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1.2: Propiedades básicas de la integral definida

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    119146
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Cuando estudiamos límites y derivados, desarrollamos métodos para tomar límites o derivados de “funciones complicadas”, como\(f(x)=x^2 + \sin(x)\) entender cómo los límites y las derivadas interactúan con operaciones aritméticas básicas como la suma y la resta. Esto nos permitió reducir el problema a una de las derivadas informáticas de funciones más simples como\(x^2\) y En el\(\sin(x)\text{.}\) camino establecimos reglas simples como

    \ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a} (f (x) +g (x)) =\ lim_ {x\ a} f (x) +\ lim_ {x\ a} g (x)\ quad\ texto {y}\ quad\ frac {d} {dx} (f (x) +g (x)) =\ frac {df} {dx} +\ frac {dg} {dx}\ fin {reunir*}

    Algunas de estas reglas tienen análogos muy naturales para integrales y las discutimos a continuación. Desafortunadamente las reglas análogas para integrales de productos de funciones o integrales de composiciones de funciones son más complicadas que las de límites o derivadas. Se discuten esas reglas a fondo en secciones posteriores. Por ahora consideremos algunas de las reglas más simples de la aritmética de las integrales.

    Teorema 1.2.1 Aritmética de Integración

    Dejemos\(a,b\) y\(A,B,C\) sean números reales. Dejar que las funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) ser integrables en un intervalo que contiene\(a\) y\(b\text{.}\) Entonces

    \ begin {align*}\ text {(a)} &&\ int_a^b\ izquierda (f (x) + g (x)\ derecha)\, d {x} &=\ int_a^b f (x)\, d {x} +\ int_a^b g (x)\, d {x}\\\ text {(b)} &&\ int_a^b\ izquierda (f (x) -g (x)\ derecha)\, d {x} &=\ int_a^b f (x)\, d {x} -\ int_a^b g (x)\, d {x}\\\ texto {(c)} &&\ int_a^b C f (x)\, d {x} &= C\ cdot\ int_a^b C f (x)\, d {x} &= C\ cdot\ int_a^b ^b f ( x)\, d {x}\\\ final {alinear*}

    Combinando estas tres reglas tenemos

    \[\begin{align*} \text{(d)}&& \int_a^b \left( Af(x) + Bg(x) \right)\, d{x} &= A\int_a^b f(x)\, d{x} + B\int_a^b g(x)\, d{x}\\ \end{align*}\]

    Es decir, las integrales dependen linealmente del integrando.

    \ begin {alinear*}\ text {(e)} &&\ int_a^b\, d {x} =\ int_a^b 1\ cdot\, d {x} &= b-a\ end {alinear*}

    No es demasiado difícil probar este resultado a partir de la definición de la integral definida. Adicionalmente solo necesitamos probar (d) y (e) ya que

    • (a) se deduce de (d) estableciendo\(A=B=1\text{,}\)
    • b) se deduce de (d) estableciendo\(A=1, B=-1\text{,}\) y
    • c) se deduce de (d) estableciendo\(A=C, B=0\text{.}\)
    Prueba

    Como se señaló anteriormente, nos basta con probar (d) y (e). Ya que (e) es más fácil, comenzaremos con eso. También es un buen calentamiento para (d).

    • La integral definida en (e), se\(\int_a^b 1 \, d{x}\text{,}\) puede interpretar geométricamente como el área del rectángulo con altura 1 que va desde\(x=a\) a\(x=b\text{;}\) esta área es claramente\(b-a\text{.}\) Podemos probar esta fórmula también a partir de la definición de la integral (Definición 1.1.9):\ begin {align*}\ int_a^b\, d {x} &= \ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\,\ frac {b-a} {n} &\ texto {por definición}\\ &=\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {i=1} ^n 1\,\ frac {b-a} {n} &\ text {since $f (x) =1$}\\ &=\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} (b-a)\ sum_ {i=1} ^n\ frac {1} {n} &\ text {desde $a, b$ son constantes}\\ &=\ lim_ {n\ fila derecha\ infty} (b-a)\\ &=b-a\ end {align*} según sea necesario.
    • Para probar (d) empecemos por definir\(h(x) = Af(x)+Bg(x)\) y luego necesitamos expresar la integral de\(h(x)\) en términos de los de\(f(x)\) y\(g(x)\text{.}\) Utilizamos la Definición 1.1.9 y algunas manipulaciones algebraicas 1 para llegar al resultado. \ begin {align*}
      \ int_a^bh (x)\, d {x}
      &=\ sum_ {i=1} ^n h (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\\
      &\ hskip0.5in\ texto {por Definición} {\ texto {1.1.9}}\\
      &=\ sum_ {i=1} ^\ izquierda (Af (x_ {i, n} ^*) +Bg (x_ {i, n} ^*)\ derecha)\ cdot\ frac {b-a} {n} \\
      &=\ suma_ {i=1} ^n\ izquierda (Af (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n} + Bg (x_ {i, n} ^*)\ cdot
      \ frac {b-a} {n}\ derecha)\\
      &=\ izquierda (suma_ {i=1} ^n Af (x_ {i, n, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ derecha)
      +\ izquierda (\ suma_ {i=1} ^n Bg (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ derecha)\\
      &\ hskip0.5in\ texto {por teorema} {\ texto {1.1.5}}\ texto {(b)}\\
      &= A\ izquierda (\ suma_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ derecha)
      + B\ izquierda (\ sum_ {i=1} ^n g (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ derecha)\\
      &\ hskip0.5in\ text {por teorema} {\ text {1.1.5}}\ text {(a)}\\
      &= A\ int_a^b f (x)\, d {x} + B\ int_a^b g (x)\, d {x}\\
      &\ hskip0.5in\ text {por Definición} {\ text {1.1.9}}
      \ end {align_} según sea necesario.

