1.13: Más ejemplos de integración

Ejercicios

Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\)

Etapa 1

1

Coincide el método de integración con un tipo común de integración y se utiliza para antidiferenciar.

(A)\(u=f(x)\) sustitución	I)	una función multiplicada por su derivada
(B) Sustitución trigonométrica	II)	un polinomio multiplicado por un exponencial
(C) integración por partes	III)	una función racional
(D) fracciones parciales	IV)	la raíz cuadrada de una función cuadrática

Etapa 2

2

Evaluar\(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin^{4}x\cos^{5}x \, d{x}\text{.}\)

3

Evaluar\(\displaystyle\int \sqrt{3-5x^2}\, d{x}\text{.}\)

4

Evaluar\(\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}\, d{x}\text{.}\)

5

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{-2}{3x^2+4x+1}\, d{x}\text{.}\)

6

Evaluar\(\displaystyle\int_1^2 x^2\log x \, d{x}\text{.}\)

7 (✳)

Evaluar\(\displaystyle\int\frac{x}{x^2-3}\,\, d{x}\text{.}\)

8 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int_1^{e}x^3\log x\,\, d{x}\)

9 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\sin x\,\, d{x} \)
2. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^5 x\,\, d{x} \)

10 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^2 xe^x\,\, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int_3^5\frac{4x}{(x^2-1)(x^2+1)}\,\, d{x}\)

11 (✳)

Calcula las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^3\sqrt{9-x^2}\,\, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_0^1\log(1+x^2)\,\, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int_3^\infty\frac{x}{(x-1)^2(x-2)}\,\, d{x}\)

12

Evaluar\(\displaystyle\int\frac{\sin^4\theta-5\sin^3\theta+4\sin^2\theta+10\sin\theta}{\sin^2\theta-5\sin\theta+6}\cos\theta\, d{\theta}\text{.}\)

13 (✳)

Evaluar las siguientes integrales. Muestra tu trabajo.

1. \(\displaystyle\int_0^{\pi\over 4}\sin^2(2x)\cos^3(2x)\ \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int\big(9+x^2\big)^{-{3\over 2}}\ \, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int\frac{\, d{x}}{(x-1)(x^2+1)}\)
4. \(\displaystyle\int x\arctan x\ \, d{x}\)

14 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\sin^5(2x)\,\cos(2x)\ \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int\sqrt{4-x^2}\ \, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int\frac{x+1}{x^2(x-1)}\ \, d{x}\)

15 (✳)

Calcula las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^\infty e^{-x} \sin(2x)\,\, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_0^{\sqrt{2}}\frac{1}{(2+x^2)^{3/2}}\,\, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int_0^1 x\log(1+x^2)\,\, d{x}\)
4. \(\displaystyle\int_3^\infty\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}\,\, d{x}\)

16 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int x\,\log x\ \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int\frac{(x-1)\,\, d{x}}{x^2+4x+5}\)
3. \(\displaystyle\int\frac{\, d{x}}{x^2-4x+3}\)
4. \(\displaystyle\int\frac{x^2\,\, d{x}}{1+x^6}\)

17 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int_0^1\arctan x\ \, d{x}\text{.}\)
2. \(\displaystyle\int\frac{2x-1}{x^2-2x+5}\ \, d{x}\text{.}\)(✳)

18 (✳)

1. Evaluar\({\displaystyle \int\frac{x^2}{(x^3 + 1)^{101}}\,\, d{x}}\text{.}\)
2. Evaluar\(\displaystyle\int \cos^3\!x\ \sin^4\!x\ \, d{x}\text{.}\)

19 (✳)

Evaluar\(\displaystyle\int_{\pi/2}^\pi \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}\, d{x}\text{.}\)

20 (✳)

Evaluar las siguientes integrales.

1. \(\displaystyle\int \frac{e^x}{(e^x+1)(e^x-3)}\, \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_2^4 \frac{x^2-4x+4}{\sqrt{12+4x-x^2}}\, \, d{x}\)

21 (✳)

Evaluar estas integrales.

1. \(\displaystyle\int\frac{\sin^3x}{\cos^3x} \ \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_{-2}^{2}\frac{x^4}{x^{10}+16}\ \, d{x}\)

22

Evaluar\(\displaystyle\int x\sqrt{x-1}\, d{x}\text{.}\)

23

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{\sqrt{x^2-2}}{x^2}\, d{x}\text{.}\)

Puedes usar eso\(\int \sec x\, d{x} = \log|\sec x+\tan x| +C\text{.}\)

24

Evaluar\(\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sec^4x\tan^5x\,\, d{x}\text{.}\)

25

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{3x^2+4x+6}{(x+1)^3} \, \, d{x}\text{.}\)

26

Evaluar\(\displaystyle\int\frac{1}{x^2+x+1}\,\, d{x}\text{.}\)

27

Evaluar\(\displaystyle\int \sin x \cos x \tan x\, d{x}\text{.}\)

28

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{1}{x^3+1}\, d{x}\text{.}\)

29

Evaluar\(\displaystyle\int (3x)^2\arcsin x \, d{x}\text{.}\)

Etapa 3

30

Evaluar\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos t+1}\ \, d{t}\text{.}\)

31

Evaluar\(\displaystyle\int_{0}^{e} \frac{\log\sqrt{x}}{x}\, d{x}\text{.}\)

32

Evaluar\(\displaystyle\int_{0.1}^{0.2} \frac{\tan x}{\log(\cos x)}\, \, d{x}\text{.}\)

33 (✳)

Evaluar estas integrales.

1. \(\displaystyle\int\sin(\log x) \ \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x^2-5x+6}\ \, d{x}\)

34 (✳)

Evaluar (con justificación).

1. \(\displaystyle\int_0^3(x+1)\sqrt{9-x^2} \ \, d{x}\)
2. \(\displaystyle\int\frac{4x+8}{(x-2)(x^2+4)}\ \, d{x}\)
3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}}\ \, d{x}\)

35

Evaluar\(\displaystyle\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}\, d{x}\text{.}\)

36

Evaluar\(\displaystyle\int_0^1e^{2x}e^{e^x}\,\, d{x}\text{.}\)

37

Evaluar\(\displaystyle\int\frac{xe^x}{(x+1)^2}\, d{x}\text{.}\)

38

Evaluar\(\displaystyle\int \frac{x\sin x}{\cos^2 x}\,\, d{x}\text{.}\)

Puedes usar eso\(\int \sec x\, d{x} = \log|\sec x+\tan x| +C\text{.}\)

39

Evaluar\(\displaystyle\int x(x+a)^n\, d{x}\text{,}\) dónde\(a\) y\(n\) son constantes.

40

Evaluar\(\displaystyle\int\arctan (x^2)\, d{x}\text{.}\)