2.4: Ecuaciones diferenciales separables
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Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que involucra la derivada de la función desconocida. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel central en la modelización de un gran número de fenómenos diferentes. Aquí hay una tabla que da un montón de ecuaciones diferenciales nombradas y para qué se utilizan. Está lejos de ser completa.
| Ley del movimiento de Newton | describe el movimiento de las partículas |
| Ecuaciones de Maxwell | describe la radiación electromagnética |
| Ecuaciones de Navier-Stokes | describe el movimiento del fluido |
| Ecuación de calor | describe el flujo de calor |
| Ecuación de onda | describe el movimiento de las olas |
| Ecuación de Schrödinger | describe átomos, moléculas y cristales |
| Ecuaciones de tensión-deformación | describe materiales elásticos |
| Modelos Black-Scholes | utilizado para fijar precios de opciones financieras |
| Ecuaciones depredador-presa | describe las poblaciones de ecosistemas |
| Ecuaciones de Einstein | conecta la gravedad y la geometría |
| Ecuación de Ludwig-Jones-Holling | modelos Abeto Budworm/ecosistema de abeto balsámico |
| Modelo de Zeeman | modelos latidos cardíacos e impulsos nerviosos |
| Modelo Sherman-Rinzel-Keizer | para la actividad eléctrica en\(\beta\) células pancreáticas |
| Ecuaciones de Hodgkin-Huxley | modela potenciales de acción nerviosa |
Sólo vamos a rayar la superficie del estudio de las ecuaciones diferenciales. La mayoría de las universidades ofrecen media docena de cursos de pregrado diferentes sobre diversos aspectos de las ecuaciones diferenciales. Solo veremos un tipo de ecuación especial, pero importante.
Separar e integrar
Una ecuación diferencial separable es una ecuación para una función\(y(x)\) de la forma
\[ \dfrac{dy}{dx}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big) \nonumber \]
Comenzaremos desarrollando una receta para resolver ecuaciones diferenciales separables. Entonces veremos muchos ejemplos. Por lo general, se suprime el argumento de\(y(x)\) y escribe la ecuación 1
\[ \dfrac{dy}{dx} = f(x)\ g(y) \nonumber \]
y resuelve tal ecuación multiplicando cruzado/dividiendo para obtener todos los\(y\) 's, incluyendo el\(\, d{y}\) en un lado de la ecuación y todos los\(x\)' s, incluyendo el\(\, d{x}\text{,}\) en el otro lado de la ecuación.
\[ \frac{\, d{y}}{g(y)}=f(x)\,\, d{x} \nonumber \]
(Por supuesto, estamos asumiendo que\(g(y)\) es distinto de cero.) Luego integras ambos lados
\ comenzar {reunir}\ int\ frac {\, d {y}} {g (y)} =\ int f (x)\,\, d {x}\ etiqueta {eq_sdebasicsln}\ tag {\(\star\)}\ end {reunir}
Esto parece ilegal, y de hecho es ilegal —no\(\dfrac{dy}{dx}\) es una fracción. Pero ahora veremos que la respuesta sigue siendo correcta. Este procedimiento es simplemente un dispositivo mnemotécnico para ayudarte a recordar esa respuesta (\(\star\)).
- Nuestro objetivo es encontrar todas las funciones\(y(x)\) que obedecen\(\dfrac{dy}{dx}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big)\text{.}\)
- Suponiendo que eso\(g\) es distinto de cero,
\ begin {alinear*} y' (x) = f (x)\ g (y (x)) &\ iff\ frac {y' (x)} {g (y (x))} =f (x)\ iff\ int\ frac {y' (x)} {g (y (x))}\,\, d {x} =\ int f (x)\, d {x}\\\ &\ iff\ int\ frac {\, d {y}} {g (y)}\ big|_ {y=y (x)} =\ int f (x)\,\, d {x}\\ &\ hskip0.5in\ text {con la sustitución} y=y (x),\, d y = y' (x)\,\, d {x}\ end {alinear*}
- Esa es nuestra respuesta (\(\star\)) otra vez.
Dejar\(G(y)\) ser un antiderivado de\(\frac{1}{g(y)}\) (i.e.\(G'(y)=\frac{1}{g(y)}\)) y\(F(x)\) ser un antiderivado de\(f(x)\) (i.e.\(F'(x)=f(x)\)). Si reinstalamos el argumento de\(y\text{,}\) (\(\star\)) es
\[ G\big(y(x)\big) = F(x) + C\label{eq_SDEbasicSlnRig}\tag{2.4.1} \]
Observe que la ecuación de solución (2.4.1) contiene una constante arbitraria,\(C\text{.}\) El valor de esta constante arbitraria no puede ser determinado por la ecuación diferencial. Se necesitan datos adicionales para determinarlo. A menudo estos datos consisten en el valor de la función desconocida para un valor de Es\(x\text{.}\) decir, muchas veces el problema que tienes que resolver es de la forma
\[ \dfrac{dy}{dx}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big)\qquad y(x_0)=y_0 \nonumber \]
donde\(f(x)\) y\(g(y)\) se les dan funciones y\(x_0\) y\(y_0\) se les dan números. Este tipo de problema se denomina “problema de valor inicial”. Se resuelve usando primero el método anterior para encontrar la solución general a la ecuación diferencial, incluyendo la constante arbitraria\(C\text{,}\) y luego usando la “condición inicial”\(y(x_0)=y_0\) para determinar el valor de\(C\text{.}\) Veremos ejemplos de esto en breve.