    Utilizando este Teorema podemos integrar sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones que sabemos integrar. Por ejemplo:

    Ejemplo 1.2.2 La integral de una suma

    En el Ejemplo 1.1.1 vimos\(\int_0^1 e^x\, d{x}=e-1\text{.}\) que So

    \ begin {align*}\ int_0^1\ big (e^x+7\ big)\, d {x} &=\ int_0^1 e^x\, d {x} + 7\ int_0^1 1\, d {x}\\ &\ text {por Teorema 1.2.1}\ texto {(d) con $A=1, f (x) =e^x, B=7, g (x) =1$}\\ &= (e-1) +7\ veces (1-0)\\ &\ text {por Ejemplo 1.1.1}\ text {y Teorema 1.2.1}\ text {(e)}\\ &=e+6\ end {align*}

    Cuando dimos la definición formal de\(\int_a^b f(x) \, d{x}\) en la Definición 1.1.9 explicamos que la integral podría interpretarse como el área señalizada entre la curva\(y=f(x)\) y el\(x\) eje\([a,b]\text{.}\) -en el intervalo Para que esta interpretación tuviera sentido requerimos eso\(a \lt b\text{,}\) y aunque remarcó que la integral tiene sentido cuando no\(a \gt b\) explicamos más. Agradecidamente hay una manera fácil de expresar la integral\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) en términos de\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) — haciendo siempre posible escribir una integral para que el límite inferior de integración sea menor que el límite superior de integración. Teorema 1.2.3, a continuación, nos dicen que, por ejemplo,\(\int_7^3 e^x\, d{x} = - \int_3^7 e^x\, d{x}\text{.}\) El mismo teorema también nos proporciona otras dos simples manipulaciones de los límites de la integración.

    Teorema 1.2.3 Aritmética para el Dominio de la Integración

    \(a,b,c\)Dejen ser números reales. Deje que la función\(f(x)\) sea integrable en un intervalo que contenga\(a\text{,}\)\(b\) y\(c\text{.}\) Entonces

    \ begin {align*}\ text {(a)} &&\ int_a^a f (x)\, d {x} &= 0\\\ text {(b)} &&\ int_b^a f (x)\, d {x} &= -\ int_a^b f (x)\, d {x}\\\ text {(c)} &&\ int_b a^b f (x)\, d {x} &=\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ int_c^b f (x)\, d {x}\ final {alinear*}

    La prueba de esta afirmación no es demasiado difícil.

    Prueba

    Demostremos las declaraciones en orden.

