1.1: Definición de la Integral
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Podría decirse que la forma más fácil de introducir la integración es considerando el área entre la gráfica de una función dada y el\(x\) eje -eje, entre dos líneas verticales específicas, tal como se muestra en la figura anterior. Seguiremos esta ruta comenzando con un ejemplo motivador.
Un ejemplo motivador
Busquemos el área bajo la curva\(y=e^x\) (y por encima del\(x\) eje) para Es\(0\le x\le 1\text{.}\) decir, el área de\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le e^x\text{,}\)\(0\le x\le 1\ \big\}\text{.}\)
Esta área es igual a la “integral definitiva”
\ begin {align*}\ text {Área} &=\ int_0^1 e^x\, d {x}\ end {align*}
No te preocupes por esta notación o terminología todavía. Lo discutimos ampliamente a continuación. En diferentes aplicaciones esta cantidad tendrá diferentes interpretaciones —no solo área. Por ejemplo, si\(x\) es tiempo y\(e^x\) es tu velocidad en el tiempo\(x\text{,}\) entonces veremos más adelante (en el Ejemplo 1.1.18) que el área especificada es la distancia neta recorrida entre el tiempo\(0\) y el tiempo\(1\text{.}\) Después de que terminemos con el ejemplo, lo imitaremos para dar una definición general del integral\(\int_a^b f(x) \,d{x}\text{.}\)
Deseamos computar el área de\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le e^x\text{,}\)\(0\le x\le 1\ \big\}\text{.}\) Sabemos, por nuestra experiencia con\(e^x\) en cálculo diferencial, que la curva no\(y=e^x\) se escribe fácilmente en términos de otras funciones más simples, por lo que es muy poco probable que podamos escribir el área como una combinación de geometría más simple objetos como triángulos, rectángulos o círculos.
Entonces, en lugar de tratar de anotar el área exactamente, nuestra estrategia es aproximar el área y luego hacer nuestra aproximación cada vez más precisa 1. Elegimos 2 para aproximar el área como una unión de un gran número de rectángulos altos delgados (verticales). A medida que tomamos cada vez más rectángulos obtenemos mejores y mejores aproximaciones. Tomando el límite a medida que el número de rectángulos va al infinito da el área exacta 3.
Como ejercicio de calentamiento, ahora solo usaremos cuatro rectángulos. En el Ejemplo 1.1.2, a continuación, consideraremos un número arbitrario de rectángulos y luego tomaremos el límite a medida que el número de rectángulos va al infinito. Entonces
- subdividir el intervalo\(0\le x\le 1\) en subintervalos\(4\) iguales cada uno de ancho\(\frac{1}{4}\text{,}\) y
- subdividir el área de interés en cuatro franjas verticales correspondientes, como en la siguiente figura.
El área que queremos es exactamente la suma de las áreas de las cuatro tiras.
Cada una de estas tiras es casi, pero no del todo, un rectángulo. Si bien la parte inferior y los lados son finos (los lados están en ángulo recto con la base), la parte superior de la tira no es horizontal. Aquí es donde debemos comenzar a aproximarnos. Podemos reemplazar cada tira por un rectángulo simplemente nivelando la parte superior. Pero ahora tenemos que tomar una decisión — ¿a qué altura nivelamos la parte superior?
Considera, por ejemplo, la franja más a la izquierda. En esta franja,\(x\) corre de\(0\) a\(\frac{1}{4}\text{.}\) As\(x\) corre de\(0\) a\(\frac{1}{4}\text{,}\) la altura\(y\) corre de\(e^0\) a\(e^{\frac{1}{4}}\text{.}\) Sería razonable elegir la altura del rectángulo de aproximación para estar en algún lugar entre\(e^0\) y\(e^{\frac{1}{4}}\text{.}\) Que
altura ¿debemos elegir? Bueno, en realidad no importa. Cuando finalmente tomamos el límite de infinitamente muchos rectángulos aproximados, todas esas diferentes opciones dan exactamente la misma respuesta final. Más adelante diremos más sobre esto.
En este ejemplo haremos dos cálculos de muestra.
- Para el primer cálculo aproximamos cada rebanada por un rectángulo cuya altura es la altura del lado izquierdo de la rebanada.
- En la primera rebanada,\(x\) corre de\(0\) a\(\frac{1}{4}\text{,}\) y la altura\(y\) va desde el\(e^0\text{,}\) lado izquierdo, hasta\(e^{\frac{1}{4}}\text{,}\) en el lado derecho.
- Entonces aproximamos la primera rebanada por el rectángulo de altura\(e^0\) y ancho\(\frac{1}{4}\text{,}\) y por lo tanto de área\(\frac{1}{4}\,e^0 =\frac{1}{4}\text{.}\)
- En la segunda rebanada,\(x\) corre de\(\frac{1}{4}\) a\(\frac{1}{2}\text{,}\) y la altura\(y\) va desde\(e^{\frac{1}{4}}\) y\(e^{\frac{1}{2}}\text{.}\)
- Entonces aproximamos la segunda rebanada por el rectángulo de altura\(e^{\frac{1}{4}}\) y ancho\(\frac{1}{4}\text{,}\) y por lo tanto de área\(\frac{1}{4}\,e^{\frac{1}{4}}\text{.}\)
- Y así sucesivamente.
- En conjunto, aproximamos el área de interés por la suma de las áreas de los cuatro rectángulos aproximados, que es
\ begin {reunir*}\ big [1+ e^ {\ frac {1} {4}} + e^ {\ frac {1} {2}} +e^ {\ frac {3} {4}}\ grande]\ frac {1} {4} =1.5124\ end {reunión*}
- Esta aproximación particular se llama la “aproximación de la suma de Riemann izquierda a\(\int_0^1 e^x\,d{x}\) con\(4\) subintervalos”. Explicaremos esta terminología más adelante.
- Esta aproximación particular representa el área sombreada en la figura de abajo a la izquierda. Tenga en cuenta que, debido a\(e^x\) que\(x\) aumenta a medida que aumenta, esta aproximación es definitivamente menor que el área verdadera.
- Para el segundo cálculo aproximamos cada rebanada por un rectángulo cuya altura es la altura del lado derecho de la rebanada.
- En la primera rebanada,\(x\) corre de\(0\) a\(\frac{1}{4}\text{,}\) y la altura\(y\) va desde el\(e^0\text{,}\) lado izquierdo, hasta\(e^{\frac{1}{4}}\text{,}\) en el lado derecho.
- Entonces aproximamos la primera rebanada por el rectángulo de altura\(e^{\frac{1}{4}}\) y ancho\(\frac{1}{4}\text{,}\) y por lo tanto de área\(\frac{1}{4}\,e^{\frac{1}{4}}\text{.}\)
- En la segunda rebanada,\(x\) corre de\(\frac{1}{4}\) a\(\frac{1}{2}\text{,}\) y la altura\(y\) va desde\(e^{\frac{1}{4}}\) y\(e^{\frac{1}{2}}\text{.}\)
- Entonces aproximamos la segunda rebanada por el rectángulo de altura\(e^{\frac{1}{2}}\) y ancho\(\frac{1}{4}\text{,}\) y por lo tanto de área\(\frac{1}{4}\,e^{\frac{1}{2}}\text{.}\)
- Y así sucesivamente.
- En conjunto, aproximamos el área de interés por la suma de las áreas de los cuatro rectángulos aproximados, que es
\ begin {reunir*}\ grande [e^ {\ frac {1} {4}} + e^ {\ frac {1} {2}} +e^ {\ frac {3} {4}} +e^1\ grande]\ frac {1} {4} =1.9420\ fin {reunir*}
- Esta aproximación particular se llama la “aproximación de la suma de Riemann derecha a\(\int_0^1 e^x\,d{x}\) con\(4\) subintervalos”.
- Esta aproximación particular representa el área sombreada en la figura de la derecha arriba. Tenga en cuenta que, debido a\(e^x\) que\(x\) aumenta a medida que aumenta, esta aproximación es definitivamente mayor que el área verdadera.
Ahora para el cómputo completo que da el área exacta.
Recordemos que deseamos calcular el área de
\ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ le y\ le e^x,\ 0\ le x\ le 1\\ grande\}\ fin {reunir*}
y que nuestra estrategia es aproximar esta zona por el área de una unión de un gran número de rectángulos muy delgados, para luego tomar el límite a medida que el número de rectángulos va al infinito. En el Ejemplo 1.1.1, utilizamos solo cuatro rectángulos. Ahora vamos a considerar un número general de rectángulos, que llamaremos\(n\text{.}\) Luego tomaremos el límite\(n\rightarrow\infty\text{.}\) Así
- elegir un número natural\(n\) y
- subdividir el intervalo\(0\le x\le 1\) en subintervalos\(n\) iguales cada uno de ancho\(\frac{1}{n}\text{,}\) y
- subdividir el área de interés en tiras delgadas correspondientes, como en la siguiente figura.
El área que queremos es exactamente la suma de las áreas de todas las tiras delgadas.
Cada una de estas tiras es casi, pero no del todo, un rectángulo. Al igual que en el Ejemplo 1.1.1, el único problema es que la parte superior no es horizontal. Entonces aproximamos cada tira por un rectángulo, simplemente nivelando la parte superior. De nuevo, tenemos que tomar una decisión — ¿a qué altura nivelamos la parte superior?
Considera, por ejemplo, la franja más a la izquierda. En esta franja,\(x\) corre de\(0\) a\(\frac{1}{n}\text{.}\) As\(x\) corre de\(0\) a\(\frac{1}{n}\text{,}\) la altura\(y\) corre de\(e^0\) a\(e^{\frac{1}{n}}\text{.}\) Sería razonable elegir la altura del rectángulo de aproximación para estar en algún lugar entre\(e^0\) y\(e^{\frac{1}{n}}\text{.}\) Que altura ¿debemos elegir?
Bueno, como dijimos en el Ejemplo 1.1.1, no importa. En breve tomaremos el límite\(n\rightarrow\infty\) y, en ese límite, todas esas diferentes opciones dan exactamente la misma respuesta final. No vamos a justificar esa afirmación en este ejemplo, pero en breve habrá una sección (opcional) que proporcione la justificación. Para este ejemplo simplemente, arbitrariamente, elegimos la altura de cada rectángulo para que sea la altura de la gráfica\(y=e^x\) al valor más pequeño de\(x\) en la tira 4 correspondiente. La figura de abajo a la izquierda muestra los rectángulos aproximantes cuando\(n=4\) y la figura de la derecha muestra los rectángulos aproximantes cuando\(n=8\text{.}\)
Ahora calculamos el área de aproximación cuando hay\(n\) tiras.
- Aproximamos la tira más a la izquierda por un rectángulo de altura\(e^0\text{.}\) Todos los rectángulos tienen ancho\(\frac{1}{n}\text{.}\) Así que el rectángulo más a la izquierda tiene área\(\frac{1}{n}e^0\text{.}\)
- En el número de tira\(2\text{,}\)\(x\) va de\(\frac{1}{n}\) a\(\frac{2}{n}\text{.}\) Así que el valor más pequeño de\(x\) en el número de tira\(2\) es\(\frac{1}{n}\text{,}\) y aproximamos el número de tira\(2\) por un rectángulo de altura\(e^{\frac{1}{n}}\) y por lo tanto de área\(\frac{1}{n}e^{\frac{1}{n}} \text{.}\)
- Y así sucesivamente.
