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1.3: El teorema fundamental del cálculo

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    Hemos pasado bastantes páginas (y conferencias) hablando de integrales definidas, qué son (Definición 1.1.9), cuándo existen (Teorema 1.1.10), cómo calcular algunos casos especiales (Sección 1.1.5), algunas formas de manipularlos (Teorema 1.2.1 y 1.2.3) y cómo vincularlos (Teorema 1.2.13). De todo esto ha faltado notoriamente una discusión sobre cómo computarlos en general. Ya es hora de que rectifiquemos eso.

    La única herramienta más importante utilizada para evaluar integrales se llama “el teorema fundamental del cálculo”. Su gran nombre está justificado —vincula las dos ramas del cálculo conectando derivados con integrales. Al hacerlo también nos dice cómo computar integrales. En términos muy generales, la derivada de una integral es la función original. Este hecho nos permite computar integrales usando antiderivados 1. Por supuesto “muy rudo” no es suficiente —seamos precisos.

    Teorema 1.3.1 Teorema Fundamental del Cálculo

    Dejar\(a \lt b\) y dejar\(f(x)\) ser una función que se define y continua en\([a,b]\text{.}\)

    • Parte 1. Dejar que\(\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\, d{t}\) para cualquier\(x \in[a,b]\text{.}\) Entonces la función\(F(x)\) es diferenciable y además

      \ begin {align*} F' (x) &=f (x)\ end {align*}

    • Parte 2. Dejar\(G(x)\) ser cualquier función que se define y continua en\([a,b]\text{.}\) Además dejar\(G(x)\) ser diferenciable con\(G'(x)=f(x)\) para todos\(a \lt x \lt b\text{.}\) Entonces

      \ begin {align*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &=G (b) -G (a) &\ text {o equivalentemente} &&\ int_a^b G' (x)\, d {x} &=G (b) -G (a)\ end {alinear*}

    Antes de probar este teorema y mirar un montón de ejemplos de su aplicación, es importante que recordemos una definición del cálculo diferencial: los antiderivados. Si\(F'(x) = f(x)\) en algún intervalo, entonces\(F(x)\) se llama un antiderivado de\(f(x)\) en ese intervalo. Entonces la Parte 2 del teorema fundamental del cálculo nos dice cómo evaluar la integral definida de\(f(x)\) en términos de cualquiera de sus antiderivados —si\(G(x)\) es algún antiderivado de\(f(x)\) entonces

    \ comenzar {alinear*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &= G (b) -G (a)\ final {alinear*}

    La forma\(\int_a^b G'(x)\, d{x} = G(b) - G(a)\) del teorema fundamental relaciona la tasa de cambio de\(G(x)\) sobre el intervalo\(a\le x\le b\) con el cambio neto de\(G\) entre\(x=a\) y\(x=b\text{.}\) Por esa razón, a veces se le llama el “teorema del cambio neto”.

    Empezaremos con un ejemplo sencillo. Entonces veremos por qué es cierto el teorema fundamental y luego haremos muchos más, y más involucrados, ejemplos.

    Ejemplo 1.3.2 Un primer ejemplo

    Consideremos la integral\(\int_a^b x \, d{x}\) que hemos explorado previamente en el Ejemplo 1.2.6.

    • El integrand es\(f(x)=x\text{.}\)
    • Podemos verificar fácilmente que\(G(x) = \frac{x^2}{2}\) satisface\(G'(x)=f(x)\) y así es un antiderivado del integrando.
    • Parte 2 del Teorema 1.3.1 luego nos dice que

      \ begin {align*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &= G (b) -G (a)\\\ int_a^b x\, d {x} &=\ frac {b^2} {2} -\ frac {a^2} {2}\ end {align*}

      que es precisamente el resultado que obtuvimos (con más trabajo) en el Ejemplo 1.2.6.

    No damos pruebas completamente rigurosas de las dos partes del teorema —eso no es realmente necesario para este curso. Nosotros solo damos las ideas principales de las pruebas para que puedas entender por qué el teorema es cierto.

    Parte 1

    Deseamos demostrar que si

    \ begin {align*} F (x) &=\ int_a^x f (t)\, d {t} &\ text {entonces} && F' (x) &= f (x)\ end {align*}

    • Supongamos que\(F\) es la integral anterior y luego considerar\(F'(x)\text{.}\) Por definición\ begin {align*} F' (x) &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {F (x+h) -F (x)} {h}\ end {align*}
    • Para entender este límite, interpretamos los términos\(F(x), F(x+h)\) como áreas firmadas. Para simplificar esto aún más, solo consideremos el caso que siempre\(f\) es no negativo y que\(h \gt 0\text{.}\) Estas restricciones no son difíciles de eliminar, pero las ideas de prueba son un poco más limpias si las mantenemos en su lugar. Entonces tenemos\ begin {align*} F (x+h) &=\ text {el área de la región $\ big\ {\ (t, y)\\ big|\ a\ le t\ le x+h,\ 0\ le y\ le f (t)\\ big\} $}\\ F (x) &=\ text {el área de la región $\ big\ {(t, y)\\ big|\ a\ le t\ le x,\ phantom {+h\\,}\ 0\ le y\ le f (t)\\ grande\} $}\ end {align*}
    • Entonces el numerador\ begin {gather*} F (x+h) -F (x) =\ text {el área de $\ big\ {\ (t, y)\\ big|\ x\ le t\ le x+h,\ 0\ le y\ le f (t)\\ big\} $}\ end {gather*} Esta es solo la región más oscura sombreada en la figura

    • Vamos a estar tomando el límite\(h\rightarrow 0\text{.}\) Así que supongamos que\(h\) es muy pequeño. Entonces, como\(t\) corre de\(x\) a\(x=h\text{,}\)\(f(t)\) corre solo sobre un rango muy estrecho de valores 2, todo cerca de\(f(x)\text{.}\)
    • Entonces la región oscura sombreada es casi un rectángulo de ancho\(h\) y alto\(f(x)\) y así tiene un área que está muy cerca de\(f(x)h\text{.}\) Así\(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\) está muy cerca de\(f(x)\text{.}\)
    • En el límite\(h\rightarrow 0\text{,}\)\(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\) se convierte exactamente\(f(x)\text{,}\) cuál es precisamente lo que queremos.

    Podemos hacer lo anterior más riguroso utilizando el Teorema del Valor Medio 3.

    Parte 2

    Queremos demostrar que\(\int_a^b f(t)\, d{t}=G(b)-G(a)\text{.}\) Para ello explotamos el hecho de que la derivada de una constante es cero.