    • Consideremos la definición de la integral definida\ begin {align*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &=\ lim_ {n\ to\ infty}\ sum_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ frac {b-a} {n}\ end {align*} Si ahora sustituimos\(b=a\) en esta expresión tenemos\ begin alinear*}\ int_a^a f (x)\, d {x} &=\ lim_ {n\ a\ infty}\ suma_ {i=1} ^n f (x_ {i, n} ^*)\ cdot\ underbrackets {\ frac {a-a} {n}} _ {=0}\\ &=\ lim_ {n\ a\ infty}\ suma_ {i=1} ^n\ underbrackets {f (x_ {i, n} ^*)\ cdot 0} _ {=0}\\ &=\ lim_ {n\ a\ infty} 0\ &= 0\ end {align*}
      según sea necesario.
    • \(\int_a^b f(x) \, d{x}\text{.}\)Consideremos ahora la integral definitiva Vamos a acercarnos sigilosamente a la prueba examinando primero las aproximaciones de suma de Riemann tanto a esto como a\(\int_b^a f(x)\, d{x}\text{.}\) La aproximación de la suma de Riemann del punto medio a\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos (para que cada subintervalo tenga ancho\(\frac{b-a}{4}\)) es\ begin {align*} &\ left\ { f\ grande (a+\ tfrac {1} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande) +f\ grande (a+\ tfrac {3} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande) +f\ grande (a+\ tfrac {5} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande) + f\ grande (a+\ tfrac {7} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande)\ derecha\}\ cdot\ tfrac {b-a} {4}\ &=\ izquierda\ {f\ grande (\ tfrac {7} {8} a+\ tfrac {1} {8} b\ grande) +f\ grande (\ tfrac {5} {8} a+\ tfrac {3} {8} b\ grande) +f\ grande (\ tfrac {3} {8} a+\ tfrac { 5} {8} b\ big) +f\ big (\ tfrac {1} {8} a+\ tfrac {7} {8} b\ big)\ right\}\ cdot\ tfrac {b-a} {4}\ end {align*} Ahora hacemos lo mismo para\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos. Tenga en cuenta que ahora\(b\) es el límite inferior sobre la integral y ahora\(a\) es el límite superior en la integral. Esto es probable que cause confusión cuando escribimos la suma de Riemann, así que cambiaremos el nombre temporalmente\(b\) a\(A\) y\(a\) a\(B\text{.}\) La aproximación de la suma de Riemann del punto medio a\(\int_A^B f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos es\ begin {align*} &\ Big\ {f\ big (A+\ tfrac {1} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ big) + f\ grande (A+\ tfrac {3} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande) +f\ grande (A+\ tfrac {5} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande)\\ &\ hskip2.5in +f\ grande (A+\ tfrac {7} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande)\ Grande\}\ cdot\ tfrac {B-A} {4}\\ &=\ Grande\ {f\ grande (\ tfrac {7} {8} A+\ tfrac {1} {8} B\ grande) +f\ grande (\ tfrac {5} {8} A+\ tfrac {3} {8} B\ grande) +f grande\ (\ tfrac {3} {8} A+\ tfrac {5} {8} B\ grande)\\ &\ hskip2 .5in+f\ big (\ tfrac {1} {8} A+\ tfrac {7} {8} B\ big)\ Big\}\ cdot\ tfrac {B-A} {4}\\\ end {align*} Ahora recordando eso\(A=b\) y\(B=a\text{,}\) tenemos que el punto medio Riemann suma aproximación a\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos es\ begin {align*} &\ left\ {f big\ (\ tfrac {7} {8} b+\ tfrac {1} {8} a\ grande) +f\ grande (\ tfrac {5} {8} b+\ tfrac {3} {8} a\ grande) +f\ grande (\ tfrac {3} {8} b+\ tfrac {5} {8} a\ grande) +f\ grande (\ tfrac {1} {8} b+\ tfrac {7} {8} a\ grande)\ derecha\}\ cdot\ tfrac ac {a-b} {4}\ end {align*} Así vemos que las sumas de Riemann para las dos integrales son casi idénticas — siendo la única diferencia el factor de\(\frac{b-a}{4}\) versus\(\frac{a-b}{4}\text{.}\) De ahí las dos Las sumas de Riemann son negativas entre sí. El mismo cálculo con\(n\) subintervalos muestra que las aproximaciones de suma de Riemann de punto medio a\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) y\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) con\(n\) subintervalos son negativas entre sí. Tomando el límite\(n\rightarrow\infty\) da\(\int_b^a f(x)\, d{x}= -\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\)
    • Por último, considere (c) —no daremos una prueba formal de ello, sino que la interpretaremos geométricamente. De hecho, también se puede interpretar (a) geométricamente. En ambos casos estos se convierten en declaraciones sobre el área s:\begin {gather*}\ int_a^a f (x)\, d {x} =0\ qquad\ text {y}\ qquad\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ int_c^b f (x)\, d {x} end\ {reunir*} son\ comenzar {reunir*}\ texto {Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le a,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\} =0\ end {reunir*} y\ begin {align*} & amp;\ texto {Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ 0\ le y\ le f (x)\\\ grande\}\ &\ hskip0.25in=\ texto {Área}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ a\ x le\ le c,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\}\\ &\ hskip0.5in +\ texto {Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ c\ le x\ le b,\ 0\ le y\ le f (x)\\ big\}\ end {align*} respectivamente. Ambas declaraciones geométricas son intuitivamente obvias. Consulte las cifras a continuación.
      Tenga en cuenta que hemos asumido que\(a\leq c \leq b\) y que\(f(x)\geq 0\text{.}\) Uno puede eliminar estas restricciones y también hacer que la prueba sea más formal, pero se vuelve bastante tediosa y menos intuitiva.
    Comentario 1.2.4

    Por simplicidad notacional, supongamos que\(a\le c\le b\) y\(f(x)\ge 0\) para todos\(a\le x\le b\text{.}\) Las interpretaciones geométricas de las identidades

    \ comenzar {reunir*}\ int_a^a f (x)\, d {x} =0\ quad\ texto {y}\ cuádruple\ int_a^b f (x)\, d {x} =\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ int_c^b f (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

    son

    \ comenzar {reunir*}\ texto {Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le a,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\} =0\ fin {reunir*}

    y

    \ begin {alinear*} &\ texto {Área}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ a\ le x\ le b,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\}\ &\ hskip0.25in=\ texto {Área}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ a le\ x\ le c,\ 0 le\ y\ le f (x)\\ grande\}\ &\ hskip0.5in +\ texto {Área}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ c\ le x\ le b,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\}\ end {align*}

    respectivamente. Ambas declaraciones geométricas son intuitivamente obvias. Consulte las cifras a continuación. No vamos a dar una prueba formal.

    Entonces nos concentramos en la fórmula\(\int_b^a f(x)\, d{x}= -\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) El punto medio Riemann suma aproximación a\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos (para que cada subintervalo tenga ancho\(\frac{b-a}{4}\)) es

    \ begin {align} &\ Grande\ {f\ grande (a+\ tfrac {1} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande) +f\ grande (a+\ tfrac {3} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande) +f\ grande (a+\ tfrac {5} {2}\ tfrac {b-a} 4}\ grande) +f\ grande (a+\ tfrac {7} {2}\ tfrac {b-a} {4}\ grande)\ grande\}\ tfrac {b-a} {4}\ notag\\ &=\ grande\ {f\ grande (\ tfrac {7} {8} a+\ tfrac {1} {8} b\ grande) +f\ grande (\ tfrac {5} {8} a+\ tfrac {3} {8} b\ Grande) +f\ grande (\ tfrac {3} {8} a+\ tfrac {5} {8} b\ Grande) +f\ grande (\ tfrac {1} {8} {8} a+\ tfrac {7} {8} b\ grande)\ Grande\}\ tfrac {b-a} {4}\ etiqueta {eq_intflipl}\ tag {\(\star\)}\ end {align}

    Ahora vamos a escribir la aproximación de la suma de Riemann del punto medio a\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos. Tenga en cuenta que ahora\(b\) es el límite inferior sobre la integral y ahora\(a\) es el límite superior en la integral. Esto es probable que cause confusión cuando escribimos la suma de Riemann, así que cambiaremos el nombre temporalmente\(b\) a\(A\) y\(a\) a\(B\text{.}\) La aproximación de la suma de Riemann del punto medio a\(\int_A^B f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos es