- En la última tira,\(x\) corre de\(\frac{n-1}{n}\) a\(\frac{n}{n}=1\text{.}\) Así que el valor más pequeño de\(x\) en la última tira es\(\frac{n-1}{n}\text{,}\) y aproximamos la última tira por un rectángulo de altura\(e^{\frac{(n-1)}{n}}\) y por lo tanto de área\(\frac{1}{n}e^{\frac{(n-1)}{n}} \text{.}\)
El área total de todos los rectángulos aproximados es
\ begin {align*}\ text {Área aproximada total} &=\ frac {1} {n} e^0 +\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}} +\ frac {1} {n} e^ {\ frac {2} {n}} +\ frac {1} {n} e^ {\ frac {3} n}} +\ cdots +\ frac {1} {n} e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\\ &=\ frac {1} {n}\ grande (1+ e^ {\ frac {1} {n}} +e^ {\ frac {2} {n}} +e^ {\ frac {3} {n}} +\ cpuntos+ e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\ Grande)\ final {alinear*}
Ahora la suma entre paréntesis puede parecer un poco intimidante debido a todos los exponenciales, pero en realidad tiene una estructura bastante simple que se puede ver fácilmente si renombramos\(e^{\frac{1}{n}}=r\text{.}\) Entonces
- el primer término es 1 =\(r^0\) y
- el segundo término es\(e^{\frac{1}{n}}=r^1\) y
- el tercer término es\(e^{\frac{2}{n}}=r^2\) y
- el cuarto término es\(e^{\frac{3}{n}}=r^3\) y
- y así sucesivamente y
- el último término es\(e^{\frac{(n-1)}{n}}=r^{n-1}\text{.}\)
Entonces
\ begin {align*}\ text {Área aproximada total} &=\ frac {1} {n}\ left (1+ r +r^2 +\ cdots+ r^ {n-1}\ derecha)\ end {align*}
La suma entre paréntesis se conoce como suma geométrica y satisface una fórmula simple y agradable:
\ begin {reunir*} 1+ r +r^2 +\ cdots+ r^ {n-1} =\ frac {r^n-1} {r-1}\ qquad\ text {proporcionado $r\ ne 1$}\ end {reunir*}
La derivación de la fórmula anterior no es demasiado difícil. Así que vamos a derivarlo en un poco a un lado.
Ahora podemos volver a nuestra aproximación de área armados con el resultado anterior sobre sumas geométricas.
\ begin {align*}\ text {Área aproximada total} &=\ frac {1} {n}\ izquierda (1+ r +r^2 +\ cdots+ r^ {n-1}\ derecha)\\ &=\ frac {1} {n}\ frac {r^n-1} {r^n-1} {r-1}\ qquad\ qquad\ texto {recuerda que $r=e^ {1/n} $}\\ &=\ frac {1} {n}\ frac {e^ {n/n} - 1} {e^ {1/n} -1}\\ &=\ frac {1} {n}\ frac {e - 1} {e^ {1/n} -1}\ end {align*}
Para obtener el área exacta 5 todo lo que tenemos que hacer es hacer la aproximación cada vez mejor tomando el límite\(n\rightarrow \infty\text{.}\) El límite se verá más familiar si renombramos\(\frac{1}{n}\) a\(X\text{.}\) As\(n\) tiende al infinito,\(X\) tiende a\(0\text{,}\) así
\ begin {alinear*}\ texto {Área} &=\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {n}\\ frac {e-1} {e^ {1/n} -1}\\ &= (e-1)\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1/n} {e^ {1/n} -1}\\ &= (e-1)\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {X} {e^x-1} &\ text {(con $X=\ frac {1} {n} $)}\ end {align*}
Examinando este límite vemos que tanto el numerador como el denominador tienden a cero como\(X\to 0\text{,}\) y por lo tanto no podemos evaluar este límite calculando los límites del numerador y denominador por separado y luego dividiendo los resultados. A pesar de ello, el límite no es demasiado difícil de evaluar; aquí damos dos formas:
- Quizás la forma más fácil de calcular el límite es usando la regla 6 de L'hôpital. Dado que tanto el numerador como el denominador van a cero, esta es una forma\(\frac00\) indeterminada. Así
\ begin {alinear*}\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {X} {e^x-1} &=\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {\ dfrac {d} {dX} X} {\ dfrac {d} {dX} (E^x-1)} =\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {1} {E^x} =1\ final {alinear*}
- Otra forma 7 de evaluar el mismo límite es observar que se puede masajear en la forma de la definición límite de la derivada. Primer aviso que
\ begin {alinear*}\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {X} {e^x-1} &=\ left [\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {E^x-1} {X}\ derecha] ^ {-1}\ end {align*}
siempre que este segundo límite exista y sea distinto de cero 8. Este segundo límite debería parecer un poco familiar:\ begin {alinear*}\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {e^x-1} {X} &=\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {e^x-e^0} {X-0}\ end {alinear*}
que es solo la definición de la derivada de\(e^x\) al\(x=0\text{.}\) Por lo tanto tenemos\ begin {alinear*}\ lim_ {X\ fila derecha 0}\ frac {X} {e^x-1} &=\ izquierda [\ lim_ {X\ fila derecha 0}\,\ frac {e^x-e^0} {X-0}\ derecha] ^ {-1}\\ &=\ izquierda [\ dfrac {d} {dX} e^x\ Big|_ X=0}\ derecha] ^ {-1}\\ &=\ izquierda [e^X\ big|_ {X=0}\ derecha] ^ {-1}\\ &=1\ end {alinear*}
Entonces, después de este corto a un lado en los límites, ahora podemos concluir que
\ begin {alinear*}\ text {Área} &= (e-1)\ lim_ {X\ rightarrow 0}\ frac {X} {e^x-1}\\ &=e-1\ end {alinear*}
Opcional — Un cómputo de área más riguroso
En el Ejemplo 1.1.1 anterior consideramos el área de la región\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le e^x\text{,}\)\(0\le x\le 1\ \big\}\text{.}\) Aproximamos esa área por el área de una unión de rectángulos\(n\) delgados. Entonces afirmamos que al tomar el número de rectángulos al infinito, la aproximación del área se convirtió en el área exacta. Sin embargo no justificamos la pretensión. El propósito de esta sección optativa es hacer que ese cálculo sea riguroso.
La configuración amplia es la misma. Dividimos la región en tiras\(n\) verticales, cada una de ancho\(\frac1n\) y luego aproximamos esas tiras por rectángulos. Sin embargo, en lugar de una aproximación incontrolada, construimos dos conjuntos de rectángulos, uno siempre más pequeño que el área original y uno siempre más grande. Esto nos da entonces límites inferiores y superiores sobre la zona de la región. Finalmente hacemos uso del teorema de squeeze 9 para establecer el resultado.
- Para encontrar nuestros límites superior e inferior hacemos uso del hecho de que\(e^x\) es una función creciente. Esto lo sabemos porque la derivada siempre\(\frac{d}{dx}e^x=e^x\) es positiva. En consecuencia, los valores más pequeños y mayores de\(e^x\) en el intervalo\(a\le x\le b\) son\(e^a\) y\(e^b\text{,}\) respectivamente.
- En particular, para\(0\le x\le \frac{1}{n}\text{,}\)\(e^x\) toma valores solo entre\(e^0\) y\(e^{\frac{1}{n}}\text{.}\) Como resultado, la primera tira
\ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ le x\ le\ frac {1} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ grande\}\ fin {reunir*}
- contiene el rectángulo de\(0\le x\le \frac{1}{n}\text{,}\)\(0\le y\le e^0\) (el rectángulo más claro en la figura de abajo a la izquierda) y
- está contenido en el rectángulo\(0\le x\le \frac{1}{n}\text{,}\)\(0\le y\le e^{\frac{1}{n}}\) (el rectángulo más grande en la figura de abajo a la izquierda).
De ahí
\ begin {reunir*}\ frac {1} {n} e^ {0}\ le {\ rm Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ le x\ le\ frac {1} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ big\}\ le\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} n}}\ fin {reunir*}
- De igual manera, para la segunda, tercera,..., últimas tiras, como en la figura de la derecha anterior,
\ begin {alinear*}\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}} &\ le {\ rm Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\\ frac {1} {n}\ le x\ le\ frac {2} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ grande\\ le\ frac {1} {n} e^ {\ frac {2} {n}}\\ frac {1} {n} e^ {\ frac {2} {n}} &\ le {\ rm Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\\ frac {2} {n}\ le x le\ le\ frac {3} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ grande\}\\\ le\ frac {1} {n} e^ {\ frac {3} {n}}\\ &\ vdots\\ frac {1} {n} e^ {\ frac {(n-1)} {n}} &\ le {\ rm Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\\ frac {(n-1)} {n}\ le x le\\ frac {n} {n},\ 0\ le y\ le e^x\\ grande\}\ le\ frac {1} {n} e^ {\ frac {n} {n}}\ final {alinear*}
- Sumando estas\(n\) desigualdades da
\ begin {alinear*} &\ frac {1} {n}\ izquierda (1+e^ {\ frac {1} {n}} +\ cdots+e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\ derecha)\\ &\ le {\ rm Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ 0 le\ x\ 1 le,\ 0 le y\ le e^x\\ grande\}\ &\ le\ frac {1} {n}\ izquierda (e^ {\ frac {1} {n}} +e^ {\ frac {2} {n}} +\ cdots+ e^ {\ frac {n} {n}}\ derecha)\ end {align*}
- Podemos entonces reciclar la ecuación 1.1.3 con\(r=e^{\frac1n}\text{,}\) para que\(r^n=\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n=e\text{.}\) así tengamos
\ begin {reunir*}\ frac {1} {n}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1}\ le {\ rm Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ 0\ le x\ le 1,\ 0\ le y\ le e^x\ grande\}\ le\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1}\ end {reunir*}
donde hemos utilizado el hecho de que el límite superior es un simple múltiplo del límite inferior:\ begin {align*}\ left (e^ {\ frac {1} {n}} +e^ {\ frac {2} {n}} +\ cdots+ e^ {\ frac {n} {n}}\ derecha) &= e^ {\ frac {1} {n}}\ izquierda (1+e^ {\ frac {1} {n}} +\ cdots +e^ {\ frac {(n-1)} {n}}\ derecha). \ end {align*}
- Ahora aplicamos el teorema squeeze a las desigualdades anteriores. En particular, los límites de los límites inferior y superior son\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\frac{e-1}{e^{\frac{1}{n}}-1}\) y\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}e^{\frac{1}{n}}\frac{e-1}{e^{\frac{1}{n}}-1}\text{,}\) respectivamente. Como hicimos cerca del final del Ejemplo 1.1.2, hacemos que estos límites se vean más familiares al renombrar\(\frac{1}{n}\) a\(X\text{.}\) As\(n\) tiende al infinito,\(X\) tiende a\(0\text{,}\) así que los límites de los límites inferior y superior son
\ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {n}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1} &= (e-1)\ lim_ {X=\ frac {1} {n}\ fila derecha 0}\ frac {X} {e^x-1} =e-1\ end {align*}
(por regla de L'hôpital) y
\ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1} {n} e^ {\ frac {1} {n}}\ frac {e-1} {e^ {\ frac {1} {n}} -1} &= (e-1)\ lim_ {X=\ frac {1} {n}\ fila derecha 0}\ cdot\ frac {Xe^X} {e^x-1}\\ &= (e-1)\ lim_ {X\ a 0} e^X\ cdot\ lim_ {X=\ a 0}\ frac {X} {E^x-1}\\ &= (e-1)\ cdot 1\ cdot 1\ cdot 1\ end {alinear*}
Así, dado que el área exacta queda atrapada entre los límites inferior y superior, el teorema de squeeze implica entonces que
\ begin {align*}\ text {Área exacta} &= e-1. \ end {align*}
Notación de suma
Como puede ver en el ejemplo anterior (y el cálculo más cuidadoso y riguroso), nuestra discusión sobre la integración implicará un poco de trabajo justo con sumas de cantidades. Para ello, hacemos un rápido aparte en notación de suma. Si bien uno puede trabajar a través del material a continuación sin esta notación, bien vale la pena aprender la notación de suma adecuada, por lo que aconsejamos al lector perseverar.