    • Vamos\ begin {align*} H (x) &=\ int_a^x f (t)\, d {t} -G (x) +G (a)\ end {align*} Entonces el resultado que\(H(b)=0\text{.}\) deseamos probar es que haremos esto mostrando que\(H(x)=0\) para todos\(x\) entre\(a\) y\(b\text{.}\)
    • Primero mostramos que\(H(x)\) es constante calculando su derivada:\[\begin{align*} H'(x) &= \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, d{t} - \frac{d}{dx}\left( G(x) \right)+ \frac{d}{dx}\left( G(a) \right)\\ \end{align*}\] Ya que\(G(a)\) es una constante, su derivada es\(0\) y por supuesto la derivada de\(G(x)\) es justamente\(f(x)\text{,}\) así
      \ begin {align*} &=\ frac {d} {dx}\ int_a^x f (t)\, d {t} - f (x)\\\ end {align *} Ahora la Parte 1 del teorema nos dice que esta derivada es justamente\(f(x)\text{,}\) así
      \ begin {align*} &= f (x) - f (x) = 0\ end {align*} De ahí\(H\) es constante.
    • Para determinar qué constante acabamos de calcular\(H(a)\text{:}\)\ begin {align*} H (a) &=\ int_a^a f (t)\, d {t} - G (a) +G (a)\\ &=\ int_a^a f (t)\, d {t} &\ text {por teorema} {\ text {1.2.3}}\ text {(a)}\\ &=0 end {align*} según sea necesario.

    El ejemplo simple que hicimos anteriormente (Ejemplo 1.3.2), demuestra la aplicación de la parte 2 del teorema fundamental del cálculo. Antes de hacer más ejemplos (y habrá muchos más en las próximas secciones) deberíamos hacer algunos ejemplos que ilustren el uso de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo. Después pasaremos a la parte 2.

    Ejemplo 1.3.3\(\frac{d}{dx}\int_0^x t \, d{t}\)

    Considera la integral\(\int_0^x t\,\, d{t}\text{.}\) Sabemos evaluar esto — es solo Ejemplo 1.3.2 con\(a = 0\text{,}\)\(b = x\text{.}\) Así que tenemos dos formas de computar la derivada. Podemos evaluar la integral y luego tomar la derivada, o podemos aplicar la Parte 1 del teorema fundamental. Haremos ambas cosas, y comprobaremos que las dos respuestas sean iguales.

    Primero, el Ejemplo 1.3.2 da

    \ comenzar {reunir*} F (x) =\ int_0^x t\,\, d {t} =\ frac {x^2} {2}\ end {reunir*}

    Entonces por supuesto\(F'(x) = x\text{.}\) Segundo, Parte 1 del teorema fundamental del cálculo nos dice que la derivada de\(F(x)\) es solo el integrando. Es decir, la Parte 1 del teorema fundamental del cálculo también da\(F'(x) = x\text{.}\)

    En el ejemplo anterior pudimos evaluar la integral explícitamente, por lo que no necesitábamos del teorema fundamental para determinar su derivada. Aquí hay un ejemplo que realmente requiere el uso del teorema fundamental.

    Ejemplo 1.3.4\(\frac{d}{dx}\int_0^x e^{-t^2}\, d{t}\)

    Nos gustaría encontrar\(\frac{d}{dx}\int_0^x e^{-t^2}\, d{t}\text{.}\) En el ejemplo anterior, pudimos calcular la derivada correspondiente de dos maneras —podríamos calcular explícitamente la integral y luego diferenciar el resultado, o podríamos aplicar la parte 1 del teorema fundamental del cálculo. En este ejemplo no conocemos la integral explícitamente. En efecto, no es posible expresar 4 la integral\(\int_0^x e^{-t^2}\, d{t}\) como una combinación finita de funciones estándar como polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas, etc.

    A pesar de ello, podemos encontrar su derivada simplemente aplicando la primera parte del teorema fundamental del cálculo con\(f(t)=e^{-t^2}\) y\(a=0\text{.}\) Eso da

    \ begin {alinear*}\ frac {d} {dx}\ int_0^x e^ {-t^2}\, d {t} &=\ frac {d} {dx}\ int_0^x f (t)\, d {t}\\ &=f (x) = e^ {-x^2}\ end {align*}

    Aumentemos la complejidad del ejemplo anterior, podemos hacer que los límites de las funciones integrales sean más complicados. Así que consideremos el ejemplo anterior con el límite superior\(x\) reemplazado por\(x^2\text{:}\)

    Ejemplo 1.3.5\(\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} e^{-t^2}\, d{t}\)

    Considerar la integral\(\int_0^{x^2} e^{-t^2}\, d{t}\text{.}\) Nos gustaría computar su derivada respecto al\(x\) uso de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo.

    El teorema fundamental nos dice cómo computar la derivada de funciones de la forma\(\int_a^x f(t)\, d{t}\) pero la integral a mano no es de la forma especificada porque el límite superior que tenemos es\(x^2\text{,}\) más que\(x\text{,}\) —por lo que se requiere más cuidado. Agradecidamente podemos lidiar con este obstáculo con sólo un poco de trabajo extra. El truco es definir una función auxiliar simplemente cambiando el límite superior a Es\(x\text{.}\) decir, definir

    \[\begin{align*} E(x) &= \int_0^x e^{-t^2}\, d{t}\\ \end{align*}\]

    Entonces la integral con la que queremos trabajar es

    \ begin {align*} E (x^2) &=\ int_0^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t}\ end {align*}

    La derivada se\(E'(x)\) puede encontrar a través de la parte 1 del teorema fundamental del cálculo (como hicimos en el Ejemplo 1.3.4) y es Entonces\(E'(x)= e^{-x^2}\text{.}\) podemos usar este hecho con la regla de la cadena para calcular la derivada que necesitamos:

    \ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ int_0^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t} &=\ frac {d} {dx} E (x^2) &\ text {usa la regla de la cadena}\\ &= 2x E' (x^2)\ &= 2x e^ {-x^4}\ end {align*}

    Y si ambos límites de integración son funciones de Todavía\(x\text{?}\) podemos hacer que este trabajo, pero tenemos que dividir la integral usando el Teorema 1.2.3.

    Ejemplo 1.3.6\(\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} e^{-t^2}\, d{t}\)

    Considerar la integral

    \ begin {reunir*}\ int_x^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t}\ end {reunir*}

    Como fue el caso en el ejemplo anterior, tenemos que hacer un poco de pre-procesamiento antes de poder aplicar el teorema fundamental.

    Esta vez (por diseño), no sólo es el límite superior de integración\(x^2\) más que\(x\text{,}\) el límite inferior de integración también depende de\(x\) — esto es diferente de la integral\(\int_a^x f(t)\, d{t}\) en el teorema fundamental donde el límite inferior de integración es una constante.