    \ begin {alinear*} &\ Grande\ {f\ grande (A+\ tfrac {1} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande) +f\ grande (A+\ tfrac {3} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande) +f\ grande (A+\ tfrac {5} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande) +f\ grande (A+\ tfrac {7} {2}\ tfrac {B-A} {4}\ grande)\ Grande\}\ tfrac {B-A} {4}\ &=\ grande\ {f\ grande (\ tfrac {7} {8} A+\ tfrac {1} {8} B\ grande) +f grande\ (\ tfrac {5} {8} A+\ tfrac {3} {8} B\ grande) +f\ grande (\ tfrac {3} {8} A+\ tfrac {5} {8} B\ grande) +f\ grande (\ tfrac {1} {8} A+\ tfrac {7} {8} B\ grande)\ grande\}\ tfrac {B-A} {4}\ final {alinear*}

    Ahora recordando eso\(A=b\) y\(B=a\text{,}\) tenemos que el punto medio Riemann suma aproximación a\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) con\(4\) subintervalos es

    \ begin {reunir}\ Grande\ {f\ grande (\ frac {7} {8} b+\ frac {1} {8} a\ grande) +f\ grande (\ tfrac {5} {8} b+\ tfrac {3} {8} a\ grande) +f\ grande (\ tfrac {3} {8} b+\ tfrac {5} {8}} a\ grande) +f\ grande (\ tfrac {1} {8} b+\ tfrac {7} {8} a\ grande)\ grande\}\ tfrac {a-b} {4}\ etiqueta {eq_intflipr}\ tag {\(\star\star\)}\ end {reunir}

    Los corchetes en (\(\star\)) y (\(\star\star\)) son iguales entre sí — los términos están simplemente en el orden inverso. Los factores que multiplican los corchetes en (\(\star\)) y (\(\star\star\)), es decir,\(\frac{b-a}{4}\) y\(\frac{a-b}{4}\text{,}\) son negativos entre sí, so (\(\star\star\))\(=-\) (\(\star\)). El mismo cálculo con\(n\) subintervalos muestra que las aproximaciones de suma de Riemann de punto medio a\(\int_b^a f(x)\, d{x}\) y\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) con\(n\) subintervalos son negativas entre sí. Tomando el límite\(n\rightarrow\infty\) da\(\int_b^a f(x)\, d{x}= -\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\)

    Ejemplo 1.2.5 Revisando el Ejemplo 1.1.14

    De vuelta en el Ejemplo 1.1.14 vimos que cuando Ahora\(b \gt 0\)\(\int_0^b x\, d{x} =\frac{b^2}{2}\text{.}\) vamos a verificar que\(\int_0^b x\, d{x} =\frac{b^2}{2}\) sigue siendo cierto cuando\(b=0\) y también cuando\(b \lt 0\text{.}\)

    • Primero considere\(b=0\text{.}\) Luego la declaración\(\int_0^b x\, d{x} =\frac{b^2}{2}\) se convierte en

      \ comenzar {reunir*}\ int_0^0 x\, d {x} =0\ fin {reunir*}

      Esto es una consecuencia inmediata del Teorema 1.2.3 (a).
    • Ahora considere\(b \lt 0\text{.}\) Escribamos\(B=-b\text{,}\) para que\(B \gt 0\text{.}\) En el Ejemplo 1.1.14 viéramos que

      \ begin {reunir*}\ int_ {-B} ^0 x\, d {x} =-\ frac {B^2} {2}. \ end {reunir*}

      Así que tenemos

      \ begin {align*}\ int_0^b x\, d {x} &=\ int^ {-B} _0 x\, d {x} =-\ int_ {-B} ^0 x\, d {x} &\ text {por Teorema 1.2.3}\ text {(b)}\\ & =-\ izquierda (-\ frac {B^2} {2} derecha) &\ text {por Ejemplo 1.1.14}\\ & =\ frac {B^2} {2} =\ frac {b^2} {2}\ end {align*}

    Ahora hemos demostrado que

    \ begin {align*}\ int_0^b x\, d {x} &=\ frac {b^2} {2} &\ text {para todos los números reales $b$}\ end {align*}

    Ejemplo 1.2.6\(\int_a^b x\,d{x}\)

    Aplicando el Teorema 1.2.3 una vez más, tenemos, para todos los números reales\(a\) y\(b\text{,}\)

    \ begin {align*}\ int_a^b x\, d {x} &=\ int_a^0 x\, d {x} +\ int_0^b x\, d {x} &\ text {por Teorema 1.2.3} (c)\ texto {con $c=0$}\\ &=\ int_0^b x\, d {x} -\ int_0^a x\, d {x} &\ text {por Teorema 1.2.3}\ text {(b)}\\ &=\ frac {b^2-a^2} {2} &\ text {por Ejemplo 1.2.5}\ text {, dos veces}\ end {align*}

    También podemos entender este resultado geométricamente.