Escribir los summands explícitamente puede llegar a ser bastante poco práctico —por ejemplo, digamos que necesitamos la suma de los primeros 11 cuadrados:
\ begin {reunir*} 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2+ 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 + 11^2\ end {reunir*}
Esto se vuelve tedioso. Donde el patrón es claro, a menudo omitiremos los términos del medio y en su lugar escribiremos
\ begin {reunir*} 1 + 2^2 +\ cdots + 11^2. \ end {reunir*}
Una forma mucho más precisa de escribir esto es usando notación\(\Sigma\) (capital-sigma). Por ejemplo, podemos escribir la suma anterior como
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {k=1} ^ {11} k^2\ final {reunir*}
Esto se lee como
La suma de\(k\) es igual a 1 a 11 de\(k^2\text{.}\)
De manera más general
Let\(m\leq n\) be integers y let\(f(x)\) be una función definida sobre los enteros. Luego escribimos
\ comenzar {reunir*}\ sum_ {k=m} ^n f (k)\ fin {reunir*}
significa la suma de\(f(k)\) para\(k\) de\(m\) a\(n\text{:}\)
\ comenzar {reunir*} f (m) + f (m+1) + f (m+2) +\ cdots + f (n-1) + f (n). \ end {reunir*}
Del mismo modo escribimos
\ begin {reunir*}\ sum_ {i=m} ^n a_i\ end {reunir*}
para significar
\ comenzar {reunir*} a_m+a_ {m+1} +a_ {m+2} +\ cdots+a_ {n-1} +a_n\ end {reunir*}
para algún conjunto de coeficientes\(\{ a_m, \ldots, a_n \}\text{.}\)
Considera el ejemplo
\ begin {reunir*}\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2} =\ frac {1} {3^2} +\ frac {1} {4^2} +\ frac {1} {5^2} +\ frac {1} {6^2} +\ frac {1} {7^2}\ end {reunir*}
Es importante señalar que el lado derecho de esta expresión evalúa a un número 10; no contiene “\(k\)”. El índice de suma\(k\) es solo una variable “ficticia” y no tiene que llamarse\(k\text{.}\) Por ejemplo
\ begin {reunir*}\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2} =\ suma_ {i=3} ^7\ frac {1} {i^2} =\ suma_ {j=3} ^7\ frac {1} {j^2} =\ suma_ {\ ell=3} ^7\ frac {1} {\ ell^2}\ end {reunir*}
También el índice de suma no tiene significado fuera de la suma. Por ejemplo
\ begin {reunir*} k\ sum_ {k=3} ^7\ frac {1} {k^2}\ end {reunir*}
no tiene significado matemático; es galimatías.
Una suma se puede representar usando notación de suma de muchas maneras diferentes. Si no está seguro de si dos notaciones de suma representan o no la misma suma, simplemente escriba los primeros términos y el último par de términos. Por ejemplo,
\ begin {alinear*}\ sum_ {m=3} ^ {15}\ frac {1} {m^2} &=\ overbrackets {\ frac {1} {3^2}} ^ {m=3} +\ overbrackets {\ frac {1} {4^2}} ^ {m=4} +\ overbrackets {\ frac {1} {5^2}} ^ ^ {m=5} +\ cdots +\ overbrackets {\ frac {1} {14^2}} ^ {m=14} +\ overbrackets {\ frac {1} {15^2}} ^ {m=15}\\ suma_ {m=4} ^ {16}\ frac {1} {(m-1) ^2} &=\ overcorsé {\ frac {1} {3^2}} ^ {m=4} +\ overbrackets {\ frac {1} {4^2}} ^ {m=5} +\ overbrackets {\ frac {1} {5^2}} ^ {m=6} +\ cdots +\ overbrackets {\ frac {1} {14^2}} ^ {m=15} +\ overbrackets {\ frac {1} {15^2}} ^ {m=16}\ end align{ *}
son iguales.
Aquí hay un teorema que da algunas reglas para manipular la notación de suma.
\(n\ge m\)Dejen ser enteros. Entonces para todos los números reales\(c\) y\(a_i,b_i\text{,}\)\(m\le i\le n\text{.}\)
- \(\sum\limits_{i=m}^nca_i = c\bigg(\sum\limits_{i=m}^na_i\bigg)\)
- \(\sum\limits_{i=m}^n(a_i+b_i) = \bigg(\sum\limits_{i=m}^na_i\bigg) + \bigg(\sum\limits_{i=m}^nb_i\bigg)\)
- \(\sum\limits_{i=m}^n(a_i-b_i) = \bigg(\sum\limits_{i=m}^na_i\bigg) - \bigg(\sum\limits_{i=m}^nb_i\bigg)\)
-
Podemos probar este teorema simplemente escribiendo ambos lados de cada ecuación, y observando que son iguales, por las leyes usuales de la aritmética 11. Por ejemplo, para la primera ecuación, los lados izquierdo y derecho son
\ begin {reunir*}\ sum_ {i=m} ^nca_i = ca_m+ca_ {m+1} +\ cdots+ca_n\\\ quad\ texto {y}\ quad c\ bigg (\ suma\ límites_ {i=m} ^na_i\ bigg) = c (a_m+a_ {m+1} +\ cdots+a_n)\ end {reunir*}
Son iguales por la ley distributiva habitual. La “ley distributiva” es el nombre elegante para\(c(a+b)=ca+cb\text{.}\)
No se pueden calcular muchas sumas exactamente 12. Aquí hay algunos que pueden. Los primeros se utilizan mucho.
- \(\sum\limits_{i=0}^n ar^i = a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\text{,}\)para todos los números reales\(a\) y\(r\ne 1\) y todos los enteros\(n\ge 0\text{.}\)
- \(\sum\limits_{i=1}^n 1 = n\text{,}\)para todos los enteros\(n\ge 1\text{.}\)
- \(\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{1}{2}n(n+1)\text{,}\)para todos los enteros\(n\ge 1\text{.}\)
- \(\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\text{,}\)para todos los enteros\(n\ge 1\text{.}\)
- \(\sum\limits_{i=1}^n i^3 = \Big[\frac{1}{2}n(n+1)\Big]^2\text{,}\)para todos los enteros\(n\ge 1\text{.}\)
Prueba de Teorema 1.1.6 (Opcional)
-
- La primera suma es
\ begin {reunir*}\ sum_ {i=0} ^n ar^i =ar^0 + ar^1 + ar^2 +\ cdots + ar^n\ end {reunir*}
que es solo el lado izquierdo de la ecuación 1.1.3, con\(n\) reemplazado por\(n+1\) y luego multiplicado por\(a\text{.}\) - La segunda suma es solo\(n\) copias de\(1\) sumado, así que por supuesto la suma es\(n\text{.}\)
- Las sumas tercera y cuarta se discuten en el apéndice del texto CLP-1. En esa discusión se utilizan ciertos “trucos” para calcular las sumas con sólo aritmética simple. Esos trucos no se generalizan fácilmente a la quinta suma.
- En lugar de repetir ese apéndice, derivaremos la tercera suma usando un truco que generaliza a la cuarta y quinta suma (y también a potencias superiores). El truco utiliza la función generadora 13\(S(x)\text{:}\)
\[\begin{align*} S(x) = 1+x+x^2+\cdots+x^n &= \frac{x^{n+1}-1}{x-1} \end{align*}\]
Observe que esta es solo la suma geométrica dada por la ecuación 1.1.3 con\(n\) reemplazada por\(n+1\text{.}\)
Ahora, considera el límite
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1} S (x) &=\ lim_ {x\ a 1}\ izquierda (1+x+x^2+\ cdots+x^n\ derecha) = n+1\ qquad\ texto {pero también}\\ &=\ lim_ {x\ a 1}\ frac {x^ {n+1} -1} {x-1}\ qqquad\ qquad\ qquad\ text {ahora usa la regla de L'hôpital}\\ &=\ lim_ {x\ a 1}\ frac {(n+1) x^n} {1} = n+1. \ end {alinear*}
Esto no es tan difícil (ni útil). Pero ahora consideremos el derivado de\(S(x)\text{:}\)
\ begin {align*} S' (x) &= 1 +2x + 3x^2 +\ cdots + n x^ {n-1}\\ &=\ frac {d} {dx}\ left [\ frac {x^ {n+1} -1} {x-1}\ derecha]\ qquad\ qquad\ qquad\ qquad\ text {usa la regla del cociente}\\ &= ac {(x-1)\ cdot (n+1) x^n - (x^ {n+1} -1)\ cdot 1} {(x-1) ^2}\ qquad\ texto {ahora límpialo}\\ &=\ frac {nx^ {n+1} - (n+1) x^n+1} {(x-1) ^2}. \ end {alinear*}
De ahí que si tomamos el límite de la expresión anterior a medida\(x\to 1\) que recuperamos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 1} S' (x) &= 1 +2 +3+\ cdots+n\\ &=\ lim_ {x\ a 1}\ frac {nx^ {n+1} - (n+1) x^n+1} {(x-1) ^2}\ qquad\ qquad\ text {ahora usa la regla de l'Hôpital}\\ =\ lim_ {x\ a 1}\ frac {n (n+1) x^ {n} -n (n+1) x^ {n-1}} {2 (x-1)}\ qquad\ text {La regla de l'Hôpital otra vez}\\ &=\ lim_ {x\ a 1}\ frac {n^2 (n+1) x^ {n-1} -n (n+1) x^ {n-1} -n (n+1) (n -1) x^ {n-2}} {2}\\ &=\ frac {n^2 (n+1) - n (n-1) (n+1)} {2} =\ frac {n (n+1)} {2}\ final {alinear*}
según sea necesario. Este cálculo se puede hacer sin la regla de L'hôpital, pero las manipulaciones requeridas son un poco más desordenados.
