18.4: Clasificación de Expresiones y Ecuaciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 161259

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)

\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)

\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

Polinomios

Polinomios

Consideremos la colección de todas las expresiones algebraicas que no contienen variables en los denominadores de fracciones y donde todos los exponentes en las cantidades variables son números enteros. Las expresiones de esta colección se denominan polinomios.

Algunas expresiones que son polinomios son

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(3x^4\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(\dfrac{2}{5}x^2y^6\)

Se produce una fracción, pero no aparece ninguna variable en el denominador.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(5x^3+3x^2-2x+1\)

Algunas expresiones que no son polinomios son

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{3}{x}-16\)

Una variable aparece en el denominador

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(4x^2 - 5x + x^{-3}\)

Un exponente negativo aparece en una variable

Clasificación de polinomios

Los polinomios se pueden clasificar utilizando dos criterios: el número de términos y el grado del polinomio.

Número de términos	Nombre	Ejemplo	Comentar
Uno	Monmial	\(4x^2\)	mono significa “uno” en griego
Dos	Binomial	\(4x^2 - 7x\)	bi significa “dos” en latín
Tres	Trinomio	\(4x^2-7x+3\)	Tri significa “tres” en griego
Cuatro o más	Polinomio	\(4x^3-7x^2+3x-1\)	Poly significa “muchos” en griego

Grado de un Término que Contiene Una Variable

El grado de un término que contiene solo una variable es el valor del exponente de la variable. Los exponentes que aparecen en los números no afectan el grado del término. Consideramos solo el exponente de la variable. Por ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

\(5x^3\)es un monomio de grado\(3\).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

\(60a^5\)es un monomio de grado\(5\).

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

\(21b^2\)es un monomio de grado\(2\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

\(8\)es un monomio de grado 0. Decimos que un número distinto de cero es un término de\(0\) grado ya que podría escribirse como\(8x^0\). Ya que\(x^0=1(x\not =0)\),\(8x^0=8\). El exponente sobre la variable es\(0\) así que debe ser de grado\(0\). (Por convención, el número no\(0\) tiene título.)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

\(4x\)es un monomio de primer grado. \(4x\)podría escribirse como\(4x^1\). El exponente sobre la variable es\(1\) así que debe ser de primer grado.

Grado de un Término que Contiene Varias Variables

El grado de un término que contiene más de una variable es la suma de los exponentes de las variables, como se muestra a continuación.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

\(4x^2y^5\)es un monomio de grado\(2 + 5 = 7\). Se trata de un monomio de 7º grado.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

\(37ab^2c^6d^3\)es un monomio de grado\(1 + 2 + 6 + 3 = 12\). Se trata de un monomio de 12 grados.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

\(5xy\)es un monomio de grado\(1 + 1 = 2\). Se trata de un monomio de 2do grado.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el grado del término de grado más alto; por ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{14}\)

\(2x^3 + 6x - 1\)es un trinomio de grado\(3\). El primer término,\(2x^3\), es el término del grado más alto. Por lo tanto, su grado es el grado del polinomio.

Ejemplo\(\PageIndex{15}\)

\(7y -10y^4\)es un binomio de grado\(4\).

Ejemplo\(\PageIndex{16}\)

\(a - 4 + 5a^2\)es un trinomio de grado\(2\).

Ejemplo\(\PageIndex{17}\)

\(2x^6 + 9x^4 - x^7 - 8x^3 + x - 9\)es un polinomio de grado\(7\).

Ejemplo\(\PageIndex{18}\)

\(4x^3y^5 - 2xy^3\)es un binomio de grado\(8\). El grado del primer término es\(8\).

Ejemplo\(\PageIndex{19}\)

\(3x + 10\)es un binomio de grado\(1\).

Cuadrático lineal cúbico

Los polinomios de primer grado se denominan polinomios lineales.
Los polinomios de segundo grado se denominan polinomios cuadráticos.
Los polinomios de tercer grado se denominan polinomios cúbicos.
Los polinomios de cuarto grado se denominan polinomios de cuarto grado.
Los polinomios de enésimo grado se denominan polinomios de grado\(n\) th.
Las constantes distintas de cero son polinomios de 0º grado.