La ecuación diferencial
\[ \dfrac{dy}{dx} = xe^{-y} \nonumber \]
es separable, y ahora encontramos todas sus soluciones mediante el uso de nuestro dispositivo mnemotécnico. Empezamos por multiplicar cruzadamente para mover todos los\(y\)'s al lado izquierdo y todos\(x\) al lado derecho.
\[ e^y\,\, d{y} = x\,\, d{x} \nonumber \]
Luego integramos ambos lados
\[ \int e^y\, d{y} = \int x\, d{x} \iff e^y = \frac{x^2}{2}+C \nonumber \]
El\(C\) del lado derecho contiene tanto la constante arbitraria para la integral\(\int e^y\, d{y}\) indefinida como la constante arbitraria para la integral indefinida\(\int x\, d{x}\text{.}\) Finalmente, resolvemos para\(y\text{,}\) lo cual es realmente una función de\(x\text{.}\)
\[ y(x) = \log\Big(\frac{x^2}{2}+C\Big) \nonumber \]
Recordemos que estamos utilizando\(\log\) para referirnos al logaritmo natural (base\(e\)).
Tenga en cuenta que\(C\) es una constante arbitraria. Puede tomar cualquier valor. No puede ser determinada por la propia ecuación diferencial. En las aplicaciones\(C\) suele estar determinado por un requisito que\(y\) toma algún valor prescrito (determinado por la aplicación) cuando\(x\) es algún valor prescrito. Por ejemplo, supongamos que deseamos encontrar una función\(y(x)\) que obedezca tanto
\[ \dfrac{dy}{dx} = xe^{-y}\qquad\text{and}\qquad y(0)=1 \nonumber \]
Sabemos que, para haber\(\dfrac{dy}{dx} = xe^{-y}\) satisfecho, debemos tener\(y(x) = \log\big(\frac{x^2}{2}+C\big)\text{,}\) para alguna constante\(C\text{.}\) Para tener también\(y(0)=1\text{,}\) debemos tener
\ begin {reunir*} 1=y (0) =\ log\ Grande (\ frac {x^2} {2} +C\ Grande)\ bigg|_ {x=0} =\ log C\ iff\ log C =1\ iff c=E\ end {reunir*}
Así que nuestra solución final es\(y(x) = \log\big(\frac{x^2}{2}+e\big)\text{.}\)
Dejar\(a\) y\(b\) ser dos constantes cualesquiera. Ahora resolveremos la familia de ecuaciones diferenciales
\[ \dfrac{dy}{dx} =a(y-b) \nonumber \]
usando nuestro dispositivo mnemotécnico.
\ begin {alinear*}\ frac {\, d {y}} {y-b} =a\,\, d {x} &\ implica\ int\ frac {\, d {y}} {y-b} =\ int a\,\, d {x}\\ &\ implica\ log|y-b|= ax+c\ implica |y-b|= e^ {ax+c} =e^ {ax+c} = ^c e^ {hacha}\\ &\ implica y-b = C e^ {ax}\ final {alinear*}
donde\(C\) es\(+e^c\) o\(-e^c\text{.}\) Tenga en cuenta que como\(c\) recorre todos los números reales,\(+e^c\) recorre todos los números reales estrictamente positivos y\(-e^c\) recorre todos los números reales estrictamente negativos. Entonces, hasta ahora,\(C\) puede ser cualquier número real excepto\(0\text{.}\) Pero aquí estábamos un poco descuidados. Supusimos implícitamente que\(y-b\) era distinto de cero, para que pudiéramos dividirlo entre sí. Sin embargo, la función constante a la\(y=b\text{,}\) que corresponde\(C=0\text{,}\) es una solución perfectamente buena, cuando\(y\) es la función constante\(y=b\text{,}\) tanto\(\dfrac{dy}{dx}\) y\(a(y-b)\) son cero. Entonces la solución general a\(\dfrac{dy}{dx} =a(y-b)\) es\(y(x)=C e^{ax}+b\text{,}\) donde la constante\(C\) puede ser cualquier número real. Tenga en cuenta que cuando\(y(x)=C e^{ax}+b\) tenemos\(y(0)=C+b\text{.}\) So\(C=y(0)-b\) y la solución general es
\[ y(x) = \{y(0)-b\}\,e^{ax} + b \nonumber \]
Esto vale la pena afirmar como teorema.
Dejar\(a\) y\(b\) ser constantes. La función diferenciable\(y(x\)) obedece a la ecuación diferencial
\[ \dfrac{dy}{dx} =a(y-b) \nonumber \]
si y solo si
\[ y(x) = \{y(0)-b\}\,e^{ax} + b \nonumber \]
Resolver\(\dfrac{dy}{dx}=y^2\)
Solución: Cuando\(y\ne 0\text{,}\)
\[ \dfrac{dy}{dx}=y^2 \implies \frac{\, d{y}}{y^2}=\, d{x} \implies \frac{y^{-1}}{-1}=x+C \implies y=-\frac{1}{x+C} \nonumber \]
Cuando\(y=0\text{,}\) este cálculo se descompone porque\(\frac{\, d{y}}{y^2}\) contiene una división por 0. Podemos verificar si la función\(y(x)=0\) satisface la ecuación diferencial simplemente subbiéndola en:
\[ y(x)=0\implies y'(x)=0,\ y(x)^2=0\implies y'(x)=y(x)^2 \nonumber \]
Así\(y(x)=0\) es una solución y la solución completa es
\[ y(x)=0 \text{ or } y(x)=-\frac{1}{x+C}, \text{ for any constant $C$} \nonumber \]
Cuando cae una gota de lluvia aumenta de tamaño para que su masa\(m(t)\text{,}\) sea función del tiempo\(t\text{.}\) La tasa de crecimiento de la masa,\(\frac{dm}{dt}\text{,}\) es decir, es\(km(t)\) para alguna constante positiva\(k\text{.}\) Según la ley del movimiento de Newton,\(\dfrac{d}{dt} (mv)=gm\text{,}\) donde\(v\) esta la velocidad de la gota de lluvia (con \(v\)siendo positivo para el movimiento descendente) y\(g\) es la aceleración debida a la gravedad. Encuentra la velocidad terminal,\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty}v(t)\text{,}\) de una gota de lluvia.