- La derivación de la cuarta y quinta sumas es similar a, pero aún más tediosa que, la de la tercera suma. Uno toma dos o tres derivados del funcional generador.
- La primera suma es
La Definición de la Integral Definida
En esta sección damos una definición de la integral definida\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}\) generalizando la maquinaria que utilizamos en el Ejemplo 1.1.1. Pero primero algo de terminología y un par de observaciones para motivar mejor la definición.
El símbolo\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}\) se lee “la integral definitiva de la función\(f(x)\) de\(a\) a\(b\)”. La función\(f(x)\) se llama el integrando de y\(\int_a^b f(x)\,d{x}\)\(a\) y\(b\) se llaman 14 los límites de la integración. El intervalo\(a\le x \le b\) se denomina intervalo de integración y también se denomina dominio de integración.
Antes de explicar con mayor precisión qué es realmente la integral definida, algunas observaciones (en realidad —algunas interpretaciones) están en orden.
- Si\(f(x)\ge 0\) y\(a\le b\text{,}\) una interpretación del símbolo\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}\) es “el área de la región\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\ \big\}\)”.
De esta manera podemos reescribir el área en el Ejemplo 1.1.1 como la integral definida\(\int_0^1 e^x \,d{x}\text{.}\)
- Esta interpretación se descompone cuando cualquiera\(a \gt b\) o no siempre\(f(x)\) es positiva, pero puede repararse considerando “áreas firmadas”.
- Si\(a\le b\text{,}\) pero no siempre\(f(x)\) es positivo, una interpretación de\(\int_a^b f(x)\,d{x}\) es “el área firmada entre\(y=f(x)\) y el\(x\) eje para\(a\le x\le b\)”. Para “área firmada” (que también se denomina “área neta”), las áreas por encima del\(x\) eje cuentan como positivas, mientras que las áreas por debajo del\(x\) eje cuentan como negativas. En el siguiente ejemplo, tenemos la gráfica de la función
\ begin {align*} f (x) =\ begin {cases} -1 &\ text {si} 1\ le x\ le 2\\ 2 &\ texto {si} 2\ lt x\ le 4\\ 0 &\ texto {de lo contrario}\ end {cases}\ end {align*}
El cuadrado\(2\times 2\) sombreado por encima del\(x\) eje -tiene área firmada\(+2\times 2=+4\text{.}\) El cuadrado\(1\times 1\) sombreado debajo del\(x\) eje -tiene área firmada\(-1\times 1=-1\text{.}\) Entonces, para esto\(f(x)\text{,}\)
\ begin {reunir*}\ int_0^5 f (x)\, d {x} = +4-1=3\ end {reunir*}
- Volveremos al caso\(b \lt a\) más tarde.
Ya estamos listos para definir\(\int_a^b f(x)\,d{x}\text{.}\) La definición está un poco involucrada, pero esencialmente imita lo que hicimos en el Ejemplo 1.1.1 (por eso hicimos el ejemplo antes de la definición). Las principales diferencias son que reemplazamos la función\(e^x\) por una función genérica\(f(x)\) y reemplazamos el intervalo de\(0\) a\(1\) por el intervalo genérico 15 de\(a\) a\(b\text{.}\)
- Comenzamos seleccionando cualquier número natural\(n\) y subdividiendo el intervalo de\(a\) a\(b\) en subintervalos\(n\) iguales. Cada subintervalo tiene ancho\(\frac{b-a}{n}\text{.}\)
- Así como fue el caso en el Ejemplo 1.1.1 eventualmente tomaremos el límite como el\(n\to\infty\text{,}\) cual aprieta el ancho de cada subintervalo hasta cero.
- Para cada entero\(0\le i\le n\text{,}\) definir\(x_i = a + i \cdot\frac{b-a}{n}\text{.}\) Tenga en cuenta que esto significa que\(x_0=a\) y\(x_n = b\text{.}\) Vale la pena tener en cuenta que estos números\(x_i\) sí dependen a\(n\) pesar de que nuestra elección de notación oculta esta dependencia.
- \(i\)El número de subintervalo es\(x_{i-1} \leq x \leq x_i\text{.}\) En particular, en el primer subintervalo,\(x\) se ejecuta de\(x_0=a\) a\(x_1=a+\frac{b-a}{n}\text{.}\) En el segundo subintervalo,\(x\) se ejecuta de\(x_1\) a\(x_2=a+2\frac{b-a}{n}\text{.}\)
- En cada subintervalo ahora escogemos\(x_{i,n}^*\) entre\(x_{i-1}\) y luego\(x_i\text{.}\) aproximamos\(f(x)\) en el\(i^\mathrm{th}\) subintervalo por la función constante\(y=f(x_{i,n}^*)\text{.}\) Incluimos\(n\) en el subíndice para recordarnos que estos números dependen de\(n\text{.}\)
Geométricamente, estamos aproximando la región
\ begin {reunir*}\ big\ {\ (x, y)\\ big|\\ text {$x$ está entre $x_ {i-1} $ y $x_i$, y $y$ está entre $0$ y $f (x) $}\\ big\}\ end {gather*}
por el rectángulo
\ begin {gather*}\ big\ {\ (x, y)\\ big|\\ text {$x$ está entre $x_ {i-1} $ y $x_i$, y $y$ está entre $0$ y $f (x_ {i, n} ^*) $}\\ big\}\ end {gather*}
En el Ejemplo 1.1.1 elegimos\(x_{i,n}^* = x_{i-1}\) y así aproximamos la función\(e^x\) en cada subintervalo por el valor que tomó en el punto más a la izquierda en ese subintervalo.
- Entonces, cuando hay\(n\) subintervalos nuestra aproximación al área señalizada entre la curva\(y=f(x)\) y el\(x\) eje -eje, con\(x\) correr de\(a\) a\(b\text{,}\) es
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ fin {reunir*}
Interpretamos esto como el área señalizada ya que los summands no\(f(x_{i,n}^*)\cdot\frac{b-a}{n}\) necesitan ser positivos. - Finalmente definimos la integral definida tomando el límite de esta suma como\(n\rightarrow\infty\text{.}\)
¡Oof! Este es un proceso bastante complicado, pero ahora podemos anotar la definición que necesitamos.
Dejar\(a\) y\(b\) ser dos números reales y dejar\(f(x)\) ser una función que se define para todos\(x\) entre\(a\) y\(b\text{.}\) Luego definimos
\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ fin {reunir*}
cuando el límite existe y toma el mismo valor para todas las elecciones\(x_{i,n}^*\) de los 's. en este caso, decimos que\(f\) es integrable en el intervalo de\(a\) a\(b\text{.}\)
Por supuesto, no es inmediatamente obvio cuándo debería existir este límite. Agradecidamente es más fácil que una función sea “integrable” que que que sea “diferenciable”.
Dejar\(f(x)\) ser una función en el intervalo\([a,b]\text{.}\) Si
- \(f(x)\)es continuo en\([a,b]\text{,}\) o
- \(f(x)\)tiene un número finito de discontinuidades de salto en\([a,b]\) (y por lo demás es continuo)
entonces\(f(x)\) es integrable en\([a,b]\text{.}\)
No vamos a justificar este teorema. Pero una afirmación un poco más débil se prueba en (la optativa) Sección 1.1.7. Por supuesto esto no nos dice cómo evaluar realmente cualquier integral definida —pero llegaremos a eso a tiempo.
Algunos comentarios:
- Obsérvese que, en la Definición 1.1.9, permitimos\(a\) y\(b\) que sean dos números reales cualesquiera. No requerimos que\(a \lt b\text{.}\) Eso es, incluso cuando\(a \gt b\text{,}\) el símbolo todavía\(\int_a^b f(x)\,d{x}\) está definido por la fórmula de la Definición 1.1.9. Tendremos una interpretación para\(\int_a^b f(x)\,d{x}\text{,}\) cuando\(a \gt b\text{,}\) más tarde.
- Es importante señalar que la integral definida\(\int_a^b f(x)\,d{x}\) representa un número, no una función de\(x\text{.}\) La variable de integración\(x\) es otra variable “ficticia”, al igual que el índice de suma\(i\) en\(\sum_{i=m}^n a_i\) (ver Sección 1.1.3). La variable de integración no tiene que llamarse\(x\text{.}\) Por ejemplo
\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ int_a^b f (t)\, d {t} =\ int_a^b f (u)\, d {u}\ fin {reunir*}
Al igual que con las variables de suma, la variable de integración no\(x\) tiene significado fuera de\(f(x)\,d{x}\text{.}\) Por ejemplo\ comenzar {reunir*} x\ int_0^1 e^x\, d {x}\ qquad\ texto {y}\ qquad\ int_0^x e^x\, d {x}\ fin {reunir*}
son ambos galimatías.
La suma dentro de la definición 1.1.9 lleva el nombre de Bernhard Riemann 16 quien hizo la primera definición rigurosa de la integral definida y así colocó el cálculo integral sobre bases rigurosas.
La suma\(\displaystyle\) dentro de la definición 1.1.9
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\,\ frac {b-a} {n}\ end {reunión*}
se llama suma de Riemann. También suele escribirse como
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^n f (x_i^*)\,\ Delta x\ final {reunir*}
donde\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{.}\)
- Si elegimos\(x_{i,n}^* = x_{i-1}=a+(i-1)\frac{b-a}{n}\) que cada uno sea el punto final izquierdo del\(i^{\rm th}\) intervalo,\([x_{i-1},x_i]\text{,}\) obtenemos la aproximación
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^n f\ izquierda (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ derecha)\,\ frac {b-a} {n}\ fin {reunir*}
que se llama la “aproximación de la suma de Riemann izquierda a\(\int_a^b f(x)\,d{x}\) con\(n\) subintervalos”. Esta es la aproximación utilizada en el Ejemplo 1.1.1. - De la misma manera, si\(x_{i,n}^* = x_{i}=a+i\frac{b-a}{n}\) elegimos obtenemos la aproximación
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^n f\ izquierda (a+i\ frac {b-a} {n}\ derecha)\,\ frac {b-a} {n}\ fin {reunir*}
que se llama la “aproximación de la suma de Riemann derecha a\(\int_a^b f(x)\,d{x}\) con\(n\) subintervalos”. La palabra “derecha” significa que, en cada subintervalo\([x_{i-1},x_i]\) nos aproximamos\(f\) por su valor en el punto final derecho,\(x_i=a+i\frac{b-a}{n}\text{,}\) del subintervalo. - Una tercera aproximación comúnmente utilizada es
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^n f\ izquierda (a+ (i-\ frac12)\ frac {b-a} {n}\ derecha)\,\ frac {b-a} {n}\ fin {reunir*}
que se llama la “aproximación de la suma de Riemann del punto medio a\(\int_a^b f(x)\,d{x}\) con\(n\) subintervalos”. La palabra “punto medio” significa que, en cada subintervalo\([x_{i-1},x_i]\) nos aproximamos\(f\) por su valor en el punto medio,\(\frac{x_{i-1}+x_i}{2} =a+(i-\frac{1}{2})\frac{b-a}{n}\text{,}\) del subintervalo.