A continuación se presentan algunos ejemplos de estos polinomios:

Ejemplo\(\PageIndex{20}\)

\(4x - 9\)es un polinomio lineal.

Ejemplo\(\PageIndex{21}\)

\(3x^2 + 5x - 7\)es un polinomio cuadrático.

Ejemplo\(\PageIndex{22}\)

\(8y - 2x^3\)es un polinomio cúbico

Ejemplo\(\PageIndex{23}\)

\(16a^2 - 32a^5 - 64\)es un polinomio de 5to grado.

Ejemplo\(\PageIndex{24}\)

\(x^{12} - y^{12}\)es un polinomio de 12 grados.

Ejemplo\(\PageIndex{25}\)

\(7x^5y^7z^3 - 2x^4y^7z + x^3y^7\)es un polinomio de 15 grados. El primer término es de grado\(5 + 7 + 3 = 15\).

Ejemplo\(\PageIndex{26}\)

\(43\)es un polinomio de 0 grados.

Clasificación de Ecuaciones Polinómicas

Como sabemos, una ecuación está compuesta por dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual. Si las dos expresiones resultan ser expresiones polinómicas, entonces podemos clasificar la ecuación según su grado. La clasificación de ecuaciones por grado es útil ya que las ecuaciones del mismo grado tienen el mismo tipo de gráfica. (Estudiaremos gráficas de ecuaciones en el Capítulo 8.)

El grado de una ecuación es el grado de expresión del grado más alto.

Conjunto de Muestras A

Ejemplo\(\PageIndex{27}\)

\(x + 7 = 15\).

Esta es una ecuación lineal ya que es de grado 1, el grado de la expresión a la izquierda del signo “=”.

Ejemplo\(\PageIndex{28}\)

\(5x^2 + 2x - 7 = 4\)es una ecuación cuadrática ya que es de grado 2.

Ejemplo\(\PageIndex{29}\)

\(9x^3 - 8 = 5x^2 + 1\)

Ejemplo\(\PageIndex{30}\)

\(y^4 - x^4 = 0\)es una ecuación de 4to grado.

Ejemplo\(\PageIndex{31}\)

\(a^5 - 3a^4 = -a^3 + 6a^4 - 7\)es una ecuación de 5º grado.

Ejemplo\(\PageIndex{32}\)

\(y = \dfrac{2}{3}x + 3\)es una ecuación lineal.

Ejemplo\(\PageIndex{33}\)

\(y = 3x^2 - 1\)es una ecuación cuadrática.

Ejemplo\(\PageIndex{34}\)

\(x^2y^2 - 4 = 0\)ios una ecuación de 4to grado. El grado de\(x^2y^2 - 4\) es\(2 + 2 = 4\).

Conjunto de práctica A

Clasificar las siguientes ecuaciones en términos de su grado.

Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

\(3x + 6 = 0\)

Contestar: Primero, o lineal

Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

\(9x^2 + 5x - 6 = 3\)

Contestar: Cuadrático

Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

\(25y^3 + y = 9y^2 - 17y + 4\)

Contestar: Cúbico

Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

\(x = 9\)

Contestar: Lineal

Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

\(y = 2x + 1\)

Contestar: Lineal

Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

\(3y = 9x^2\)

Contestar: Cuadrático

Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

\(x^2 - 9 = 0\)

Contestar: Cuadrático

Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

\(y = x\)

Contestar: Lineal

Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

\(5x^7 = 3x^5 - 2x^8 + 11x - 9\)

Contestar: octavo grado

Ejercicios

Para los siguientes problemas, clasifique cada polinomio como monomio, binomio o trinomio. Anotar el grado de cada polinomio y escribir el coeficiente numérico de cada término.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(5x+7\)

Contestar: binomial; primero (lineal); 5,7

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(16x + 21\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(4x^2 + 9\)

Contestar: binomio; segundo (cuadrático); 4,9

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(7y^3 + 8\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(a^4 + 1\)