Solución: En este problema tenemos dos funciones desconocidas,\(m(t)\)\(v(t)\text{,}\) y dos ecuaciones diferenciales,\(\frac{dm}{dt}=km\) y\(\dfrac{d}{dt} (mv)=gm\text{.}\) La primera ecuación diferencial,\(\frac{dm}{dt}=km\text{,}\) implica solamente\(m(t)\text{,}\) no\(v(t)\text{,}\) así que la usamos para determinar\(m(t)\text{.}\) Por Teorema 2.4.4, con \(b=0\text{,}\)\(a=k\text{,}\)\(y\)sustituido por\(m\) y\(x\) sustituido por\(t\text{,}\)
\[ \dfrac{dm}{dt}=km \implies m(t) = m(0) e^{kt} \nonumber \]
Ahora que sabemos\(m(t)\) (a excepción del valor de la constante\(m(0)\)), podemos sustituirla en la segunda ecuación diferencial, que luego podemos usar para determinar la función desconocida restante\(v(t)\text{.}\) Observe que la segunda ecuación,\(\dfrac{d}{dt} (mv)=gm(t)=gm(0)e^{kt}\) dice que la derivada de la función \(y(t)=m(t)v(t)\)es\(gm(0)e^{kt}\text{.}\) Así\(y(t)\) es solo un antiderivado de\(gm(0)e^{kt}\text{.}\)
\[ \dfrac{dy}{dt}=gm(t)=gm(0)e^{kt} \qquad \implies y(t)=\int gm(0)e^{kt}\,dt = gm(0)\frac{e^{kt}}{k}+C \nonumber \]
Ahora que sabemos que\(y(t)=m(t)v(t)=m(0)e^{kt}v(t)\text{,}\) podemos conseguir\(v(t)\) simplemente dividiendo el\(m(0)e^{kt}\text{.}\)
\ begin {alinear*} y (t) =gm (0)\ frac {e^ {kt}} {k} +C &\ implica m (0) e^ {kt} v (t) =gm (0)\ frac {e^ {kt}} {k} +C\\ &\ implica v (t) =\ frac {g} {k} +\ frac {C} {m (0) e^ {kt}}\ end {align*}
Nuestra solución,\(v(t)\text{,}\) contiene dos constantes arbitrarias, a saber\(C\) y\(m(0)\text{.}\) Estarán determinadas por, por ejemplo, la masa y la velocidad en el tiempo\(t=0\text{.}\) Pero como sólo nos interesa la velocidad terminal no\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty}v(t)\text{,}\) necesitamos saber\(C\) y\(m(0)\text{.}\) Desde \(k \gt 0\text{,}\)\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{C}{e^{kt}}=0\)y la velocidad terminal\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty}v(t)=\frac{g}{k}\text{.}\)
Una solución de glucosa se administra por vía intravenosa al torrente sanguíneo a un ritmo constante A\(r\text{.}\) medida que se agrega la glucosa, se convierte en otras sustancias a una velocidad que es proporcional a la concentración en ese momento. La concentración,\(C(t)\text{,}\) de la glucosa en el torrente sanguíneo en el momento\(t\) obedece a la ecuación diferencial
\[ \dfrac{dC}{dt}=r-kC \nonumber \]
donde\(k\) es una constante positiva de proporcionalidad.
- Expresar\(C(t)\) en términos de\(k\) y\(C(0)\text{.}\)
- Encuentra\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty} C(t)\text{.}\)
Solución: a) Dado que\(r-kC=-k\big(C-\frac{r}{k}\big)\) la ecuación dada es
\[ \dfrac{dC}{dt}=-k\big(C-\frac{r}{k}\big) \nonumber \]
que es de la forma resuelta en el Teorema 2.4.4 con\(a=-k\) y\(b=\frac{r}{k}\text{.}\) Así la solución es
\[ C(t)=\frac{r}{k}+\Big(C(0)-\frac{r}{k}\Big)e^{-kt} \nonumber \]
Para cualquier\(k \gt 0\text{,}\)\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty} e^{-kt}=0\text{.}\) Consecuentemente, para cualquiera\(C(0)\) y cualquier\(k \gt 0\text{,}\)\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty} C(t)=\frac{r}{k}, \text{.}\) Podríamos haber predicho este límite sin resolver para\(C(t)\text{.}\) Si asumimos que\(C(t)\) se acerca a algún valor de equilibrio\(C_e\) como\(t\) se acerca al infinito, entonces tomando los límites de ambos lados de\(\frac{dC}{dt}=r-kC\) como\(t\rightarrow\infty\) da
\[ 0=r-kC_e\implies C_e=\frac{r}{k} \nonumber \]
Opcional - Datación por carbono
Los científicos pueden determinar la edad de los objetos que contienen material orgánico mediante un método llamado datación por carbono o datación por radiocarbono 2. El bombardeo de la atmósfera superior por rayos cósmicos convierte el nitrógeno en un isótopo radiactivo de carbono,\({}^{14}C\text{,}\) con una vida media de aproximadamente 5730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono de la atmósfera a través de la fotosíntesis y los animales adquieren\({}^{14}C\) al comer plantas. Cuando una planta o animal muere, deja de reemplazar su carbono y la cantidad de\({}^{14}C\) comienza a disminuir a través de la desintegración radiactiva. Por lo tanto, el nivel de radiactividad también disminuye. Más precisamente, vamos a\(Q(t)\) denotar la cantidad de\({}^{14}C\) en la planta o animal\(t\) años después de que muera. El número de desintegraciones radiactivas por unidad de tiempo, en el tiempo\(t\text{,}\) es proporcional a la cantidad de\({}^{14}C\) presente en el tiempo t, que es\(Q(t)\text{.}\) Así
\[ \dfrac{dQ}{dt}(t)=-k Q(t) \nonumber \]
Aquí\(k\) hay una constante de proporcionalidad que está determinada por la vida media. Vamos a explicar qué es la vida media, y también determinar el valor de\(k\text{,}\) en el Ejemplo 2.4.9, a continuación.
