4.1: Secuencias de números reales

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Un {} (más brevemente, un {}) de números reales es una función de valor real definida en un conjunto de enteros$\set{n}{n\ge k}$. Llamamos a los valores de la función el {} de la secuencia. Denotamos una secuencia enumerando sus términos en orden; así,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.1} \ {s_n\} ^\ infty_k=\ {s_k, s_ {k+1},\ dots\}. \ end {ecuación}\] Por ejemplo,\ [\ begin {eqnarray*} \ left\ {\ frac {1} {n^2+1}\ right\} ^\ infty_0\ ar=\ left\ {1,\ frac {1} {2},\ frac {1} {5}, \ dots,\ frac {1} {n^2+1},\ dots\ derecha\},\\ \ izquierda\ {(-1) ^n\ derecha\} ^\ infty_0\ ar= \ izquierda\ {1, -1,1,\ puntos, (-1) ^n,\ puntos\ derecha\},\\ \ arraytext {y}\\ \ izquierda\ {\ frac {1} { n-2}\ derecha\} ^\ infty_3\ ar=\ izquierda\ {1,\ frac {1} {2},\ frac {1} { 3},\ puntos,\ frac {1} {n-2},\ puntos\ derecha\}. \ end {eqnarray*}\] El número real$s_n$ es el$n$ th {} de la secuencia. Normalmente nos interesan sólo los términos de una secuencia y el orden en que aparecen, pero no en el valor particular de$k$ in. Por lo tanto, consideramos las secuencias\ [ \ left\ {\ frac {1} {n-2}\ right\} ^\ infty_3\ mbox {\ quad y\ quad}\ left\ {\ frac {1} {n}\ right\} ^\ infty_1 \] como idénticas.

Normalmente escribiremos$\{s_n\}$ en lugar de$\{s_n\}^\infty_k$. A falta de cualquier indicación en contrario, tomamos a$k=0$ menos que$s_n$ esté dada por una regla que sea inválida para algún entero no negativo, en cuyo caso$k$ se entiende que es el entero positivo más pequeño tal que$s_n$ se define para todos$n\ge k$. Por ejemplo, si\ [ s_n=\ frac {1} {(n-1) (n-5)}, \] entonces$k=6$.

Las preguntas interesantes sobre una secuencia se$\{s_n\}$ refieren al comportamiento de$s_n$ para grandes$n$.

Como vimos en la Sección~2.1 al discutir límites de funciones, Definición~ no se cambia reemplazando por\ [ |s_n-s|<k\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N, \] donde$K$ es una constante positiva.

Definition~ no requiere que haya un entero$N$ tal que sostenga para todos$\epsilon$; más bien, requiere que para cada positivo$\epsilon$ haya un entero$N$ que satisfaga para ese particular$\epsilon$. Por lo general,$N$ depende$\epsilon$ y debe aumentarse si$\epsilon$ se disminuye. Las secuencias constantes (Ejemplo~) son esencialmente las únicas para las que$N$ no depende de$\epsilon$ (Ejercicio~).

Decimos que los términos de una secuencia$\{s_n\}^\infty_k$ satisfacen una condición dada {}$n$ si$s_n$ satisface la condición para todos$n\ge k$, o {}$n$ si hay un entero$N>k$ tal que$s_n$ satisfaga la condición siempre$n\ge N$. Por ejemplo, los términos de$\{1/n\}^\infty_1$ son positivos para todos$n$, mientras que los de$\{1-7/n\}^\infty_1$ son positivos para grande$n$ (toma$N=8$).

Supongamos que \ [\ lim_ {n\ a\ infty} s_n=s\ mbox {\ quad y\ quad} \ lim_ {n\ a\ infty} s_n=s'. \] 5pt Debemos demostrarlo$s=s'$. Vamos$\epsilon>0$. Desde Definition~, hay enteros$N_1$ y$N_2$ tales que\ [ |s_n-s|<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N_1 \] 5pt (because$\lim_{n\to\infty} s_n=s$), y\ [ |s_n-s'|<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N_2 \]

(porque$\lim_{n\to\infty}s_n=s'$). Ambas desigualdades mantienen if$n\ge N=\max (N_1,N_2)$, lo que implica que\ [\ begin {eqnarray*} |s-s'|\ ar=| (S-S_n) + (s_n-s') |\\\ ar \ le |S-S_N|+|s_n-s'|<\ épsilon+\ épsilon=2\ épsilon. \ end {eqnarray*}\] Dado que esta desigualdad se sostiene para todos$\epsilon>0$ y$|s-s'|$ es independiente de$\epsilon$, concluimos que$|s-s'|=0$; es decir,$s=s'$.

Decimos que\ [ \ lim_ {n\ a\ infty} s_n=\ infty \] si para cualquier número real$a$,$s_n>a$ para grande$n$. Del mismo modo, \ [\ lim_ {n\ a\ infty} s_n=-\ infty \] si para cualquier número real$a$,$s_n<a$ para grande$n$. Sin embargo, no consideramos$\{s_n\}$ convergente a menos que$\lim_{n\to\infty}s_n$ sea finito, como lo exige Definition~. Para enfatizar esta distinción, decimos que$\{s_n\}$ {}$\infty\ (-\infty)$ si$\lim_{n\to\infty}s_n=\infty\ (-\infty)$.

\ begin {definition} Una secuencia$\{s_n\}$ es {} si hay un número real$b$ tal que\ [ s_n\ le b\ mbox {\ quad para todos $n$}, \] {} si hay un número real$a$ tal que\ [ s_n\ ge a\ mbox {\ quad para todos $n$}, \] o {} si hay un número real$r$ tal que\ [ |s_n|\ le \ mbox {\ quad para todos los $n$}. \]\ end {definición}

Al tomar$\epsilon=1$ en, vemos que si$\lim_{n\to\infty} s_n=s$, entonces hay un entero$N$ tal que\ [ |s_n-s|<1\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N. \] Por lo tanto,\ [ |s_n|=| (s_n-s) +s|\ le|s_n-s|+|s|<1+|s|\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N, \] y\ [ |s_n|\ le\ max\ {|s_0|, |s_1|,\ dots, |s_ {N-1} |, 1+|s|\} \] para todos$n$, así$\{s_n\}$ está acotado.

. Vamos$\beta=\sup\{s_n\}$. Si$\beta<\infty$, Teorem~ implica que si$\epsilon>0$ entonces\ [ \ beta-\ Epsilon<s_n\ le\ beta \] para algún entero$N$. Ya que$s_N\le s_n\le\beta$ si$n\ge N$, se deduce que \ [\ beta-\ épsilon<s_n\ le\ beta\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N. \] Esto implica que$|s_n-\beta|<\epsilon$ si$n\ge N$, así$\lim_{n\to\infty}s_n=\beta$, por Definición~. Si$\beta=\infty$ y$b$ es cualquier número real, entonces$s_N>b$ para algún entero$N$. Entonces$s_n>b$ para$n\ge N$, entonces$\lim_{n\to\infty}s_n=\infty$.

Dejamos el comprobante de

a ti (Ejercicio~)

El siguiente teorema nos permite aplicar la teoría de límites desarrollada en la Sección~2.1 a algunas secuencias. Te dejamos la prueba (Ejercicio~).

El siguiente teorema nos permite investigar la convergencia de secuencias examinando secuencias más simples. Es análogo al Teorem~.

Te probamos y te dejamos el resto (Ejercicios~ y). Para, escribimos\ [ s_nt_n-st=s_nt_n-st_n+st_n-st =( s_n-s) t_n+s (t_n-t); \]

por lo tanto,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.10} |s_nt_n-st|\ le |s_n-s|\, |t_n|+|s|\, |t_n-t|. \ end {ecuación}\] Dado que$\{t_n\}$ converge, está acotada (Teorem~). Por lo tanto, hay un número$R$ tal que$|t_n|\le R$ para todos$n$, e implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.11} |s_nt_n-st|\ le R|s_n-s|+|s|\, |t_n-t|. \ end {ecuación}\] De, si$\epsilon>0$ hay enteros$N_1$ y$N_2$ tal que

\ [\ begin {eqnarray} |s_n-s|\ ar<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N_1\ label {eq:4.1.12}\\ \ arraytext {y}\ nonumber\\ |t_n-t|\ ar<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N_2. \ label {eq:4.1.13} \ end {eqnarray}\]

Si$N=\max (N_1,N_2)$, entonces y ambos mantienen cuando$n\ge N$, e implica que\ [ |s_nt_n-st|\ le (R+|s|)\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N. \] Esto demuestra.

Ahora consideremos en el caso especial donde$s_n=1$ para todos$n$ y$t\ne 0$; así, queremos mostrar que\ [ \ lim_ {n\ a\ infty}\ frac {1} {t_n} =\ frac {1} {t}. \]

En primer lugar, observar que ya$\lim_{n\to\infty} t_n=t\ne0$, hay un entero$M$ tal que$|t_n|\ge |t|/2$ si$n\ge M$. Para ver esto, aplicamos Definition~ con$\epsilon=|t|/2$; así, hay un entero$M$ tal que$|t_n-t|<|t/2|$ si$n\ge M$. Por lo tanto,\ [ |t_n|=|t+ (t_n-t) |\ ge ||t|-|t_n-t||\ ge\ frac {|t|} {2}\ mbox {\ quad if \ quad} n\ ge M. \] Si$\epsilon>0$, elige$N_0$ así que$|t_n-t|<\epsilon$ si$n\ge N_0$, y deja$N=\max (N_0,M)$. Entonces\ [ \ izquierda|\ frac {1} {t_n} -\ frac {1} {t}\ derecha|=\ frac {|t-t_n|} { |t_n|\, |t|}\ le\ frac {2 \ epsilon} {|t|^2}\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N; \] por lo tanto,$\lim_{n\to\infty} 1/t_n=1/t$. Ahora obtenemos en el caso general de con$\{t_n\}$ reemplazado por$\{1/t_n\}$.

Ecuaciones — son válidas aunque$s$ y$t$ sean reales extendidos arbitrarios, siempre que sus lados derechos estén definidos en los reales extendidos (Ejercicios~, y); es válido si$s/t$ se define en los reales extendidos y$t\ne0$ (Ejercicio~).

Requieren que una secuencia converja puede ser innecesariamente restrictivo en algunas situaciones. A menudo, se pueden obtener resultados útiles a partir de suposiciones sobre el {} y {} de una secuencia, que consideramos a continuación.

Demostraremos y dejaremos el comprobante de

a ti (Ejercicio~). Ya que$\{s_n\}$ está acotado arriba, hay un número$\beta$ tal que$s_n<\beta$ para todos$n$. Ya que$\{s_n\}$ no diverge a$-\infty$, hay un número$\alpha$ tal que$s_n> \alpha$ para infinitamente muchos$n$. Si definimos\ [ m_k=\ sup\ {s_k, s_ {k+1},\ dots, s_ {k+r},\ dots\}, \]

entonces$\alpha\le M_k\le\beta$, así$\{M_k\}$ es acotado. Ya que no$\{M_k\}$ es creciente (¿por qué?) , converge, por Teorem~. Que\ [\ comience {ecuación}\ label {eq:4.1.20} \ overline {s} =\ lim_ {k\ a\ infty} M_k. \ end {ecuación}\] Si$\epsilon>0$, entonces$M_k<\overline{s}+\epsilon$ para grande$k$, y desde$s_n\le M_k$ para$n\ge k$,$\overline{s}$ satisface.

Si fueran falsos para algunos positivos$\epsilon$, habría un entero$K$ tal que\ [ s_n\ le\ overline {s} -\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge K. \] Sin embargo, esto implica que\ [ m_k\ le\ overline {s} -\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad} k\ ge K, \] lo que contradice. Por lo tanto,$\overline{s}$ tiene las propiedades declaradas.

Ahora debemos demostrar que$\overline{s}$ es el único número real con las propiedades declaradas. Si$t<\overline{s}$, la desigualdad\ [ s_n<t+\ frac {\ overline {s} -t} {2} =\ overline {s} -\ frac {\ overline {s} -t} {2} \] no puede sostenerse para todos los grandes$n$, porque esto contradiría con$\epsilon=(\overline{s}-t)/2$. Si$\overline{s}<t$, la desigualdad\ [ s_n> t-\ frac {t-\ overline {s}} {2} =\ overline {s} +\ frac {t-\ overline {s}} { 2} \] no puede aguantar para infinitamente muchos$n$, porque esto contradiría con$\epsilon=(t-\overline{s})/2$. Por lo tanto,$\overline{s}$ es el único número real con las propiedades declaradas.

La existencia y singularidad de$\overline{s}$ y se$\underline{s}$ derivan de Teorem~ y Definición~. Si$\overline{s}$ y$\underline{s}$ son ambos finitos, entonces e implican que\ [ \ subrayan {s} -\ épsilon<\ overline {s} +\ épsilon \] para cada$\epsilon>0$, lo que implica. Si$\underline{s}=-\infty$ o$\overline{s}=\infty$, entonces es obvio. Si$\underline{s}=\infty$ o$\overline{s}=-\infty$, entonces sigue inmediatamente de Definición~.

Si$s=\pm\infty$, la equivalencia de y se desprende inmediatamente de sus definiciones. Si$\lim_{n\to\infty}s_n=s$ (finito), entonces Definición~ implica que — mantener con$\overline{s}$ y$\underline{s}$ reemplazado por$s$. De ahí, se desprende de la singularidad de$\overline{s}$ y$\underline{s}$. Para lo contrario, supongamos eso$\overline{s}=\underline{s}$ y vamos a$s$ denotar su valor común. Entonces e implica que\ [ s-\ épsilon<s_n<s+\ épsilon \] para grandes$n$, y se desprende de Definición~ y la singularidad de$\lim_{n\to\infty}s_n$ (Teorem~).