    • (izquierda) Cuando\(0 \lt a \lt b\text{,}\) la integral representa el área en verde, que es la diferencia de dos triángulos de ángulo recto: el mayor con el área\(b^2/2\) y el menor con el área\(a^2/2\text{.}\)
    • (centro) Cuando\(a \lt 0 \lt b\text{,}\) la integral representa el área firmada de los dos triángulos mostrados. El que está por encima del eje tiene área\(b^2/2\) mientras que el de abajo tiene área\(-a^2/2\) (ya que está por debajo del eje).
    • (derecha) Cuando\(a \lt b \lt 0\text{,}\) la integral representa el área firmada en púrpura de la diferencia entre los dos triángulos, la mayor con el área\(-a^2/2\) y la menor con el área\(-b^2/2\text{.}\)

    El teorema 1.2.3 (c) nos muestra cómo podemos dividir una integral a lo largo de un intervalo mayor en uno sobre dos (o más) intervalos más pequeños. Esto es particularmente útil para tratar con funciones por partes, como\(|x|\text{.}\)

    Ejemplo 1.2.7 Integrales que involucran\(|x|\)

    Usando el Teorema 1.2.3, podemos evaluar fácilmente integrales que involucran\(|x|\text{.}\) Primero, recordamos que

    \ begin {align*} |x|=\ begin {cases} x &\ text {si $x\ ge 0$}\\ -x &\ texto {si $x\ lt 0$}\ end {cases}\ end {align*}

    Ahora considere (por ejemplo)\(\int_{-2}^3 |x| \, d{x}\text{.}\) Dado que el integrando\(x=0\text{,}\) cambia en tiene sentido dividir el intervalo de integración en ese punto:

    \ begin {align*}\ int_ {-2} ^3 |x|\, d {x} &=\ int_ {-2} ^0 |x|\, d {x} +\ int_0^3 |x|\, d {x} &\ text {por Teorema 1.2.3}\\ &=\ int_ {-2} ^0 (-x)\, d {x} +\ int_0^3 x\, d {x} &\ texto {por definición de $|x|$}\\ &= -\ int_ {-2} ^0 x\, d {x} +\ int_0^3 x\, d {x} &\ text {por Teorema 1.2.1}\ text {(c)}\\ &= - (-2^2/2) + (3^2/2) = (4+9) /2\\ &= 13/2\ end {alinear*}

    Podemos ir más allá, dada una función de la\(f(x)\) que podemos reescribir la integral\(f(|x|)\) en términos de la integral de\(f(x)\) y\(f(-x)\text{.}\)

    \ begin {alinear*}\ int_ {-1} ^1 f\ grande (|x|\ grande)\, d {x} & =\ int_ {-1} ^0 f\ grande (|x|\ grande)\, d {x} +\ int_0^1 f\ grande (|x|\ grande)\, d {x}\\ & =\ int_ {-1} ^0 f (x)\, d {x} +\ int_0^1 f (x)\, d {x}\ final {alinear*}

    Aquí hay un ejemplo más concreto.

    Ejemplo 1.2.8 Revisando el Ejemplo 1.1.15

    Vamos a calcular de\(\int_{-1}^1 \big(1-|x|\big)\, d{x}\) nuevo. En el Ejemplo 1.1.15 evaluamos esta integral interpretándola como el área de un triángulo. Esta vez vamos a utilizar únicamente las propiedades dadas en los Teoremas 1.2.1 y 1.2.3 y los hechos que

    \ begin {align*}\ int_a^b\, d {x} &= b-a &\ text {y} &&\ int_a^b x\, d {x} =\ frac {b^2-a^2} {2}\ end {align*}

    Esa\(\int_a^b\, d{x} = b-a\) es la parte (e) del Teorema 1.2.1. Eso lo vimos\(\int_a^b x\, d{x}=\frac{b^2-a^2}{2}\) en el Ejemplo 1.2.6.

    Primero vamos a deshacernos de los signos de valor absoluto dividiendo el intervalo sobre el que integramos. Recordando que\(|x|=x\)\(|x|=-x\) siempre\(x\ge 0\) y cuando\(x\le 0\text{,}\) dividimos el intervalo por el Teorema 1.2.3 (c),

    \ begin {align*}\ int_ {-1} ^1\ grande (1-|x|\ grande)\, d {x} &=\ int_ {-1} ^0\ grande (1-|x|\ grande)\, d {x} +\ int_0^1\ grande (1-|x|\ grande)\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^0 grande\ (1- (-x)\ grande)\, d {x} +\ int_0^1\ grande (1-x\ grande)\, d {x}\\ &=\ int_ {-1} ^0\ grande (1+x\ grande)\, d {x} +\ int_0^1\ grande (1-x\ grande)\, d {x}\ final {alinear*}

    Ahora aplicamos las partes (a) y (b) del Teorema 1.2.1, y luego

    \ begin {alinear*}\ int_ {-1} ^1\ grande [1-|x|\ grande]\, d {x} &=\ int_ {-1} ^0 1\, d {x} +\ int_ {-1} ^0 x\, d {x} +\ int_0^1\, d {x} -\ int_0^1 x\, d {x}\ = [0- (-1)] +\ frac {0^2- (-1) ^2} {2} + [1-0] -\ frac {1^2-0^2} {2}\\ &=1\ end {alinear*}

    Más propiedades de integración: funciones pares e impares

    Recordemos 2 la siguiente definición

    Definición 1.2.9

    Dejar\(f(x)\) ser una función. Entonces,

    • decimos que\(f(x)\) es incluso cuando\(f(x)=f(-x)\) para todos\(x\text{,}\) y
    • decimos que\(f(x)\) es extraño cuando\(f(x)=-f(-x)\) para todos\(x\text{.}\)

    Por supuesto, la mayoría de las funciones no son ni pares ni extrañas, pero muchas de las funciones estándar que conoces lo son.