Para poder calcular una integral definida usando sumas de Riemann necesitamos poder calcular el límite de la suma a medida que el número de summands va al infinito. Este enfoque no siempre es factible y pronto llegaremos a otros medios de computación integrales definidas basadas en antiderivados. Sin embargo, las sumas de Riemann también nos proporcionan un buen medio\(n\) para aproximar integrales definidas —si tomamos como un entero grande, pero finito, entonces la suma de Riemann correspondiente puede ser una buena aproximación de la integral definida. Bajo ciertas circunstancias esto puede fortalecerse para dar límites rigurosos a lo integral. Volvamos a visitar el Ejemplo 1.1.1.
Digamos que nuevamente nos interesa la integral\(\int_0^1 e^x\,d{x}\text{.}\) Podemos seguir el mismo procedimiento que usábamos anteriormente para construir aproximaciones de suma de Riemann. Sin embargo, dado que el integrando\(f(x)=e^x\) es una función creciente, podemos hacer nuestras aproximaciones en límites superior e inferior sin mucho trabajo extra.
Más precisamente, aproximamos\(f(x)\) en cada subintervalo\(x_{i-1}\le x\le x_i\)
- por su valor más pequeño en el subintervalo, es decir,\(f(x_{i-1})\text{,}\) cuando calculamos la aproximación de la suma de Riemann izquierda y
- por su valor más grande en el subintervalo, es decir,\(f(x_i)\text{,}\) cuando calculamos la aproximación correcta de la suma de Riemann.
Esto se ilustra en las dos figuras siguientes. La región sombreada en la figura de la izquierda es la aproximación de la suma de Riemann izquierda y la región sombreada en la figura de la derecha es la aproximación de la suma de Riemann derecha.
Podemos ver que precisamente porque\(f(x)\) está aumentando, la suma de Riemann izquierda describe un área menor que la integral definida mientras que la suma de Riemann derecha da un área mayor a 17 que la integral.
Cuando aproximamos la integral\(\int_0^1 e^x\,d{x}\) usando\(n\) subintervalos, entonces, en el número de intervalo\(i\text{,}\)
- \(x\)corre de\(\frac{i-1}{n}\) a\(\frac{i}{n}\) y
- \(y=e^x\)va desde\(e^{\frac{(i-1)}{n}}\text{,}\) cuando\(x\) está en el punto final izquierdo del intervalo, hasta\(e^{\frac{i}{n}}\text{,}\) cuándo\(x\) está en el punto final derecho del intervalo.
En consecuencia, la aproximación de la suma de Riemann izquierda a\(\int_0^1 e^x\,d{x}\) es\(\sum_{i=1}^n e^{\frac{(i-1)}{n}}\,\frac{1}{n}\) y la aproximación de la suma de Riemann derecha es\(\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}\cdot\frac{1}{n}\text{.}\) tan
\ begin {reunir*}\ sum_ {i=1} ^n e^ {\ frac {(i-1)} {n}}\,\ frac {1} {n}\\ le\ int_0^1 e^x\, d {x}\\ le\\ sum_ {i=1} ^n e^ {\ frac {i} {n}}\ cdot\ frac {1} {n}\ fin {reunir*}
Así\(L_n=\sum_{i=1}^n e^{\frac{(i-1)}{n}}\,\frac{1}{n}\text{,}\) que para cualquiera\(n\) puede ser evaluado por computadora, es un límite inferior en el valor exacto de\(\int_0^1 e^x\,d{x}\) y\(R_n=\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}\,\frac{1}{n}\text{,}\) que para cualquier también\(n\) puede ser evaluado por computadora, es un límite superior sobre el valor exacto de\(\int_0^1 e^x\,d{x}\text{.}\) Por ejemplo, cuando\(n=1000\text{,}\)\(L_n= 1.7174\) y\(R_n=1.7191\) ( ambos a cuatro decimales) de manera que, de nuevo a cuatro decimales,
\ comenzar {reunir*} 1.7174\ le\ int_0^1 e^x\, d {x}\ le 1.7191\ fin {reunir*}
Recordemos que el valor exacto es\(e-1 = 1.718281828\dots\text{.}\)
Uso de áreas conocidas para evaluar integrales
Uno de los principales objetivos de este curso es construir maquinaria general para computar integrales definidas (así como interpretarlas y aplicarlas). Empezaremos en esto pronto, pero aún no del todo. Ya hemos visto un método concreto, aunque laborioso, para computar integrales definidas —tomando límites de sumas de Riemann como hicimos en el Ejemplo 1.1.1. Un segundo método, que funcionará para algunos integrands especiales, funciona interpretando la integral definida como “área firmada”. Este enfoque funcionará muy bien cuando el área bajo la curva se descompone en formas geométricas simples como triángulos, rectángulos y círculos. Estos son algunos ejemplos de este segundo método.
La integral\(\int_a^b 1\,d{x}\) (que también se escribe como justa\(\int_a^b\,d{x}\)) es el área del rectángulo sombreado (de ancho\(b-a\) y alto\(1\)) en la figura de abajo a la derecha. Entonces
\(\int_a^b\,d{x} = (b-a)\times (1)=b-a\)
Dejar\(b \gt 0\text{.}\) La integral\(\int_0^b x\,d{x}\) es el área del triángulo sombreado (de base\(b\) y de altura\(b\)) en la figura de abajo a la derecha. Entonces
\(\int_0^b x\,d{x} = \frac{1}{2}b\times b=\frac{b^2}{2}\)
La integral\(\int_{-b}^0 x\,d{x}\) es el área señalizada del triángulo sombreado (nuevamente de base\(b\) y de altura\(b\)) en la figura de abajo a la derecha. Entonces
\(\int_{-b}^0 x\,d{x} = -\frac{b^2}{2} \)
Observe que es muy fácil extender este ejemplo a la integral\(\int_0^b c x\,d{x}\) para cualquier número real\(b,c \gt 0\) y encontrar
\ begin {alinear*}\ int_0^b c x\, d {x} &=\ frac {c} {2} b^2. \ end {alinear*}
En este ejemplo, evaluaremos\(\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x}\text{.}\) Recordemos que
\ begin {align*} |x|=\ begin {cases} -x &\ text {si $x\ le 0$}\\ x &\ texto {si $x\ ge 0$}\ end {cases}\ end {align*}
para que
\ begin {align*} 1-|x|=\ begin {cases} 1+x &\ text {si $x\ le 0$}\\ 1-x &\ texto {si $x\ ge 0$}\ end {cases}\ end {align*}
Para imaginar la figura geométrica cuya área representa la integral observa que
- en el extremo izquierdo del dominio de la integración\(x=-1\) y el integrando\(1-|x|=1-|-1|=1-1=0\) y
- a\(x\) medida que aumenta desde\(-1\) hacia\(0\text{,}\) el\(1-|x|=1+x\) integrando aumenta linealmente, hasta
- cuando\(x\) golpea\(0\) el integrand golpea\(1-|x|=1-|0|=1\) y luego
- a\(x\) medida que aumenta desde\(0\text{,}\) el\(1-|x|=1-x\) integrando disminuye linealmente, hasta
- cuando\(x\) golpea\(+1\text{,}\) el extremo derecho del dominio de la integración, el integrand golpea\(1-|x|=1-|1|=0\text{.}\)
Entonces la integral\(\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x}\) es el área del triángulo sombreado (de base\(2\) y de altura\(1\)) en la figura de la derecha abajo y
\(\int_{-1}^1 \left(1-|x|\right)\,d{x} = \frac{1}{2}\times 2\times 1 = 1\)
La integral\(\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,d{x}\) tiene integrando\(f(x)=\sqrt{1-x^2}\text{.}\) Así que representa el área bajo\(y=\sqrt{1-x^2}\) con\(x\) correr de\(0\) a\(1\text{.}\) Pero podemos reescribir
\ begin {align*} y&=\ sqrt {1-x^2} &\ text {as} && x^2+y^2&= 1, y\ geq 0\ end {align*}
Pero esta es la ecuación (implícita) para un círculo —la condición extra que lo\(y\geq0\) convierte en la ecuación para el centro semicírculo en el origen con el radio 1 acostado sobre y por encima del\(x\) eje -eje. Así, la integral representa el área del cuarto de círculo de radio\(1\text{,}\) como se muestra en la figura a la derecha de abajo. Entonces
\(\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,d{x} = \frac{1}{4}\pi(1)^2 = \frac{\pi}{4}\)
Este siguiente es un poco más difícil y se basa en que conozcamos las simetrías de la función sinusoidal.
La integral\(\int_{-\pi}^\pi \sin x\,d{x}\) es el área firmada de la región sombreada en la figura de abajo a la derecha. Se divide naturalmente en dos regiones, una a cada lado del\(y\) eje. No conocemos la fórmula para el área de ninguna de estas regiones (todavía), sin embargo las dos regiones son casi las mismas. De hecho, la parte de la región sombreada debajo del\(x\) eje -es exactamente la reflexión, en el\(x\) eje -, de la parte de la región sombreada por encima del\(x\) eje -eje. Por lo que el área firmada de parte de la región sombreada debajo del\(x\) eje -es la negativa del área firmada de parte de la región sombreada por encima del\(x\) eje -y
\(\int_{-\pi}^\pi \sin x\,d{x} = 0\)
Otra interpretación para integrales definidas
Hasta el momento, sólo tenemos una única interpretación 18 para integrales definidas —es decir, áreas bajo gráficas. En el siguiente ejemplo, desarrollamos una segunda interpretación.