Para determinar a partir de Definición~ si una secuencia tiene un límite, es necesario adivinar cuál es el límite. (¡Esto es particularmente difícil si la secuencia diverge!) Para utilizar Teorem~ para este propósito se requiere encontrar$\overline{s}$ y$\underline{s}$. El siguiente criterio de convergencia no tiene ninguno de estos defectos.

Supongamos que$\lim_{n\to\infty}s_n=s$ y$\epsilon>0$. Por Definición~, hay un entero$N$ tal que\ [ |s_r-s|<\ frac {\ epsilon} {2}\ mbox {\ quad if\ quad} r\ ge N. \] Por lo tanto,\ [ |s_n-s_m|=| (s_n-s) + (s-s_m) |\ le |s_n-s|+|s-s_m|<\ epsilon\ mbox { \ quad si\ quad} n, m\ ge N. \] Por lo tanto, la condición señalada es necesaria para la convergencia de $\{s_n\}$. Para ver que es suficiente, primero observamos que implica que$\{s_n\}$ está acotado (Ejercicio~), así$\overline{s}$ y$\underline{s}$ son finitos (Teorem~). Ahora supongamos eso$\epsilon>0$ y$N$ satisface. De y,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.25} |s_n-\ overline {s} |<\ épsilon, \ end {ecuación}\] para algún entero$n>N$ y, desde y,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.26} |s_m-\ subrayado {s} |<\ épsilon \ end {ecuación}\] para algunos enteros$m>N$. Desde\ [\ begin {eqnarray*} |\ overline {s} -\ subrayado {s} |\ ar=| (\ overline {s} -s_n) + (s_n-s_m) + (s_m-\ subrayado {s}) |\\ ar\ le | \ overline {s} -S_n|+|s_n-s_m|+|s_n-s_m|+|s_m-\ subrayado {s} |, \ end {eqnarray*}\] — implica que\ [ |\ overline {s} -\ subrayado {s} |<3\ épsilon. \] Dado que$\epsilon$ es un número positivo arbitrario, esto implica que$\overline{s}=\underline{s}$, así$\{s_n\}$ converge, por Teoremo~.

Para ver que no puede tener más de una solución, supongamos que$x=f(x)$ y$x'=f(x')$. De y el teorema del valor medio (Teorem~),\ [ x-x'=f' (c) (x-x') \] para algunos$c$ entre$x$ y$x'$. Esto e implica que\ [ |x-x'|\ le r|x-x'|. \] Desde$r<1$,$x=x'$.

Ahora vamos a mostrar que tiene una solución. Con$x_0$ arbitrario, defina\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.29} x_n=f (x_ {n-1}),\ quad n\ ge1. \ end {ecuación}\] Vamos a mostrar que$\{x_n\}$ converge. De y el teorema del valor medio,\ [ x_ {n+1} -x_n=f (x_n) -f (x_ {n-1}) =f' (c_n) (x_n-x_ {n-1}), \] donde$c_n$ esta entre$x_{n-1}$ y$x_n$. Esto e implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.30} |x_ {n+1} -x_n|\ le r|x_n-x_ {n-1} |\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge1. \ end {ecuación}\] La desigualdad\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.31} |x_ {n+1} -x_n|\ le r^n |x_1-x_0|\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge0, \ end {ecuación}\] sigue por inducción de. Ahora, si$n>m$,\ [\ begin {eqnarray*} |x_n-x_m|\ ar=| (x_n-x_ {n-1}) + (x_ {n-1} -x_ {n-2}) +\ cdots+ (x_ {m+1} -x_m) | \\ \ ar\ le |x_n-x_ {n-1} |+|x_ {n-1} -x_ {n-2} |+\ cdots+|x_ {m+1} -x_m|, \ end {eqnarray*}\] y rinde\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.1.32} |x_n-x_m|\ le|x_1-x_0|\, r^m (1+r+\ cdots+r^ {n-m-1}). \ end {ecuación}\] En Ejemplo~ vimos que la secuencia$\{s_k\}$ definida por\ [ s_k=1+r+\ cdots+r^k \] converge a$1/(1-r)$ if$|r|<1$; además, ya que hemos asumido aquí que$0<r<1$,$\{s_k\}$ es no decreciente, y por tanto$s_k<1/(1-r)$ para todos$k$. Por lo tanto, rinde\ [ |x_n-x_m|m<\ frac {|x_1-x_0|} {1-r} r^m\ mbox {\ quad if\ quad} n>.\ ] Ahora se deduce que\ [|x_n-x_m|N ,<\ frac {|x_1-x_0|} {1-r} r^N\ mbox {\ quad if\ quad} n, m>\] y, ya que, converge$\lim_{N\to\infty} r^N=0$,$\{x_n\}$ por Teoremo~. Si$\widehat x=\lim_{n\to\infty}x_n$, entonces y la continuidad de$f$ implica eso$\widehat x=f(\widehat x)$.

En Chapter~2.3 utilizamos$\epsilon$ —$\delta$ definiciones y argumentos para desarrollar la teoría de límites, continuidad y diferenciabilidad; por ejemplo,$f$ es continuo en$x_0$ si para cada uno$\epsilon>0$ hay$\delta>0$ tal que$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ cuando$|x-x_0|<\delta$. La misma teoría puede ser desarrollada por métodos basados en secuencias. Si bien no vamos a llevar esto a cabo a detalle, lo desarrollaremos lo suficiente como para dar algunos ejemplos. Primero, necesitamos otra definición sobre secuencias.

Obsérvese que$\{s_n\}$ es una subsecuencia de sí misma, como puede verse tomando$n_k=k$. Todas las demás subsecuencias de se$\{s_n\}$ obtienen eliminando términos$\{s_n\}$ y dejando los restantes en su orden relativo original.

Dado que una subsecuencia$\{s_{n_k}\}$ vuelve a ser una secuencia (con respecto a$k$), podemos preguntarnos si$\{s_{n_k}\}$ converge.

La secuencia en este ejemplo tiene subsecuencias que convergen a diferentes límites. El siguiente teorema muestra que si una secuencia converge a un límite finito o diverge a$\pm\infty$, entonces todas sus subsecuencias también lo hacen.

Consideramos el caso donde$s$ es finito y te dejamos el resto (Ejercicio~). Si mantiene y$\epsilon>0$, hay un entero$N$ tal que\ [ |s_n-s|<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N. \] Dado que$\{n_k\}$ es una secuencia creciente, hay un entero$K$ tal que$n_k\ge N$ si$k\ge K$. Por lo tanto,\ [ |s_ {n_k} -L|<\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad} k\ ge K, \] lo que implica.

Consideramos el caso donde$\{s_n\}$ es no decreciente y te dejamos el resto (Ejercicio~). Como tampoco$\{s_{n_k}\}$ es decreciente en este caso, basta con mostrar que\ [\ begin {equation}\ label {eq:4.2.3} \ sup\ {s_ {n_k}\} =\ sup\ {s_n\} \ end {ecuación}\] y luego aplicar Teorem~

. Dado que el conjunto de términos de$\{s_{n_k}\}$ está contenido en el conjunto de términos de$\{s_n\}$,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.2.4} \ sup\ {s_n\}\ ge\ sup\ {s_ {n_k}\}. \ end {ecuación}\] Dado que no$\{s_n\}$ es decreciente, hay para cada uno$n$ un entero$n_k$ tal que$s_n\le s_{n_k}$. Esto implica que\ [ \ sup\ {s_n\}\ le\,\ sup\ {s_ {n_k}\}. \] Esto e implica.

En Sección~1.3 definimos {} en términos de barrios:$\overline{x}$ es un punto límite de un conjunto$S$ si cada barrio de$\overline{x}$ contiene puntos de$S$ distinto de$\overline{x}$. El siguiente teorema muestra que se puede afirmar una definición equivalente en términos de secuencias.

Para la suficiencia, supongamos que la condición declarada se mantiene. Entonces, para cada uno$\epsilon>0$, hay un entero$N$ tal que$0<|x_n-x|<\epsilon$ si$n\ge N$. Por lo tanto, cada$\epsilon$ -barrio de$\overline{x}$ contiene infinitamente muchos puntos de$S$. Esto quiere decir que$\overline{x}$ es un punto límite de$S$.

Por necesidad, deje$\overline{x}$ ser un punto límite de$S$. Entonces, por cada entero$n\ge1$, el intervalo$(\overline{x}-1/n,\overline{x}+1/n)$ contiene un punto$x_n\ (\ne\overline{x})$ en$S$. Ya que$|x_m-\overline{x}|\le1/n$ si$m\ge n$,$\lim_{n\to\infty}x_n= \overline{x}$.

Utilizaremos el siguiente teorema para mostrar que la continuidad se puede definir en términos de secuencias.

Demostramos y dejamos y

a ti (Ejercicio~). Dejar$S$ ser el conjunto de números distintos que ocurren como términos de$\{x_n\}$. (Por ejemplo, si$\{x_n\}=\{(-1)^n\}$,$S=\{1,-1\}$; si$\{x_n\}=\{1,\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, \dots, 1, 1/n, \dots\}$,$S=\{1,\frac{1}{2}, \dots, 1/n, \dots\}$.) Si$S$ contiene sólo finitamente muchos puntos, entonces algunos$\overline{x}$ en$S$ ocurre infinitamente a menudo en$\{x_n\}$; es decir,$\{x_n\}$ tiene una subsecuencia$\{x_{n_k}\}$ tal que$x_{n_k}=\overline{x}$ para todos$k$. Entonces$\lim_{k\to\infty} x_{n_k}=\overline{x}$, y estamos acabados en este caso.

Si$S$ es infinito, entonces, ya que$S$ está acotado (por suposición), el teorema de Bolzano—Weierstrass (Teorem~) implica que$S$ tiene un punto límite$\overline{x}$. Del Teorem~, hay una secuencia de puntos$\{y_j\}$ en$S$, distinta de$\overline{x}$, tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.2.5} \ lim_ {j\ a\ infty} y_j=\ overline {x}. \ end {ecuación}\] Aunque cada uno$y_j$ se produce como un término de$\{x_n\}$, no$\{y_j\}$ es necesariamente una subsecuencia de$\{x_n\}$, porque si escribimos\ [ y_j=x_ {n_j}, \] no hay razón para esperar que$\{n_j\}$ sea una secuencia creciente como se requiere en Definición~. Sin embargo, siempre es posible escoger una subsecuencia$\{n_{j_k}\}$ de$\{n_j\}$ que va en aumento, y entonces la secuencia$\{y_{j_k}\}=\{s_{n_{j_k}}\}$ es una subsecuencia de ambos$\{y_j\}$ y$\{x_n\}$. Debido a y Teorem~ esta subsecuencia converge a~$\overline{x}$.

-.3em Ahora mostramos que la continuidad puede definirse y estudiarse en términos de secuencias.

Supongamos que$a<\overline{x}<b$; solo son necesarios cambios menores en el comprobante si$\overline{x}=a$ o$\overline{x}=b$. Primero, supongamos que$f$ es continuo en$\overline{x}$ y$\{x_n\}$ es una secuencia de puntos en la$[a,b]$ satisfacción. Si$\epsilon>0$, hay$\delta> 0$ tal que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.2.8} |f (x) -f (\ overline {x}) |<\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} |x-\ overline {x} | <\ delta. \ end {ecuación}\] De, hay un entero$N$ tal que$|x_n-\overline{x}|<\delta$ si$n\ge N$. Esto e implica que$|f(x_n)-f(\overline{x})|<\epsilon$ si$n\ge N$. Esto implica, lo que demuestra que la condición declarada es necesaria.

Para la suficiencia, supongamos que$f$ es discontinuo en$\overline{x}$. Luego hay$\epsilon_0>0$ tal que, por cada entero positivo$n$, hay un punto$x_n$ que satisface la desigualdad\ [ |x_n-\ overline {x} |<\ frac {1} {n} \]

mientras que\ [ |f (x_n) -f (\ overline {x}) |\ ge\ epsilon_0. \]$\{x_n\}$ Por lo tanto, la secuencia satisface, pero no. De ahí que la condición declarada no pueda mantenerse si$f$ es discontinua en$\overline{x}$. Esto demuestra suficiencia.

Armados con los teoremas que hemos probado hasta ahora en esta sección, podríamos desarrollar la teoría de las funciones continuas mediante definiciones y pruebas basadas en secuencias y subsecuencias. Damos un ejemplo, una nueva prueba de Teorem~, y dejamos otros para ejercicios.

La prueba es por contradicción. Si no$f$ está acotado en$[a,b]$, hay para cada entero positivo$n$ un punto$x_n$ en$[a,b]$ tal que$|f(x_n)|>n$. Esto implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.2.9} \ lim_ {n\ a\ infty} |f (x_n) |=\ infty. \ end {ecuación}\] Dado que$\{x_n\}$ está acotada,$\{x_n\}$ tiene una subsecuencia convergente$\{x_{n_k}\}$ (Teorem~

). Si\ [ \ overline {x} =\ lim_ {k\ to\ infty} x_ {n_k}, \] entonces$\overline{x}$ es un punto límite de$[a,b]$, entonces$\overline{x}\in [a,b]$. Si$f$ es continuo encendido$[a,b]$, entonces\ [ \ lim_ {k\ a\ infty} f (x_ {n_k}) =f (\ overline {x}) \] por Teoremo~, así que\ [ \ lim_ {k\ a\ infty} |f (x_ {n_k}) |=|f (\ overline {x}) | \] (Contradica~), que ts. Por lo tanto,$f$ no puede ser tanto continuo como sin límites en$[a,b]$

La teoría de secuencias desarrollada en las dos últimas secciones se puede combinar con la noción familiar de una suma finita para producir la teoría de series infinitas. Comenzamos el estudio de series infinitas en esta sección.

