12.1: Principio del Argumento

Configuración

\(\gamma\)una curva cerrada simple, orientada en sentido contrario a las agujas del reloj. \(f(z)\)analítico por dentro y por dentro\(\gamma\), a excepción de (posiblemente) algunos polos finitos dentro (no encendido)\(\gamma\) y algunos ceros dentro (no encendido)\(\gamma\).

\(p_1, \ ..., p_m\)Dejen ser los polos del\(f\) interior\(\gamma\).
\(z_1, \ ..., z_n\)Dejen ser los ceros del\(f\) interior\(\gamma\).
Escribe mult\((z_k)\) = la multiplicidad del cero at\(z_k\). Del mismo modo escribir mult (\(p_k\)) = el orden del polo en\(p_k\).

Comenzamos con un teorema que conducirá al principio argumentativo.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Con la configuración anterior

\[\int_{\gamma} \dfrac{f'(z)}{f(z)} \ dz = 2\pi i (\sum \text{mult} (z_k) - \sum \text{mult} (p_k)).\]

Prueba

Para probar este teorema necesitamos entender los polos y residuos de\(f'(z)/f(z)\). Con esto en mente, supongamos que\(f(z)\) tiene un cero de orden\(m\) en\(z_0\). La serie Taylor para\(f(z)\) near\(z_0\) es

\[f(z) = (z - z_0)^m g(z)\]

donde\(g(z)\) es analítico y nunca 0 en un pequeño barrio de\(z_0\). Esto implica

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{f'(z)}{f(z)}} & = & {\dfrac{m(z - z_0)^{m - 1} g(z) + (z - z_0)^m g'(z)}{(z - z_0)^m g(z)}} \\ {} & = & {\dfrac{m}{z - z_0} + \dfrac{g'(z)}{g(z)}} \end{array}\]

Ya que nunca\(g(z)\) es 0,\(g'(z)/g(z)\) es analítico cerca\(z_0\). Esto implica que\(z_0\) es un simple polo de\(f'(z)/f(z)\) y

\[\text{Res} (\dfrac{f'(z)}{f(z)}, z_0) = m \text{mult} (z_0).\]

Del mismo modo, si\(z_0\) es un polo de orden\(m\) entonces la serie Laurent para\(f(z)\) cerca\(z_0\) es

\[f(z) = (z - z_0)^{-m} g(z)\]

donde\(g(z)\) es analítico y nunca 0 en un pequeño barrio de\(z_0\). Así,

\[\begin{array} {rcl} {\dfrac{f'(z)}{f(z)}} & = & {-\dfrac{m(z - z_0)^{-m - 1} g(z) + (z - z_0)^{-m} g'(z)}{(z - z_0)^{-m} g(z)}} \\ {} & = & {-\dfrac{m}{z - z_0} + \dfrac{g'(z)}{g(z)}} \end{array}\]

Nuevamente tenemos que\(z_0\) es un simple polo de\(f'(z)/f(z)\) y

\[\text{Res} (\dfrac{f'(z)}{f(z)}, z_0) = -m = -\text{mult} (z_0).\]

El teorema ahora sigue inmediatamente del Teorema de Residuos:

\[\begin{array} {rcl} {\int_{\gamma} \dfrac{f'(z)}{f(z)} \ dz} & = & {2\pi i \text{ sum of the residues}} \\ {} & = & {2\pi i (\sum \text{mult} (z_k) - \sum \text{mult} (p_k)).} \end{array}\]

Definición

Escribimos\(Z_{f, \gamma}\) para la suma de multiplicidades de los ceros del\(f\) interior\(\gamma\). De igual manera para\(P_{f, \gamma}\). Así dice el Teorema 12.2.1,

\[\int_{\gamma} \dfrac{f'}{f} \ dz = 2\pi i (Z_{f, \gamma} - P_{f, \gamma}).\]

Definición: Número de bobinado

Tenemos una intuición para lo que esto significa. Lo definimos formalmente a través de la fórmula de Cauchy. Si\(\gamma\) es una curva cerrada entonces su número de devanado (o índice) sobre\(z_0\) se define como

\[\text{Ind} (\gamma, z_0) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{1}{z - z_0}\ dz.\]

Mapeo de curvas:\(f \circ \gamma\)

Una de las nociones clave en este tema es mapear una curva a otra. Es decir, si\(z = \gamma (t)\) es una curva y\(w = f(z)\) es una función, entonces\(w = f \circ \gamma (t) = f(\gamma (t))\) es otra curva. Decimos\(f\) mapas\(\gamma\) a\(f \circ \gamma\). Esto lo hemos hecho frecuentemente en el pasado, pero es lo suficientemente importante para nosotros ahora, para que nos detengamos aquí y demos algunos ejemplos. Este es un concepto clave en el principio de argumento y debes asegurarte de estar muy cómodo con él.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\gamma (t) = e^{it}\) con\(0 \le t \le 2\pi\) (el círculo de la unidad). Vamos\(f(z) = z^2\). Describir la curva\(f \circ \gamma\).