Antes de hacerlo, pensemos en la ecuación de signo en (2.4.8).
- Recordemos que\(Q(t)\) denota una cantidad, es decir, la cantidad de\({}^{14}C\) presente en el tiempo No puede\(t\text{.}\) haber una cantidad negativa de\({}^{14}C\text{.}\) Ni esta cantidad puede ser cero. (No usaríamos la datación por carbono cuando no hay\({}^{14}C\) presente.) En consecuencia,\(Q(t) \gt 0\text{.}\)
- A medida que\(t\) aumenta el tiempo,\(Q(t)\) disminuye, porque\({}^{14}C\) se está convirtiendo continuamente en\({}^{14}N\) por desintegración radiactiva 3. Por lo tanto\(\dfrac{dQ}{dt}(t) \lt 0\text{.}\)
- Los signos\(Q(t) \gt 0\) y\(\dfrac{dQ}{dt}(t) \lt 0\) son consistentes con (2.4.8) siempre que la constante de proporcionalidad\(k \gt 0\text{.}\)
- En (2.4.8), optamos por llamar a la constante de proporcionalidad “\(-k\)”. Lo hicimos con el fin de hacer\(k \gt 0\text{.}\) También podríamos haber optado por llamar a la constante de proporcionalidad “\(K\)”. Es decir, podríamos haber sustituido la ecuación (2.4.8) por\(\dfrac{dQ}{dt}(t)=K Q(t)\text{.}\) La constante de proporcionalidad\(K\) tendría que ser negativa, (\(K\)y y\(k\) estaría relacionada por\(K=-k\)).
En este ejemplo, determinamos el valor de la constante de proporcionalidad\(k\) en (2.4.8) que corresponde a\({}^{14}C\text{,}\) cuya vida media es de 5730 años.
- Imagínese que alguna planta o animal contiene una cantidad\(Q_0\) de\({}^{14}C\) en su momento de la muerte. Escojamos el punto cero del tiempo\(t=0\) para que sea el instante en que la planta o animal murió.
- Denotar por\(Q(t)\) la cantidad de\({}^{14}C\) en la planta o animal\(t\) años después de su muerte. Entonces\(Q(t)\) deben obedecer tanto (2.4.8) como\(Q(0)=Q_0\text{.}\)
- Teorema 2.4.4, con\(b=0\) y\(a=-k\text{,}\) luego nos dice que\(Q(t) = Q_0 e^{-kt}\) para todos\(t\ge 0\text{.}\)
- Por definición, la vida media de\({}^{14}C\) es el período de tiempo que tarda la mitad del en\({}^{14}C\) decairse. Es decir, la vida media\(t_{1/2}\) está determinada por
\ begin {align*} Q (t_ {1/2}) =\ frac {1} {2} Q (0) &=\ frac {1} {2} Q_0 &\ text {pero sabemos que $Q (t) =Q_0e^ {-kt} $}\\ Q_0 e^ {-kt_ {1/2}} &=\ frac {1} {2} _0&\ text {ahora cancela $Q_0$}\\ e^ {-kt_ {1/2}} &=\ frac {1} {2}\ end {align*}
Tomando el logaritmo de ambos lados da\ begin {reunir*} -k t_ {1/2} =\ log\ frac {1} {2} = -\ log 2\ implica k=\ frac {\ log 2} {t_ {1/2}}\ end {reunir*}
Recordemos que, en este texto, utilizamos\(\log x\) para indicar el logaritmo natural. Es decir,\[ \log x = \log_e x=\log x \nonumber \]
Se nos dice que, para\({}^{14}C\text{,}\) la vida media\(t_{1/2}=5730\text{,}\) tan
\ begin {align*} k=\ frac {\ log 2} {5730} &= 0.000121 &\ text {a 6 decimales}\ end {align*}
Del trabajo en el ejemplo anterior hemos acumulado suficientes hechos nuevos para hacer un corolario al Teorema 2.4.4.