2pt Normalmente nos referiremos a series infinitas más brevemente como {}. 2pt

La serie$\sum_{n=0}^\infty r^n$ se llama la {}. Ocurre en muchas aplicaciones.

Una serie infinita puede verse como una generalización de una suma finita\ [ A=\ sum_ {n=k} ^N a_n=a_k+a_ {k+1} +\ cDots+a_n \] pensando en la secuencia finita$\{a_k,a_{k+1}, \dots,a_N\}$ como extendida a una secuencia infinita$\{a_n\}_k^\infty$ con$a_n=0$ for$n >N$. Entonces las sumas parciales de$\sum_{n=k}^\infty a_n$ son\ [ a_n=a_k+a_ {k+1} +\ cdots+a_n,\ quad k\ le n<n, \] y\ [ a_n=a,\ quad n\ ge N; \] es decir, los términos de$\{A_n\}_k^\infty$ igual la suma finita$A$ para$n \ge k$. Por lo tanto,$\lim_{n\to\infty}A_n\\=A$.

Los dos teoremas siguientes se pueden probar aplicando Teoremas ~ y a las sumas parciales de la serie en cuestión (Ejercicios~ y).

Dejar caer finitamente muchos términos de una serie no altera la convergencia o la divergencia, aunque sí cambia la suma de una serie convergente si los términos caídos tienen una suma distinta de cero. Por ejemplo, supongamos que bajamos los primeros$k$ términos de una serie$\sum_{n=0}^\infty a_n$, y consideremos la nueva serie$\sum_{n=k}^\infty a_n$. Denote las sumas parciales de las dos series por\ [\ begin {eqnarray*} a_n\ ar=a_0+a_1+\ cdots+a_n,\ quad n\ ge0,\\ \ arraytext {y}\\ A'_n\ ar=a_k+a_ {k+1} +\ cdots+a_n,\ quad n\ ge k. \ end {eqnarray* ay*}\]

Desde\ [ a_n =( a_0+a_1+\ cdots+a_ {k-1}) +A'_n,\ quad n\ ge k, \]
se deduce que$A=\lim_{n\to\infty} A_n$ existe (en los reales extendidos) si y solo si lo$A'=\lim_{n\to\infty}A'_n$ hace, y en este caso\ [ A =( a_0+a_1+\ cdots+a_ {k-1}) +A'. \] De esto se desprende un principio importante.

Pronto daremos varias condiciones concernientes a la convergencia de una serie$\sum_{n=k}^\infty a_n$ con términos no negativos. Según Lemma~, estos resultados se aplican a series que tienen como máximo finitamente muchos términos negativos, siempre y cuando no$a_n$ sea negativo y satisfaga las condiciones para$n$ suficientemente grandes.

Cuando sólo nos interesa si$\sum_{n=k}^\infty a_n$ converge o diverge y no en su suma, simplemente diremos $\ sum a_n$ converge” o$\sum a_n$ diverge”. Lemma~ justifica esta convención, sujeto al entendimiento que$\sum a_n$ representa$\sum_{n=k}^\infty a_n$, donde$k$ es un entero tal que$a_n$ se define para$n\ge k$. (Por ejemplo,\ [ \ sum\ frac {1} {(n-6) ^2}\ mbox {\ quad significa\ quad} \ sum_ {n=k} ^\ infty\ frac {1} {(n-6) ^2}, \] -.3em donde$k\ge7$.) Escribimos$\sum a_n=\infty$$(-\infty)$ si$\sum a_n$ diverge a$\infty$$(-\infty)$. Finalmente, coincidamos en que\ [ \ sum_ {n=k} ^\ infty a_n\ mbox {\ quad y\ quad}\ sum_ {n=k-j} ^\ infty a_ {n+j} \] -.35em (donde obtenemos la segunda expresión desplazando el índice en la primera) ambos representan la misma serie.

El criterio de convergencia de Cauchy para secuencias (Teorem~) produce un criterio útil para la convergencia de series.

En términos de las sumas parciales$\{A_n\}$ de$\sum a_n$,\ [ a_n+a_ {n+1} +\ cDots+A_m=A_m-a_ {n-1}. \] Por lo tanto, se puede escribir como\ [ |a_m-a_ {n-1} |<\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} m\ ge n\ ge N. \] Ya que$\sum a_n$ converge si y sólo si$\{A_n\}$ converge, Teorem~ implica la conclusión.

Intuitivamente, Teorem~ significa que$\sum a_n$ converge si y solo si arbitrariamente sumas largas\ [ a_n+a_ {n+1} +\ cdots+a_m,\ quad m\ ge n, \] se pueden hacer tan pequeñas como queramos escogiendo lo suficientemente$n$ grandes.

Dejando$m=n$ entrar rinde el siguiente importante corolario del Teoremo~.

Debe enfatizarse que Corolary~ da una condición {} para la convergencia; es decir,$\sum a_n$ no puede converger a menos que$\lim_{n\to\infty} a_n=0$. La condición es {};$\sum a_n$ puede divergir aunque$\lim_{n\to\infty} a_n=0$. A continuación veremos ejemplos.

Te dejamos la prueba del siguiente corolario del Teorem~ (Ejercicio~).

La teoría de series$\sum a_n$ con términos que no son negativos para suficientemente grandes$n$ es más simple que la teoría general, ya que dicha serie o bien converge a un límite finito o diverge a$\infty$, como muestra el siguiente teorema.

Dado que$A_n=A_{n-1}+a_n$ y$a_n\ge0$$(n\ge k)$, la secuencia$\{A_n\}$ es no decreciente, por lo que la conclusión se desprende del Teorem~

y Definición~.

Si$a_n\ge0$ por suficientemente grande$n$, escribiremos$\sum a_n< \infty$ si$\sum a_n$ converge. Esta convención se basa en el Teorem~, que dice que tal serie diverge sólo si$\sum a_n=\infty$. La convención no se aplica a series con infinitamente muchos términos negativos, debido a que tales series pueden divergir sin divergir a$\infty$; por ejemplo, la serie$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$ oscila, ya que sus sumas parciales son alternas$1$ y$0$.

Si\ [ a_n=a_k+a_ {k+1} +\ cdots+a_n\ mbox {\ quad y\ quad} b_n=b_k+ b_ {k+1} +\ cdots+b_n,\ quad n\ ge k, \] entonces, de,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.6} a_n\ le b_n. {ecuación}\] Ahora usamos Teorem~. Si$\sum b_n<\infty$, entonces$\{B_n\}$ está delimitado arriba e implica que$\{A_n\}$ es también; por lo tanto,$\sum a_n<\infty$. Por otro lado, si$\sum a_n=\infty$, entonces$\{A_n\}$ está sin límites por encima e implica que$\{B_n\}$ es también; por lo tanto,$\sum b_n~=~\infty$.

Te dejamos a ti demostrar que eso implica

La prueba de comparación es útil si tenemos una colección de series con términos no negativos y propiedades de convergencia conocidas. Ahora utilizaremos la prueba de comparación para construir una colección de este tipo.

Primero observamos que mantiene si y solo si\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.10} \ sum_ {n=k} ^\ infty\ int^ {n+1} _n f (x)\, dx<\ infty \ end {ecuación}\] (Ejercicio~), así que basta con mostrar que sostiene si y solo si lo hace. De y la suposición que no$f$ es creciente,\ [ c_ {n+1} =f (n+1)\ le f (x)\ le f (n) =c_n,\ quad n\ le x\ le n+1,\ quad n\ ge k. \] Por lo tanto,\ [ c_ {n+1} =\ int^ {n+1} _n c_ {n+1}\, dx\ le\ int^ {n+1} _n f (x)\, dx\ le \ int^ {n+1} _n c_n\, dx=c_n,\ quad n\ ge k \] (Teoremo~). Desde la primera desigualdad y Teoremo~ con$a_n=c_{n+1}$ y$b_n=\int^{n+1}_n f(x)\,dx$, implica eso$\sum c_{n+1}<\infty$, que es equivalente a. A partir de la segunda desigualdad y teorem~

con$a_n=\int^{n+1}_n f(x)\,dx$ y$b_n=c_n$, implica.

Este ejemplo proporciona una familia infinita de series con propiedades de convergencia conocidas que pueden usarse como estándares para la prueba de comparación.

A excepción de la serie de Ejemplo~, la prueba integral es de valor práctico limitado, ya que la convergencia o divergencia de la mayoría de las series a las que se puede aplicar se puede determinar mediante pruebas más simples que no requieren integración. Sin embargo, el método utilizado para probar la prueba integral suele ser útil para estimar la tasa de convergencia o divergencia de una serie. Esta idea se desarrolla en Ejercicios~ y.

El siguiente teorema suele ser aplicable donde no lo es la prueba integral. No requiere del tipo de engaños que usamos en Ejemplo~.

Si$\limsup_{n\to\infty} a_n/b_n<\infty$, entonces$\{a_n/b_n\}$ está acotado, entonces hay una constante$M$ y un entero$k$ tal que\ [ a_n\ le MB_n,\ quad n\ ge k. \] Ya que$\sum b_n<\infty$, Teorem~ implica que$\sum (Mb_n)< \infty$. Ahora$\sum a_n<\infty$, por la prueba de comparación.

Si$\liminf_{n\to\infty} a_n/b_n>0$, hay una constante$m$ y un entero$k$ tal que\ [ a_n\ ge mb_n,\ quad n\ ge k. \] Ya que$\sum b_n=\infty$, Teorem~ implica que$\sum (mb_n)= \infty$. Ahora$\sum a_n=\infty$, por la prueba de comparación.

El siguiente corolario del Teorem~ suele ser útil, aunque no se aplica a la serie de Ejemplo~.

A veces es posible determinar si una serie con términos positivos converge comparando las proporciones de términos sucesivos con las proporciones correspondientes de una serie conocida por converger o divergir.

Reescribiendo como\ [ \ frac {a_ {n+1}} {b_ {n+1}}\ le\ frac {a_n} {b_n}, \] vemos que no$\{a_n/b_n\}$ va en aumento. Por lo tanto$\limsup_{n \to\infty} a_n/b_n<\infty$,, y Teorem~ implica

Para probarlo , supongamos que$\sum a_n=\infty$. Ya que no$\{a_n/b_n\}$ va en aumento, hay un número$\rho$ tal que$b_n\ge \rho a_n$ para grandes$n$. Ya que$\sum (\rho a_n)=\infty$ si$\sum a_n=\infty$, Teorem~

(con$a_n$ sustituido por$\rho a_n$) implica que$\sum b_n=\infty$.

Utilizaremos este teorema para obtener otras dos pruebas ampliamente aplicables: la prueba de relación y la prueba de Raabe.

Si\ [ \ limsup_ {n\ a\ infty}\ frac {a_ {n+1}} {a_n} <1, \] hay un número$r$ tal que$0<r<1$ y\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} <r \] para$n$ suficientemente grande. Esto se puede reescribir como\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} <\ frac {r^ {n+1}} {r^n}. \] Desde$\sum r^n<\infty$, Teorem~

con$b_n=r^n$ implica eso$\sum a_n<\infty$.

Si\ [ \ liminf_ {n\ a\ infty}\ frac {a_ {n+1}} {a_n} >1, \] hay un número$r$ tal que$r>1$ y\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} >r \] para$n$ suficientemente grande. Esto se puede reescribir como\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} >\ frac {r^ {n+1}} {r^n}. \] Desde$\sum r^n=\infty$, Teorem~

con$a_n=r^n$ implica eso$\sum b_n=\infty$.

Para ver que no se puede sacar ninguna conclusión si se mantiene, considere \ [\ suma a_n=\ suma\ frac {1} {n^p}. \] Esta serie converge si$p>1$ o diverge si$p\le1$; sin embargo,\ [ \ limsup_ {n\ a\ infty}\ frac {a_ {n+1}} {a_n} =\ liminf_ {n \ a\ infty}\ frac {a_ {n+1}} {a_n} =1 \] para cada$p$.

El siguiente corolario de la prueba de ratio es la relación familiar resto del cálculo.

La prueba de ratio no implica que$\sum a_n<\infty$ si meramente\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.14} \ frac {a_ {n+1}} {a_n} <1 \ end {ecuación}\] para grandes$n$, ya que esto podría ocurrir con$\lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_n=1$, en cuyo caso la prueba no es concluyente. Sin embargo, el siguiente teorema muestra que$\sum a_n< \infty$ si es reemplazado por la condición más fuerte que \ [\ frac {a_ {n+1}} {a_n}\ le1-\ frac {p} {n} \] para algunos$p>1$ y grandes$n$. También muestra que$\sum a_n=\infty$ si\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n}\ ge1-\ frac {q} {n} \] para algunos$q<1$ y grandes$n$.

Necesitamos la desigualdad\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.15} \ frac {1} {(1+x) ^p} >1-px,\ quad x>0,\ p>0. \ end {ecuación}\] Esto se desprende del teorema de Taylor (Teorem~), que implica que \ [\ frac {1} {(1+x) ^p} =1-px+\ frac {1} {2}\ frac {p (p+1)} {(1+c) ^ {p+2}} x^2, \] donde$0<c<x$. (Verificar.) Ya que el último término es positivo si$p>0$, esto implica.