Solución

Claramente\(f \circ \gamma (t) = e^{2it}\) atraviesa el círculo unitario dos veces como\(t\) va de 0 a\(2\pi\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(\gamma (t) = it\) con\(-\infty < t < \infty\) (el\(y\) eje -). Vamos\(f(z) = 1/(z + 1)\). Describir la curva\(f \circ \gamma (t)\).

Solución

\(f(z)\)es una transformación lineal fraccionaria y mapea la línea dada por\(\gamma\) al círculo a través del origen centrado en 12. Al verificar en algunos puntos:

\(f(-i) = \dfrac{1}{-i + 1} = \dfrac{1 + i}{2}\),\(f(0) = 1\),\(f(i) = \dfrac{1}{i + 1} = \dfrac{1 - i}{2}\),\(f(\infty) = 0\).

Vemos que el círculo se recorre en sentido horario a medida que\(t\) va de\(-\infty\) a\(\infty\).

La curva\(z = \gamma (t) = it\) se mapea a\(w = f \circ \gamma (t)) = 1/(it + 1).\)

Principio de Argumento

También verá esto llamado el principio del argumento.

Teorema\(\PageIndex{2}\) Argument principle

Para\(f\) y\(\gamma\) con la misma configuración que arriba

\[\int_{\gamma} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\ dz = 2\pi i \text{Ind} (f \circ \gamma, 0) = 2\pi i (Z_{f, \gamma} - P_{f, \gamma})\]

Prueba

El teorema 12.2.1 demostró que

\[\int_{\gamma} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\ dz = 2\pi i (Z_{f, \gamma} - P_{f, \gamma})\]

Por lo que tenemos que demostrar es que la integral también es igual al número sinuoso dado. Esto es simplemente el cambio de variables\(w = f(z)\). Con este cambio de variables el conteo se\(z = \gamma (t)\) convierte\(w = f \circ \gamma (t)\) y\(dw = f'(z)\ dz\) así

\[\int_{\gamma} \dfrac{f'(z)}{f(z)}\ dz = \int_{f \circ \gamma} \dfrac{dw}{w} = 2\pi i \text{Ind} (f \circ \gamma, 0)\]

La última igualdad en la ecuación anterior proviene de la definición de número sinuoso.

Tenga en cuenta que por suposición\(\gamma\) no pasa por ningún ceros de\(f\), por lo que nunca\(w = f(\gamma (t))\) es cero y\(1/w\) en la integral no es un problema.

Aquí hay un corolario fácil del principio argumental que nos será útil más adelante.

Corolario

Supongamos que\(f \circ \gamma\) no pasa por −1, es decir, no hay ceros de\(1 + f(z)\) on\(\gamma\) entonces

\[\int_{\gamma} \dfrac{f'}{f + 1} = 2\pi i \text{Ind}(f \circ \gamma, -1) = 2\pi i (Z_{1 + f, \gamma} - P_{f, \gamma}).\]

Prueba

Aplicando el principio de argumento en la Ecuación 12.2.11 a la función\(1 + f(z)\), obtenemos

\[\int_{\gamma} \dfrac{(1 + f)' f(z)}{1 + f(z)} \ dz = 2\pi i \text{Ind} (1 + f \circ \gamma, 0) = 2\pi i (Z_{1 + f, \gamma} - P_{1 + f, \gamma}) \nonumber\]

Ahora, podemos comparar cada uno de los términos de esta ecuación con los de la Ecuación 12.2.14:

\[\begin{array} {rclcl} {\int_{\gamma} \dfrac{(1 + f)' f(z)}{1 + f(z)} \ dz} & = & {\int_{\gamma} \dfrac{f' f(z)}{1 + f(z)} \ dz} & \ \ & {(\text{because } (1 + f)' = f')} \\ {\text{Ind} (1 + f \circ \gamma, 0)} & = & {\text{Ind} (f \circ \gamma, -1)} & \ \ & {(1 + f \text{ winds around 0 } \Leftrightarrow \text{ winds around -1})} \\ {Z_{1 + f, \gamma}} & = & {Z_{1 + f, \gamma}} & \ \ & {(\text{same in both equation}))} \\ {P_{1 + f, \gamma}} & = & {P_{f, \gamma}} & \ \ & {(\text{poles of } f = \text{poles of } 1 + f)} \end{array}\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Vamos\(f(z) = z^2 + z\) Encuentra el número de bobinado de\(f \circ \gamma\) alrededor de 0 para cada una de las siguientes curvas.