La función\(Q(t)\) satisface la ecuación
\ comenzar {reunir*}\ dfrac {dQ} {dt} = -k Q (t)\ final {reunir*}
si y solo si
\ begin {reunir*} Q (t) = Q (0)\, e^ {-kt}\ end {reunir*}
La vida media se define como el tiempo\(t_{1/2}\) que obedece
\ comenzar {reunir*} Q\ grande (t_ {1/2}\ grande) =\ frac {1} {2}\, Q (0)\ final {reunir*}
La vida media está relacionada con la constante\(k\) por
\ comenzar {reunir*} t_ {1/2} =\ frac {\ log 2} {k}\ fin {reunir*}
Ahora aquí hay un problema típico que se resuelve usando Corolario 2.4.10.
Un trozo particular de pergamino contiene aproximadamente tanto\(64\%\)\({}^{14}C\) como lo hacen las plantas hoy en día. Estimar la edad del pergamino.
Solución: Dejar\(Q(t)\) denotar la cantidad de\({}^{14}C\) en el pergamino\(t\) años después de que se creó por primera vez. Por ecuación (2.4.8) y Ejemplo 2.4.9
\ begin {reunir*}\ dfrac {dQ} {dt} (t) =-k Q (t)\ qquad\ texto {con} k=\ frac {\ log 2} {5730} = 0.000121\ end {reunir*}
Por Corolario 2.4.10
\ begin {reunir*} Q (t) = Q (0)\, e^ {-kt}\ end {reunir*}
El tiempo en el que\(Q(t)\) alcanza\(0.64\,Q(0)\) está determinado por
\ begin {align*} Q (t) &=0.64\, Q (0) &\ text {pero $Q (t) = Q (0)\, e^ {-kt} $}\\ Q (0)\, e^ {-kt} &=0.64\, Q (0) &\ text {cancel $Q (0) $}\\ e^ {-kt} &=0.64&\ text {tomar logaritmos}\\ -kt&=\ log 0.64\\ t&=\ frac {\ log 0.64} {-k} =\ frac {\ log 0.64} {-0.000121} = 3700\ qquad&\ text {a 2 dígitos significativos}\ end {align*}
Es decir, el pergamino 4 tiene unos 37 siglos de antigüedad.
Hemos afirmado que la vida media de\({}^{14}C\) es de 5730 años. ¿Cómo se puede determinar esto? Podemos explicar esto usando el siguiente ejemplo.
Un científico en una película de ciencia ficción de grado B está estudiando una muestra del elemento raro y ficticio, la implausio. Con gran esfuerzo ha producido una muestra de pura implausio. Al día siguiente —17 horas después— regresa a su laboratorio y descubre que su muestra ahora sólo es\(37\%\) pura. ¿Cuál es la vida media del elemento?
Solución: Podemos volver a configurar nuestro problema usando Corolario 2.4.10. Dejar\(Q(t)\) denotar la cantidad de implausio en el tiempo\(t\text{,}\) medido en horas. Entonces sabemos
\ begin {align*} Q (t) &= Q (0)\ cdot e^ {-kt}\ end {alinear*}
También sabemos que
\ begin {align*} Q (17) &= 0.37 Q (0). \ end {alinear*}
Eso nos permite determinar a\(k\) través de
\[\begin{align*} Q(17) = 0.37 Q(0) &= Q(0) e^{-17k} & \text{ divide both sides by $Q(0)$}\\ 0.37 &= e^{-17k}\\ \end{align*}\]y así
\ begin {align*} k &= -\ frac {\ log 0.37} {17} = 0.05849\ end {align*}Entonces podemos convertir esto a la semivida usando Corolario 2.4.10:
\ begin {align*} t_ {1/2} &=\ frac {\ log 2} {k}\ aprox 11.85\ texto {horas}\ end {align*}
Si bien este ejemplo es completamente ficticio, uno realmente puede usar este enfoque para medir la vida media de los materiales.
Opcional — Ley de Refrigeración de Newton
La ley de enfriamiento de Newton dice:
- La tasa de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno. La temperatura de los alrededores a veces se llama temperatura ambiente.
Si denotamos por\(T(t)\) la temperatura del objeto en el momento\(t\) y por\(A\) la temperatura de su entorno, la ley de enfriamiento de Newton dice que hay alguna constante de proporcionalidad,\(K\text{,}\) tal que
\[ \dfrac{dT}{dt}(t) = K\big[T(t)-A\big] \nonumber \]
Este modelo matemático de cambio de temperatura funciona bien cuando se estudia un objeto pequeño en un ambiente grande, de temperatura fija. Por ejemplo, una taza de café caliente en una habitación grande 5. Empecemos por pensar un poco en el signo de la constante de proporcionalidad. En cualquier momento\(t\text{,}\) hay tres posibilidades.
- Si\(T(t) \gt A\text{,}\) es así, si el cuerpo es más cálido que su entorno, esperaríamos que el calor fluyera del cuerpo a su entorno y así esperaríamos que el cuerpo se enfriara\(\dfrac{dT}{dt}(t) \lt 0\text{.}\) para que Para que esta expectativa sea consistente con (2.4.13), necesitamos\(K \lt 0\text{.}\)
- Si\(T(t) \lt A\text{,}\) ese es el cuerpo es más fresco que su entorno, esperaríamos que el calor fluyera de los alrededores hacia el cuerpo y así esperaríamos que el cuerpo se calentara\(\dfrac{dT}{dt}(t) \gt 0\text{.}\) para que Para que esta expectativa sea consistente con (2.4.13), nuevamente necesitamos\(K \lt 0\text{.}\)
- Por último si\(T(t)=A\text{,}\) ese es el cuerpo y su ambiente tienen la misma temperatura, no esperaríamos que ningún calor fluya entre los dos y así esperaríamos que\(\dfrac{dT}{dt}(t)=0\text{.}\) Esto no imponga ninguna condición a\(K\text{.}\)
En conclusión, esperaríamos Por\(K \lt 0\text{.}\) supuesto, podríamos haber optado por llamar a la constante de proporcionalidad\(-k\text{,}\) en lugar de\(K\text{.}\) Entonces la ecuación diferencial sería\(\dfrac{dT}{dt} = -k\big(T-A\big)\) y esperaríamos\(k \gt 0\text{.}\)
La temperatura de un vaso de té helado es inicialmente\(5^\circ\text{.}\) Después de 5 minutos, el té se ha calentado a\(10^\circ\) en una habitación donde la temperatura del aire es\(30^\circ\text{.}\)
- Determinar la temperatura en función del tiempo.