Supongamos que una partícula se está moviendo a lo largo del\(x\) eje y supongamos que en el momento\(t\) su velocidad es\(v(t)\) (\(v(t) \gt 0\)indicando movimiento hacia la derecha e\(v(t) \lt 0\) indicando movimiento hacia la izquierda). Cuál es el cambio en su\(x\) coordenada entre el tiempo\(a\) y el tiempo\(b \gt a\text{?}\)
Lo resolveremos usando un procedimiento similar a nuestra definición de la integral. Primero escoge un número natural\(n\) y divide el intervalo de tiempo de\(a\) a\(b\) en subintervalos\(n\) iguales, cada uno de ancho\(\frac{b-a}{n}\text{.}\) Estamos trabajando nuestro camino hacia una suma de Riemann (como lo hemos hecho varias veces anteriormente) y así eventualmente tomaremos el límite\(n\rightarrow\infty\text{.}\)
- El primer intervalo de tiempo va de\(a\) a\(a+\frac{b-a}{n}\text{.}\) Si pensamos en\(n\) como algún número grande, el ancho de este intervalo,\(\frac{b-a}{n}\) es muy pequeño y a lo largo de este intervalo de tiempo, la velocidad no cambia mucho. Por lo tanto, podemos aproximar la velocidad sobre el primer subintervalo como esencialmente constante en su valor al inicio del intervalo de\(v(a)\text{.}\) tiempo — En el subintervalo la\(x\) coordenada -cambia por velocidad por tiempo, es decir\(v(a) \cdot \frac{b-a}{n}\text{.}\)
- De igual manera, el segundo intervalo corre de vez\(a+\frac{b-a}{n}\) en cuando De\(a+2\frac{b-a}{n}\text{.}\) nuevo, podemos suponer que la velocidad no cambia mucho y así podemos aproximar la velocidad como siendo esencialmente constante en su valor al inicio del subintervalo — es decir,\(v\left(a+\frac{b-a}{n}\right)\text{.}\) Así que durante el segundo subintervalo el la\(x\) coordenada de las partículas cambia aproximadamente\(v\left(a+\frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n}\text{.}\)
- En general, el número de subintervalo de tiempo\(i\) va desde\(a+(i-1)\frac{b-a}{n}\) hasta\(a+i\frac{b-a}{n}\) y durante este subintervalo, la\(x\) coordenada de la partícula cambia, esencialmente, por
\ begin {reunir*}, v\ izquierda (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ derecha)\ frac {b-a} {n}. \ end {reunir*}
Entonces, el cambio neto en la\(x\) coordenada de vez\(a\) en cuando\(b\) es aproximadamente
\ begin {align*} &v (a)\,\ frac {b-a} {n} + v\ Grande (a+\ frac {b-a} {n}\ Grande)\,\ frac {b-a} {n} +\ cdots +v\ Grande (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ Grande)\,\ frac {b-a} {n}\ cdots\\ & +v\ Grande (a+ (n-1)\ frac {b-a} {n}\ Grande)\,\ frac {b-a} {n}\\ &=\ sum_ {i=1} ^n v\ Grande (a+ (i-1)\ frac {b-a} {n}\ grande)\,\ frac {b-a} {n}\ end {align*
Esta exactamente la aproximación de la suma de Riemann izquierda a la integral\(v\) de de\(a\) a\(b\) con\(n\) subintervalos. El límite como\(n\rightarrow\infty\) es exactamente la integral definida\(\int_a^b v(t)\,d{t}\text{.}\) Siguiendo la tradición, hemos llamado\(x\) a la variable de integración (ficticia)\(t\) en lugar de recordarnos que es el tiempo que va desde\(a\) hasta\(b\text{.}\)
La conclusión de la discusión anterior es que si una partícula se mueve a lo largo del\(x\) eje y su\(x\) coordenada y velocidad en el tiempo\(t\) son\(x(t)\) y\(v(t)\text{,}\) respectivamente, entonces, para todos\(b \gt a\text{,}\)
\ begin {reunir*} x (b) - x (a) =\ int_a^b v (t)\, d {t}. \ end {reunir*}
Opcional — definición cuidadosa de la integral
En esta sección opcional damos una definición matemáticamente más rigurosa de la integral definida\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,d{x}\text{.}\) Algunos libros de texto utilizan una definición más furtiva, pero equivalente. La integral se definirá como el límite de una familia de aproximaciones al área entre la gráfica de\(y=f(x)\) y el\(x\) eje -eje, con\(x\) correr de\(a\) a Luego\(b\text{.}\) mostraremos las condiciones bajo las cuales se garantiza la existencia de este límite. Debemos declarar de inmediato que estas condiciones son más restrictivas de lo estrictamente necesario —esto se hace para que la prueba sea accesible.
La familia de aproximaciones necesarias es ligeramente más general que la utilizada para definir las sumas de Riemann en las secciones anteriores, aunque es bastante similar. La principal diferencia es que no requerimos que todos los subintervalos tengan el mismo tamaño.
- Comenzamos seleccionando un entero positivo\(n\text{.}\) Como era el caso anteriormente, este será el número de subintervalos utilizados en la aproximación y eventualmente tomaremos el límite como\(n \to \infty\text{.}\)
- Ahora subdivide el intervalo de\(a\) a\(b\) en\(n\) subintervalos seleccionando\(n+1\) valores de\(x\) que obedezcan
\ comenzar {reunir*} a=x_0\ lt x_1\ lt x_2\ lt\ cdots\ lt x_ {n-1}\ lt x_n=b.\ end {reunir*}
El número de subintervalo\(i\) va desde\(x_{i-1}\) hasta\(x_i\text{.}\) Esta formulación no requiere que los subintervalos tengan el mismo tamaño. Sin embargo, eventualmente requeriremos que los anchos de los subintervalos se reduzcan hacia cero como\(n\to\infty\text{.}\) - Entonces para cada subintervalo seleccionamos un valor de\(x\) en ese intervalo. Es decir, para\(i=1,2,\dots,n\text{,}\) elegir\(x_i^*\) satisfactorio\(x_{i-1} \leq x_i^* \leq x_i\text{.}\) utilizaremos estos valores de\(x\) para ayudar a aproximarse\(f(x)\) en cada subintervalo.
- El área entre la gráfica\(y=f(x)\) y el\(x\) eje -eje, con\(x\) funcionamiento
de\(x_{i-1}\) a\(x_i\text{,}\) es decir, la contribución,\(\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,d{x}\text{,}\) del número de intervalo\(i\) a la integral, se aproxima por el área de un rectángulo. El rectángulo tiene ancho\(x_i-x_{i-1}\) y alto\(f(x_i^*)\text{.}\)
- Así, la aproximación a la integral, utilizando todos los\(n\) subintervalos, es
\ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\, d {x}\ approx f (x_1^*) [x_1-x_0] +f (x_2^*) [x_2-x_1] +\ cdots+ f (x_n^*) [x_n-x_ {n-1}]\ fin {reunir*}
- Por supuesto, cada elección diferente de\(n\)\(x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\) y y\(x_1^*, x_2^*,\cdots,x_n^*\) da una aproximación diferente. Entonces, para simplificar la discusión que sigue, denotemos una elección particular de todos estos números por\(\mathbb{P}\text{:}\)
\ begin {reunir*}\ mathbb {P} =\ left (n, x_1, x_2,\ cdots, x_ {n-1}, x_1^*, x_2^*,\ cdots, x_n^*\ derecha). \ end {reunir*}
Del mismo modo denotemos la aproximación resultante por\(\cI(\mathbb{P})\text{:}\)\ begin {reunir*}\ cI (\ mathbb {P}) =f (x_1^*) [x_1-x_0] +f (x_2^*) [x_2-x_1] +\ cdots+ f (x_n^*) [x_n-x_ {n-1}]\ end {reunión*}
- Afirmamos que, para cualquier función razonable de 19\(f(x)\text{,}\) si tomas alguna secuencia razonable de 20 de estas aproximaciones siempre obtienes exactamente el mismo valor limitante. Definimos\(\int_a^b f(x) \,d{x}\) que es este valor limitante.
- Seamos más precisos. Podemos tomar el límite de estas aproximaciones de dos maneras equivalentes. Arriba hicimos esto tomando el número de subintervalos\(n\) al infinito. Cuando hicimos esto, el ancho de todos los subintervalos fue a cero. Con la formulación que estamos usando ahora, simplemente tomar el número de subintervalos para que sea muy grande no implica que todos se encojan de tamaño. Podríamos tener un subintervalo muy grande y un gran número de pequeños. Así tomamos el límite que necesitamos tomando el ancho de los subintervalos a cero. Así que para cualquier elección\(\mathbb{P}\text{,}\) definimos
\ begin {reunir*} M (\ mathbb {P}) =\ max\ grande\ {x_1-x_0\,\ x_2-x_1\,\\ cdots\,\ x_n-x_ {n-1}\ grande\}\ end {reunir*}
ese es el ancho máximo de los subintervalos utilizados en la aproximación determinada\(\mathbb{P}\text{.}\) por Al forzar que el ancho máximo vaya a cero, los anchos de todos los subintervalos van a cero. - Luego definimos la integral definida como el límite
\ begin {reunir*}\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ lim_ {M (\ mathbb {P})\ fila derecha 0}\ cI (\ mathbb {P}). \ end {reunir*}
Por supuesto, ahora uno se queda con la cuestión de determinar cuándo existe el límite anterior. Una prueba de las condiciones muy generales que garantizan la existencia de este límite está más allá del alcance de este rumbo, por lo que en cambio damos un resultado más débil (con condiciones más fuertes) que es mucho más fácil de probar.
Para el resto de esta sección, asuma
- que\(f(x)\) es continuo para\(a\le x\le b\text{,}\)
- que\(f(x)\) es diferenciable para\(a \lt x \lt b\text{,}\) y
- que\(f'(x)\) está acotado — es decir,\(|f'(x)|\leq F\) para alguna constante\(F\text{.}\)
Ahora vamos a mostrar que, bajo estas hipótesis, a medida que\(M(\mathbb{P})\) se acerca a cero,\(\cI(\mathbb{P})\) siempre se acerca al área,\(A\text{,}\) entre la gráfica de\(y=f(x)\) y el\(x\) eje, con\(x\) correr de\(a\) a\(b\text{.}\)
Estos supuestos se eligen para que el argumento sea particularmente transparente. Con un poco más de trabajo se pueden debilitar las hipótesis considerablemente. Estamos haciendo trampa un poco asumiendo implícitamente que la zona\(A\) existe. De hecho, se puede ajustar el argumento a continuación para eliminar esta suposición implícita.
- Considera\(A_j\text{,}\) la parte del área que viene de\(x_{j-1}\le x\le x_j\text{.}\)
Hemos aproximado esta zona por\(f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}]\) (ver figura izquierda).