Ahora supongamos eso$M<-p<-1$. Entonces hay un entero$k$ tal que\ [ n\ left (\ frac {a_ {n+1}} {a_n} -1\ derecha) <-p,\ quad n\ ge k, \] so\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} <1-\ frac {p} {n},\ quad n\ ge k. \] De ahí,\ [ \ frac {aac {_ {n+1}} {a_n} <\ frac {1} {(1+1/n) ^p},\ quad n\ ge k, \] como se puede ver al dejar entrar$x=1/n$. A partir de esto, \ [\ frac {a_ {n+1}} {a_n} <\ frac {1} {(n+1) ^p}\ bigg/\ frac {1} {n^p},\ quad n\ ge k. \] Desde$\sum 1/n^p<\infty$ if$p>1$, Teorem~

implica eso$\sum a_n<\infty$.

Aquí necesitamos la desigualdad\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.16} (1-x) ^q<1-qx,\ quad 0<x<1,\ quad 0<q<1. \ end {ecuación}\] Esto también se desprende del teorema de Taylor, que implica que\ [ (1-x) ^q=1-qx+q (q-1) (1-c) ^ {q-2}\ frac {x^2} {2}, \] donde$0<c<x$.

Ahora supongamos eso$-1<-q<m$. Entonces hay un entero$k$ tal que\ [ n\ left (\ frac {a_ {n+1}} {a_n} -1\ derecha) >-q,\ quad n\ ge k, \] so\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n}\ ge1-\ frac {q} {n},\ quad n\ ge k. \] Si$q\le0$, entonces$\sum a_n=\infty$, por Corolaryyr ~. De ahí que podamos suponer que$0<q<1$, entonces la última desigualdad implica que\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} >\ left (1-\ frac {1} {n}\ right) ^q,\ quad n\ ge k, \]

como se puede ver fijando$x=1/n$ en. De ahí,\ [ \ frac {a_ {n+1}} {a_n} >\ frac {1} {n^q}\ bigg/\ frac {1} {(n-1) ^q},\ quad n\ ge k. \] Desde$\sum 1/n^q=\infty$ if$q<1$, Teorem~

implica eso$\sum a_n=\infty$.

El siguiente teorema, que será útil cuando estudiemos series de poder (Sección~4.5), concluye nuestra discusión de series con términos no negativos.

Si$\limsup_{n\to\infty}a^{1/n}_n<1$, hay$r$ tal que$0<r<1$ y$a^{1/n}_n<r$ para grandes$n$. Por lo tanto,$a_n<r^n$ para grandes$n$. Ya que$\sum r^n<\infty$, la prueba de comparación implica que$\sum a_n<\infty$.

Si$\limsup_{n\to\infty} a^{1/n}_n>1$, entonces$a^{1/n}_n>1$ para infinitamente muchos valores de$n$, entonces$\sum a_n=\infty$, por Corolary~.

Ahora dejamos caer la suposición de que los términos de no$\sum a_n$ son negativos para grandes$n$. En este caso,$\sum a_n$ pueden converger de dos maneras bastante distintas. El primero se define de la siguiente manera.

Cualquier prueba de convergencia de una serie con términos no negativos puede usarse para probar una serie arbitraria$\sum a_n$ para la convergencia absoluta aplicándola a$\sum |a_n|$. Utilizamos la prueba de comparación de esta manera en Ejemplos~ y.

La prueba del siguiente teorema es análoga a la prueba del Teorem~. Te lo dejamos a ti (Ejercicio~).

Por ejemplo, Teorem~ implica que\ [ \ sum\ frac {\ sin n\ theta} {n^p} \] converge si$p>1$, ya que entonces converge absolutamente (Ejemplo~).

Lo contrario de Teorem~ es falso; una serie puede converger sin converger absolutamente. Decimos entonces que la serie converge {}, o es {}; así,$\sum (-1)^n/n^p$ converge condicionalmente si$0~<~p~\le~1$.

A excepción de Teorem~ y Corolary~, las pruebas de convergencia que hemos estudiado hasta ahora se aplican únicamente a series cuyos términos tienen el mismo signo para grandes$n$. El siguiente teorema no lo requiere. Es análogo a la prueba de Dirichlet para integrales inadecuadas (Teorem~).

La prueba es similar a la prueba de Dirichlet para integrales. Define\ [ b_n=b_k+b_ {k+1} +\ cdots+b_n,\ quad n\ ge k \] y considera las sumas parciales de$\sum_{n=k}^\infty a_nb_n$:\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.20} s_n=a_kb_k+a_ {k+1} b_ {k+1} +\ cdots+a_nb_n,\ quad n\ k ge. \ end {ecuación}\] Sustituyendo\ [ b_k=b_k\ mbox {\ quad y\ quad} b_n=b_n-b_ {n-1},\ quad n\ ge k+1, \] en, obtenemos\ [ s_n=a_kb_k+a_ {k+1} (B_ {k+1} -B_k) +\ cdots+a_n (b_n-b_ {n-1}), \] que reescribimos como\ [\ start {ecuación}\ label {eq:4.3.21} \ begin {array} {rcl} s_n\ ar =( a_ak-a_ {k+1}) b_k+ (a_ {k+1} -a_ {k+2}) B_ {k+1} +\ cdots\\ ar {} + \, (a_ {n-1} -a_n) B_ {n-1} +A_nb_n. \ end {array}\ end {array} \ end {ecuación}\]

(El procedimiento que condujo de a se llama {}. Es análogo a la integración por partes.) Ahora se puede ver como\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.22} s_n=t_ {n-1} +A_nb_n, \ end {ecuación}\] donde\ [ T_ {n-1} =( a_k-a_ {k+1}) b_k+ (a_ {k+1} -a_ {k+2}) B_ {k+1} +\ cdots+ (a_ {n-1} -a_n) B_ {n-1}; \] es decir,$\{T_n\}$ es la secuencia de sumas parciales de la serie\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.23} \ sum_ {j=k} ^\ infty (a_j-a_ {j+1}) b_j. \ end {ecuación}\] Desde\ [ | (a_j-a_ {j+1}) b_j|\ le m|A_j-a_ {j+1} | \] from, la prueba de comparación e implica que la serie converge absolutamente. Teoremo~ ahora implica que$\{T_n\}$ converge. Vamos$T=\lim_{n\to\infty}T_n$. Ya que$\{B_n\}$ está acotado y$\lim_{n\to \infty}a_n=0$, inferimos de eso\ [ \ lim_ {n\ a\ infty} s_n=\ lim_ {n\ a\ infty} T_ {n-1} +\ lim_ {n\ a \ infty} a_nb_n=t+0=T. \] Por lo tanto,$\sum a_nb_n$ converge.

\ begin {ejemplo}\ rm Para aplicar la prueba de Dirichlet a \ [\ sum_ {n=2} ^\ infty\ frac {\ sin n\ theta} {n+ (-1) ^n},\ quad\ theta\ ne k \ pi\ mbox {\ quad ($k=$ integer)}, \] tomamos\ [ a_n=\ frac {1} {n+ (-1) ^n}\ mbox {\ quad y\ quad} b_n=\ sin n\ theta. \] Entonces$\lim_{n\to\infty}a_n=0$, y\ [ |a_ {n+1} -a_n|<\ frac {3} {n (n-1)} \] (verificar), así que\ [ \ sum|a_ {n+1} -a_n|<\ infty. \] Ahora\ [ b_n=\ sin2\ theta+\ sin3\ theta+\ cdots+\ sin n\ theta. \] Para mostrar que$\{B_n\}$ está acotado, usamos la identidad trigonométrica\ [ \ sin r\ theta=\ frac {\ cos\ left (r-\ frac {1} {2}\ derecha)\ theta-\ cos\ left (r+\ frac {1} { 2}\ right)\ theta} {2\ sin (\ theta/2)},\ quad\ theta\ ne2k\ pi, \]

escribir\ [\ begin {eqnarray*} b_n\ ar=\ frac {(\ cos\ frac {3} {2}\ theta-\ cos\ frac {5} {2}\ theta) + (\ cos\ frac {5} {2} \ theta-\ cos\ frac {7} {2}\ theta) +\ cdots+ izquierda\ (\ cos\ izquierda (n-\ frac {1} {2} \ derecha)\ theta-\ cos (n+\ frac {1} {2})\ theta\ derecha)} {2\ sin (\ theta/2)}\\ [2\ jot] \ ar=\ frac {\ cos\ frac {3} {2}\ theta- cos (n+\ frac {1} {2})\ theta} {2\ sin (\ theta/2)}, \ end {eqnarray*}\] lo que implica que\ [ |b_n|\ le\ izquierda|\ frac {1} {\ sin (\ theta/2)}\ derecha|,\ quad n\ ge 2. \] Dado que$\{a_n\}$ y$\{b_n\}$ satisfacer las hipótesis del teorema de Dirichlet,$\sum a_nb_n$ converge. \ end {ejemplo}

La prueba de Dirichlet toma una forma más simple si no$\{a_n\}$ es creciente, de la siguiente manera.

Si$a_{n+1}\le a_n$, entonces\ [ \ sum_ {n=k} ^m |a_ {n+1} -a_n|=\ suma_ {n=k} ^m (a_n-a_ {n+1}) =a_k-a_ {m+1}. \] Ya que$\lim_{m\to\infty} a_{m+1}=0$, se deduce que \ [\ sum_ {n=k} ^\ infty |a_ {n+1} -a_n|=a_k<\ infty. \] Por lo tanto, se satisfacen las hipótesis de la prueba de Dirichlet, así$\sum a_nb_n$ converge.

La prueba en serie alterna del cálculo sigue fácilmente de la prueba de Abel.

Dejar$b_n=(-1)^n$; entonces$\{|B_n|\}$ es una secuencia de ceros y unos y por lo tanto acotada. La conclusión ahora se desprende de la prueba de Abel.

Los términos de una suma finita se pueden agrupar insertando paréntesis arbitrariamente. Por ejemplo,\ [ (1+7) + (6+5) +4= (1+7+6) + (5+4) =( 1+7) + (6+5+4). \] Según el siguiente teorema, lo mismo es cierto de una serie infinita que converge o diverge a$\pm\infty$.

Si$T_r$ es la$r$ ésima suma parcial de$\sum_{j=1}^\infty b_{n_j}$ y$\{A_n\}$ es la$n$ ésima suma parcial de$\sum_{s=k}^\infty a_s$, entonces\ [\ begin {eqnarray*} T_r\ ar=b_1+b_2+\ cdots+b_r\\ ar =( a_1+ \ cdots+a_ {n_1}) + (a_ {n_1+1} +\ cdots+a_ {n_2}) +\ cdots+a_ {n_2}) +\ cdots+a_ ts+ (a_ {n_ {r-1} +1} +\ cdots+a_ {n_r})\ \\ ar=a_ {n_r}. \ end {eqnarray*}\] Así,$\{T_r\}$ es una subsecuencia de$\{A_n\}$, así$\lim_{r\to\infty} T_r=\lim_{n\to\infty}A_n=A$ por Teorem~.

-.4em Una suma finita no se cambia reordenando sus términos; así,\ [ 1+3+7=1+7+3=3+1+7=3+7+1=7+1+3=7+3+1. \] Esto no es cierto para todas las series infinitas. Digamos que$\sum b_n$ es un {} de$\sum a_n$ si las dos series tienen los mismos términos, escritos en órdenes posiblemente diferentes. Dado que las sumas parciales de las dos series pueden formar secuencias completamente diferentes, no hay razón aparente para esperar que exhiban las mismas propiedades de convergencia, y en general no lo hacen.

Nos interesa lo que sucede si reorganizamos los términos de una serie convergente. Veremos que cada reordenamiento de una serie absolutamente convergente tiene la misma suma, pero esa serie condicionalmente convergente falla, espectacularmente, en tener esta propiedad.

Dejar\ [ \ overline {A} _n=|a_1|+|a_2|+\ cdots+|a_n|\ mbox {\ quad y\ quad} \ overline {B} _n=|b_1|+|b_2|+\ cdots+|b_n|. \] Para cada uno$n\ge1$, hay un entero$k_n$ tal que$b_1$,$b_2$,,$b_n$ se incluyen entre$a_1$,$a_2$,,$a_{k_n}$, así$\overline{B}_n\le\overline{A}_{k_n}$. Ya que$\{\overline{A}_n\}$ está acotado, así es$\{\overline{B}_n\}$, y por lo tanto$\sum |b_n|<\infty$ (Teorem~).

Ahora vamos a\ [\ comenzar {eqnarray*} a_n\ ar=a_1+a_2+\ cdots+a_n,\ quad b_n=b_1+b_2+\ cdots+ b_n,\\ A\ ar=\ sum_ {n=1} ^\ infty a_n,\ mbox {\ quad y\ quad} B=\ sum_ {n=1} ^\ infty _n. \ fin {eqnarray*}\]

Debemos demostrarlo$A=B$. Supongamos que$\epsilon>0$. Del criterio de convergencia de Cauchy para series y la convergencia absoluta de$\sum a_n$, hay un entero$N$ tal que\ [ |a_ {N+1} |+|a_ {N+2} |+\ cdots+|a_ {n+k} |<\ épsilon,\ quad k\ ge1. \] -.3em Elige$N_1$ para que$a_1$,$a_2$,,$a_N$ se incluyan entre$b_1$,$b_2$,,$b_{N_1}$. Si$n\ge N_1$, entonces$A_n$ y$B_n$ ambos incluyen los términos$a_1$,,$a_2$,$a_N$, que cancelan al restar; así,$|A_n-B_n|$ está dominado por la suma de los valores absolutos de finitamente muchos términos de$\sum a_n$ con subíndices mayores que$N$. Dado que cada suma es menor que ~$\epsilon$,

\ [ |a_n-b_n|<\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N_1. \] Por lo tanto,$\lim_{n\to\infty}(A_n-B_n)=0$ y$A=B$.

Para investigar las consecuencias de reorganizar una serie condicionalmente convergente, necesitamos el siguiente teorema, que en sí mismo es importante.

