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# 9.4.E: Problemas en la Convergencia Uniforme de Funciones y C-Integrales

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Rellene todos los datos de prueba en Teoremas$$1-5,$$ Corolarios 4 y$$5,$$ y ejemplos$$(\mathrm{A})$$ y$$(\mathrm{B}) .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1'}$$

Usando$$(6),$$ probar que
\ [
\ lim _ {x\ fila derecha q} H (x, y)\ text {(uniformemente)}
\]
existe en$$B \subseteq E^{1}$$ iff
\ [
(\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ existe G_ {\ neg q}\ right) (\ forall y\ in B)\ left (\ forall x, x^ {\ prime}\ en G_ { \ neg q}\ derecha)\ quad\ izquierda|H (x, y) -H\ izquierda (x^ {\ prime}, y\ derecha)\ derecha|<\ varepsilon.
\]
Asumir$$E$$ completa y$$|H|<\infty$$ en$$G_{\neg q} \times B .$$
[Pista: “Imitar” la prueba del Teorema 1, usando el Teorema 2 del Capítulo 4, §2.]

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Fórmulas de estado análogas a (1) y (2) para$$\int_{-\infty}^{a}, \int_{a}^{b-},$$ y$$\int_{a+}^{b}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Estado y prueba Teoremas 1 a 3 y Corolarios 1 a 3 para
\ [
\ int_ {-\ infty} ^ {a},\ int_ {a} ^ {b-},\ text {y}\ int_ {a+} ^ {b}.
\]
En los Teoremas 2 y 3 exploran la convergencia absoluta para

\ [\ int_ {a} ^ {b-}\ text {and}\ int_ {a+} ^ {b}.
\]
Hacer al menos algunos de los casos involucrados.
[Pista: Utilice el Teorema 1 de §3 y el Problema 1', si ya está resuelto.]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar que

\ [\ lim _ {x\ fila derecha q} H (x, y) =F (y)\ texto {(uniformemente)}
\]
en$$B$$ iff
\ [
\ lim _ {n\ fila derecha\ infty} H\ izquierda (x_ {n},\ cdot\ derecha) =F (\ texto {uniformemente})
\]
on $$B$$para todas las secuencias$$x_{n} \rightarrow q\left(x_{n} \neq q\right)$$.
[Pista: “Imitar” el Teorema 1 en el Capítulo 4, §2. Utilice la Definición 1 del Capítulo 4, §12.]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar que si

\ [\ lim _ {x\ rightarrow q} H (x, y) =F (y)\ text {(uniformemente)}
\]
encendido$$A$$ y encendido$$B,$$ entonces esta convergencia se mantiene en$$A \cup B .$$ De ahí deducir proposiciones similares sobre$$C$$ -integrales.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que las integrales enumeradas a continuación violan el Corolario 4 y por lo tanto no convergen uniformemente sobre$$P=(0, \delta)$$ aunque existan L-integrales adecuadas para cada uno$$u \in P .$$ Así se demuestra que el Teorema 1 (ii) no se aplica a la convergencia uniforme.
a)$$\int_{0+}^{1} \frac{u d t}{t^{2}-u^{2}}$$;
b)$$\int_{0+}^{1} \frac{u^{2}-t^{2}}{\left(t^{2}+u^{2}\right)^{2}} d t$$;
c)$$\int_{0+}^{1} \frac{t u\left(t^{2}-u^{2}\right)}{\left(t^{2}+u^{2}\right)^{2}} d t$$.
$$[\text { Hint for }(\mathrm{b}): \text { To disprove uniform convergence, fix any } \varepsilon, v>0 .$$Entonces
\ [
\ int_ {0} ^ {v}\ frac {u^ {2} -t^ {2}} {\ left (t^ {2} +u^ {2}\ derecha) ^ {2}} d t=\ frac {v} {v^ {2} +u^ {2}}\ fila derecha\ frac {1} {v}
\]
como si$$u \rightarrow 0 .$$ así$$v<\frac{1}{2 \varepsilon}$$,
\ [
\ izquierda. (\ existe u\ en P)\ quad\ int_ {0} ^ {v}\ frac {u^ {2} -t^ {2}} {\ left (t^ {2} +u^ {2}\ derecha) ^ {2}} d t>\ frac {1} {2 v} >\ varepsilon. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Usando Corolarios 3 para$$5,$$ mostrar que las siguientes integrales convergen (uniformemente) en$$U$$ (como se listan) pero solo puntualmente en$$P$$ (para este último, proceder como en el Problema 6). Especificar$$P$$ y$$M(t)$$ en cada caso donde no se den.
a)$$\int_{0}^{\infty} e^{-u t^{2}} d t ; U=[\delta, \infty) ; P=(0, \delta)$$.
$$\left.\left[\text { Hint: Set } M(t)=e^{-\delta t} \text { for } t \geq 1 \text { (Corollaries } 3 \text { and } 5\right) .\right]$$
b)$$\int_{0}^{\infty} e^{-u t} t^{a} \cos t d t(a \geq 0) ; U=[\delta, \infty)$$.
c)$$\int_{0+}^{1} t^{u-1} d t ; U=[\delta, \infty)$$.
d)$$\int_{0+}^{1} t^{-u} \sin t d t ; U=[0, \delta], 0<\delta<2 ; P=[\delta, 2) ; M(t)=t^{1-\delta}$$.
[Pista: Se corrige$$v$$ tan pequeño que
\ [
(\ forall t\ in (0, v))\ quad\ frac {\ sin t} {t} >\ frac {1} {2}.
\]
Entonces, si$$u \rightarrow 2$$,
\ [
\ izquierda. \ int_ {0} ^ {v} t^ {-u}\ sin t d t\ geq\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {v}\ frac {d t} {t^ {u-1}}\ fila derecha\ infty. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