    Afortunadamente podemos utilizar las propiedades básicas de las integrales (Teorema 1.2.3 (b) y (c)) para\(\int_x^{x^2} e^{-t^2}\, d{t}\) dividir en pedazos cuyas derivadas ya conocemos.

    \ begin {align*}\ int_x^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t} &=\ int_x^0 e^ {-t^2}\, d {t} +\ int_0^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t} &\ text {por teorema} {\ text {1.2.3}\ text {(c)}\\ &=-\ int^x_0 e^ {-t^2}\, d {t} +\ int_0^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t} &\ text {por teorema} {\ text {1.2.3}}\ text {(b)}\ end {align*}

    Con este preprocesamiento, ambas integrales son de la forma correcta. Utilizando lo que hemos aprendido en los dos ejemplos anteriores,

    \ begin {alinear*}\ frac {d} {dx}\ int_x^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t} &=\ frac {d} {dx}\ izquierda (-\ int_0^ {x} e^ {-t^2}\, d {t} +\ int_0^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t}\ derecha)\\ &=-\ frac {d} {dx}\ int^x_0 e^ {-t^2}\, d {t} +\ frac {d} {dx}\ int_0^ {x^2} e^ {-t^2}\, d {t}\\ &=- e^ {-x^2} +2x ^ {-x^4}\ final {alinear*}

    Antes de comenzar a trabajar con la parte 2 del teorema fundamental, necesitamos un poco de terminología y notación. Primero algo de terminología — es posible que hayas visto esta definición en tu curso de cálculo diferencial.

    Definición 1.3.7 Antiderivados

    Dejar\(f(x)\) y\(F(x)\) ser funciones. Si\(F'(x)=f(x)\) en un intervalo, entonces decimos que\(F(x)\) es una antiderivada de\(f(x)\) en ese intervalo.

    Como vimos anteriormente, un antiderivado de\(f(x)=x\) es\(F(x) = x^2/2\) — podemos verificar esto fácilmente por diferenciación. Observe que también\(x^2/2 + 3\) es un antiderivado de\(x\text{,}\) como es\(x^2/2 + C\) para cualquier constante\(C\text{.}\) Esta observación nos da el siguiente lema simple.

    Lema 1.3.8

    Dejar\(f(x)\) ser una función y dejar\(F(x)\) ser un antiderivado de\(f(x)\text{.}\) Entonces también\(F(x)+C\) es un antiderivado para cualquier constante\(C\text{.}\) Además, cada antiderivado de\(f(x)\) debe ser de esta forma.

    Prueba

    Hay dos partes al lema y probamos cada una a su vez.

    • Dejar\(F(x)\) ser un antiderivado de\(f(x)\) y dejar que\(C\) sea alguna constante. Entonces\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ left (F (x) + C\ right) &=\ frac {d} {dx}\ left (F (x)\ right) +\ frac {d} {dx}\ left (C\ right)\\ &= f (x) + 0\ end {align*} ya que la derivada de una constante es cero, y por definición el derivado de\(F(x)\) es justo\(f(x)\text{.}\) Así\(F(x)+C\) es también un antiderivado de \(f(x)\text{.}\)
    • Ahora vamos\(F(x)\) y\(G(x)\) ambos sean antiderivados de\(f(x)\) — vamos a mostrar que\(G(x) = F(x)+C\) para alguna constante\(C\text{.}\) Para hacer esto vamos\(H(x) = G(x)-F(x)\text{.}\) Entonces\ begin {align*}\ frac {d} {dx} H (x) &=\ frac {d} {dx}\ left (G (x) -F (x)\ right) =\ frac {d} {dx} G (x) -\ frac {d} {dx} F (x)\\ &= f (x) - f (x) = 0\ end { align*}
      Dado que la derivada de\(H(x)\) es cero,\(H(x)\) debe ser una función constante 5. Así\(H(x)=G(x)-F(x)=C\) para alguna constante\(C\) y el resultado sigue.

    Con base en el lema anterior tenemos la siguiente definición.

    Definición 1.3.9

    La “integral indefinida de\(f(x)\)” se denota por\(\int f(x)\, d{x}\) y debe considerarse como la antiderivada general de\(f(x)\text{.}\) En particular, si\(F(x)\) es una antiderivada de\(f(x)\) entonces

    \ comenzar {alinear*}\ int f (x)\, d {x} &= F (x) + C\ final {alinear*}

    donde el\(C\) es una constante arbitraria. En este contexto, a la constante también\(C\) se le suele llamar una “constante de integración”.

    Ahora solo necesitamos un poquito más de notación.

    Definición 1.3.10

    El símbolo

    \ begin {reunir*}\ left. \ int f (x)\, d {x}\ derecha|_ {a} ^ {b}\ fin {reunir*}

    denota el cambio en una\(f(x)\) antiderivada de\(x=a\) a\(x=b\text{.}\) Más precisamente,\(F(x)\) sea cualquier antiderivada de\(f(x)\text{.}\) Entonces

    \ begin {align*}\ left. \ int f (x)\, d {x}\ derecha|_ {a} ^ {b} &=\ izquierda.F (x)\ derecha|_a^b = F (b) - F (a)\ final {alinear*}

    Observe que esta notación nos permite escribir la parte 2 del teorema fundamental como

    \ begin {align*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &=\ izquierda. \ int f (x)\, d {x}\ derecha|_ {a} ^ {b}\\ &=\ izquierda.F (x)\ derecha|_a^b = F (b) - F (a)\ final {alinear*}

    Algunos textos también usan una notación equivalente usando corchetes:

    \ begin {alinear*}\ int_a^b f (x)\, d {x} &=\ Grande [F (x)\ Grande] _a^b = F (b) - F (a). \ end {alinear*}

    Deberías estar familiarizado con ambas anotaciones.

    Pronto desarrollaremos algunas estrategias para computar integrales más complicadas. Pero por ahora, probaremos algunas integrales que son lo suficientemente simples como para que podamos adivinar la respuesta. Por supuesto, cualquier antiderivado que podamos adivinar también podemos verificar, simplemente diferenciar la conjetura y verificar que vuelvas a la función original:

    \ begin {alinear*}\ frac {d} {dx}\ int f (x)\, d {x} &= f (x). \ end {alinear*}

    Hacemos estos ejemplos con cierto detalle para ayudarnos a sentirnos cómodos encontrando integrales indefinidas.

    Ejemplo 1.3.11 Calcular la integral definida\(\int_1^2 x\, d{x}\)

    Calcular la integral definida\(\int_1^2 x\, d{x}\text{.}\)

    Solución

    Ya hemos visto, en el Ejemplo 1.2.6, que Ahora\(\int_1^2 x\, d{x}=\frac{2^2-1^2}{2}=\frac{3}{2}\text{.}\) vamos a derivar ese resultado utilizando el teorema fundamental del cálculo.