Si ambas series en convergen, entonces$\sum a_n$ converge absolutamente, mientras que si una converge y la otra diverge, entonces$\sum a_n$ diverge hacia$\infty$ o$-\infty$. De ahí que ambos deban divergir.

El siguiente teorema implica que una serie condicionalmente convergente puede reorganizarse para producir una serie que converja a cualquier número dado, diverja u oscile.$\pm\infty$

Consideramos el caso donde$\mu$ y$\nu$ son finitos y te dejamos los otros casos (Ejercicio~). Podemos ignorar cualquier término cero que ocurra en$\sum_{n=1}^\infty a_n$. Por conveniencia, denotamos los términos positivos por$P=\{\alpha_i\}_1^\infty$ y y los términos negativos por$Q=\{-\beta_j\}_1^\infty$. Construimos la secuencia\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.26} \ {b_n\} _1^\ infty=\ {\ alpha_1,\ dots,\ alpha_ {m_1}, -\ beta_1,\ dots, -\ beta_ {n_1}, \ alpha_ {m_1+1},\ dots,\ alpha_ {m_2}, -\ beta_ {n_1+1},\ puntos, -\ beta_ {n_2}, \ puntos\}, \ final {ecuación}\]

con segmentos elegidos alternativamente de$P$ y$Q$. Vamos$m_0=n_0=0$. Si$k\ge1$, let$m_k$ y$n_k$ ser los enteros más pequeños tal que$m_k>m_{k-1}$,$n_k>n_{k-1}$,,\ [ \ sum_ {i=1} ^ {m_k}\ alpha_i-\ sum_ {j=1} ^ {n_ {k-1}}\ beta_j\ ge\ nu, \ mbox {\ quad y\ quad} \ sum_ {i=1} ^ {m_k}\ alpha_i-\ sum_ {j=1} ^ {^ _k}\ beta_j\ le\ mu. \] Teorem~ implica que esta construcción es posible: ya que$\sum \alpha_i=\sum\beta_j=\infty$, podemos elegir$m_k$ y$n_k$ para que\ [ \ sum_ {i=m_ {k-1}} ^ {m_k}\ alpha_i\ mbox {\ quad y\ quad} \ sum_ {j=n_ {k-1}} ^ {n_k}\ beta_j \] sean tan grandes como nos plazca, no importa cuán grandes$m_{k-1}$ y$n_{k-1}$ sean ( Ejercicio~). Dado que$m_k$ y$n_k$ son los enteros más pequeños con las propiedades especificadas,\ [\ begin {eqnarray} \ nu\ le B_ {m_k+n_ {k-1}}\ ar<\ nu+\ alpha_ {m_k},\ quad k\ ge2, \ label {eq:4.3.27} \\\ arraytext {y}\ nonumber \\ mu-\ beta_ {_k}\ ar<b_ {m_k+n_k}\ le\ mu,\ quad k\ ge2. \ label {eq:4.3.28} \ end {eqnarray}\] De,$b_n<0$ si$m_k+n_{k-1}<n\le m_k+n_k$, así\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.29} B_ {m_k+n_k}\ le B_n\ le B_ {m_k+n_ {k-1}},\ quad m_k+n_ {k-1} le\ n\ le m_k+n_k, \ end {ecuación}\] mientras que$b_n>0$ si$m_k+n_k< n\le m_{k+1}+n_k$, así\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.30} B_ {m_k+n_k}\ le B_n\ le B_ {m_ {k+1} +n_k},\ quad m_k+n_k\ le n\ le m_ {k+1} +n_k. \ end {ecuación}\] Debido a y, e implica que\ [\ begin {eqnarray} \ mu-\ beta_ {n_k}\ ar<b_n<\ nu+\ alpha_ {m_k},\ quad m_k+n_ {k-1}\ le n\ le m_k+n_k,\ label {eq:4.3.31}\ \\ arraytext {y}\ nonumber\ \ mu-\ beta_ {n_k}\ ar<b_n<\ nu+\ alpha_ {m_ {k+1}},\ quad m_k+n_k\ le n\ le m_ {k+1} +n_k.\ etiqueta {eq:4.3.32} \ end {eqnarray}\]

Desde la primera desigualdad de,$B_n\ge \nu$ para infinitamente muchos valores de$n$. Sin embargo, ya que$\lim_{i\to\infty}\alpha_i=0$, las segundas desigualdades en e implican que si$\epsilon>0$ entonces$B_n>\nu+ \epsilon$ por sólo finitamente muchos valores de$n$. Por lo tanto,$\limsup_{n\to\infty} B_n=\nu$. A partir de la segunda desigualdad en,$B_n\le \mu$ para infinitamente muchos valores de$n$. Sin embargo, ya que$\lim_{j\to\infty}\beta_j=0$, las primeras desigualdades en e implican que si$\epsilon>0$ entonces$B_n<\mu-\epsilon$ por sólo finitamente muchos valores de$n$. Por lo tanto,$\liminf_{n\to\infty} B_n=\mu$.

-.5em El producto de dos sumas finitas se puede escribir como otra suma finita: por ejemplo,\ [\ begin {eqnarray*} (a_0+a_1+a_2) (b_0+b_1+b_2)\ ar=a_0b_0+a_0b_1+a_0b_2\ \\ ar {} +a_1b_0+a_1b_1+a_1b_2\ \ ar {} +a_2b_0+a_2b_1+a_2b_2, \ end {eqnarray*}\]

donde la suma de la derecha contiene cada producto$a_ib_j$$(i,j=0,1,2)$ exactamente una vez. Estos productos se pueden reorganizar arbitrariamente sin cambiar su suma. La situación correspondiente para las series es más complicada.

  \enlargethispage{100pt}

Dadas dos series 1pc \ [\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n\ mbox {\ quad y\ quad}\ sum_ {n=0} ^\ infty b_n \] 1pc (debido a aplicaciones en la Sección~4.5, aquí es conveniente iniciar el índice de suma en cero), podemos organizar todos los productos posibles$a_ib_j$$(i,j\ge0)$ en una matriz bidimensional: 1pc\ [\ begin { ecuación}\ label {eq:4.3.33} \ begin {array} {ccccc} a_0b_0&a_0b_1&a_0b_2&a_0b_3&\ cdots\\ a_1b_0&a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3&\ cdots\\ a_2b_0&a_2b_1&a_2b_2&a_2b3_&\ cdots\\ a_3b_0&a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3&\ cdots\\ vdots& \ vdots&\ vdots&\ vdots& amp;\ vdots\ end {array} \ end {ecuación}\] 1pc

donde el subíndice on$a$ es constante en cada fila y el subíndice on$b$ es constante en cada columna. Cualquier definición sensata del producto 1pc\ [ \ left (\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n\ right)\ left (\ sum_ {n=0} ^\ infty b_n\ right) \] 1pc claramente debe involucrar a cada producto de esta matriz exactamente una vez; así, podríamos definir el producto de las dos series para que sea la serie$\sum_{n=0}^\infty p_n$, donde$\{p_n\}$ es una secuencia obtenido ordenando los productos de acuerdo con algún método que elija cada producto exactamente una vez. Una forma de hacerlo es indicada por 2pc\ [\ begin {equation}\ label {eq:4.3.34} \ begin {array} {cccccccc} a_0b_0&\ righttarrow&a_0b_1& {} &a_0b_2&\ rightarrow&a_0b_3 &\ cdots\\ {} & {} &\ flecha abajo & {} &\ uparrow& {} &\ flecha abajo\\ a_1b_0&\ fila izquierda&a_1b_1 & {} &a_1b_2& {} &a_1b_3&\ cdots\\ \ flecha abajo & {} & {} & {} &\ uparrow& {} &\ flecha abajo\\ a_2b_0&\ fila derecha&a_2b_1&\ fila derecha&a_2b_2& {} &a_2b_3&\ cdots \\ {} & {} & {} & {} & {} & {} &\ flecha abajo\\ a_3b_0&\ fila izquierda&A _3b_1&\ fila izquierda&a_3b_2&\ fila izquierda&a_3b_3& \ cdots\\ flecha abajo \\ vdots& {} & \ vdots& {} &\ vdots& {} &\ vdots& {} &\ vdots \\ end {array} \ end {ecuación}\]

y otro por\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.35} \ begin {array} {cccccccc} a_0b_0&\ righttarrow&a_0b_1& {} &a_0b_2&\ rightarrow & {} a_0b_3& {} &a_0b_4&\ cdots\\ {} &\ swarrow& {} &\ nearrow& {} &\ swarrow& {} &\ nearrow\\ a_1b_0& {} &a_1b_1& amp; {} &a_1b_2& {} &a_1b_3& {} &\ cdots\\ \ flecha abajo &\ nearrow& {} &\ swarrow& {} &\ nearrow\\ a_2b_0& {} &a_2b_1& {} &a_2b_2& {} &a_2b_2& {} &a_2b_3& {} &\ cdots\\ {} & swflecha& {} &\ nearrow\\ a_3b_0& {} &a_3b_1& {} &a_3b_2& {} &a_3 b_3& {} &\ cdots\\ \ flecha baja&\ nearrow\\ a_4b_0& {} &\ vdots& {} &\ vdots& {} &\ vdots \\ end {array} \ end {ecuación}\] Hay infinitamente muchas otras, y a cada uno corresponde una serie que podríamos considerar como producto de la serie dada. Esto plantea una pregunta: Si\ [ \ sum_ {n=0} ^\ infty a_n=a\ mbox {\ quad y\ quad}\ sum_ {n=0} ^\ infty b_n= B \] donde$A$ y$B$ son finitos, ¿converge cada serie de productos$\sum_{n=0}^\infty p_n$ construida ordenando los productos en$AB$?

El siguiente teorema nos dice cuando la respuesta es sí.

Primero, deja$\{p_n\}$ ser la secuencia obtenida ordenando los productos$\{a_ib_j\}$ según el esquema indicado en, y definir\ [ \ begin {array} {ll} a_n=a_0+a_1+\ cdots+a_n, & \ overline {A} _n=|a_0|+|a_1|+\ cdots+|a_n|,\\ [2\ jot] b_n=b_0+b_1+\ puntos+b_n, & \ overline {B} _n=|b_0|+|b_1|+\ cdots+|b_n|,\\ [2\ jot] p_n\ hskip.1em=p_0+p_1+\ cdots+p_n, &\ overline {P} _n\ hskip.1em=|p_0|+|p_1|+\ cdots+|p_n|. \ end {array} \] De, vemos que\ [ P_0=A_0B_0,\ quad P_3=A_1B_1,\ quad P_8=A_2B_2, \] y, en general,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.36} P_ {(m+1) ^2-1} =A_MB_M. \ end {ecuación}\]

De igual manera,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.3.37} \ overline {P} _ {(m+1) ^2-1} =\ overline {A} _m\ overline {B} _m. \ end {ecuación}\] Si$\sum |a_n|<\infty$ y$\sum |b_n|<\infty$, entonces$\{\overline{A}_m\overline{B}_m\}$ es acotado y, ya que$\overline{P}_m\le\overline{P}_{(m+1)^2-1}$, implica que$\{\overline{P}_m\}$ está acotado. Por lo tanto$\sum |p_n| <\infty$,, así$\sum p_n$ converge. Ahora\ [ \ begin {array} {rcll} \ dst {\ sum ^\ infty_ {n=0} p_n}\ ar=\ dst {\ lim_ {n\ a\ infty} P_n} &\ mbox {(por definición)}\\ [2\ jot] \ ar=\ dst {\ lim_ {m\ a\ infty} P_ {(m+1) ^2-1}} &\ mbox {(por Teoremo~\ ref {thmtype:4.2.2})}\\ [2\ jot] \ ar=\ dst {\ lim_ {m\ a\ infty} a_MB_m} &\ mbox {(de\ eqref {eq:4.3.36})}\\ [2 \ jot] \ ar=\ dst {\ izquierda (\ lim_ {m\ a\ infty} a_M\ derecha)\ izquierda (\ lim_ {m\ a\ infty} B_m\ derecha)} &\ mbox {(por Teoremo~\ ref {thmtype:4.1.8})}\\ [2\ jot] \ ar=AB. \ end {array} \] Dado que cualquier otro orden de los productos en produce un reordenamiento de la serie absolutamente convergente$\sum_{n=0}^\infty p_n$, Teorem~ implica que$\sum |q_n|<\infty$ para cada tal orden y eso$\sum_{n=0}^\infty q_n=AB$. Esto demuestra que la condición señalada es suficiente.

Por necesidad, nuevamente dejar que$\sum_{n=0}^\infty p_n$ se obtenga del ordenamiento indicado en, y supongamos que$\sum_{n=0}^\infty p_n$ y todos sus reordenamientos convergen a$AB$. Entonces$\sum p_n$ debe converger absolutamente, por Teoremo~. Por lo tanto,$\{\overline{P}_{m^2-1}\}$ está acotado, e implica eso$\{\overline{A}_m\}$ y$\{\overline{B}_m\}$ están acotados. (Aquí necesitamos la suposición de que$\sum a_n$ ni ni$\sum b_n$ consiste enteramente en ceros. ¿Por qué?) Por lo tanto,$\sum |a_n|<\infty$ y$\sum |b_n|<\infty$.

La siguiente definición del producto de dos series se debe a Cauchy. Veremos la importancia de esta definición en la Sección~4.5.

-3em3em

En adelante,$\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)$ debe interpretarse como el producto Cauchy. Observe que\ [ \ izquierda (\ suma_ {n=0} ^\ infty a_n\ derecha)\ izquierda (\ suma_ {n=0} ^\ infty b_n\ derecha) = \ izquierda (\ suma_ {n=0} ^\ infty b_n\ derecha)\ izquierda (\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n\ derecha), \] y que el producto Cauchy de dos se define incluso si una o ambas divergen. En el caso de que ambos converjan, es natural indagar sobre la relación entre el producto de sus sumas y la suma del producto Cauchy. Teorem~ arroja una respuesta parcial a esta pregunta, de la siguiente manera.