1. \(\gamma_1\)= círculo de radio 2.
2. \(\gamma_2\)= círculo de radio 1/2.
3. \(\gamma_3\)= círculo de radio 1.

Solución

\(f(z)\)tiene ceros en 0, −1. No tiene polos.

Entonces, no\(f\) tiene polos y dos ceros en su interior\(\gamma_1\). El principio argumental dice\(\text{Ind} (f \circ \gamma_1 , 0) = Z_{f, \gamma_1} - P_{f, \gamma} = 2\)

De igual manera no\(f\) tiene polos y uno cero dentro\(\gamma_2\), por lo que\(\text{Ind} (f \circ \gamma_2, 0) = 1 - 0 = 1\)

Para\(\gamma_3\) un cero de\(f\) está en la curva, es decir\(f(-1) = 0\), entonces no se aplica el principio del argumento. La imagen de\(\gamma_3\) se muestra en la siguiente figura — pasa por 0.

La imagen de 3 círculos diferentes debajo\(f(z) = z^2 + z\).

Teorema de Rouché

Teorema\(\PageIndex{3}\): Rouché’s theorem

Haga las siguientes suposiciones:

• \(\gamma\)es una simple curva cerrada
• \(f, h\)son funciones analíticas dentro y dentro\(\gamma\), a excepción de algunos polos finitos.
• No hay polos de\(f\) y\(h\) sobre\(\gamma\).
• \(|h| < |f|\)en todas partes\(\gamma\).

Entonces

\[\text{Ind} (f \circ \gamma, 0) = \text{Ind} ((f + h) \circ \gamma, 0).\]

Es decir,

\[Z_{f, \gamma} - P_{f, \gamma} = Z_{f + h, \gamma} - P_{f + h, \gamma}\]

Prueba

En clase dimos una prueba heurística que involucra a una persona paseando a un perro con una correa de longitud\(h \circ \gamma\).\(f \circ \gamma\) Aquí está la prueba analítica.

El principio de argumento requiere que la función no tenga ceros ni polos encendidos\(\gamma\). Entonces primero demostramos que esto es cierto de\(f, f + h, (f + h)/f\). El argumento es va de la siguiente manera.

Ceros: El hecho de que\(0 \le |h| < |f|\) el\(\gamma\) implica no\(f\) tiene ceros encendidos\(\gamma\). También implica que no\(f + h\) tiene ceros encendidos\(\gamma\), ya que el valor de nunca\(h\) es lo suficientemente grande como para cancelar el de\(f\). Desde\(f\) y no\(f + h\) tienen ceros, tampoco\((f + h)/f\).

Polos: Por suposición\(f\) y no\(h\) tienen polos\(\gamma\) encendidos, así que no\(f + h\) tiene polos ahí. Ya que no\(f\) tiene zeors on\(\gamma\), no\((f + h)/f\) tiene polos ahí.

Ahora podemos aplicar el principio de argumento a\(f\) y\(f + h\)

\[\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{f'}{f} \ dz = \text{Ind} (f \circ \gamma, 0) = Z_{f, \gamma} - P_{f, \gamma}.\]

\[\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{(f + h)'}{f + h} \ dz = \text{Ind} ((f + h) \circ \gamma, 0) = Z_{f + h, \gamma} - P_{f + h, \gamma}.\]

A continuación, por suposición\(|\dfrac{h}{f}| < 1\), así\((\dfrac{h}{f}) \circ \gamma\) es dentro del círculo unitario. Esto significa que se\(1 + \dfrac{h}{f} = \dfrac{f + h}{f}\) mapea\(\gamma\) al interior del disco de la unidad centrado en 1. (Deberías dibujar una cifra para esto). Esto implica que

\[\text{Ind} ((\dfrac{f + h}{f}) \circ \gamma, 0) = 0.\]

Vamos\(g = \dfrac{f + h}{f}\). Lo anterior dice\(\text{Ind} (g \circ \gamma, 0) = 0\). Entonces,\(\int_{\gamma} \dfrac{g'}{g} \ dz = 0\). (Mostramos arriba que no\(g\) tiene ceros ni polos encendidos\(\gamma\).)

Ahora, es fácil calcularlo\(\dfrac{g'}{g} = \dfrac{(f + h)'}{f + h} - \dfrac{f'}{f}\). Entonces, usando

\[\text{Ind} (g \circ \gamma, 0) = \int_{\gamma} \dfrac{g'}{g}\ dz = \int_{\gamma} \dfrac{(f + h)'}{f + h} \ dz - \int_{\gamma} \dfrac{f'}{f} \ dz = 0 \Rightarrow \text{Ind} ((f + h) \circ \gamma, 0) = \text{Ind} (f \circ \gamma, 0).\]

Ahora nos dicen las ecuaciones 12.2.19 y 12.2.20\(Z_{f, \gamma} - P_{f, \gamma} = Z_{f + h, \gamma} - P_{f + h, \gamma}\), es decir, hemos probado el teorema de Rouchés.