    • La principal dificultad en este enfoque es encontrar la integral indefinida (una antiderivada) de Es\(x\text{.}\) decir, necesitamos encontrar una función\(F(x)\) cuya derivada sea\(x\text{.}\) Así que piense en todas las derivadas que computó el último término 6 e intente recordar una función cuya derivada fue algo así como\(x\text{.}\)
    • Esto no debería ser demasiado duro —recordamos que los derivados de los polinomios son polinomios. Más precisamente, sabemos que

      \ comenzar {alinear*}\ frac {d} {dx} x^n &= n x^ {n-1}\ final {alinear*}

      Entonces si queremos terminar con solo\(x = x^1\text{,}\) tenemos que tomar\(n=2\text{.}\) Sin embargo esto nos da

      \ begin {align*}\ frac {d} {dx} x^2 &= 2x\ end {alinear*}

    • Esto está bastante cerca de lo que queremos excepto por el factor de\(2\text{.}\) Dado que esta es una constante podemos simplemente dividir ambos lados por\(2\) para obtener:

      \ begin {align*}\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {d} {dx} x^2 &=\ frac {1} {2}\ cdot 2x &\ text {que se convierte en}\\\ cdot\ frac {d} {dx}\ frac {x^2} {2} &= x\ end {align*}

      que es exactamente lo que necesitamos. Nos dice que\(x^2/2\) es un antiderivado de\(x\text{.}\)
    • Una vez que se tiene un antiderivado, es fácil calcular la integral indefinida

      \ begin {align*}\ int x\, d {x} &=\ frac {1} {2} x^2+C\ end {align*}

      así como la integral definitiva:

      \ begin {align*}\ int_1^2 x\, d {x} &=\ left. \ frac {1} {2} x^2\ derecha|_1^2 &\ text {ya que $x^2/2$ es una antiderivada de $x$}\\ &=\ frac {1} {2} 2^2-\ frac {1} {2} 1^2 =\ frac {3} {2}\ end {align*}

    Si bien el ejemplo anterior podría calcularse usando áreas firmadas, el siguiente ejemplo sería muy difícil de calcular sin usar el teorema fundamental del cálculo.

    Ejemplo 1.3.12 Computación\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\, d{x}\)

    Compute\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\, d{x}\text{.}\)

    Solución

    • Una vez más, el quid de la solución es adivinar la antiderivada de\(\sin x\) — es decir, encontrar una función cuya derivada es\(\sin x\text{.}\)
    • La derivada estándar a la que se acerca\(\sin x\) es

      \ comenzar {reunir*}\ frac {d} {dx}\ cos x = -\ sin x\ fin {reunir*}

      que es la derivada que queremos, multiplicada por un factor de\(-1\text{.}\)
    • Así como hicimos en el ejemplo anterior, multiplicamos esta ecuación por una constante para eliminar este factor no deseado:

      \ begin {align*} (-1)\ cdot\ frac {d} {dx}\ cos x &= (-1)\ cdot (-\ sin x) &\ text {dándonos}\\\ frac {d} {dx}\ big (-\ cos x\ big) &=\ sin x\ end {align*}

      Esto nos dice que\(-\cos x\) es un antiderivado de\(\sin x\text{.}\)
    • Ahora es sencillo calcular la integral:

      \ begin {align*}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ sin x\, d {x} &=\ izquierda. -\ cos x\ derecha|_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ qquad\ text {ya que $-\ cos x$ es una antiderivada de $\ sin x$}\\ &= -\ cos\ frac {\ pi} {2} +\ cos 0\ &= 0+1=1\ end {align*}

    Ejemplo 1.3.13 Computación\(\int_1^2 \frac{1}{x}\, d{x}\)

    Encuentra\(\int_1^2 \frac{1}{x}\, d{x}\text{.}\)

    Solución

    • Una vez más, el quid de la solución es adivinar una función cuya derivada es\(\frac{1}{x}\text{.}\) Nuestra forma estándar de diferenciar poderes de\(x\text{,}\) saber

      \ comenzar {reunir*}\ frac {d} {dx} x^n= n x^ {n-1},\ end {reunir*}

      no funciona en este caso — ya que requeriría que escojamos\(n=0\) y esto daría

      \ begin {align*}\ frac {d} {dx} x^0 &=\ frac {d} {dx} 1 = 0. \ end {alinear*}

    • Afortunadamente, también sabemos 7 que

      \ comenzar {reunir*}\ frac {d} {dx}\ log x =\ frac {1} {x}\ fin {reunir*}

      que es exactamente el derivado que queremos.
    • Ahora estamos listos para computar la integral prescrita.

      \ begin {align*}\ int_1^2\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ left. \ log x\ right|_1^2 &\ text {ya que $\ log x$ es un antiderivado de $1/x$}\\ &=\ log 2 -\ log 1 &\ text {desde $\ log 1 = 0$}\\ &=\ log 2\ end {align*}

    Ejemplo 1.3.14\(\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x}\, d{x}\)

    Encuentra\(\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x}\, d{x}\text{.}\)

    Solución

    • Como vimos en el último ejemplo,

      \ comenzar {reunir*}\ frac {d} {dx}\ log x =\ frac {1} {x}\ fin {reunir*}

      y si ingenuamente usamos esto aquí, entonces obtendremos

      \ begin {align*}\ int_ {-2} ^ {-1}\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ log (-1) -\ log (-2)\ end {align*}

      lo cual no tiene sentido ya que el logaritmo sólo se define para los números positivos 8.
    • Podemos solucionar este problema usando una ligera variación del logaritmo,\(\log|x|\text{.}\)
      • Cuando\(x \gt 0\text{,}\) sabemos eso\(|x|=x\) y así tenemos

        \ begin {align*}\ log |x| &=\ log x &\ text {diferenciando nos da}\\\ frac {d} {dx}\ log|x| &=\ frac {d} {dx}\ log x =\ frac {1} {x}. \ end {alinear*}

      • Cuando\(x \lt 0\) tenemos eso\(|x|=-x\) y así

        \ begin {align*}\ log |x| &=\ log (-x)\ qquad\ text {diferenciar con la regla de cadena da}\\\ frac {d} {dx}\ log|x| &=\ frac {d} {dx}\ log (-x)\ &=\ frac {1} {(-x)}\ cdot (-1) =\ frac {1}\ cdot (-1) =\ frac {1}} {x}\ final {alinear*}

      • En efecto, de manera más general deberíamos escribir la integral indefinida de\(1/x\) como

        \ begin {align*}\ int\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ log |x| + C\ end {align*}

        que es válido para todos los positivos y negativos\(x\text{.}\) Es, sin embargo, indefinido en\(x=0\text{.}\)
    • Ahora estamos listos para computar la integral prescrita.