$C_n$Sea la$n$ ésima suma parcial del producto Cauchy; es decir,\ [ C_n=c_0+C_1+\ cdots+c_n \] (ver). Dejar$\sum_{n=0}^\infty p_n$ ser la serie obtenida ordenando los productos$\{a_i,b_j\}$ según el esquema indicado en, y$P_n$ definir como su$n$ th suma parcial; así,\ [ P_n=P_0+P_1+\ cdots+p_n. \] Inspección de espectáculos que$c_n$ es la suma de los$n+1$ términos conectados por el flechas diagonales. Por lo tanto$C_n=P_{m_n}$,, donde\ [ m_n=1+2+\ cdots+ (n+1) -1=\ frac {n (n+3)} {2}. \] Del Teoremo~,$\lim_{n\to\infty} P_{m_n}=AB$, así$\lim_{n\to\infty} C_n=AB$. Para ver eso$\sum |c_n|<\infty$, observamos que\ [ \ sum_ {r=0} ^n |c_r|\ le\ sum_ {s=0} ^ {m_n} |p_s| \] y recordamos eso$\sum |p_s|<\infty$, del Teorem~.

El producto Cauchy de dos series puede converger en condiciones más débiles que las del Teorem~. Si una serie converge absolutamente y la otra converge condicionalmente, el producto Cauchy de las dos series converge al producto de las dos sumas (Exercise~). Si dos series y su producto Cauchy convergen, entonces la suma del producto Cauchy equivale al producto de las sumas de las dos series (Ejercicise~). No obstante, el siguiente ejemplo muestra que el producto Cauchy de dos series condicionalmente convergentes puede divergir.

Hasta ahora hemos considerado secuencias y series de constantes. Ahora volvemos nuestra atención a secuencias y series de funciones de valor real definidas en subconjuntos de los reales. A lo largo de esta sección, subconjunto” significa subconjunto no vacío”.

Si$F_k$,$F_{k+1}$,$F_n, \dots$ son funciones de valor real definidas en un subconjunto$D$ de los reales, decimos que$\{F_n\}$ es un {} o (simplemente un {}) {}$D$. Si la secuencia de valores$\{F_n(x)\}$ converge para cada uno$x$ en algún subconjunto$S$ de$D$, entonces$\{F_n\}$ define una función de límite en$S$. La definición formal es la siguiente.

\ begin {ejemplo}

Si$x$ es irracional, entonces$x\not\in S_n$ para cualquiera$n$, entonces$F_n(x)=0$,$n\ge 1$. Si$x$ es racional, entonces$x\in S_n$ y$F_n(x)=1$ para todos suficientemente grande$n$. Por lo tanto, \ [\ lim_ {n\ to\ infty} f_n (x) =F (x) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} 1&\ mbox {si $x$ es racional},\\ 0&\ mbox {si $x$ es irracional}. \ end {array}\ right. \]\ end {ejemplo}

10pt

18pt

-.4em El límite puntual de una secuencia de funciones puede diferir radicalmente de las funciones de la secuencia. En Ejemplo~, cada uno$F_n$ es continuo encendido$(-\infty,1]$, pero no lo$F$ es. En Ejemplo~, la gráfica de cada una$F_n$ tiene dos picos triangulares con alturas que tienden a$\infty$ como$n\to\infty$, mientras que la gráfica de$F$ (el$x$ eje -) no tiene ninguno. En Ejemplo~, cada uno$F_n$ es integrable, mientras que no$F$ es integrable en cada intervalo finito. (Ejercicio~). No hay nada en Definición~ que impida estas aparentes anomalías; aunque la definición implica que para cada$x_0$ en$S$, se$F_n(x_0)$ aproxima$F(x_0)$ si$n$ es suficientemente grande, no implica que ningún particular se$F_n$ aproxime$F$ bien por encima de {} de$S$. Para formular una definición que sí, es conveniente introducir la notación\ [ \ |g\ |_S=\ sup_ {x\ in S} |g (x) | \] y exponer el siguiente lema. Te dejamos la prueba (Ejercicio~).

-1em1em

Si$S=[a,b]$ y$F$ es la función con gráfico que se muestra en Figura~, entonces implica que la gráfica de\ [ y=F_n (x),\ quad a\ le x\ le b, \] yace en la banda sombreada\ [ F (x) -\ épsilon<y<f (x) +\ épsilon,\ quad a\ le x\ le b, \] if$n\ge N$.

Desde Definición~, si$\{F_n\}$ converge uniformemente en$S$, entonces$\{F_n\}$ converge uniformemente en cualquier subconjunto de$S$ (Ejercicio~).

12pt 6pt

12pt

El siguiente teorema proporciona definiciones alternativas de convergencia puntual y uniforme. Se desprende inmediatamente de Definiciones~ y.

\ begin {teorema} Let$\{F_n\}$ be defined on$S.$ Entonces\ begin {alist} % (a)$\{F_n\}$ converge puntualmente a$F$ on$S$ si y solo si hay, para cada uno$\epsilon>0$ y$x\in S$, un entero$N$$($ que puede depender así$x$ como$\epsilon)$ tal que\ [ |f_n (x) -F (x) |<\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad}\ n\ ge N. \]

% (b)$\{F_n\}$ converge uniformemente a$F$ on$S$ si y solo si hay para cada uno$\epsilon>0$ un entero$N$$($ que depende solo de$\epsilon$ y no de cualquier particular de$S)$ tal$x$ manera que\ [ |f_n (x) -F (x) |<\ epsilon\ mbox {\ quad para todos $x$ en $S$ si $n\ ge N$}. \]\ end {alist}\ fin {teorema}

6pt

12pt

El siguiente teorema sigue inmediatamente del Teorem~ y Ejemplo~.

El siguiente teorema nos permite probar una secuencia para una convergencia uniforme sin adivinar cuál podría ser la función limit. Es análogo al criterio de convergencia de Cauchy para secuencias de constantes (Teorem~).

Por necesidad, supongamos que$\{F_n\}$ converge uniformemente a$F$ on$S$. Entonces, si$\epsilon>0$, hay un entero$N$ tal que\ [ \ |f_k-F\ |_S<\ frac {\ epsilon} {2}\ mbox {\ quad if\ quad} k\ ge N. \] Por lo tanto,\ [\ begin {eqnarray*} \ |F_n-F_M\ |_S\ ar=\ | (F_n-F) + (F-f_m)\ |_S\ \ ar\ le\ |f_n-F\ |_S+\ |F-F_M\ |_S\ mbox {\ quad (Lemma~\ ref {thmtype:4.4.2})\ quad}\\ && lt; &\ frac {\ épsilon} {2} +\ frac {\ épsilon} {2} =\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad} m, n\ ge N. \ end {eqnarray*}\]

Para la suficiencia, primero observamos que implica que\ [ |f_n (x) -f_m (x) |<\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n, m\ ge N, \] para cualquier fijo$x$ en$S$. Por lo tanto, el criterio de convergencia de Cauchy para las secuencias de constantes (Teorem~) implica que$\{F_n(x)\}$ converge para cada$x$ en$S$; es decir,$\{F_n\}$ converge puntualmente a una función límite$F$ en$S$. Para ver que la convergencia es uniforme, escribimos\ [\ begin {eqnarray*} |f_m (x) -F (x) |\ ar=| [f_m (x) -f_n (x)] + [f_n (x) -F (x)] |\ \ ar\ le |f_m (x) -f_n (x) |+| f_n (x) -F (x) |\\ \ ar\ le\ |f_m-f_n\ |_s+|f_n (x) -F (x) |. \ end {eqnarray*}\] Esto e implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.3} |F_M (x) -F (x) |<\ Epsilon+|F_n (x) -F (x) |\ quad\ mbox {if}\ quad n, m\ ge N. \ end {ecuación}\] Desde$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$,\ [ |f_n (x) -F (x) |<\ épsilon \] para algunos$n\ge N$, así implica que\ [ |F_M (x) -F (x) |<2\ épsilon\ mbox { \ quad si\ quad} m\ ge N. \] Pero esta desigualdad se mantiene para todos$x$ en$S$, así que\ [ \ |f_m-F\ |_S\ le2\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} m\ ge N. \] Dado que$\epsilon$ es un número positivo arbitrario, esto implica que$\{F_n\}$ converge uniformemente a$F$ on~$S$.

El siguiente ejemplo es similar a Ejemplo~.

Ahora estudiamos las propiedades de las funciones de una secuencia uniformemente convergente que son heredadas por la función limit. Primero consideramos la continuidad.

Supongamos que cada uno$F_n$ es continuo en$x_0$. Si$x\in S$ y$n\ge1$, entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.8} \ begin {array} {rcl} |F (x) -F (x_0) |\ ar\ le |F (x) -f_n (x) |+|F_n (x) -f_n (x_0) |+|f_n (x_0) -F (x_0) | \\\ ar \ le |f_n (x) -f_n (x_0) |+2\ |F_n-F\ |_S. \ end {array} \ end {equation}\] Supongamos que$\epsilon>0$. Ya que$\{F_n\}$ converge uniformemente a$F$ on$S$, podemos elegir$n$ para que$\|F_n-F\|_S<\epsilon$. Para esto fijo$n$, implica que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.9} |F (x) -F (x_0) |<|F_n (x) -F_n (x_0) |+2\ épsilon,\ quad x\ in S. \ end {ecuación}\] Dado que$F_n$ es continuo en$x_0$, hay$\delta>0$ tal que\ [ |f_n (x) -f_n (x_0) |<\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad} |x-x_0|< ;\ delta, \] así, de,\ [ |F (x) -F (x_0) |<3\ épsilon,\ mbox {\ quad if\ quad} |x-x_0|<\ delta. \] Por lo tanto,$F$ es continuo a$x_0$. Argumentos similares se aplican a las aseveraciones sobre continuidad desde la derecha y la izquierda.

Ahora consideramos la cuestión de la integrabilidad del límite uniforme de las funciones integrables.

Desde\ [\ comenzar {eqnarray*} \ izquierda|\ int_a^b f_n (x)\, dx-\ int_a^b F (x)\, dx\ derecha|\ ar\ le\ int_a^b |f_n (x) -F (x) |\, dx\ \\ ar\ le (b-a)\ |F_n-F\ |_S \ end {eqnarray*}\] y$\lim_{n\to\infty}\|F_n-F\|_S=0$, la conclusión sigue.

En particular, este teorema implica que sostiene si cada uno$F_n$ es continuo encendido$[a,b]$, porque entonces$F$ es continuo (Corolary~) y por lo tanto integrable en$[a,b]$.

Las hipótesis del Teorem~ son más fuertes de lo necesario. Declaramos el siguiente teorema para que esté mejor informado sobre este tema. Omitimos la prueba, la cual es inaccesible si omitió la Sección~3.5, y bastante involucrada en cualquier caso.

Parte de este teorema muestra que no es necesario asumir en Teorem~ que$F$ es integrable en$[a,b]$, ya que esto se desprende de la convergencia uniforme. Parte es conocida como la {}. Ninguno de los supuestos de

puede omitirse. Así, en Ejemplo~, donde$\{\|F_n\|_{[0,1]}\}$ está ilimitado mientras$F$ es integrable on$[0,1]$,\ [ \ int^1_0 f_n (x)\, dx=1,\ quad n\ ge1,\ mbox {\ quad but\ quad} \ int^1_0 F (x)\, dx=0. \] En Ejemplo~, donde$\|F_n\|_{[a,b]}=1$ por cada intervalo finito$[a,b]$,$F_n$ es integrable para todos$n\ge1$, y no$F$ es integrable en cada intervalo (Ejercicio~).

Después de Teoremas ~ y, puede parecer razonable esperar que si una secuencia$\{F_n\}$ de funciones diferenciables converja uniformemente a$F$ on$S$, entonces$F'=\lim_{n\to\infty}F'_n$ on$S$. El siguiente ejemplo muestra que esto no es cierto en general.

Como$F'_n$ es continuo en$[a,b]$, podemos escribir\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.13} F_n (x) =F_n (x_0) +\ int^x_ {x_0} F'_n (t)\, dt,\ quad a\ le x\ le b \ end {ecuación}\] (Teorem~). Ahora vamos a\ [\ comenzar {eqnarray} L\ ar=\ lim_ {n\ a\ infty} f_n (x_0)\ nonumber\\ \ arraytext {y}\ nonumber\\ G (x)\ ar=\ lim_ {n\ a\ infty} F'_n (x). \ label {eq:4.4.14} \ end {eqnarray}\] Dado que$F'_n$ es continuo y$\{F'_n\}$ converge uniformemente a$G$ on$[a,b]$,$G$ es continuo on$[a,b]$ (Corolary~); por lo tanto, y Teorem~ (con$F$ y$F_n$ reemplazado por$G$ y$F_n'$) implican que $\{F_n\}$converge puntualmente$[a,b]$ a la función límite\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.15} F (x) =L+\ int^x_ {x_0} G (t)\, dt. \ end {ecuación}\] La convergencia es realmente uniforme on$[a,b]$, ya que restando de rendimientos\ [\ begin {eqnarray*} |F (x) -f_n (x) |\ ar\ le |L-f_n (x_0) |+\ izquierda|\ int_ {x_0} ^x|G (t) -f_n' (t) |\, dt\ derecha|\ \ ar\ le |l-f_n (x_0) |+|x-x_0|\,\ |g-f_n'\ |_ {[a, b]}, \ end {eqnarray*}\] así que\ [ \ |F-f_n\ |_ {[a, b]}\ Le|L-f_n (x_0) |+ (b-a)\ |G-F'_n\ |_ {[a, b]}, \] donde el lado derecho se acerca a cero como$n\to\infty$.