Corolario

Bajo las mismas hipótesis, Si\(h\) y\(f\) son analíticos (sin polos) entonces

\[Z_{f, \gamma} = Z_{f + h, \gamma}.\]

Prueba

Ya que las funciones son analíticas\(P_{f, \gamma}\) y\(P_{f + h, \gamma}\) son ambas 0. Así lo demuestra la Ecuación 12.2.18\(Z_f = Z_{f + h}\). \(\text{QED}\)

Pensamos en\(h\) como una pequeña perturbación de\(f\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Mostrar todos los 5 ceros de\(z^5 + 3z + 1\) están dentro de la curva\(C_2: |z| = 2\).

Solución

Dejar\(f(z) = z^5\) y\(h(z) = 3z + 1\). Claramente las 5 raíces de\(f\) (realmente una raíz con multiplicidad 5) están dentro\(C_2\). También claramente,\(|h| < 7 < 32 = |f|\) en\(C_2\). El corolario del teorema de Rouchés dice que las 5 raíces de también\(f + h = z^5 + 3z + 1\) deben estar dentro de la curva.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Show\(z + 3 + 2e^z\) tiene una raíz en el medio plano izquierdo.

Solución

Vamos\(f(z) = z + 3\),\(h(z) = 2e^z\). Considere el contorno de\(-iR\) a\(iR\) lo largo del\(y\) eje -y luego el semicírculo izquierdo de radio de\(R\) nuevo a\(-iR\). Es decir, el contorno que\(C_1 + C_R\) se muestra a continuación.

Para aplicar el corolario al teorema de Rouchés necesitamos verificar eso (para\(R\) grandes)\(|h| < |f|\) on\(C_1 + C_R\). On\(C_1\),\(z = iy\), so

\[|f(z)| = |3 + iy| \ge 3, \ \ \ |h(z)| = 2|e^{iy}| = 2.\]

Así\(|h| < |f|\) sucesivamente\(C_1\).

En\(C_R\),\(z = x + iy\) con\(x < 0\) y\(|z| = R\). Entonces,

\[|f(z)| > R - 3 \text{ for } R \text{ large, } |h(z)| = 2|e^{x + iy}| = 2e^x < 2 \text{ (since } x < 0).\]

Así\(|h| < |f|\) sucesivamente\(C_R\).

El único cero de\(f\) ia at\(z = -3\), que se encuentra dentro del contorno.

Por lo tanto, por el Corolario al teorema de Rouchés,\(f + h\) tiene el mismo número de raíces que\(f\) dentro del contorno, es decir 1. Ahora\(R\) vamos al infinito y vemos que\(f + h\) tiene sólo una raíz en todo el medio plano.

Teorema\(\PageIndex{4}\): Fundamental Theorem of Algebra

El teorema de Rouchés se puede utilizar para probar el teorema fundamental del álgebra de la siguiente manera.

Prueba

Vamos

\[P(z) = z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + \ ... + a_0\]

ser un polinomio de orden\(n\) th. Dejar\(f(z) = z^n\) y\(h = P - f\). Elige un\(R\) tal que\(R > \text{max} (1, n |a_{n - 1}|, ..., n|a_0|)\). Entonces en\(|z| = R\) tenemos

\[|h| \le |a_{n - 1}| R^{n - 1} + |a_{n - 2}| R^{n - 2} + \ ... + |a_0| \le \dfrac{R}{n} R^{n - 1} + \dfrac{R}{n} R^{n - 2} + \ ... + \dfrac{R}{n} < R^n.\]

En\(|z| = R\) tenemos\(|f(z)| = R^n\), así que hemos mostrado\(|h| < |f|\) en la curva. Así, el corolario al teorema de Rouchés dice\(f + h\) y\(f\) tienen el mismo número de ceros en su interior\(|z| = R\). Como sabemos que\(f\) tiene exactamente\(n\) ceros dentro de la curva lo mismo es cierto para el polinomio\(f + h\). Ahora\(R\) vamos al infinito, hemos demostrado que\(f + h\) tiene exactamente\(n\) ceros en todo el plano.

Nota

La prueba da un simple límite sobre el tamaño de los ceros: todos son tienen magnitud menor o igual a\(\text{max} (1, n |a_{n - 1}|, ..., n|a_0|)\).