      \ begin {align*}\ int_ {-2} ^ {-1}\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ log|x|\ bigg|_ {-2} ^ {-1}\ qquad\ text {ya que $\ log|x|$ es un antiderivado de $1/x$}\\ &=\ log|-1| -\ log|-2| =\ log 1-\ log 2\\ &= -\ log 2 =\ log\ frac12. \ end {alinear*}

    Este siguiente ejemplo plantea un tema desagradable que requiere un poco de cuidado. Sabemos que la función no\(1/x\) está definida en\(x=0\) — entonces, ¿podemos integrar a lo largo de un intervalo que contiene\(x=0\) y aún así obtener una respuesta que tenga sentido? De manera más general, ¿podemos integrar una función a lo largo de un intervalo en el que esa función tenga discontinuidades?

    Ejemplo 1.3.15\(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\, d{x}\)

    Encuentra\(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\, d{x}\text{.}\)

    Solución

    Tenga en cuenta que este es un ejemplo particularmente desagradable, que ilustra una trampa explosiva escondida en el teorema fundamental del cálculo. La trampa explota cuando el teorema se aplica descuidadamente.

    • La solución descuidada comienza, como lo han hecho nuestros ejemplos anteriores, encontrando un antiderivado del integrando. En este caso sabemos que

      \ begin {reunir*}\ frac {d} {dx}\ frac {1} {x} = -\ frac {1} {x^2}\ end {reunir*}

      lo que significa que\(-x^{-1}\) es un antiderivado de\(x^{-2}\text{.}\)
    • Esto sugiere (si procedemos ingenuamente) que

      \ begin {alinear*}\ int_ {-1} ^1 x^ {-2}\, d {x} &=\ izquierda. -\ frac {1} {x}\ derecha|_ {-1} ^1 &\ text {ya que $-1/x$ es una antiderivada de $1/x^2$}\\ &= -\ frac {1} {1} -\ Grande (-\ frac {1} {-1}\ Grande)\\ &=-2\ end {align*}

      Desgraciadamente,
    • En este punto realmente deberíamos empezar a preocuparnos. Esta respuesta no puede ser correcta. Nuestro integrando, al ser un cuadrado, es positivo en todas partes. Por lo que nuestra integral representa el área de una región por encima del\(x\) eje y debe ser positiva.
    • Entonces, ¿qué ha salido mal? El defecto en el cómputo es que el teorema fundamental del cálculo, que dice que

      \ comenzar {reunir*}\ texto {si} F' (x) =f (x)\ texto {entonces}\ int_a^b f (x)\, d {x} =F (b) -F (a),\ fin {reunir*}

      solo es aplicable cuando\(F'(x)\) existe y es igual\(f(x)\) para todos\(x\) entre\(a\) y\(b\text{.}\)
    • En este caso\(F'(x)=\frac{1}{x^2}\) no existe para\(x=0\text{.}\) Así no podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo como lo intentamos anteriormente.

    Una integral, como\(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\, d{x}\text{,}\) cuyo integrando está indefinido en algún lugar del dominio de la integración se llama impropio. Más adelante en el texto daremos un tratamiento más completo de integrales inadecuadas. Por ahora, solo diremos que la forma correcta de definir (y evaluar) integrales impropias es como un límite de integrales aproximadas bien definidas. Después veremos que, no sólo\(\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}\, d{x}\) no es negativo, es infinito.

    observación 1.3.16

    Para completar mostraremos cómo evaluar esta integral colándonos sigilosamente en el punto de discontinuidad en el intervalo de integración. Como se señaló anteriormente, daremos una explicación más completa de tales integrales más adelante en el texto.

    • En lugar de evaluar la integral directamente, aproximaremos la integral usando integrales definidas en intervalos que eviten la discontinuidad. En el ejemplo actual, el dominio original de integración es\(-1\le x\le 1\text{.}\) Los dominios de integración de las integrales aproximadas excluyen de\([-1,1]\) pequeños intervalos alrededor\(x=0\text{.}\)
    • El área sombreada en la siguiente figura ilustra una integral aproximada típica, cuyo dominio de integración consiste en el dominio original de integración,\([-1,1]\text{,}\) pero con el intervalo\([-t,T]\) excluido.

      El dominio completo de la integración solo se recupera en el límite\(t,T\rightarrow 0\text{.}\)

    • Para este ejemplo, el cómputo correcto es

      \ begin {alinear*} &\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x} =\ lim_ {t\ fila derecha 0^+}\ int_ {-1} ^ {-t}\ frac {1} {x^2}\, d {x}\ +\ lim_ {T\ fila derecha 0^+}\ int_ {T} ^ {1}\ frac {1} {x^2}\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ lim_ {t\ fila derecha 0^+}\ bigg [-\ frac {1} {x}\ bigg] _ {-1} ^ {-t} +\ lim_ {T\ fila derecha 0^+}\ bigg [-\ frac {1} {x}\ bigg] _ {T} ^1\\ &\ hskip0.25in=\ lim_ {t\ fila derecha 0^+}\ Grande [\ Grande (-\ frac {1} {-t}\ Grande) -\ Grande (-\ frac {1} {-1}\ Grande)\ Grande] +\ lim_ {T\ Rightarrow 0^+}\ Grande [\ Grande (-\ frac {1} {1}\ Grande) -\ Grande (-\ frac {1} {T}\ Grande)\ Grande]\\ &\ hskip0.25in=\ lim_ {t\ rightarrow 0^+}\ frac {1} {t} +\ lim_ {T\ rightarrow 0^+}\ frac {1} {T} -2\ &\ hskip0.25in=+\ infty\ end {alinear*}

    • Podemos interpretar esto en el sentido de que el área señalizada bajo la curva\(x^{-2}\) entre\(x=-1\) y\(x=1\) es infinita.

    Los ejemplos anteriores han ilustrado cómo podemos utilizar el teorema fundamental del cálculo para convertir el conocimiento de derivados en conocimiento de integrales. Ahora estamos en condiciones de construir fácilmente una tabla de integrales. Aquí una breve tabla de los derivados más importantes que conocemos.