Ya que$G$ es continuo en$[a,b]$,, Definición~, y Teorem~ implica y.

En la Sección~4.3 definimos la suma de una serie infinita de constantes como el límite de la secuencia de sumas parciales. La misma definición se puede aplicar a series de funciones, de la siguiente manera.

En cuanto a las series de constantes, la convergencia, puntual o uniforme, de una serie de funciones no se cambia alterando u omitiendo finitamente muchos términos. Esto justifica adoptar la convención que utilizamos para series de constantes: cuando nos interesa sólo si una serie de funciones converge, y no en su suma, omitiremos los límites en el signo de suma y escribiremos simplemente$\sum f_n$.

Teorem~ se convierte fácilmente en un teorema sobre convergencia uniforme de series, de la siguiente manera.

5pt Aplicar Teorem~ a las sumas parciales de$\sum f_n$, observando que\ [ f_n+f_ {n+1} +\ cDOTS+f_m=F_m-F_ {n-1}. \] -2em2em

Estableciendo$m=n$ en rendimientos la siguiente condición necesaria, pero no suficiente, para una convergencia uniforme de las series. Es análogo a Corolary~.

5pt

Teorem~ conduce inmediatamente a la siguiente prueba importante para la convergencia uniforme de series.

5pt

Del criterio de convergencia de Cauchy para series de constantes, hay para cada$\epsilon>0$ una un entero$N$ tal que\ [ m_n+m_ {n+1} +\ cDots+m_m<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} m\ ge n\ ge N, \] lo que, debido a, implica que\ [ \ |f_n\ |_S+\ |f_ {n+1}\ __S+\ cdots+\ |f_m\ |_S<\ épsilon\ mbox {\ quad si\ quad} m, n\ ge N. \] Lemma~ y Teorem~ implican que$\sum f_n$ converge uniformemente sobre$S$.

La prueba de Weierstrass es muy importante, pero aplicable solo a series que realmente exhiben un tipo de convergencia más fuerte de lo que hemos considerado hasta ahora. Decimos que$\sum f_n$ {}$S$ si$\sum |f_n|$ converge puntualmente en$S$, y {} on$S$ si$\sum |f_n|$ converge uniformemente en$S$. Te dejamos a ti (Ejercicio~) verificar que nuestra prueba de la prueba de Weierstrass realmente muestra que$\sum f_n$ converge de manera absolutamente uniforme en$S$. También te dejamos demostrar que si una serie converge de manera absolutamente uniforme en$S$, entonces converge uniformemente en$S$ (Ejercicio~).

El siguiente teorema se aplica a series que convergen uniformemente, pero quizás no de manera absolutamente uniforme, en un set$S$.

La prueba es similar a la prueba del Teorem~. Vamos\ [ g_n=g_k+g_ {k+1} +\ cdots+g_n, \] y considerar las sumas parciales de$\sum_{n=k}^\infty f_ng_n$:\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.20} h_n=F_kg_k+f_ {k+1} g_ {k+1} +\ cdots+f_ng_n. \ end {ecuación}\] Por substituir ting\ [ g_k=g_k\ mbox {\ quad y\ quad} g_n=g_n-g_ {n-1},\ quad n\ ge k+1, \] into, obtenemos\ [ h_n= F_kg_k+f_ {k+1} (G_ {k+1} -G_k) +\ cdots+f_n (g_n-g_ {n-1}), \] que reescribimos como\ [ h_n =( f_k-f_ {k+1}) g_k+ (f_ {k+1} -f_ {k+2}) G_ {k+1} +\ cdots+ (f_ {n-1} -f_n) G_ {n-1} +F_ng_n, \] o\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.21} h_n=J_ {n-1} +F_ng_n, \ end {ecuación}\] donde\ [\ comenzar {ecuación}\ etiqueta {eq:4.4.22} J _ {n-1} = (f_k-f_ {k+1}) g_k+ (f_ {k+1} -f_ {k+2}) G_ {k+1} +\ cdots+ (f_ {n-1} -f_n) G_ {n-1}. \ end {ecuación}\] Es decir,$\{J_n\}$ es la secuencia de sumas parciales de la serie\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.4.23} \ sum_ {j=k} ^\ infty (f_j-f_ {j+1}) g_j. \ end {ecuación}\]

De y la definición de$G_j$,\ [ \ izquierda|\ sum^m_ {j=n} [f_j (x) -f_ {j+1} (x)] g_j (x)\ derecha|\ le M \ sum^m_ {j=n} |f_j (x) -f_ {j+1} (x) |,\ quad x\ en S, \]

así\ [ \ izquierda\ |\ sum^m_ {j=n} (f_j-f_ {j+1}) G_j\ derecha\ |_S\ le M\ izquierda\ |\ sum^m_ {j=n} |f_j-f_ {j+1} |\ derecha\ |_S. \] Ahora supongamos eso$\epsilon>0$. Dado que$\sum (f_j-f_{j+1})$ converge de manera absolutamente uniforme en$S$, Teorem~ implica que hay un entero$N$ tal que el lado derecho de la última desigualdad es menor que$\epsilon$ si$m\ge n\ge N$. Lo mismo es entonces cierto del lado izquierdo, por lo que Teorem~ implica que converge uniformemente en~$S$.

Ahora hemos demostrado que$\{J_n\}$ como se define en converge uniformemente a una función límite$J$ en$S$. Volviendo a, vemos que\ [ h_n-J=J_ {n-1} -j+F_ng_n. \] De ahí, desde Lemma~ y,\ [\ begin {eqnarray*} \ |H_n-J\ |_S\ ar\ le\ |J_ {n-1} -J\ |_S+\ |f_n\ |_S\ |g_n\ _S\\ \ ar\ le\ |J_ {n-1} -J\ |_S+M\ |f_n\ |_S. \ end {eqnarray*}\] Desde$\{J_{n-1}-J\}$ y$\{f_n\}$ convergen uniformemente a cero encendido$S$, ahora sigue eso$\lim_{n\to\infty}\|H_n-J\|_S=0$. Por lo tanto,$\{H_n\}$ converge uniformemente en~$S$.

La prueba es similar a la de Corolary~. Te lo dejamos a ti (Ejercicio~).

\ begin {ejemplo}\ rm Considera la serie\ [ \ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {\ sin nx} {n} \] con$f_n=1/n$ (constante),$g_n(x)=\sin nx$, y\ [ g_n (x) =\ sin x+\ sin2x+\ cdots+\ sin nx. \] Vimos en Ejemplo~ que\ [ |g_n (x) |\ le\ frac {1} {|\ sin (x/2) |},\ quad n\ ge1,\ quad n\ ne2k\ pi\ quad \ mbox {\ quad ($k=$ integer)}. \]

Por lo tanto,$\{\|G_n\|_S\}$ está acotada, y la serie converge uniformemente en cualquier conjunto$S$ en el que$\sin x/2$ esté delimitado lejos de cero. Por ejemplo, si$0<\delta<\pi$, entonces\ [ \ izquierda|\ sin\ frac {x} {2}\ derecha|\ ge\ sin\ frac {\ delta} {2} \] si$x$ está al menos$\delta$ lejos de cualquier múltiplo de$2\pi$; por lo tanto, la serie converge uniformemente en\ [ S=\ bigcup^\ infty_ {k=-\ infty} [2k\ pi+\ delta, 2 (k+1)\ pi-\ delta]. \] Desde\ [ \ suma\ izquierda|\ frac {\ sin nx} {n}\ derecha|=\ infty,\ quad x\ ne k\ pi \] (Ejercicio~

), este resultado no se puede obtener de la prueba de Weierstrass. \ end {ejemplo}

Podemos obtener resultados sobre la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de series infinitas aplicando Teoremas ~, y a sus sumas parciales. Vamos a exponer los teoremas y dar algunos ejemplos, dejándote las pruebas a ti.

Teorem~ implica el siguiente teorema (Ejercicio~).

El siguiente teorema da condiciones que permiten el intercambio de suma e integración de series infinitas. Se desprende del Teorem~ (Ejercicio~). Te dejamos formular un análogo de Teorem~ para series (Ejercicio~).

Decimos en este caso que se$\sum_{n=k}^\infty f_n$ puede integrar {} sobre$[a,b]$.

El siguiente teorema da condiciones que permiten el intercambio de suma y diferenciación de series infinitas. Se desprende del Teorem~ (Ejercicio~).

Decimos en este caso que se$\sum_{n=k}^\infty f_n$ puede diferenciar {} on$[a,b]$. Para aplicar Teorem~, primero verificamos que$\sum_{n=k}^\infty f_n(x_0)$ converge para algunos$x_0$ en$[a,b]$ y luego diferenciamos$\sum_{n=k}^\infty f_n$ término por término. Si la serie resultante converge de manera uniforme, entonces la diferenciación término por término era legítima.

Consideramos ahora una clase de series lo suficientemente general como para ser interesante, pero suficientemente especializada para ser fácilmente entendida.

El siguiente teorema resume las propiedades de convergencia de las series de potencia.

En cualquier caso, la serie converge a$a_0$ if$x=x_0$. Si\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.3} \ sum |a_n|r^n<\ infty \ end {ecuación}\] para algunos$r>0$, entonces$\sum a_n (x-x_0)^n$ converge de manera absolutamente uniforme en$[x_0-r, x_0+r]$, por la prueba de Weierstrass (Teorem~) y Ejercicio~. De la prueba raíz de Cauchy (Teorem~), se mantiene si \ [\ limsup_ {n\ a\ infty} (|a_n|r^n) ^ {1/n} <1, \] que es equivalente a\ [ r\,\ limsup_ {n\ a\ infty} |a_n|^ {1/n} <1 \] (Ejercicio~ ). A partir de, esto puede ser reescrito como$r<R$, lo que demuestra las aseveraciones concernientes a la convergencia en y

Si$0\le R<\infty$ y$|x-x_0|>R$, entonces

\ [ \ frac {1} {R} >\ frac {1} {|x-x_0|}, \] así implica que\ [ |a_n|^ {1/n}\ ge\ frac {1} {|x-x_0|}\ mbox {\ quad y por lo tanto\ quad} |a_n (x-x_0) ^n|\ ge1 \] para infinitamente muchos valores de$n$. Por lo tanto,$\sum a_n(x-x_0)^n$ diverge (Corolary~) si$|x-x_0|>R$. En particular, la serie diverge para todos$x\ne x_0$ si$R=0$.

Para probar las aseveraciones relativas a las posibilidades en$x=x_0+R$ y$x=x_0-R$ requiere ejemplos, que siguen. (También, ver Ejercicio~.)

El número$R$ definido por es el {} de$\sum a_n(x-x_0)^n$. Si$R>0$, el intervalo {}$(x_0-R, x_0+R)$, o$(-\infty,\infty)$ if$R=\infty$, es el {} de la serie. Teorem~ dice que una serie de potencias con un radio de convergencia distinto de cero converge de manera absolutamente uniforme en cada subconjunto compacto de su intervalo de convergencia y diverge en cada punto en el exterior de este intervalo. En este último podemos hacer una afirmación más fuerte: No solo$\sum a_n(x-x_0)^n$ diverge si$|x-x_0|>R$, sino que la secuencia$\{a_n(x-x_0)^n\}$ está sin límites en este caso (Ejercicio~

El siguiente teorema proporciona una expresión para$R$ que, en su caso, suele ser más fácil de usar que.

Del Teorem~, basta con mostrar que si\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.4} L=\ lim_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {a_ {n+1}} {a_n}\ derecha| \ end {ecuación}\] existe en los reales extendidos, entonces\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.5} L=\ limsup_ {n\ a\ infty} |a_n|^ {1/n}. \ end {ecuación}\] Vamos a mostrar que esto es así si$0<L<\infty$ y dejar los casos donde$L=0$ o$L=\infty$ a ti (Ejercicio~).

Si se mantiene con$0<L<\infty$ y$0<\epsilon<L$, hay un entero$N$ tal que\ [ L-\ épsilon<\ izquierda|\ frac {a_ {m+1}} {a_m}\ derecha|<l+\ épsilon\ mbox {\ quad if\ quad} m\ ge N, \] so\ [ |a_m| (L-\ épsilon) <|a_ {m+1} |<|a_m| | (L+\ épsilon)\ mbox {\ quad if\ quad} m \ ge N. \] Por inducción,\ [ |A_n| (L-\ épsilon) ^ {n-n} <|A_n|<|A_n| (L+\ épsilon) ^ {n-n}\ mbox {\ quad si\ quad} n> N. \] Por lo tanto, si\ [ k_1=|a_n| (L-\ épsilon) ^ {-N}\ mbox {\ quad y\ quad} k_2 =|a_n| (L+ \ épsilon) ^ {-N}, \] entonces\ [\ comenzar {ecuación}\ etiqueta {eq:4.5.6} K^ {1/n} _1 (L-\ épsilon) <|a_n|^ {1/n} <K^ {1/n} _2 (L+\ épsilon). \ end {ecuación}\] Dado que$\lim_{n\to\infty} K^{1/n}=1$ si$K$ hay algún número positivo, implica que\ [ L-\ épsilon\ le\ liminf_ {n\ a\ infty} |a_n|^ {1/n}\ le \ limsup_ {n\ a\ infty} |a_n|^ {1/n}\ le L+\ épsilon. \] Dado que$\epsilon$ es un número positivo arbitrario, se deduce que \ [\ lim_ {n\ a\ infty} |a_n|^ {1/n} =L, \] lo que implica.