    Ejemplo 1.2.10 Funciones pares
    • Tres ejemplos de funciones pares son\(f(x)=|x|\text{,}\)\(f(x)=\cos x\) y\(f(x)=x^2\text{.}\) De hecho, si\(f(x)\) hay alguna potencia par de\(x\text{,}\) entonces\(f(x)\) es una función par.
    • La parte de la gráfica\(y=f(x)\) con se\(x\le 0\text{,}\) puede construir dibujando la parte de la gráfica con\(x\ge 0\) (como en la figura de abajo a la izquierda) y luego reflejándola en el\(y\) eje -eje (como en la figura de abajo a la derecha).

    • En particular, si\(f(x)\) es una función par y\(a \gt 0\text{,}\) luego los dos conjuntos

      \ begin {align*} &\ big\ {\ (x, y)\\ big|\\ text {$0\ le x\ le a$ y $y$ está entre $0$ y $f (x) $}\\ big\}\\ big\}\ &\ big\ {\ (x, y)\\ big|\\ text {$-a\ x le\ le 0$ y $y$ está entre $0$ y $f (x) $}\\ big\}\ end {align*}

      son reflejos unos de otros en el\(y\) eje -y así tienen la misma área firmada. Eso es

      \ begin {align*}\ int_0^a f (x)\, d {x} &=\ int_ {-a} ^0 f (x)\, d {x}\ end {align*}

    Ejemplo 1.2.11 Funciones impares
    • Tres ejemplos de funciones impares son\(f(x)=\sin x\text{,}\)\(f(x)=\tan x\) y\(f(x)=x^3\text{.}\) De hecho, si\(f(x)\) hay alguna potencia impar de\(x\text{,}\) entonces\(f(x)\) es una función impar.
    • La parte de la gráfica\(y=f(x)\) con se\(x\le 0\text{,}\) puede construir dibujando la parte de la gráfica con\(x\ge 0\) (como la línea continua en la figura de abajo a la izquierda) y luego reflejándola en el\(y\) eje -eje (como la línea discontinua en la figura de abajo) y luego reflejando el resultado en el \(x\)-eje (es decir, voltearlo boca abajo, como en la figura de la derecha, abajo).

    • En particular, si\(f(x)\) es una función impar y\(a \gt 0\text{,}\) luego las áreas firmadas de los dos conjuntos

      \ begin {align*} &\ big\ {\ (x, y)\\ big|\\ text {$0\ le x\ le a$ y $y$ está entre $0$ y $f (x) $}\\ big\}\\ big\}\ &\ big\ {\ (x, y)\\ big|\\ text {$-a\ x le\ le 0$ y $y$ está entre $0$ y $f (x) $}\\ big\}\ end {align*}

      son negativos el uno del otro — para pasar del primer set al segundo set, lo volteas boca abajo, además de reflejarlo en el\(y\) eje -eje. Eso es

      \ comenzar {reunir*}\ int_0^a f (x)\, d {x} = -\ int_ {-a} ^0 f (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

    Podemos explotar las simetrías señaladas en los ejemplos anteriores, a saber

    \ begin {align*}\ int_0^a f (x)\, d {x} &=\ int_ {-a} ^0 f (x)\, d {x} &\ text {por $f$ par}\\ int_0^a f (x)\, d {x} &= -\ int_ {-a} ^0 f (x)\, d {x} &\ texto {para $f$ impar}\ end {align*}

    junto con el Teorema 1.2.3 Teorema 1.2.3

    \ begin {align*}\ int_ {-a} ^a f (x)\, d {x} &=\ int_ {-a} ^0 f (x)\, d {x} +\ int_0^a f (x)\, d {x}\ end {align*}

    con el fin de simplificar la integración de funciones pares e impares en intervalos de la forma\([-a,a]\text{.}\)

    Teorema 1.2.12 Par e Impar

    Let\(a \gt 0\text{.}\)

    1. Si\(f(x)\) es una función par, entonces

      \ comenzar {reunir*}\ int_ {-a} ^a f (x)\, d {x} = 2\ int_0^a f (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

    2. Si\(f(x)\) es una función impar, entonces

      \ comenzar {reunir*}\ int_ {-a} ^a f (x)\, d {x} = 0\ fin {reunir*}

    Prueba

    Para cualquier función

    \ comenzar {reunir*}\ int_ {-a} ^a f (x)\, d {x} =\ int_0^a f (x)\, d {x} +\ int_ {-a} ^0 f (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

    Cuando\(f\) es par, los dos términos del lado derecho son iguales. Cuando\(f\) es impar, los dos términos del lado derecho son negativos entre sí.

    Opcional — Más propiedades de integración: desigualdades para integrales

    Todavía somos incapaces de integrar muchas funciones, sin embargo con un poco de trabajo podemos inferir límites en integrales a partir de límites en sus integrands.

    Teorema 1.2.13 Desigualdades para Integrales

    Dejar\(a\le b\) ser números reales y dejar que las funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) ser integrables en el intervalo\(a\le x\le b\text{.}\)

    1. Si\(f(x)\ge 0\) por todos\(a\le x\le b\text{,}\) entonces

      \ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ ge 0\ end {reunir*}

    2. Si\(f(x)\le g(x)\) por todos\(a\le x\le b\text{,}\) entonces

      \ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ le\ int_a^b g (x)\,\, d {x}\ fin {reunir*}

    3. Si hay constantes\(m\) y\(M\) tal que\(m\le f(x)\le M\) para todos\(a\le x\le b\text{,}\) entonces

      \ comenzar {reunir*} m (b-a)\ le\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ le M (b-a)\ fin {reunir*}

    4. Tenemos

      \ comenzar {reunir*}\ big|\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ big|\ le\ int_a^b |f (x) |\,\, d {x}\ fin {reunir*}