    \(F(x)\) \(1\) \(x^n\) \(\sin x\) \(\cos x\) \(\tan x\) \(e^x\) \(\log_e|x|\) \(\arcsin x\) \(\arctan x\)
    \(f(x)=F'(x)\) \(0\) \(nx^{n-1}\) \(\cos x\) \(-\sin x\) \(\sec^2 x\) \(e^x\) \(\frac{1}{x}\) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\frac{1}{1+x^2}\)

    Por supuesto que conocemos otros derivados, como los de\(\sec x\) y\(\cot x\text{,}\) sin embargo los enumerados anteriormente son posiblemente los más importantes. De esta tabla (con muy poco masaje) podemos anotar una breve tabla de integrales indefinidas.

    Teorema 1.3.17 Integrales indefinidas importantes
    \(f(x)\) \(F(x)=\int f(x)\, d{x}\)
    \(1\) \(x+C\)
    \(x^n\) \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\text{ provided that }n \ne-1\)
    \(\dfrac{1}{x}\) \(\log_e|x|+C\)
    \(e^x\) \(e^x+C\)
    \(\sin x\) \(-\cos x+C\)
    \(\cos x\) \(\sin x+C\)
    \(\sec^2 x\) \(\tan x+C\)
    \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\arcsin x+C\)
    \(\dfrac{1}{1+x^2}\) \(\arctan x+C\)
    Ejemplo 1.3.18 Usando el Teorema 1.3.17 para calcular algunas integrales

    Encuentra las siguientes integrales

    1. \(\int_2^7 e^x \, d{x}\)
    2. \(\int_{-2}^2 \frac{1}{1+x^2} \, d{x}\)
    3. \(\int_0^3 (2x^3+7x-2)\, d{x}\)

    Solución

    Podemos proceder con cada uno de estos como antes — encontrar el antiderivado y luego aplicar el teorema fundamental. La tercera integral es un poco más complicada, pero podemos dividirla en monomios usando el Teorema 1.2.1 y hacer cada una por separado.

    1. Un antiderivado de\(e^x\) es\(e^x\text{,}\) tan

      \ begin {alinear*}\ int_2^7 e^x\, d {x} &= e^x\ bigg|_2^7\\ &= e^7-e^2 = e^2 (e^5-1). \ end {alinear*}

    2. Un antiderivado de\(\frac{1}{1+x^2}\) es\(\arctan(x)\text{,}\) tan\[\begin{align*} \int_{-2}^2 \frac{1}{1+x^2} \, d{x} &= \arctan(x) \bigg|_{-2}^2\\ &= \arctan(2) - \arctan(-2)\\ \end{align*}\]

      Podemos simplificar esto un poco más al señalar que\(\arctan(x)\) es una función extraña, así\(\arctan(-2)= -\arctan(2)\) y así nuestra integral es

      \ begin {align*} &= 2\ arctan (2)\ end {align*}
    3. Podemos proceder dividiendo la integral usando el Teorema 1.2.1 (d)\[\begin{align*} \int_0^3 (2x^3+7x-2)\, d{x} &= \int_0^3 2x^3\, d{x} + \int_0^3 7x\, d{x} - \int_0^3 2\, d{x}\\ &= 2\int_0^3 x^3\, d{x} + 7\int_0^3 x\, d{x} - 2\int_0^3 \, d{x}\\ \end{align*}\]

      y porque sabemos que\(x^4/4, x^2/2, x\) son antiderivados de\(x^3, x, 1\) respectivamente, esto se convierte

      \ begin {align*} &=\ izquierda [\ frac {x^4} {2}\ derecha] _0^3 +\ izquierda [\ frac {7x^2} {2}\ derecha] _0^3 -\ izquierda [2x\ derecha] _0^3\ &=\ frac {81} {2} +\ frac {7\ cdot 9} {2} -6\ &=\ frac {81 + 63 - 12} {2} =\ frac {132} {2} = 66. \ end {align*} También podemos simplemente encontrar la antiderivada de todo el polinomio encontrando los antiderivados de cada término del polinomio y luego recombinándolos. Esto equivale a lo que hemos hecho anteriormente, pero quizás un poco más pulcro:

      \ begin {align*}\ int_0^3 (2x^3+7x-2)\, d {x} &=\ izquierda [\ frac {x^4} {2} +\ frac {7x^2} {2} - 2x\ derecha] _0^3\\ &=\ frac {81} {2} +\ frac {7\ cdot 9} {2} -6 = 66. \ end {alinear*}

    Ejercicios

    Etapa 1

    Las preguntas 11 a 14 están destinadas a ayudar a reforzar ideas clave en el Teorema Fundamental del Cálculo y su prueba.

    Hasta el momento, hemos podido adivinar muchos antiderivados. A menudo, sin embargo, los antiderivados son muy difíciles de adivinar. En las preguntas 16 a 19, encontraremos algunos antiderivados que podrían aparecer en una tabla de integrales. Llegar con el antiderivado puede ser bastante difícil (estrategias para hacer precisamente eso formarán gran parte de este semestre), pero verificar que tu antiderivado es correcto es tan simple como diferenciarlo.

    1 (✳)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función y\(F(x) = e^{(x^2-3)} + 1\) es una antiderivada de\(f(x)\text{.}\) Evaluar la integral definida\(\displaystyle\int_1^{\sqrt5} f(x)\,\, d{x}\text{.}\)

    2 (✳)

    Para la función\(f(x) = x^3 -\sin 2x\text{,}\) encuentra su antiderivado\(F(x)\) que satisface\(F(0)=1\text{.}\)

    3 (✳)

    Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Proporcionar una breve justificación.

    1. Si\(f(x)\) es continuo encendido\([1, \pi]\) y diferenciable en\((1,\pi)\text{,}\) entonces\(\displaystyle\int_1^\pi f'(x)\,\, d{x} = f(\pi)-f(1)\text{.}\)
    2. \(\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,\, d{x} = 0\text{.}\)
    3. Si\(f\) es continuo\([a, b]\) entonces\(\displaystyle\int_a^b xf(x)\,\, d{x} = x\int_a^b f(x)\,\, d{x} \text{.}\)
    4

    Verdadero o falso: un antiderivado de\(\dfrac{1}{x^2}\) is\(\log (x^2)\) (donde por\(\log x\) nos referimos a logaritmo base\(e\)).