- ¿Cuál es la temperatura después de 10 minutos?
- Determinar cuándo el té alcanzará una temperatura de\(20^\circ\text{.}\)
Solución: a
- Denote por\(T(t)\) la temperatura del té\(t\) minutos después de que se retiró de la nevera, y dejar que\(A=30\) sea la temperatura ambiente.
- Por la ley del enfriamiento de Newton,
\[ \dfrac{dT}{dt}=K(T-A) = K(T-30) \nonumber \]
para algunos, hasta ahora desconocidos, constante de proporcionalidad\(K\text{.}\) - Por Teorema 2.4.4 con\(a=K\) y\(b=30\text{,}\)
\[ T(t) = [T(0)-30]\,e^{Kt} + 30 =30-25 e^{Kt} \nonumber \]
desde la temperatura inicial\(T(0)=5\text{.}\) - Esta solución no está completa porque aún contiene una constante desconocida, es decir Aún no\(K\text{.}\) hemos utilizado los datos dados que\(T(5)=10\text{.}\) Podemos utilizarla para determinar\(K\text{.}\) At\(t=5\text{,}\)
\ begin {align*} T (5) =30-25 e^ {5K} =10 &\ implica e^ {5K} =\ frac {20} {25}\ implica 5K=\ log\ frac {20} {25}\\ &\ implica K=\ frac {1} {5}\ log\ frac {4} {5} =-0.044629\ end {align*}
a seis decimales.
(b) Para encontrar la temperatura a los 10 minutos solo podemos usar la solución que hemos determinado anteriormente.
\ begin {align*} T (10) &=30-25 e^ {10K}\\ &=30-25 e^ {10\ veces\ frac {1} {5}\ log\ frac {4} {5}}\\ &=30-25 e^ {2\ log\ frac {4} {5}} = 30-25 e^ {\ log\ frac {16} {25}\\ &=30-16=\ texto {$14^\ circ$}\ end {align*}
(c) La temperatura es\(20^\circ\) cuando
\ begin {align*} 30-25 e^ {Kt} =20 &\ implica e^ {Kt} =\ frac {10} {25}\ implica Kt=\ log\ frac {10} {25}\ &\ implica t=\ frac {1} {K}\ log\ frac {2} {5} =\ hbox {20.5 min}\ end {align*}
a una posición decimal.
Se descubre un cadáver a las 3:45pm en una habitación donde la temperatura es de 20\(^\circ\) C. En ese momento la temperatura del cuerpo 1s 27\(^\circ\) C. Dos horas después, a las 5:45pm, la temperatura del cuerpo es de 25.3\(^\circ\) C. ¿Cuál fue el momento de la muerte? Tenga en cuenta que la temperatura corporal normal (humano adulto) es\(37^\circ\) C.
Solución: Supondremos que la temperatura del cuerpo obedece a la ley de enfriamiento de Newton.
- Denotar por\(T(t)\) la temperatura del cuerpo en el momento\(t\text{,}\) con\(t=0\) correspondiente a las 3:45pm. Deseamos encontrar la hora de la muerte — llámala\(t_d\text{.}\)
- Hay una gran cantidad de datos en la declaración del problema. Se nos dice
- la temperatura ambiente:\(A=20\)
- la temperatura del cuerpo cuando se descubre:\(T(0)=27\)
- la temperatura del cuerpo 2 horas después:\(T(2)=25.3\)
- asumiendo que la persona era un adulto sano hasta su muerte, la temperatura al momento de la muerte:\(T(t_d)=37\text{.}\)
- Teorema 2.4.4 con\(a=K\) y\(b=A=20\)
\[ T(t) = [T(0)-A]\,e^{Kt} + A =20+7 e^{Kt} \nonumber \]
Quedan dos incógnitas,\(K\) y\(t_d\text{.}\) - Podemos encontrar el primero,\(K\text{,}\) usando la condición (3), que dice\(T(2)=25.3\text{.}\)
\ begin {align*} 25.3=T (2) = 20+7 e^ {2K} &\ implica 7 e^ {2K} =5.3\ implica 2K =\ log\ grande (\ tfrac {5.3} {7}\ grande)\\ &\ implica K =\ tfrac {1} {2}\ log\ grande (\ tfrac {5.3} {7}\ grande) = -0.139\ end {align*}
- Finalmente,\(t_d\) está determinado por la condición (4).
\ begin {align*} 37 = T (t_d) = 20+7 e^ {-0.139 t_d} &\ implica e^ {-0.139 t_d} =\ tfrac {17} {7}\\ &\ implica -0.139 t_d =\ log\ grande (\ tfrac {17} {7}\ grande)\\ &\ implica t_d = -\ tfrac {1} {0.139}\ log\ big (\ tfrac {17} {7}\ big) = - 6.38\ end {align*}
a dos decimales. Ahora el\(6.38\) horario es\(6\) horas y\(0.38\times 60 = 23\) minutos. Entonces la hora de la muerte fue\(6\) horas y\(23\) minutos antes de las 3:45pm, que son las 9:22am.