Ahora estudiamos las propiedades de las funciones definidas por series de potencia. En adelante, consideramos solo series de potencia con radios de convergencia distintos de cero.

Primero, las series en y son las mismas, ya que estas últimas se obtienen desplazando el índice de suma en la primera. Desde\ [\ begin {eqnarray*} \ limsup_ {n\ a\ infty} ((n+1) |a_n|) ^ {1/n}\ ar= \ limsup_ {n\ a\ infty} (n+1) ^ {1/n} |a_n|^ {1/n}\\ \ ar=\ izquierda (\ lim_ {n\ a\ infty} (n) ^ {1/n}\ derecha)\ izquierda (\ limsup_ {n\ a \ infty} |a_n|^ {1/n}\ derecha)\ mbox {\ quad (Ejercicio~\ ref {exer:4.1.30}\ parte {a}})\\ \ ar=\ izquierda [\ lim_ {n\ a\ infty }\ exp\ izquierda (\ frac {\ log (n+1)} {n}\ derecha) \ derecha]\ izquierda (\ limsup_ {n\ a\ infty} |a_n|^ {1/n}\ derecha) =\ frac {e^0} { R} =\ frac {1} {R}, \ end {eqnarray*}\] el radio de convergencia de la potencia series en is$R$ (Teorem~). Por lo tanto, la serie de potencia en converge uniformemente en cada intervalo$[x_0-r, x_0+r]$ tal que$0<r<R$, y Teorem~ implica ahora para todos$x$ en$(x_0-R, x_0+R)$.

Teorem~ se puede fortalecer de la siguiente manera.

La prueba es por inducción. La aseveración es cierta para$k=1$, por Teoremo~. Supongamos que para algunos es cierto$k\ge1$. Al desplazar el índice de suma, podemos reescribir como\ [ f^ {(k)} (x) =\ suma^\ infty_ {n=0} (n+k) (n+k-1)\ cdots (n+1) a_ {n+k} (x-x_0) ^n, \ quad |x-x_0|<R. \]

Definiendo\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.12} b_n =( n+k) (n+k-1)\ cdots (n+1) a_ {n+k}, \ end {ecuación}\] reescribimos esto como\ [ f^ {(k)} (x) =\ sum^\ infty_ {n=0} b_n (x-x_0) n,\ quad |x-x_0|<R. \] Por Teorem~, podemos diferenciar esta serie término por término para obtener\ [ f^ {(k+1)} (x) =\ suma^\ infty_ {n=1} nb_n ( x-x_0) ^ {n-1},\ quad |x-x_0|<R. \] Sustituyendo de$b_n$ rendimientos\ [ f^ {(k+1)} (x) =\ suma^\ infty_ {n=1} (n+k) (n+k-1)\ cdots (n+1) na_ {n+k} (x-x_0) ^ {n-1},\ quad x-x_0|<R. \] Cambiando el índice de suma rinde\ [ f^ {(k+1)} (x) =\ sum^\ infty_ {n=k+1} n (n-1)\ cdots (n-k) a_n (x-x_0) ^ {n-k-1}, \ quad |x-x_0|<R, \] que es con$k$ reemplazado por$k+1$. Esto completa la inducción.

Teorem~ tiene dos corolarios importantes.

Ajuste$x=x_0$ en rendimientos\ [ f^ {(k)} (x_0) =k! a_k. \] -2em2em

Dejar\ [ f (x) =\ suma^\ infty_ {n=0} a_n (x-x_0) ^n\ mbox {\ quad y\ quad} g (x) = \ suma^\ infty_ {n=0} b_n (x-x_0) ^n. \] De Corolario~,\ [\ comenzar {ecuación}\ etiqueta {eq:4.5.15} a_n=\ frac {f^ {(n)} (x_0)} {n!} \ mbox {\ quad y\ quad} b_n= \ frac {g^ {(n)} (x_0)} {n!}. \ end {ecuación}\]

De,$f=g$ en$(x_0-r,x_0+r)$. Por lo tanto,\ [ f^ {(n)} (x_0) =g^ {(n)} (x_0),\ quad n\ ge0. \] Esto e implica.

Teoremas ~ e implican el siguiente teorema. Te dejamos la prueba (Ejercicio~).

Ejemplo~ presenta una aplicación de este teorema.

Hasta el momento hemos preguntado qué valores de$x$ una determinada serie de potencias convergen, y cuáles son las propiedades de su suma. Ahora hacemos una pregunta relacionada: ¿Qué propiedades garantizan que una función dada$f$ pueda representarse como la suma de una serie de poder convergente en$x-x_0$? Una respuesta parcial a esta pregunta la proporciona lo que ya sabemos: Teorem~ nos dice que$f$ deben tener derivados de todos los órdenes en algún barrio de$x_0$, y Corolary~ nos dice que la única serie de poder en la$x-x_0$ que posiblemente pueda converger$f$ en tal vecindario es\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.16} \ suma^\ infty_ {n=0}\ frac {f^ {(n)} (x_0)} {n!} (x-x_0) ^n. \ end {ecuación}\] Esto se llama el {} (también, el {} de$f$, si$x_0=0$). La$m$ suma parcial de es el polinomio Taylor\ [ T_m (x) =\ sum^m_ {n=0}\ frac {f^ {(n)} (x_0)} {n!} (x-x_0) ^n, \] definido en Sección~2.5.

La serie Taylor de una función infinitamente diferenciable$f$ puede converger a una suma diferente de$f$. Por ejemplo, la función\ [ f (x) =\ left\ {\ casespace\ begin {array} {ll} e^ {-1/x^2}, &x\ ne0,\\ 0, &x=0,\ end {array}\ right. \]

es infinitamente diferenciable en$(-\infty,\infty)$ y$f^{(n)}(0)=0$ para$n\ge0$ (Ejercicise~), por lo que su serie Maclaurin es idéntica a cero.

La respuesta a nuestra pregunta es proporcionada por el teorema de Taylor (Teorem~), que dice que si$f$ es infinitamente diferenciable on$(a,b)$$x$ y$x_0$ están en$(a,b)$ entonces, para cada entero$n\ge0$,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.17} f (x) -T_n (x) =\ frac {f^ {(n+1)} (c_n)} {(n+1)! } (x-x_0) ^ {n-1}, \ end {ecuación}\] donde$c_n$ está entre$x$ y$x_0$. Por lo tanto,\ [ f (x) =\ suma^\ infty_ {n=0}\ frac {f^ {(n)} (x_0)} {n!} (x-x_0) ^n \] para un$x$ in$(a,b)$ si y solo si\ [ \ lim_ {n\ a\ infty}\ frac {f^ {(n+1)} (c_n)} {(n+1)!} (x-x_0) ^ {n+1} =0. \] No siempre es fácil verificar esta condición, porque la secuencia generalmente no$\{c_n\}$ se conoce con precisión, o incluso se define de manera única; sin embargo, el siguiente teorema es suficientemente general para ser útil.

De,\ [ \ |F-t_n\ |_ {i_R}\ le\ frac {r^ {n+1}} {(n+1)!} \ |f^ {(n+1)}\ |_ {i_R}\ le \ frac {r^ {n+1}} {(n+1)!} \ |f^ {(n+1)}\ |_I, \] así implica la conclusión.

No podemos probar de esta manera que la serie binomial converja a$(1+x)^q$ on$(-1,0)$. Esto requiere una forma del resto en el teorema de Taylor que no hemos considerado, o un tipo diferente de prueba por completo (Ejercicio~). El resultado completo es que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.21} (1+x) ^q=\ sum^\ infty_ {n=0}\ binom {q} {n} x^n,\ quad-1<x<1, \ end {ecuación}\] para todos$q$, y, como dijimos anteriormente, la identidad se mantiene para todos$x$ si$q$ es un entero no negativo.

Consideramos ahora la suma y multiplicación de series de poder, y la división de una por otra.

Te dejamos la prueba del siguiente teorema (Ejercicio~).

Supongamos que$R_1\le R_2$. Desde la serie y convergen absolutamente a$f(x)$ y$g(x)$ si$|x-x_0|<R_1$, su producto Cauchy converge a$f(x)g(x)$ if$|x-x_0|<R_1$, por teorem~. El término$n$ th de este producto es\ [ \ sum^n_ {r=0} a_r (x-x_0) ^r b_ {n-r} (x-x_0) ^ {n-r} =\ left (\ sum^n_ {r=0} a_rb_ {n-r}\ right) (x-x_0) ^n=c_n (x-x_0) ^n. \] -4emem_ 4em

El cociente\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.25} f (x) =\ frac {h (x)} {g (x)} \ end {ecuación}\] de dos series de potencia\ [\ begin {eqnarray*} h (x)\ ar=\ sum^\ infty_ {n=0} c_n (x-x_0) ^n,\ quad |x-x_0|<r_1,\\ \ noalign {\ hbox {y}} g (x)\ ar=\ suma^\ infty_ {n=0} b_n (x-x_0) ^n,\ quad |x-x_0|<R_2, \ end {eqnarray*} \] se puede representar como una serie de potencias\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.26} f (x) =\ sum^\ infty_ {n=0} a_n (x-x_0) ^n \ end {ecuación}\] con un radio de convergencia positivo, siempre que\ [ b_0=g (x_0)\ ne0. \] Esto seguramente es plausible. Dado que$g(x_0)\ne0$ y$g$ es continuo cerca$x_0$, el denominador de difiere de cero en un intervalo aproximadamente$x_0$. Por lo tanto,$f$ tiene derivados de todos los órdenes en este intervalo, porque$g$ y$h$ hacer. Sin embargo, la prueba de que la serie Taylor de$f$ aproximadamente$x_0$ converge a$f$ cerca$x_0$ requiere el uso de la teoría de funciones de una variable compleja. Por lo tanto, lo omitimos. Sin embargo, es sencillo calcular los coeficientes en si aceptamos la validez de la expansión. Dado que\ [ f (x) g (x) =h (x), \]

Teorem~ implica que\ [ \ sum^n_ {r=0} a_rb_ {n-r} =c_n,\ quad n\ ge0. \] Resolver estas ecuaciones sucesivamente rinde\ [\ begin {eqnarray*} a_0\ ar=\ frac {c_0} {b_0},\\ a_n\ ar=\ frac {1} {b_0}\ left (c_n-\ sum^ {n-1} _ {r=0} b_ {n-r} a_r\ derecha),\ quad n\ ge1. \ end {eqnarray*}\]

No vale la pena memorizar estas fórmulas. Más bien, suele ser mejor ver el procedimiento de la siguiente manera: Multiplicar las series$f$ (con coeficientes desconocidos) y$g$ según el procedimiento del Teorem~, equiparar los coeficientes resultantes con los de$h$, y resolver las ecuaciones resultantes sucesivamente para$a_0$, $a_1$,.

Del Teorem~, sabemos que una función$f$ definida por una serie de potencia convergente\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.29} f (x) =\ sum^\ infty_ {n=0} a_n (x-x_0) ^n,\ quad |x-x_0|<R, \ end {ecuación}\] es continua en el intervalo abierto$(x_0-R,x_0+R)$. El siguiente teorema se refiere al comportamiento de$f$ como$x$ se acerca a un punto final del intervalo de convergencia.

Consideramos primero un problema más simple. Que\ [\ comience {eqnarray*} g (y)\ ar=\ suma^\ infty_ {n=0} b_ny^n\\ \ arraytext {y}\\ \ suma^\ infty_ {n=0} b_n\ ar=s\ mbox {\ quad (finito)}. \ end {eqnarray*}\] Mostraremos que\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.30} \ lim_ {y\ a 1-} g (y) =s. \ end {ecuación}\]

De Ejemplo~,\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.31} g (y) =( 1-y)\ suma^\ infty_ {n=0} s_ny^n, \ end {ecuación}\] donde\ [ s_n=b_0+b_1+\ cdots+b_n. \] Desde\ [\ begin {ecuación}\ label {eq:4.5.32} \ frac {1} {1-y} =\ sum^\ infty_ {n=0} y^n\ mbox {\ quad y por lo tanto \ quad} 1 =( 1-y)\ sum_ {n=0} ^\ infty y^n,\ quad|y|& lt; 1, \ end {ecuación}\] podemos multiplicar por$s$ y escribir\ [ s =( 1-y)\ sum^\ infty_ {n=0} sy^n,\ quad |y|<1. \] Restando esto de rendimientos\ [ g (y) -s =( 1-y)\ sum^\ infty_ {n=0} (s_n-s) y^n,\ quad |y|<1. \] Si$\epsilon>0$, elija$N$ para que\ [ |s_n-s|<\ epsilon\ mbox {\ quad if\ quad} n\ ge N+1. \] Entonces, si$0<y<1$,\ [\ begin {eqnarray*} |g (y) -s|\ ar\ le (1-y)\ sum^n_ {n=0} |s_n-s| y^n+ (1-y)\ sum^\ infty_ {n=n+1} |s_n-s|y^n\ \ ar< (1-y)\ suM^n_ {n=0} s_n-s|y^n+ (1-y)\ épsilon y^ {N+1} \ suma^\ infty_ {n=0} y^n\ \ ar< (1-y)\ SUM^n_ {n=0} |s_n-s|+\ epsilon, \ end {eqnarray*}\] debido a la segunda igualdad en. Por lo tanto,\ [ |g (y) -s|<2\ épsilon \] si\ [ (1-y)\ SUM^n_ {n=0} |s_n-s|<\ épsilon. \] Esto demuestra.

Para obtener de esto, dejar$b_n=a_nR^n$ y$g(y)=f(x_0+Ry)$; para obtener

, vamos$b_n=(-1)^na_nR^n$ y$g(y)=f(x_0-Ry)$.