3: Cálculo Integral de Funciones de una Variable
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EN ESTE CAPÍTULO discutimos el Riemann en un intervalo finito\([a,b]\), y las integrales impropias en las que la función o el intervalo de integración no están acotados.
- La SECCIÓN 3.1 comienza con la definición de la integral de Riemann y presenta la interpretación geométrica de la integral de Riemann como el área bajo una curva. Demostramos que una función no acotada no puede ser integrable por Riemann. Luego definimos sumas superiores e inferiores e integrales superiores e inferiores de una función acotada. La sección concluye con la definición de la integral Riemann-Stieltjes.
- La SECCIÓN 3.2 presenta condiciones necesarias y suficientes para la existencia de la integral Riemann en términos de sumas superiores e inferiores e integrales superiores e inferiores. Mostramos que las funciones continuas y las funciones monótona acotadas son integrables por Riemann.
- SECCIÓN 3.3 comienza con pruebas de que la suma y el producto de las funciones integrables de Riemann son integrables, y que\(|f|\) es Riemann integrable si Riemann\(f\) es integrable. Otros temas tratados incluyen el primer teorema del valor medio para integrales, antiderivadas, el teorema fundamental del cálculo, cambio de variables, integración por partes y el segundo teorema del valor medio para integrales.
- La SECCIÓN 3.4 presenta una discusión integral de integrales impropias. Los conceptos definidos y considerados incluyen la convergencia absoluta y condicional de una integral inadecuada, la prueba de Dirichlet y el cambio de variable en una integral impropia.
- SECCIÓN 3.5 define la noción de un conjunto con Lebesgue medida cero, y presenta una condición necesaria y suficiente para que una función\(f\) acotada sea Riemann integrable en un intervalo\([a,b]\); es decir, que las discontinuidades de\(f\) formar un conjunto con Lebesgue masure cero.