Un ejemplo un poco complicado: necesitamos determinar la temperatura ambiente a partir de tres mediciones en diferentes momentos.
Un vaso de agua a temperatura ambiente se lleva a un balcón desde un departamento donde la temperatura es\(22^\circ\) C. Después de un minuto el agua tiene temperatura\(26^\circ\) C y después de dos minutos tiene temperatura\(28^\circ\) C. ¿Cuál es la temperatura exterior?
Solución: Supondremos que la temperatura del termómetro obedece a la ley de Newton de enfriamiento.
- Dejar\(A\) ser la temperatura exterior y\(T(t)\) ser la temperatura del agua\(t\) minutos después de que sea sacada al exterior.
- Por la ley del enfriamiento de Newton,
\ begin {reunir*} T (t) =A+\ grande (T (0) -A\ big) e^ {Kt}\ end {reunir*}
Teorema 2.4.4 con\(a=K\) y\(b=A\text{.}\) Note que aquí hay 3 incógnitas\(A\text{,}\)\(T(0)\) —y\(K\) — así que necesitamos tres piezas de información para encontrarlas todas. - Se nos dice\(T(0)=22\text{,}\) así
\ begin {alinear*} T (t) &=A+\ grande (22-A\ grande) e^ {Kt}. \ end {alinear*}
- También se nos dice\(T(1)=26\text{,}\) que da
\ begin {align*} 26 &=A+\ big (22-A\ big) e^ {K} &\ text {reorganizar las cosas}\\ e^k&=\ frac {26-A} {22-A}\ end {align*}
- Por último,\(T(2)=28\text{,}\) entonces
\ begin {align*} 28&=A+\ grande (22-A\ grande) e^ {2K} &\ text {reorganizar}\\ e^ {2K} &=\ frac {28-A} {22-A} &\ text {pero $e^k=\ frac {26-A} {22-A} $, entonces}\\\ izquierda (\ frac {26-A} {22-A}\ derecha) ^2 &=\ frac {28-A} {22-A} &\ text {multiplicar por $ (22-A) ^2$}\\ (26-A) ^2 &= (28-A) (22-A)\ end {align*}
Podemos expandir ambos lados y recopilar términos para obtener\ begin {alinear*}\ underbrackets {26^2} _ {=676} -52A+A^2 &=\ underbrackets {28\ times22} _ {=616} -50A+A^2\\ 60 &= 2A\\ 30 &= A\ end {align*}
Entonces la temperatura exterior es\(30^\circ\text{.}\)
Opcional — Crecimiento poblacional
Supongamos que deseamos predecir el tamaño\(P(t)\) de una población en función del tiempo\(t\text{.}\) En el modelo más ingenuo de crecimiento poblacional, cada pareja produce\(\beta\) descendencia (para alguna constante\(\beta\)) y luego muere. Así, en el transcurso de una generación se producen\(\beta\tfrac{P(t)}{2}\) niños y\(P(t)\) los padres mueren para que el tamaño de la población crezca de\(P(t)\) a
\ begin {reunir*} P (t+t_g) =\ underbrackets {P (t) +\ beta\ frac {P (t)} {2}} _ {\ text {padres+descendencia}} -\ underbrackets {P (t)} _ {\ text {padres mueren}} =\ frac {\ beta} {2} P (t)\ end {reunión*}
donde\(t_g\) denota la vida útil de una generación. La tasa de cambio del tamaño de la población por unidad de tiempo es
\ comenzar {reunir*}\ frac {P (t+t_g) -P (t)} {t_g} =\ frac {1} {t_g}\ Grande [\ frac {\ beta} {2} P (t) -P (t)\ Grande] = b P (t)\ final {reunir*}
donde\(b=\tfrac{\beta-2}{2t_g}\) es la tasa neta de natalidad por miembro de la población por unidad de tiempo. Si aproximamos
\ comenzar {reunir*}\ frac {P (t+t_g) -P (t)} {t_g}\ approx\ dfrac {dP} {dt} (t)\ end {reunir*}
obtenemos la ecuación diferencial
\[ \dfrac{dP}{dt} = bP(t) \nonumber \]
Por Corolario 2.4.10, con\(-k\) sustituido por\(b\text{,}\)
\[ P(t) = P(0)\cdot e^{bt} \nonumber \]
A esto se le llama el modelo de crecimiento de Malthusian 6. Es, por supuesto, muy simplista. Una de sus principales características es que, ya que\(P(t+T) = P(0)\cdot e^{b(t+T)} = P(t)\cdot e^{bT}\text{,}\) cada vez que se agrega\(T\) al tiempo, el tamaño de la población se multiplica por\(e^{bT}\text{.}\) En particular, el tamaño de la población se duplica cada\(\frac{\log 2}{b}\) unidad de tiempo. El modelo de crecimiento maltusiano puede ser un modelo razonablemente bueno solo cuando el tamaño de la población es muy pequeño en comparación con su entorno 7. A continuación se considera un modelo más sofisticado de crecimiento poblacional, que toma en cuenta la “capacidad de carga del medio ambiente”.
En 1927 la población del mundo era de alrededor de 2 mil millones. En 1974 era de unos 4 mil millones. Estimar cuando llegó a los 6 mil millones. ¿Cuál será la población del mundo en 2100, asumiendo el modelo de crecimiento maltusiano?
