ en B.
    \]
    Luego mostrar que\(F\) es relativamente (o uniformemente) continuo en\(B .\)
    [Pista: Tenemos
    \ [
    \ begin {alineado} (\ forall x\ en A) (\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ forall y_ {0}\ in B\ right) (&\ existe\ delta>0)\ left (\ forall y\ in B\ cap G_ {y_ {0}} (\ delta)\ derecha)\\ &\ izquierda|F (y) -F\ izquierda (y_ {0} derecha\)\ derecha|\ leq\ int_ {A}\ izquierda|f (x, y) -f\ izquierda (x, y_ {0}\ derecha)\ derecha| d m (x)\ leq\ int_ {A}\ izquierda (\ frac {\ varepsilon} {m A}\ derecha) d m=\ varepsilon. \ end {alineado}
    \]
    De manera similar para una continuidad uniforme.]

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

    Supongamos que
    (a)\(C \int_{a}^{\infty} f(t, y) d m(t)=F(y)(\text { uniformly })\) on\(B=[b, d] \subseteq E^{1}\);
    (b) cada uno\(f(x, \cdot)=f_{x}(x \geq a)\) es relativamente continuo\(B ;\) y
    (c) cada uno\(f(\cdot, y)=f^{y}(y \in B)\) es\(m\) -integrable en cada\([a, x] \subset E^{1},\)\(x \geq a .\)
    Entonces mostrar que\(F\) es relativamente continuo, por lo tanto integrable, on\(B\) y que
    \ [
    \ int_ {B} F=\ lim _ {x\ fila derecha\ infty}\ int_ {B} H_ {x},
    \]
    donde
    \ [
    H (x, y) =\ int_ {a} ^ {x} f (t, y) d m (t).
    \]
    (Pasaje al límite bajo el\(\int\) signo -.)
    [Pista: Utilice el Problema 14 y el Teorema 4; tenga en cuenta que

    \ [\ izquierda.C\ int_ {0} ^ {\ infty} f (t, y) d m (t) =\ lim _ {x\ rightarrow\ infty} H (x, y) (\ text {uniformemente}). \ derecho]
    \]


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