Contestar: binomio; cuarto; 1,1

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(2b^5 - 8\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(5x\)

Contestar: monomio; primero (lineal); 5

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(7a\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(5x^3 + 2x + 3\)

Contestar: trinomio; tercero (cúbico); 5,2,3

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(17y^4 + y^5 - 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(41a^3 + 22a^2 + a\)

Contestar: trinomio; tercero (cúbico); 41,22,1

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(6y^2 + 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(2c^6 + 0\)

Contestar: monomio; sexto; 2

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(8x^2 - 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(9g\)

Contestar: monomio; primero (lineal); 9

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(5xy + 3x\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(3yz - 6y + 11\)

Contestar: trinomio; segundo (cuadrático); 3, −6,11

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(7ab^2c^2 + 2a^2b^3c^5 + a^{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(x^4y^3z^2 + 9z\)

Contestar: binomio; noveno; 1,9

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(5a^3b\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(6 + 3x^2y^5b\)

Contestar: binomio; octavo; 6,3

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(-9 + 3x^2 + 2xy6z^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(5\)

Contestar: monomio; cero; 5

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(3x^2y^0z^4 + 12z^3, y \not = 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(4xy^3z^5w^0, w \not = 0\)

Contestar: monomio; noveno; 4

Clasificar cada una de las ecuaciones para los siguientes problemas por grado. Si se aplica el término lineal, cuadrático o cúbico, indíquelo.

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\(4x + 7 = 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\(3y - 15 = 9\)

Contestar: lineal

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\(y = 5s + 6\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\(y = x^2 + 2\)

Contestar: cuadrático

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\(4y = 8x + 24\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\(9z = 12x - 18\)

Contestar: lineal

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\(y^2 + 3 = 2y - 6\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

\(y - 5 + y^3 = 3y^2 + 2\)

Contestar: cúbico

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

\(x^2 + x - 4 = 7x^2 - 2x + 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

\(2y + 5x - 3 + 4xy = 5xy + 2y\)

Contestar: cuadrático

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

\(3x - 7y = 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

\(8a + 2b = 4b - 8\)

Contestar: lineal

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

\(2x^5 - 8x^2 + 9x + 4 = 12x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 1\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

\(x - y = 0\)

Contestar: lineal

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

\(x^2 - 25 = 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

\(x^3 - 64 = 0\)

Contestar: cúbico

Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

\(x^{12} - y^{12} = 0\)

Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

\(x + 3x^5 = x + 2x^5\)

Contestar: quinto grado

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

\(3x^2 + 2x - 8y = 14\)

Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

\(10a^2b^3c^6e^4 + 27a^3b^2b^4b^3b^2c^5 = 1, d \not = 0\)

Contestar: 19º grado

Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

La expresión no\(\dfrac{4x^3}{9x-7}\) es un polinomio porque.

Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

La expresión no\(\dfrac{a^4}{7-a}\) es un polinomio porque.

Contestar: .. hay una variable en el denominador

Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

¿Toda expresión algebraica es una expresión polinómica? Si no, dar un ejemplo de una expresión algebraica que no es una expresión polinómica.

Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

¿Cada expresión polinómica es una expresión algebraica? Si no, dar un ejemplo de una expresión polinómica que no sea una expresión algebraica.

Contestar: Sí

Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

¿Cómo encontramos el grado de un término que contiene más de una variable?

Ejercicios para la revisión

Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

Usa la notación algebraica para escribir “once menos tres veces un número es cinco”.

Contestar: \(11 - 3x = 5\)

Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

Simplificar\((x^4y^2z^3)^5\).

Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

Encuentra el valor de\(z\) es\(z = \dfrac{x-u}{s}\) y\(x = 55, u = 49\) y\(s = 3\).

Contestar: \(z = 2\).

Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

Enumerar, en su caso, los factores comunes en la expresión\(3x^4 + 6x^3 - 18x^2\).

Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

Estado (por escribirla) la relación que se expresa por la ecuación\(y = 3x + 5\).

Contestar: El valor de\(y\) es\(5\) más de tres veces el valor de\(x\).