10.1: Ratios y Tarifas

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Objetivos de aprendizaje

ser capaz de distinguir entre números denominados y puros y entre proporciones y tasas

Denominar números y números puros

Denominar números, como y a diferencia
Denominar números A menudo es necesario o conveniente comparar dos cantidades. Los números denominados son números junto con alguna unidad especificada. Si las unidades que se comparan son iguales, los números denominados se denominan números denominados similares. Si las unidades no son iguales, los números se llaman a diferencia de los números denominados. En el diagrama se muestran ejemplos de números denominados:

$8 galones, 32 centavos y 54 millas, todas etiquetadas como denominaciones.$

Números puros
Los números que existen puramente como números y no representan cantidades de cantidades se denominan números puros. Ejemplos de números puros son 8, 254, 0$21 \dfrac{5}{8}$,$\dfrac{2}{5}$, y 0.07.

Los números se pueden comparar de dos maneras: resta y división.

Comparación de números por resta y división La
comparación de dos números por resta indica cuánto más es un número que otro.
La comparación por división indica cuántas veces más grande o menor es un número que otro.

Comparar números puros o similares por resta
Los números se pueden comparar por resta si y solo si ambos son números denominados similares o ambos números puros.

Conjunto de Muestras A

Compara 8 millas y 3 millas por resta.

Solución

$\text{8 miles - 3 miles = 5 miles}$

Esto significa que 8 millas son 5 millas más que 3 millas.

Ejemplos de uso: Ahora puedo trotar 8 millas mientras que solía trotar solo 3 millas. Entonces, ahora puedo trotar 5 millas más de lo que solía hacer.

Conjunto de Muestras A

Compara 12 y 5 por resta.

Solución

$12 - 5 = 7$

Esto quiere decir que 12 es 7 más que 5.

Conjunto de Muestras A

Comparar 8 millas y 5 galones por resta no tiene sentido.

Solución

$\text{8 miles - 5 gallons = ?}$

Conjunto de Muestras A

Compara 36 y 4 por división.

Solución

$36 \div 4 = 9$

Esto significa que 36 es 9 veces más grande que 4. Recordemos que se$36 \div 4 = 9$ puede expresar como$\dfrac{36}{4} = 9$.

Conjunto de Muestras A

Compara 8 millas y 2 millas por división.

Solución

$\dfrac{\text{8 miles}}{\text{2 miles}} = 4$

Esto significa que 8 millas es 4 veces más grande que 2 millas.

Ejemplo de uso: Puedo trotar 8 millas a tus 2 millas. O, por cada 2 millas que trotas, trote 8. Entonces, trote 4 veces más millas que tú trotas.

Observe que cuando se comparan cantidades similares por división, bajamos las unidades. Otra forma de ver esto es que las unidades se dividen (cancelan).

Conjunto de Muestras A

Compara 30 millas y 2 galones por división.

Solución

$\dfrac{\text{30 miles}}{\text{2 gallons}} = \dfrac{\text{15 miles}}{\text{1 gallon}}$

Ejemplo de uso: Un auto en particular va 30 millas con 2 galones de gasolina. Esto es lo mismo que conseguir 15 millas a 1 galón de gasolina.

Observe que cuando las cantidades que se comparan por división son diferentes a las cantidades, no bajamos las unidades.

Conjunto de práctica A

Haz las siguientes comparaciones e interpreta cada una.

Compara 10 disquetes a 2 disquetes por

resta:
división:

Contestar

a. 8 disquetes; 10 disquetes son 8 disquetes más de 2 disquetes.

b. 5; 10 disquetes es 5 veces más disquetes que 2 disquetes.

Conjunto de práctica A

Compara, si es posible, 16 plátanos y 2 bolsas por

resta:
división:

Contestar

a. La comparación por sustracción no tiene sentido.

b.$\dfrac{\text{16 bananas}}{\text{2 bags}} = \dfrac{\text{8 bananas}}{\text{bag}}$, 8 plátanos por bolsa.

Ratios y Tarifas

Definición: Ratio

Una comparación, por división, de dos números puros o dos números denominados similares es una relación.

La comparación por división de los números puros$\dfrac{36}{4}$ y los números denominados similares$\dfrac{\text{8 miles}}{\text{2 miles}}$ son ejemplos de proporciones.

Definición: Tasa

Una comparación, por división, de dos números denominados a diferencia es una tasa.

La comparación por división de dos a diferencia de números denominados, como

$\dfrac{\text{55 miles}}{\text{1 gallon}}$y$\dfrac{\text{40 dollars}}{\text{5 tickets}}$

son ejemplos de tarifas.

Acordemos representar dos números (puros o denominados) con las letras$a$ y$b$. Esto quiere decir que estamos dejando$a$ representar algún número y$b$ representar algún número, tal vez diferente. Con este acuerdo, podemos escribir la relación de los dos números$a$ y$b$ como

$\dfrac{a}{b}$o$\dfrac{b}{a}$

La relación$\dfrac{a}{b}$ se lee como "$a$a”$b$.

La relación$\dfrac{b}{a}$ se lee como "$b$a”$a$.

Dado que una relación o una tasa se puede expresar como una fracción, puede ser reducible.

Conjunto de Muestras B

La relación 30 a 2 se puede expresar como$\dfrac{30}{2}$. Reduciendo, obtenemos$\dfrac{15}{1}$.

La relación 30 a 2 es equivalente a la relación 15 a 1.

Conjunto de Muestras B

La tarifa “4 televisores a 12 personas” se puede expresar como$\dfrac{\text{4 televisions}}{\text{12 people}}$. El significado de esta tarifa es que “por cada 4 televisores, hay 12 personas”.