- Dejar\(f({\overline x}_j)\) y\(f({\underline x}_j)\) ser los valores más grandes y más pequeños 21 de\(f(x)\) para\(x_{j-1}\le x\le x_j\text{.}\) Entonces el área verdadera está delimitada por
\ begin {reunir*} f ({\ subrayado x} _j) [x_j-x_ {j-1}]\ leq a_j\ leq f ({\ overline x} _j) [x_j-x_ {j-1}]. \ end {reunir*}
(ver figura derecha). - Ahora ya\(f({\underline x}_j) \leq f(x_j^*) \leq f({\overline x}_j)\text{,}\) que también sabemos que
\ begin {reunir*} f ({\ subrayado x} _j) [x_j-x_ {j-1}]\ leq f (x_j^*) [x_j-x_ {j-1}]\ leq f ({\ overline x} _j) [x_j-x_ {j-1}]. \ end {reunir*}
- Entonces tanto el área verdadera,\(A_j\text{,}\) como nuestra aproximación de esa área\(f(x_j^*)[x_j - x_{j-1}]\) tienen que estar entre\(f({\overline x}_j)[x_j-x_{j-1}]\) y\(f({\underline x}_j)[x_j-x_{j-1}]\text{.}\) Combinando estos límites tenemos que la diferencia entre el área verdadera y nuestra aproximación de esa área está delimitada por
\ begin {reunir*}\ big|a_j-f (x_j^*) [x_j-x_ {j-1}]\ big|\ le [f ({\ overline x} _j) -f ({\ subrayado x} _j)]\ cdot [x_j-x_ {j-1}]. \ end {reunir*}
(Para ver esto piensa en lo más pequeño que puede ser el área verdadera y la mayor que puede ser nuestra aproximación y viceversa). - Ahora como nuestra función,\(f(x)\) es diferenciable podemos aplicar uno de los principales teoremas que aprendimos en CLP-1 — el Teorema del Valor Medio 22. El MVT implica que existe un\(c\) entre\({\underline x}_j\) y\({\overline x}_j\) tal que
\ begin {reunir*} f ({\ overline x} _j) -f ({\ subrayado x} _j) =f' (c)\ cdot [{\ overline x} _j- {\ subrayado x} _j]\ end {reunir*}
- Por el supuesto de que\(|f'(x)|\le F\) para todos\(x\) y el hecho de que\({\underline x}_j\) y\({\overline x}_j\) debe estar ambos entre\(x_{j-1}\) y\(x_j\)
\ begin {reunir*}\ big|f ({\ overline x} _j) -f ({\ subrayado x} _j)\ big|\ le F\ cdot\ big| {\ overline x} _j- {\ subrayado x} _j\ big|\ le F\ cdot [x_j-x_ {j-1}]\ end {reunir*}
De ahí que obedezca el error en esta parte de nuestra aproximación\ begin {reunir*}\ big|a_j-f (x_j^*) [x_j-x_ {j-1}]\ big|\ le F\ cdot [x_j-x_ {j-1}] ^2. \ end {reunir*}
- Ese fue solo el error al aproximar\(A_j\text{.}\) Ahora vinculamos el error total combinando los errores de aproximar en todos los subintervalos. Esto da\[\begin{align*} \left| A-\cI(\mathbb{P})\right| &= \left| \sum_{j=1}^n A_j - \sum_{j=1}^n f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}] \right|\\ &= \left| \sum_{j=1}^n \left(A_j - f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}] \right) \right| &\text{triangle inequality}\\ &\leq \sum_{j=1}^n\left|A_j - f(x_j^*)[x_j-x_{j-1}]\right|\\ &\leq \sum_{j=1}^n F\cdot [x_j-x_{j-1}]^2 & \text{from above}\\ \end{align*}\]
Ahora haz algo un poco furtivo. Reemplace uno de estos factores de\([x_j-x_{j-1}]\) (que es solo el ancho del\(j^\mathrm{th}\) subintervalo) por el ancho máximo de los subintervalos:
\ begin {align*} &\ leq\ sum_ {j=1} ^n F\ cdot M (\ mathbb {P})\ cdot [x_j-x_ {j-1}] &\ text {$F$ y $M (\ mathbb {P}) $ son constantes}\\ &\ leq F\ cdot M (\ mathbb {P})\ cdot\ sum_ {j=1} ^n [x_j-x_ {j-1}] &\ text {suma es ancho total}\\ & = F\ cdot M (\ mathbb {P})\ cdot (b-a). \ end {alinear*} - Dado que\(a\text{,}\)\(b\) y\(F\) son fijos, esto tiende a cero ya que el ancho máximo del rectángulo\(M(\mathbb{P})\) tiende a cero.
Por lo tanto, hemos demostrado
Supongamos que\(f(x)\) es continuo para\(a\le x\le b\text{,}\) y es diferenciable para todos\(a \lt x \lt b\) con\(|f'(x)|\le F\text{,}\) para alguna constante\(F\text{.}\) Entonces, como el ancho máximo del rectángulo\(M(\mathbb{P})\) tiende a cero,\(\cI(\mathbb{P})\) siempre converge\(A\text{,}\) al área entre la gráfica de\(y=f(x)\) y la\(x\) - eje, con\(x\) funcionamiento de\(a\) a\(b\text{.}\)
Ejercicios
Etapa 1
Para las preguntas 1 a 5, queremos que desarrolles una comprensión del modelo que estamos utilizando para definir una integral: aproximamos el área bajo una curva delimitándola entre rectángulos. Posteriormente, aprenderemos métodos de integración más sofisticados, pero todos ellos se basan en este concepto simple.
En las preguntas 6 a 10, practicamos el uso de la notación sigma. Hay muchas maneras de escribir una suma dada en notación sigma. Se puede practicar encontrar varios, y decidir cuál se ve más claro.
Las preguntas 11 a 15 están destinadas a darle práctica interpretando las fórmulas en la Definición 1.1.11. Las fórmulas pueden parecer complicadas al principio, pero si entiendes lo que significa cada pieza, son fáciles de aprender.
Dé un rango de valores posibles para el área sombreada en la imagen de abajo.
Dé un rango de valores posibles para el área sombreada en la imagen de abajo.
Usando rectángulos, encuentra un límite inferior y superior para\(\displaystyle\int_1^3 \dfrac{1}{2^x}\,d{x}\) que difieran como máximo en 0.2 unidades cuadradas.
Dejar\(f(x)\) ser una función que está disminuyendo de\(x=0\) a\(x=5\text{.}\) ¿Qué aproximación de la suma de Riemann\(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,d{x}\) es la más grande: izquierda, derecha o punto medio?
Dé un ejemplo de una función\(f(x)\text{,}\) un intervalo\([a,b]\text{,}\) y un número\(n\) tal que la suma de Riemann del punto medio de\(f(x)\) over\([a,b]\) using\(n\) interval sea mayor que las sumas de Riemann izquierda y derecha de\(f(x)\) over\([a,b]\) usando\(n\) intervalos.
Exprese las siguientes sumas en notación sigma:
- \(3+4+5+6+7\)
- \(6+8+10+12+14\)
- \(7+9+11+13+15\)
- \(1+3+5+7+9+11+13+15\)
Exprese las siguientes sumas en notación sigma:
- \(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}\)
- \(\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\frac{2}{81}\)
- \(-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+\frac{2}{81}\)
- \(\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}\)
Exprese las siguientes sumas en notación sigma:
- \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{5}{27}+\frac{7}{81}+\frac{9}{243}\)
- \(\frac{1}{5}+\frac{1}{11}+\frac{1}{29}+\frac{1}{83}+\frac{1}{245}\)
- \(1000+200+30+4+\frac{1}{2}+\frac{3}{50}+\frac{7}{1000}\)
Evaluar las siguientes sumas. Es posible que desee utilizar las fórmulas de los Teoremas 5 y 6.
- \(\displaystyle\sum_{i=0}^{100} \left(\dfrac{3}{5}\right)^i\)
- \(\displaystyle\sum_{i=50}^{100} \left(\dfrac{3}{5}\right)^i\)
- \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} \left(i^2-3i+5\right)\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{b}\left[ \left(\frac{1}{e}\right)^n+en^3\right]\text{,}\)donde\(b\) es algún número entero mayor que 1.
Evaluar las siguientes sumas. Es posible que desee utilizar las fórmulas del Teorema 1.1.6.
- \(\displaystyle\sum_{i=50}^{100} (i-50)+\displaystyle\sum_{i=0}^{50} i\)
- \(\displaystyle\sum_{i=10}^{100} \left(i-5\right)^3\)
- \(\displaystyle\sum_{n=1}^{11} (-1)^n\)
- \(\displaystyle\sum_{n=2}^{11} (-1)^{2n+1}\)
En la imagen de abajo, dibuje los rectángulos cuyo área (firmada) está siendo calculada por la suma de Riemann del punto medio\(\displaystyle\sum_{i=1}^4 \dfrac{b-a}{4}\cdot f\left(a+\left(i-\frac{1}{2}\right)\dfrac{b-a}{4}\right)\text{.}\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^4 f(1+k)\cdot 1\)es una suma de Riemann izquierda para una función\(f(x)\) en el intervalo\([a,b]\) con\(n\) subintervalos. Encuentra los valores de\(a\text{,}\)\(b\) y\(n\text{.}\)
Dibuja un dibujo ilustrando el área dada por la siguiente suma de Riemann.
\[ \sum_{i=1}^3 2\cdot\left(5+2i\right)^2 \nonumber \]
Dibuja un dibujo ilustrando el área dada por la siguiente suma de Riemann.
\[ \sum_{i=1}^5 \frac{\pi}{20}\cdot \tan\left(\frac{\pi (i-1)}{20}\right) \nonumber \]
Rellene los espacios en blanco con punto derecho, izquierdo o medio; un intervalo; y un valor de n.
- \(\sum\limits_{k=0}^3 f (1.5 + k) \cdot 1\)es una suma de\(\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\) Riemann para\(f\) en el intervalo\([\,\underline{\ \ \ \ \ \ }\ ,\ \underline{\ \ \ \ \ \ }\,]\) con\(n =\underline{\ \ \ \ \ }\text{.}\)
Evalúe la siguiente integral interpretándola como un área firmada y usando geometría:
\[ \int_0^5 x \,\,d{x} \nonumber \]
Evalúe la siguiente integral interpretándola como un área firmada y usando geometría:
\[ \int_{-2}^5 x \,\,d{x} \nonumber \]
Etapa 2
Las preguntas 26 y 27 utilizan la fórmula para una suma geométrica, Ecuación 1.1.3
Recuerde que una integral definida es un área señalizada entre una curva y el\(x\) eje. Pasaremos mucho tiempo aprendiendo estrategias para evaluar integrales definidas, pero ya conocemos muchas formas de encontrar áreas de formas geométricas. En las preguntas 28 a 33, usa tus conocimientos de geometría para encontrar las áreas firmadas descritas por las integrales dadas.
Utilice la notación sigma para escribir la suma de Riemann del punto medio para\(f(x)=x^8\) on\([5,15]\) con\(n=50\text{.}\) No evalúe la suma de Riemann.
Estimar\(\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\,d{x}\) usando tres rectángulos aproximados y puntos finales de la izquierda.
Dejar\(f\) ser una función en toda la línea real. Expresar\(\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\,d{x}\) como límite de sumas de Riemann, utilizando los puntos finales correctos.
El valor del siguiente límite es igual al área debajo de una gráfica de\(y=f(x)\text{,}\) integrado sobre el intervalo\([0,b]\text{:}\)
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {n\ a\ infty}\ suma_ {i=1} ^ {n}\ frac {4} {n}\ izquierda [\ sin\ izquierda (2 +\ frac {4i} {n}\ derecha)\ derecha] ^2\ final {reunir*}
Encuentra\(f(x)\) y\(b\text{.}\)
Para una determinada función\(f(x)\text{,}\) se mantiene la siguiente ecuación:
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n^2}\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}} =\int_0^1 f(x)\ \,\,d{x} \nonumber \]
Encuentra\(f(x)\text{.}\)
Expresar\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{3}{n} e^{-i/n} \cos\left(\frac{3i}{n}\right)\) como una integral definitiva.
Dejar\(\displaystyle R_n= \sum_{i=1}^{n} \frac{i e^{i/n}}{n^2}\text{.}\) Expresar\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n\) como una integral definitiva. No evaluar esta integral.
Expresar\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \sum_{i=1}^n e^{-1-2i/n}\cdot \frac{2}{n} \bigg)\) como integral de tres formas diferentes.