    Prueba
    1. Al interpretar la integral como el área firmada, esta afirmación simplemente dice que si la curva\(y=f(x)\) se encuentra por encima del\(x\) eje -y\(a\le b\text{,}\) entonces el área firmada de\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\ \big\}\) es al menos cero. Esto es bastante claro. Alternativamente, podríamos argumentar más algebraicamente a partir de la Definición 1.1.9. Observamos que cuando definimos\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) vía Riemann sumas, cada suma,\(f(x_{i,n}^*)\,\frac{b-a}{n}\ge 0\text{.}\) así toda la suma es no negativa y consecuentemente, así es el límite, y así lo es la integral.
    2. Estamos asumiendo que\(g(x)-f(x)\geq 0\text{,}\) así la parte (a) da

      \ begin {align*}\ int_a^b\ grande [g (x) -f (x)\ grande]\,\, d {x}\ ge 0 &\ implica\ int_a^b g (x)\,\, d {x} -\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ ge 0\\ &\ implica\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ le\ int_a^b g (x)\,\, d {x}\ final {alinear*}

    3. Aplicando la parte (b) con\(g(x)=M\) para todos\(a\le x\le b\) da

      \ comenzar {reunir*}\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ le\ int_a^b M\,\, d {x} = M (b-a)\ fin {reunir*}

      Del mismo modo, la visualización\(m\) como una función (constante) y la aplicación de la parte (b) da

      \ comenzar {reunir*} m\ le f (x)\ implica\ overbracket {\ int_a^bm\,\, d {x}} ^ {=m (b-a)}\ le\ int_a^b f (x)\,\, d {x}\ end {reunir*}

    4. Para cualquiera\(x\text{,}\)\(|f(x)|\) es\(f(x)\) o\(-f(x)\) (dependiendo de si\(f(x)\) es positivo o negativo), por lo que sin duda tenemos

      \ begin {align*} f (x) &\ le |f (x) | &\ text {y} && -f (x) &\ le |f (x) |\ end {align*}

      Aplicar la parte (c) a cada una de esas desigualdades da

      \ begin {align*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &\ le\ int_a^b |f (x) |\, d {x} &\ text {y} && -\ int_a^b f (x)\, d {x} &\ le\ int_a^b |f (x) |\, d {x}\ end {align*}

      Ahora\(\Big|\int_a^b f(x)\, d{x}\Big|\) es igual\(\int_a^b f(x)\, d{x}\) o\(-\int_a^b f(x)\, d{x}\) (dependiendo de si la integral es positiva o negativa). En cualquier caso podemos aplicar las dos desigualdades anteriores para obtener el mismo resultado, a saber

      \ begin {alinear*}\ izquierda|\ int_a^b f (x)\, d {x}\ derecha| &\ leq\ int_a^b |f (x) |\, d {x}. \ end {alinear*}

    Ejemplo 1.2.14\( \int_0^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{\cos x}\, d{x}\)

    Considerar la integral

    \ comenzar {reunir*}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {3}}\ sqrt {\ cos x}\, d {x}\ fin {reunir*}

    Esto no es tan fácil de calcular exactamente 3 pero podemos atarlo con bastante rapidez.

    Para\(x\) entre\(0\) y\(\frac{\pi}{3}\text{,}\) la función\(\cos x\) toma valores 4 entre\(1\) y\(\frac{1}{2}\text{.}\) Así la función\(\sqrt{\cos x}\) toma valores entre\(1\) y\(\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\) Eso es

    \ begin {align*}\ frac {1} {\ sqrt {2}} &\ le\ sqrt {\ cos x}\ le 1 &\ text {por $0\ le x\ le\ frac {\ pi} {3} $}. \ end {alinear*}

    En consecuencia, por Teorema 1.2.13 (b) con\(a=0\text{,}\)\(b=\frac{\pi}{3}\text{,}\)\(m= \frac{1}{\sqrt{2}}\) y\(M=1\text{,}\)

    \[\begin{align*} \frac{\pi}{3\sqrt{2}} &\le \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{\cos x}\, d{x} \le \frac{\pi}{3}\\ \\ \end{align*}\]

    Conectando estas expresiones a una calculadora nos da

    \ begin {align*} 0.7404804898 &\ le\ int_0^ {\ frac {\ pi} {3}}\ sqrt {\ cos x}\, d {x}\ leq 1.047197551\ fin {alinear*}

    Ejercicios

    Etapa 1
    1

    Para cada una de las siguientes propiedades de integrales definidas, dibuje una imagen ilustrando el concepto, interpretando integrales definidas como áreas bajo una curva.

    Por simplicidad, se puede suponer que\(a \leq c \leq b\text{,}\) y que\(f(x),g(x)\) dan valores positivos.

    1. \(\displaystyle\int_a^a f(x)\,\, d{x}=0\text{,}\)(Teorema 1.2.3, parte (a))
    2. \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\, d{x}= \displaystyle\int_a^c f(x)\,\, d{x} + \int_c^b f(x)\, d{x} \text{,}\)(Teorema 1.2.3, parte (c))
    3. \(\displaystyle\int_a^b \left( f(x) + g(x) \right)\,\, d{x} = \displaystyle\int_a^b f(x)\,\, d{x} + \displaystyle\int_a^b g(x)\,\, d{x}\text{,}\)(Teorema 1.2.1, parte (a))
    2

    Si\(\displaystyle\int_0^b \cos x\, d{x}=\sin b\text{,}\) entonces lo que es\(\displaystyle\int_a^b \cos x\, d{x}\text{?}\)

    3 (✳)

    Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si es falso, proporcione un contraejemplo. Si es cierto, proporcionar una breve justificación. (Supongamos que\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones continuas.)