Reduciendo, obtenemos$\dfrac{\text{1 television}}{\text{3 people}}$. El significado de esta tarifa es que “por cada 1 televisión, hay 3 personas”.

Así, la tasa de “4 televisores a 12 personas” es la misma que la tasa de “1 televisión a 3 personas”.

Conjunto Practicee B

Escribe las siguientes proporciones y tasas como fracciones.

3 a 2

Contestar: $\dfrac{3}{2}$

Conjunto Practicee B

1 a 9

Contestar: $\dfrac{1}{9}$

Conjunto Practicee B

5 libros a 4 personas

Contestar: $\dfrac{\text{5 books}}{\text{4 people}}$

Conjunto Practicee B

120 millas a 2 horas

Contestar: $\dfrac{\text{60 miles}}{\text{1 hour}}$

Conjunto Practicee B

8 litros a 3 litros

Contestar: $\dfrac{8}{3}$

Escriba las siguientes proporciones y tarifas en la forma "$a$a”$b$. Reducir cuando sea necesario.

Conjunto Practicee B

$\dfrac{9}{5}$

Contestar: 9 a 5

Conjunto Practicee B

$\dfrac{1}{3}$

Contestar: 1 a 3

Conjunto Practicee B

$\dfrac{\text{25 miles}}{\text{2 gallons}}$

Contestar: 25 millas a 2 galones

Conjunto Practicee B

$\dfrac{\text{2 mechanics}}{\text{4 wrenches}}$

Contestar: 1 mecánico a 2 llaves

Conjunto Practicee B

$\dfrac{\text{15 video tapes}}{\text{18 video tapes}}$

Contestar: 5 a 6

Ejercicios

Para los siguientes 9 problemas, complete los enunciados.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Se pueden comparar dos números por resta si y solo si.

Contestar: Son números puros o como números denominados.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Una comparación, por división, de dos números puros o dos números denominados similares se llama a.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Una comparación, por división, de dos números denominados a diferencia se llama a.

Contestar: tasa

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$\dfrac{6}{11}$es un ejemplo de un. (relación/tasa)

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$\dfrac{5}{12}$es un ejemplo de un. (relación/tasa)

Contestar: relación

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$\dfrac{\text{7 erasers}}{\text{12 pencils}}$es un ejemplo de un. (relación/tasa)

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$\dfrac{\text{20 silver coins}}{\text{35 gold coins}}$es un ejemplo de un. (relación/tasa)

Contestar: tasa

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$\dfrac{\text{3 sprinklers}}{\text{5 sprinklers}}$es un ejemplo de un. (relación/tasa)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$\dfrac{\text{18 exhaust valves}}{\text{11 exhaust valves}}$es un ejemplo de un. (relación/tasa)

Contestar: relación

Para los siguientes 7 problemas, escribe cada ratio o califica como una frase verbal.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$\dfrac{8}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\dfrac{2}{5}$

Contestar: dos a cinco

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$\dfrac{\text{8 feet}}{\text{3 seconds}}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$\dfrac{\text{29 miles}}{\text{2 gallons}}$

Contestar: 29 millas por 2 galones o$14 \dfrac{1}{2}$ millas por 1 galón

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$\dfrac{\text{30,000 stars}}{\text{300 stars}}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$\dfrac{\text{5 yards}}{\text{2 yards}}$

Contestar: 5 a 2

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$\dfrac{\text{164 trees}}{\text{28 trees}}$

Para los siguientes problemas, escriba la forma fraccionaria simplificada de cada ratio o tasa.

Ejercicio$\PageIndex{17}$

12 a 5

Contestar: $\dfrac{12}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

81 a 19

Ejercicio$\PageIndex{19}$

42 plantas a 5 viviendas

Contestar: $\dfrac{\text{42 plants}}{\text{5 homes}}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

8 libros a 7 escritorios

Ejercicio$\PageIndex{21}$

16 pintas a 1 cuarto de galón

Contestar: $\dfrac{\text{16 pints}}{\text{1 quart}}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

4 cuartos a 1 galón

Ejercicio$\PageIndex{23}$

2.54 cm a 1 in

Contestar: $\dfrac{\text{2.54 cm}}{\text{1 inch}}$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

80 mesas a 18 mesas

Ejercicio$\PageIndex{25}$

25 autos a 10 autos

Contestar: $\dfrac{5}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

37 victorias a 16 derrotas

Ejercicio$\PageIndex{27}$

105 hits a 315 en murciélagos

Contestar: $\dfrac{\text{1 hit}}{\text{3 at bats}}$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

510 millas a 22 galones

Ejercicio$\PageIndex{29}$

1,042 caracteres a 1 página

Contestar: $\dfrac{\text{1,042 characters}}{\text{1 page}}$

Ejercicio$\PageIndex{30}$

1,245 páginas a 2 libros

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{31}$

Convertir$\dfrac{16}{3}$ a un número mixto.

Contestar: $5 \dfrac{1}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$1 \dfrac{5}{9}$de$2 \dfrac{4}{7}$ es ¿qué número?

Ejercicio$\PageIndex{33}$

Encuentra la diferencia. $\dfrac{11}{28} - \dfrac{7}{45}$.

Contestar: $\dfrac{299}{1260}$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

Realizar la división. Si parece que no existen patrones repetitivos, redondea el cociente a tres decimales:$22.35 \div 17$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

Encuentra el valor de$1.85 + \dfrac{3}{8} \cdot 4.1$

Contestar: 3.3875

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