Evaluar la suma\(1+r^3+r^6+r^9+\cdots+r^{3n}\text{.}\)
Evaluar la suma\(r^5+r^6+r^7+\cdots+r^{100}\text{.}\)
Evaluar\({\displaystyle\int_{-1}^2 |2x|\ \,\,d{x}}\text{.}\)
Evalúe la siguiente integral interpretándola como un área firmada y usando geometría:
\[ \int_{-3}^5 |t-1| \,\,d{t} \nonumber \]
Evalúe la siguiente integral interpretándola como un área firmada y usando geometría:
\[ \int_a^b x \,\,d{x} \nonumber \]
donde\(0 \leq a \leq b\text{.}\)
Evalúe la siguiente integral interpretándola como un área firmada y usando geometría:
\[ \int_a^b x\, \,d{x} \nonumber \]
donde\(a \leq b \leq 0\text{.}\)
Evalúe la siguiente integral interpretándola como un área firmada y usando geometría:
\[ \int_0^4 \sqrt{16-x^2} \,d{x} \nonumber \]
Usar geometría elemental para calcular\(\displaystyle \int_0^3 f(x)\,\,\,d{x}\text{,}\) dónde
\ begin {align*} f (x) =\ begin {cases} x, &\ text {if} x\ le 1,\\ 1, &\ text {if} x\ gt 1. \ end {cases}\ end {align*}
El pedal del acelerador de un automóvil se aplica en\(t=0\) segundos y el auto acelera continuamente hasta\(t=2\) segundos. La velocidad del automóvil a intervalos de medio segundo se da en la siguiente tabla. Encuentra la mejor estimación superior posible para la distancia que recorrió el auto durante estos dos segundos.
| \(t\)(s) | \(0\) | \(0.5\) | \(1.0\) | \(1.5\) | \(2\) |
| \(v\)(m/s) | 0 | 14 | 22 | 30 | 40 |
Verdadero o falso: la respuesta que dio a la pregunta 34 es definitivamente mayor o igual a la distancia que recorrió el automóvil durante los dos segundos en cuestión.
La velocidad de un avión a intervalos de una hora se da en la siguiente tabla. Aproximar la distancia recorrida por el avión desde el mediodía hasta las 4 de la tarde en tres vías utilizando una suma de Riemann de punto medio.
| tiempo | 12:00pm | 1:00pm | 2:00pm | 3:00pm | 4:00pm |
| velocidad (km/hr) | 800 | 700 | 850 | 900 | 750 |
Etapa 3
(a) Expreso
\[ \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^n\frac{2}{n}\sqrt{4-\left(-2+\frac{2i}{n}\right)^2} \nonumber \]
como un integal definido.
b) Evaluar la integral de la parte (a).
Considera la integral:
\ begin {reunir*}\ int_0^3 (7 + x^3)\,\,\, d {x}. \ qquad\ qquad (*)\ fin {reunir*}
- Aproximar esta integral usando la suma de Riemann izquierda con\(n=3\) intervalos.
- Anote la expresión para la suma correcta de Riemann con\(n\) intervalos y calcule la suma. Ahora toma el límite\(n \to \infty\) en tu expresión para la suma de Riemann, para evaluar exactamente la integral (\(*\)).
Puedes usar la identidad
\ comenzar {reunir*}\ suma_ {i=1} ^ {n} i^3 =\ frac {n^4 +2n^3 + n^2} {4}\ fin {reunir*}
Usando un límite de derecho—punto final Riemann sumas, evaluar\(\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\,d{x}\text{.}\) Puede usar las fórmulas\(\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}\) y\(\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\text{.}\)
Encuentra\(\displaystyle\int_0^2 (x^3+x)\,\,\,d{x}\) usando la definición de la integral definida. Puede utilizar las fórmulas de suma\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \frac{n^4+2n^3+n^2}4\) y\(\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n^2+n}{2}\text{.}\)
Usando un límite de sumas de Riemann de punto final derecho, evaluar\(\displaystyle\int_1^4 (2x-1)\,\,\,d{x}\text{.}\) No use antidiferenciación, excepto para verificar su respuesta. 23 Aprenderás sobre este método a partir de la Sección 1.3. También puedes verificar esta respuesta usando geometría. Puedes usar la fórmula\(\sum\limits_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\text{.}\)
Dar una función\(f(x)\) que tenga la siguiente expresión como una suma Riemann derecha cuando\(n=10\text{,}\)\(\Delta(x)=10\) y\(a=-5\text{:}\)
\[ \sum_{i=1}^{10} 3(7+2i)^2\sin(4i)\,. \nonumber \]
Usando el método del Ejemplo 1.1.2, evalúe
\[ \int_0^1 2^x \,d{x} \nonumber \]
- Usando el método del Ejemplo 1.1.2, evalúe
\[ \int_a^b 10^x \,d{x} \nonumber \]
Usando tu respuesta desde arriba, haz una conjetura para
\[ \int_a^b c^x \,d{x} \nonumber \]
donde\(c\) es una constante positiva. ¿Esto concuerda con la Pregunta 43?
Evaluar\(\displaystyle\int_0^a \sqrt{1-x^2}\,d{x}\) usando geometría, si\(0 \leq a \leq 1\text{.}\)
Supongamos que\(f(x)\) es una función positiva, decreciente de\(x=a\) a\(x=b\text{.}\) Das un límite superior e inferior en el área bajo la curva\(y=f(x)\) usando\(n\) rectángulos y una suma de Riemann izquierda y derecha, respectivamente, como en la imagen de abajo.
- ¿Cuál es la diferencia entre el límite inferior y el límite superior? (Es decir, si restamos la estimación menor de la estimación mayor, ¿qué obtenemos?) Da tu respuesta en términos de\(f\text{,}\)\(a\text{,}\)\(b\text{,}\) y\(n\text{.}\)
- Si quieres aproximar el área bajo la curva dentro de 0.01 unidades cuadradas usando este método, ¿cuántos rectángulos debes usar? Es decir, ¿qué debería\(n\) ser?
Dejar\(f(x)\) ser una función lineal, dejar\(a \lt b\) ser enteros, y dejar\(n\) ser un número entero. Verdadero o falso: si promediamos las sumas de Riemann izquierda y derecha para\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,d{x}\) usar\(n\) rectángulos, obtenemos el mismo valor que la suma de Riemann del punto medio usando\(n\) rectángulos.
- Esto debería recordar al lector el enfoque adoptado para calcular la pendiente de una línea tangente que se remonta al inicio del cálculo diferencial.
- Aproximar el área de esta manera conduce a una definición de integración que se llama integración de Riemann. Este es el enfoque más utilizado para la integración. Sin embargo, también podríamos aproximar el área mediante el uso de tiras horizontales largas y delgadas. Esto lleva a una definición de integración que se llama integración Lebesgue. No vamos a estar cubriendo la integración de Lebesgue en estas notas.
- Si queremos tener más cuidado aquí, deberíamos construir dos aproximaciones, una que siempre sea un poco más pequeña que el área deseada y otra que sea un poco más grande. Luego podemos tomar un límite usando el Teorema de Squeeze y llegar al área exacta. Más sobre esto más adelante.
- Observe que desde\(e^x\) is an increasing function, this choice of heights means that each of our rectangles is smaller than the strip it came from.
- No hemos probado que esto nos va a dar el área exacta, pero debe quedar claro que tomar este límite nos dará un límite inferior en la zona. Para completar las cosas rigurosamente también necesitamos un límite superior y el teorema de squeeze. Esto lo hacemos en la siguiente subsección optativa.
- Si no recuerda la regla de L'Hôpital y las formas indeterminadas entonces te recomendamos hojear tus notas de cálculo diferencial sobre el tema.
- Di si no recuerdas la regla de L'hôpital y no has tenido tiempo de revisarla.
- ¿Para dividir o no hipenar: “distinto de cero” o “distinto de cero”? Los autores tomaron nuestra iniciativa desde aquí y también aquí.
- Recordemos que si tenemos 3 funciones\(f(x), g(x), h(x)\) that satisfy \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) and we know that \(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L\) exists and is finite, then the squeeze theorem tells us that \(\lim_{x\to a} g(x) = L\text{.}\)
- Alguna adición cuidadosa demuestra que es\(\frac{46181}{176400}\text{.}\)
- Como todas las sumas son finitas, esto no es demasiado difícil. Se debe tener más cuidado cuando las sumas implican un número infinito de términos. Esto lo examinaremos en el Capítulo 3.
- Por supuesto, cualquier suma finita se puede calcular exactamente — simplemente sumar juntos los términos. Lo que queremos decir con “computado exactamente” en este contexto, es que podemos reescribir la suma como una fórmula simple, y fácilmente evaluada, que involucra a los terminales de la suma. Por ejemplo\(\sum_{k=m}^n r^k = \frac{r^{n+1}-r^m}{r-1}\) proporcionado\(r\neq1\text{.}\). No importa para qué enteros finitos elegimos\(m\) y\(n\), podemos calcular rápidamente la suma en solo unas pocas operaciones aritméticas. Por otro lado, las sumas,\(\sum_{k=m}^n \frac{1}{k}\) y\(\sum_{k=m}^n \frac{1}{k^2}\text{,}\) no se pueden expresar en fórmulas tan limpias (aunque puedes reescribirlas de manera bastante limpia usando integrales). Para explicar con mayor claridad necesitaríamos entrar en una discusión más detallada y cuidadosa que esté más allá del alcance de este curso.
- Las funciones generadoras se utilizan frecuentemente en matemáticas para analizar secuencias y series, pero están fuera del alcance del curso. El lector interesado debería echar un vistazo a “Generarfuncionología” de Herb Wilf. Es un libro excelente y también se puede descargar gratis.
- \(a\) and \(b\) are also called the bounds of integration.
- Eventualmente permitiremos\(a\) and \(b\) to be any two real numbers, not even requiring \(a \lt b\text{.}\) But it is easier to start off assuming \(a \lt b\text{,}\) and that's what we'll do.
- Bernhard Riemann fue un matemático alemán del siglo XIX que hizo contribuciones extremadamente importantes a muchas áreas diferentes de las matemáticas, demasiadas para enumerarlas aquí. Podría decirse que dos de las más importantes (después de las sumas de Riemann) ahora se llaman superficies de Riemann y la hipótesis de Riemann (no las nombró por sí mismo).
- Cuando una función está disminuyendo la situación se invierte — la suma de Riemann izquierda siempre es mayor que la integral mientras que la suma de Riemann derecha es menor que la integral. Para funciones más generales que aumentan y disminuyen quizás sea más fácil estudiar cada intervalo creciente (o decreciente) por separado.
- Si esta fuera la única interpretación entonces las integrales serían una buena curiosidad matemática y poco probable que fuera el tema central de un gran curso de matemáticas de primer año.
- Seremos más precisos sobre lo que significa “razonable” en breve.
- Nuevamente, vamos a explicar esto “razonable” en breve
- Aquí estamos usando el teorema del valor extremo — su prueba está más allá del alcance de este curso. El teorema dice que cualquier función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar un mínimo y máximo al menos una vez. En esta situación esto implica que para cualquier función continua\(f(x)\text{,}\) there are \(x_{j-1}\le {\overline x}_j, {\underline x}_j\le x_j\) such that \(f({\underline x}_j)\le f(x) \le f({\overline x}_j)\) for all \(x_{j-1}\le x\le x_j\text{.}\)
- Recordemos que el teorema del valor medio establece que para una función continua\([a,b]\) and differentiable on \((a,b)\text{,}\) there exists a number \(c\) between \(a\) and \(b\) so that \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\)