    1. \(\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \, d{x}=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \, d{x}\text{.}\)
    2. Si\(f(x)\) es una función impar, entonces\(\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\, d{x} = \int_2^3 f(x)\,\, d{x}\text{.}\)
    3. \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) \, d{x} =\int_{0}^{1} f(x) \, d{x} \cdot \int_{0}^{1} g(x)\, d{x}\text{.}\)
    4

    Supongamos que queremos hacer una suma de Riemann derecha con 100 intervalos para aproximar\(\int\limits_5^0 f(x)\, d{x}\text{,}\) donde\(f(x)\) es una función que da solo valores positivos.

    1. Qué es\(\Delta x\text{?}\)
    2. ¿Las alturas de nuestros rectángulos son positivas o negativas?
    3. ¿Nuestra suma Riemann es positiva o negativa?
    4. ¿El área señalizada bajo la curva\(y=f(x)\) es\(x=5\) positiva o negativa?\(x=0\)
    Etapa 2
    5 (✳)

    Supongamos\(\displaystyle\int_2^3 f(x)\,\, d{x} = -1\) y\(\displaystyle\int_2^3 g(x)\,\, d{x} = 5\text{.}\) Evaluar\(\displaystyle \int_2^3 \big( 6 f(x) - 3 g(x) \big)\,\, d{x}\text{.}\)

    6 (✳)

    Si\(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\, d{x} = 3\) y\(\displaystyle\int_0^2 g(x)\,\, d{x} = -4\text{,}\) calcular\(\displaystyle \int_0^2 \big( 2 f(x) + 3 g(x) \big)\,\, d{x}\text{.}\)

    7 (✳)

    Las funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) obedecer

    \ begin {alinear*}\ int_0^ {-1} f (x)\,\, d {x} &= 1 &\ int_0^2 f (x)\,\, d {x} &= 2\\ int_ {-1} ^0 g (x)\,\, d {x} &= 3 &\ int_0^2 g (x)\, d {x} &= 4\ final {alinear*}

    Encuentra\(\int_{-1}^2 \big[3g(x)-f(x)\big]\,\, d{x}\text{.}\)

    8

    En la Pregunta 1.1.8.45, Sección 1.1, encontramos que

    \[ \int_0^a\sqrt{1-x^2}\, d{x}=\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)+\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2} \nonumber \]

    cuando\(0\le a\le 1\text{.}\)

    Utilizando este hecho, evalúe lo siguiente:

    1. \(\displaystyle\int_{a}^0 \sqrt{1-x^2}\, d{x}\text{,}\)donde\(-1 \leq a \leq 0\)
    2. \(\displaystyle\int_{a}^1 \sqrt{1-x^2}\, d{x}\text{,}\)donde\(0 \leq a \leq 1\)
    9 (✳)

    Evaluar\({\displaystyle\int_{-1}^2 |2x|\, d{x}}\text{.}\)

    Puede usar el resultado del Ejemplo 1.2.6 que\(\int\limits_a^b x\, d{x}=\frac{b^2-a^2}{2} \text{.}\)

    10

    Evaluar\(\displaystyle\int_{-5}^5 x|x|\, d{x}\,.\)

    11

    Supongamos que\(f(x)\) es una función par y\(\displaystyle\int_{-2}^2 f(x)\, d{x}=10\text{.}\) lo que es\(\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\, d{x}\text{?}\)

    Etapa 3
    12 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\, d{x}\text{.}\)

    13 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle\int_{-2012}^{+2012} \frac{\sin x}{\log(3+x^2)}\, d{x}\text{.}\)

    14 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle\int_{-2012}^{+2012} x^{1/3}\cos x\,\, d{x}\text{.}\)

    15

    Evaluar\(\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\, d{x}\,.\)

    16

    Queremos calcular el área de una elipse,\((ax)^2+(by)^2=1\) para algunas constantes (digamos positivas)\(a\) y\(b\text{.}\)

    1. Resuelve la ecuación para la mitad superior de la elipse. Debe tener la forma “\(y=\cdots\)
    2. Escribe una integral para el área de la mitad superior de la elipse. Usando propiedades de integrales, haz que el integrando se vea como la mitad superior de un círculo.
    3. Usando la geometría y tu respuesta a la parte (b), encuentra el área de la elipse.
    17

    Rellene la siguiente tabla: el producto de una función (par/impar) con una función (par/impar) es una función (par/impar). Puede suponer que ambas funciones están definidas para todos los números reales.

    \(\times\) incluso impar
    incluso    
    impar    
    18

    Supongamos que\(f(x)\) es una función impar y\(g(x)\) es una función par, ambas definidas en\(x=0\text{.}\) ¿Cuáles son los valores posibles de\(f(0)\) y\(g(0)\text{?}\)

    19

    Supongamos que\(f(x)\) es una función definida en todos los números reales que es a la vez par e impar. ¿Qué podría\(f(x)\) ser?

    20

    ¿La derivada de una función par es par o impar? ¿La derivada de una función impar es par o impar?

    1. Ahora es un buen momento para mirar hacia atrás en el Teorema 1.1.5.
    2. No hemos hecho esto en este curso, pero deberías haberlo visto en tu curso de cálculo diferencial o quizás incluso antes.
    3. No es demasiado difícil usar sumas de Riemann y una computadora para evaluarlo numéricamente:\(0.948025319\dots\text{.}\),
    4. Conoces las gráficas de seno y coseno, así que deberías poder resolverlo sin demasiada dificultad.

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