    5

    Verdadero o falso: un antiderivado de\(\cos(e^x)\) es\(\frac{\sin(e^x)}{e^x}\text{.}\)

    6

    Supongamos\(F(x) = \displaystyle\int_7^x \sin(t^2)\, d{t}\text{.}\) ¿Cuál es la tasa instantánea de cambio de\(F(x)\) con respecto a\(x\text{?}\)

    7 (✳)

    Supongamos\(F(x) = \displaystyle\int_{2}^x e^{1/t}\, d{t}\text{.}\) ¿Cuál es la pendiente de la línea tangente a\(y=F(x)\) cuando\(x=3\text{?}\)

    8

    Supongamos\(F'(x)=f(x)\text{.}\) Dar dos antiderivados diferentes de\(f(x)\text{.}\)

    9

    En la Pregunta 1.1.8.45, Sección 1.1, encontramos que

    \[ \int_0^a\sqrt{1-x^2}\, d{x}=\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)+\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}. \nonumber \]

    1. Verifica que\(\displaystyle\dfrac{d}{da}\left\{\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\arccos(a)+\frac{1}{2}a\sqrt{1-a^2}\right\} = \sqrt{1-a^2}\text{.}\)
    2. Encuentra una función\(F(x)\) que satisfaga\(F'(x) = \sqrt{1-x^2}\) y\(F(0)=\pi\text{.}\)
    10

    Evalúe las siguientes integrales utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo Parte 2, o explique por qué no aplica.

    1. \(\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \, d{x}\text{.}\)
    2. \(\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \, d{x}\text{.}\)
    3. \(\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\, d{x}\text{.}\)
    11

    Al igual que en la prueba del Teorema Fundamental del Cálculo, vamos\(F(x) = \int_{a}^x f(t)\, d{t}\text{.}\) En el siguiente diagrama, sombree el área correspondiente a\(F(x+h)-F(x)\text{.}\)

    12 (✳)

    Let\(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)dt\text{,}\) donde\(f(t)\) se muestra en la gráfica de abajo, y\(0 \leq x \leq 4\text{.}\)

    1. ¿Es\(F(0)\) positivo, negativo o cero?
    2. ¿Dónde está\(F(x)\) aumentando y dónde está disminuyendo?
    13

    Let\(G(x) = \displaystyle\int_x^0 f(t)dt\text{,}\) donde\(f(t)\) se muestra en la gráfica de abajo, y\(0 \leq x \leq 4\text{.}\)

    1. ¿Es\(G(0)\) positivo, negativo o cero?
    2. ¿Dónde está\(G(x)\) aumentando y dónde está disminuyendo?
    14

    Let\(F(x) = \displaystyle\int_a^x t\, d{t}\text{.}\) Usando la definición de la derivada, encontrar\(F'(x)\text{.}\)

    15

    Dar una función continua\(f(x)\) para que\(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)dt\) sea una constante.

    16

    Evalúa y simplifica\(\frac{d}{dx}\{x\log(ax)-x\}\text{,}\) donde\(a\) hay alguna constante y\(\log(x)\) es la base logaritmo\(e\text{.}\) ¿Qué antiderivado te dice esto?

    17

    Evalúa y simplifica\(\frac{d}{dx}\{e^x\left(x^3-3x^2+6x-6\right)\}\text{.}\) ¿Qué antiderivado te dice esto?

    18

    Evaluar y simplificar\(\frac{d}{dx}\left\{\log\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|\right\}\text{,}\) donde\(a\) hay alguna constante. ¿Qué antiderivado te dice esto?

    19

    Evaluar y simplificar\(\displaystyle\frac{d}{dx}\left\{\sqrt{x(a+x)}-a\log\left(\sqrt{x}+\sqrt{a+x}\right)\right\}\text{,}\) donde\(a\) hay alguna constante. ¿Qué antiderivado te dice esto?

    Etapa 2
    20 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle\int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\, d{x}\text{.}\)

    21 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle\int_1^2 \frac{x^2+2}{x^2}\,\, d{x}\text{.}\)

    22

    Evaluar\(\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\, d{x}\text{.}\)

    23

    Evaluar\(\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\, d{x}\text{.}\)

    24

    Evaluar\(\displaystyle\int \tan^2 x \, d{x}\text{.}\)

    25

    Evaluar\(\displaystyle\int 3 \sin x \cos x \, d{x}\text{.}\)

    26

    Evaluar\(\displaystyle\int \cos^2 x \, d{x}\text{.}\)

    27 (✳)

    Si

    \[ F(x)=\int_0^x \log(2+\sin t)\,\, d{t}\quad\text{and}\quad G(y)=\int^0_y \log(2+\sin t)\,\, d{t} \nonumber \]

    encontrar\(F'\big(\frac{\pi}{2}\big)\) y\(G'\big(\frac{\pi}{2}\big)\text{.}\)

    28 (✳)

    Vamos\(f(x)=\displaystyle\int_1^x 100(t^2-3t+2)e^{-t^2}\, d{t}\text{.}\) Encuentra el (los) intervalo (s) en el que\(f\) va en aumento.

    29 (✳)

    Si\(F(x)={\displaystyle\int_0^{\cos x} \frac{1}{t^3+6}\,\, d{t}}\text{,}\) encuentra\(F'(x)\text{.}\)

    30 (✳)

    Calcular\(f'(x)\) dónde\(f(x)= \displaystyle\int_0^{1+x^4}e^{t^2}\, d{t}\text{.}\)

    31 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle\frac{d}{dx}\left\{\int_0^{\sin x}(t^6+8)\, d{t}\right\}\text{.}\)

    32 (✳)

    Vamos a\(F(x)= \displaystyle\int_0^{x^3}e^{-t}\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\,\, d{t}\text{.}\) Calcular\(F'(1)\text{.}\)

    33 (✳)

    Encuentra\(\displaystyle \dfrac{d}{du} \left\{ \int_{\cos u}^0 \frac{\, d{t}}{1+t^3} \right\}\text{.}\)

    34 (✳)

    Averiguar\(f(x)\) si\(x^2=1+\displaystyle\int_1^x f(t)\, d{t}\text{.}\)

    35 (✳)

    Si\(x \sin(\pi x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, \, d{t}\) donde\(f\) es una función continua, encontrar\(f(4)\text{.}\)

    36 (✳)

    Considera la función\(\displaystyle F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t}\,\, d{t} +\int_{-x}^0 e^{-t^2}\,\, d{t}\text{.}\)

    1. Encuentra\(F'(x)\text{.}\)
    2. Encuentra el valor de\(x\) para el cual\(F(x)\) toma su valor mínimo.
    37 (✳)

    Si\(F(x)\) se define por\(\displaystyle F(x) = \int_{x^4-x^3}^x e^{\sin t}\,\, d{t}\text{,}\) find\(F'(x)\text{.}\)

    38 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg\{\int_{x^5}^{-x^2} \cos\big(e^t\big)\,\, d{t} \bigg\}\text{.}\)

    39 (✳)

    Diferenciar\(\displaystyle \int_x^{e^x} \sqrt{\sin t}\,\, d{t}\) por\(0\lt x\lt \log \pi\text{.}\)

    40 (✳)

    Evaluar\(\displaystyle \int_1^5 f(x)\,\, d{x}\text{,}\) dónde\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} 3 &\text{ if $x\le 3$} \\ x &\text{ if $x\ge 3$} \end{cases}\text{.}\)

    Etapa 3
    41 (✳)

    Si\(f'(1)=2\) y\(f'(2)=3\text{,}\) encuentra\(\displaystyle\int_1^2 f'(x) f''(x)\,\, d{x}\text{.}\)

    42 (✳)

    Un automóvil que viaja en\(30\,\textrm{m}/\textrm{s}\) aplica sus frenos al tiempo\(t=0\text{,}\) su velocidad (in\(\textrm{m}/\textrm{s}\)) decreciente según la fórmula\(v(t) = 30 - 10t\text{.}\) ¿Hasta dónde va el auto antes de que se detenga?