En el ejemplo (A), desmentir la convergencia uniforme sobre$$P=(0, \infty)$$.
[Pista: Proceder como en Problema$$6 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Hacer ejemplo (B) usando el Teorema 3 y el Corolario 5. Desmentir la convergencia uniforme en$$B .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Mostrar que
\ [
\ int_ {0+} ^ {\ infty}\ frac {\ sin t u} {t}\ cos t d t
\]
converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado$$U,$$ con$$\pm 1 \notin U .$$
[Pista: Transformar en
\ [
\ left. \ frac {1} {2}\ int_ {0+} ^ {\ infty}\ frac {1} {t}\ {\ sin [(u+1) t] +\ sin [(u-1) t]\} d t. \ derecho]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Mostrar que
\ [
\ int_ {0} ^ {\ infty} t\ sin t^ {3}\ sin t u d t
\]
converge (uniformemente) en cualquier intervalo finito$$U$$.
[Pista: Integrar
\ [
\ int_ {x} ^ {y} t\ sin t^ {3}\ sin t u d t
\]
por partes dos veces. Entonces deja$$y \rightarrow \infty \text { and } x \rightarrow 0 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Mostrar que
\ [
\ int_ {0+} ^ {\ infty} e^ {-t u}\ frac {\ cos t} {t^ {a}} d t\ quad (0<a<1)
\]
converge (uniformemente) para$$u \geq 0 .$$
[Consejos: Para$$\left.t \rightarrow 0+, \text { use } M(t)=t^{-a} . \text { For } t \rightarrow \infty, \text { use example (B) and Theorem 2. }\right]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$

Demostrar que

\ [\ int_ {0+} ^ {\ infty}\ frac {\ cos t u} {t^ {a}} d t\ quad (0<a<1)
\]
converge (uniformemente) para$$u \geq \delta>0,$$ pero (puntual) para$$u>0 .$$
[Pista: Usar Teorema 3 con$$g(t, u)=\cos t u$$ y
\ [
\ izquierda|\ int_ {0} ^ {x} g\ derecha|=\ izquierda|\ frac {\ sin x u} {u}\ derecha|\ leq\ frac {1} {\ delta}.
\]
Para$$u>0$$,
\ [
\ int_ {v} ^ {\ infty}\ frac {\ cos t u} {t^ {a}} d t=u^ {a-1}\ int_ {v u} ^ {\ infty}\ frac {\ cos z} {z} d z\ fila derecha\ infty
\]
si$$v=1 / u \text { and } u \rightarrow 0 . \text { Use Corollary } 4 .]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{14}$$

Dado$$A, B \subseteq E^{1}(m A<\infty)$$ y$$f: E^{2} \rightarrow E,$$ supongamos que
(i) cada uno$$f(x, \cdot)=f_{x}(x \in A)$$ es relativamente (o uniformemente) continuo encendido$$B ;$$ y
(ii)$$\operatorname{each} f(\cdot, y)=f^{y}(y \in B)$$ es$$m$$ -integrable en$$A$$.
Establecer
\ [
F (y) =\ int_ {A} f (x, y) d m (x),\ quad y\ en B.
\]
Luego mostrar que$$F$$ es relativamente (o uniformemente) continuo en$$B .$$
[Pista: Tenemos
\ [
\ begin {alineado} (\ forall x\ en A) (\ forall\ varepsilon>0)\ left (\ forall y_ {0}\ in B\ right) (&\ existe\ delta>0)\ left (\ forall y\ in B\ cap G_ {y_ {0}} (\ delta)\ derecha)\\ &\ izquierda|F (y) -F\ izquierda (y_ {0} derecha\)\ derecha|\ leq\ int_ {A}\ izquierda|f (x, y) -f\ izquierda (x, y_ {0}\ derecha)\ derecha| d m (x)\ leq\ int_ {A}\ izquierda (\ frac {\ varepsilon} {m A}\ derecha) d m=\ varepsilon. \ end {alineado}
\]
De manera similar para una continuidad uniforme.]

## Ejercicio$$\PageIndex{15}$$

Supongamos que
(a)$$C \int_{a}^{\infty} f(t, y) d m(t)=F(y)(\text { uniformly })$$ on$$B=[b, d] \subseteq E^{1}$$;
(b) cada uno$$f(x, \cdot)=f_{x}(x \geq a)$$ es relativamente continuo$$B ;$$ y
(c) cada uno$$f(\cdot, y)=f^{y}(y \in B)$$ es$$m$$ -integrable en cada$$[a, x] \subset E^{1},$$$$x \geq a .$$
Entonces mostrar que$$F$$ es relativamente continuo, por lo tanto integrable, on$$B$$ y que
\ [
\ int_ {B} F=\ lim _ {x\ fila derecha\ infty}\ int_ {B} H_ {x},
\]
donde
\ [
H (x, y) =\ int_ {a} ^ {x} f (t, y) d m (t).
\]
(Pasaje al límite bajo el$$\int$$ signo -.)
[Pista: Utilice el Problema 14 y el Teorema 4; tenga en cuenta que

\ [\ izquierda.C\ int_ {0} ^ {\ infty} f (t, y) d m (t) =\ lim _ {x\ rightarrow\ infty} H (x, y) (\ text {uniformemente}). \ derecho]
\]

9.4.E: Problemas en la Convergencia Uniforme de Funciones y C-Integrales is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.