    43 (✳)

    Computar\(f'(x)\) donde\(f(x)= \displaystyle\int_0^{2x-x^2}\log\big(1+e^t\big)\,\, d{t}\text{.}\) ¿\(f(x)\)Tiene un máximo absoluto? Explique.

    44 (✳)

    Encuentra el valor mínimo de\(\displaystyle\int_0^{x^2-2x}\frac{\, d{t}}{1+t^4}\text{.}\) Expresa tu respuesta como integral.

    45 (✳)

    Definir la función\(F(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}\sin(\sqrt{t})\,\, d{t}\) en el intervalo\(0 \lt x \lt 4\text{.}\) En este intervalo, ¿dónde\(F(x)\) tiene un máximo?

    46 (✳)

    Evaluar\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\pi}{n}\displaystyle\sum\limits_{j=1}^n \sin\left(\frac{j\pi}{n}\right)\) interpretándolo como un límite de sumas de Riemann.

    47 (✳)

    Usa las sumas de Riemann para evaluar el límite\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \frac{1}{1+\frac{j}{n}}\ .\)

    48

    A continuación se muestra la gráfica de\(y=f(t)\text{,}\)\(-5 \leq t \leq 5\text{.}\) Definir\(F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\, d{t}\) para cualquiera\(x\) en\([-5,5]\text{.}\) Sketch\(F(x)\text{.}\)

    49 (✳)

    Definir\(f(x)=x^3\displaystyle\int_{0}^{x^3+1} e^{t^3} \, d{t}\text{.}\)

    1. Encuentre una fórmula para el derivado\(f'(x)\text{.}\) (Su fórmula puede incluir en signo integral.)
    2. Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(y=f(x)\) at\(x=-1\text{.}\)
    50

    Dos alumnos calculan\(\int f(x)\, d{x}\) para alguna función\(f(x)\text{.}\)

    • El estudiante A calcula\(\int f(x)\, d{x} = \tan^2 x + x + C\)
    • Estudiante B calcula\(\int f(x)\, d{x} = \sec^2 x + x + C\)
    • Es un hecho que\(\frac{d}{dx}\{\tan^2 x\} = f(x)-1\)

    ¿Quién terminó con la respuesta correcta?

    51

    Let\(F(x)=\displaystyle\int_0^x x^3 \sin(t)\, d{t}\text{.}\)

    1. Evaluar\(F(3)\text{.}\)
    2. ¿Qué es\(F'(x)\text{?}\)
    52

    Dejar\(f(x)\) ser una función par, definida en todas partes, y dejar\(F(x)\) ser una antiderivada de\(f(x)\text{.}\) ¿Es par,\(F(x)\) impar, o no necesariamente cualquiera? (Puede utilizar su respuesta de la Sección 1.2, Pregunta 1.2.3.20.)

    1. Los aprendiste cerca del final de tu curso de cálculo diferencial. Ahora es un buen momento para revisar — pero los repasaremos aquí ya que son muy importantes en lo que sigue.
    2. Observe que si\(f\) fueran discontinuos, entonces esto podría ser falso.
    3. El MVT nos dice que hay un número\(c\) entre\(x\) y\(x+h\) así que\(F'(c) = \frac{F(x+h)-F(x)}{(x+h)-x} = \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\text{.}\) Pero ya que\(F'(x) = f(x)\text{,}\) esto nos dice que\(\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = f(c)\) donde\(c\) está atrapado entre\(x+h\) y\(x\text{.}\) Ahora cuando tomamos el límite como\(h \to 0\) tenemos que este número\(c\) es exprimido a\(x\) y el resultado sigue.
    4. El integral\(\int_0^x e^{-t^2} \, d{t}\) is closely related to the “error function” which is an extremely important function in mathematics. While we cannot express this integral (or the error function) as a finite combination of polynomials, exponentials etc, we can express it as an infinite series \(\int_0^x e^{-t^2}\, d{t} = x - \frac{x^3}{3\cdot 1} + \frac{x^5}{5\cdot 2} - \frac{x^7}{7\cdot 3!} + \frac{x^9}{9\cdot 4!} +\cdots + (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\cdot k!} + \cdots\text{.}\) But more on this in Chapter 3.
    5. Esto se desprende del Teorema del Valor Medio. Decir\(H(x)\) were not constant, then there would be two numbers \(a \lt b\) so that \(H(a)\neq H(b)\text{.}\) Then the MVT tells us that there is a number \(c\) between \(a\) and \(b\) so that \(H'(c) = \frac{H(b)-H(a)}{b-a}.\) Since both numerator and denominator are nonzero, we know the derivative at \(c\) is nonzero. But this would contradict the assumption that derivative of \(H\) is zero. Hence we cannot have \(a \lt b\) with \(H(a)\neq H(b)\) and so \(H(x)\) must be constant.
    6. Por supuesto, esto supone que hiciste tu curso de cálculo diferencial el último trimestre. Si hiciste ese curso en otro momento entonces por favor piensa en ese momento. Si hace bastante tiempo que no recuerdas muy bien cuándo fue, entonces probablemente deberías hacer alguna revisión de derivadas de funciones simples antes de continuar.
    7. Recordemos que en la mayoría de los cursos de matemáticas (especialmente este) utilizamos\(\log x\) without any indicated base to denote the natural logarithm — the logarithm base \(e\text{.}\) Many widely used computer languages, like Java, C, Python, MATLAB, \(\cdots\text{,}\) use \(\log(x)\) to denote the logarithm base \(e\) too. But many texts also use \(\ln x\) to denote the natural logarithm \(\log x = \log_e x = \ln x.\) The reader should be comfortable with all three notations for this function. They should also be aware that in different contexts — such as in chemistry or physics — it is common to use \(\log x\) to denote the logarithm base 10, while in computer science often \(\log x\) denotes the logarithm base 2. Context is key.
    8. Esto no es del todo cierto: se puede extender la definición del logaritmo a números negativos, pero para hacerlo es necesario comprender los números complejos que es un tema más allá del alcance de este curso.

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