Solución: Seguimos nuestro patrón habitual para tratar este tipo de problemas.
- Seamos\(P(t)\) la población mundial, en miles de millones,\(t\) años después de 1927. Tenga en cuenta que 1974 corresponde a\(t=1974-1927 = 47\text{.}\)
- Estamos asumiendo que\(P(t)\) obedece ecuación (2.4.17). Entonces, por (2.4.18)
\ comenzar {reunir*} P (t) =P (0)\ cdot e^ {bt}\ final {reunir*}
Observe que aquí hay 2 incógnitas\(b\)\(P(0)\) —y— así que necesitamos dos datos para encontrarlos. - Se nos dice\(P(0)=2\text{,}\) así
\ comenzar {reunir*} P (t) =2\ cdot e^ {bt}\ fin {reunir*}
- También se nos dice\(P(47)=4\text{,}\) que da
\ begin {align*} 4 &=2\ cdot e^ {47b} &\ text {limpiar}\\ e^ {47b} &=2 &\ text {tomar el registro y limpiar}\\ b&=\ frac {\ log 2} {47} = 0.0147 &\ text {a 3 decimales}\ end {align*}
- Ahora sabemos\(P(t)\) completamente, por lo que podemos determinar fácilmente la población pronosticada 8 en 2100, es decir, en\(t=2100-1927 = 173\text{.}\)
\ begin {reunir*} P (173) = 2 e^ {173 b} = 2 e^ {173\ times 0.0147} = 12.7\ text {mil millones}\ end {reunión*}
- Por último, nuestro modelo crudo predice que la población es de 6 mil millones en el momento\(t\) que obedece
\ begin {align*} P (t) &= 2 e^ {b t} = 6 &\ text {limpiar}\\ e^ {b t} &=3 &\ text {tomar el registro y limpiar}\\ t&=\ frac {\ log 3} {b} = 47\ frac {\ log 3} {\ log 2} = 74.5\ end {align*}
que corresponde a 9 a mediados de 2001.
El crecimiento logístico agrega una arruga más al modelo poblacional simple. Se asume que la población sólo tiene acceso a recursos limitados. A medida que crece el tamaño de la población, disminuye la cantidad de alimentos disponibles para cada miembro. Esto a su vez hace que la tasa neta de\(b\) natalidad disminuya. En el modelo de crecimiento logístico\(b=b_0\left(1-\tfrac{P}{K}\right)\text{,}\) donde\(K\) se llama la capacidad de carga del medio ambiente, de manera que
\ begin {reunir*} P' (t) =b_0\ izquierda (1-\ frac {P (t)} {K}\ derecha) P (t)\ end {reunir*}
Esta es una ecuación diferencial separable y podemos resolverla explícitamente. Lo haremos en breve. Ver Ejemplo 2.4.20, a continuación. Pero, antes de hacer eso, veremos qué podemos aprender sobre el comportamiento de las soluciones a ecuaciones diferenciales como esta sin encontrar fórmulas para las soluciones. Resulta que podemos aprender mucho con solo ver el signo de\(P'(t)\text{.}\) Para concreción, veremos soluciones de la ecuación diferencial
\ comenzar {reunir*}\ dfrac {dP} {dt} (t) =\ grande (\ ,6000-3P (t)\,\ grande)\, P (t)\ final {reunir*}
Vamos a bosquejar las gráficas de cuatro funciones\(P(t)\) que obedecen a esta ecuación.
- Para la primera función,\(P(0)=0\text{.}\)
- Para la segunda función,\(P(0)=1000\text{.}\)
- Para la tercera función,\(P(0)=2000\text{.}\)
- Para la cuarta función,\(P(0)=3000\text{.}\)
Los bocetos se basarán en la observación de que\((6000-3P)\,P=3(2000-P)\,P\)
- es cero para\(P=0,\ 2000\text{,}\)
- es estrictamente positivo para\(0 \lt P \lt 2000\) y
- es estrictamente negativo para\(P \gt 2000\text{.}\)
Consecuentemente
\ begin {align*}\ dfrac {dP} {dt} (t)\\ begin {cases} =0 &\ text {if} P (t) =0\\\ gt 0 &\ text {if} 0\ lt P (t)\ lt 2000\\ =0 &\ text {if} P (t) =2000\\ lt 0 &\ text {if} P (t)\ gt\ end {cases}\ end {align*}
Así si\(P(t)\) es alguna función que obedece\(\dfrac{dP}{dt}(t)=\big(6000-3P(t)\big)P(t)\text{,}\) entonces como la gráfica de\(P(t)\) pasa por el punto\(\big(t,P(t)\big)\)
\ begin {align*}\ text {la gráfica tiene}\ begin {cases}\ text {pendiente cero,} &\ text {es decir, es horizontal,\\ if} P (t) =0\\\ text {pendiente positiva,} &\ text {es decir, está aumentando,\\ if} 0\ lt P (t)\ lt 2000\\ text {pendiente cero,} &\ text {es decir, es horizontal,\ si} P (t) =2000\\\ texto {pendiente negativa,} &\ texto {i.e. es decreciente,\\ if} 0\ lt P (t)\ lt 2000\ end {cases}\ end {align*}
como se ilustra en la figura
Como consecuencia de ello,
- si\(P(0)=0\text{,}\) la gráfica comienza horizontalmente. Es decir, a medida que\(t\) empieza a aumentar, se\(P(t)\) mantiene en cero, por lo que la pendiente de la gráfica se mantiene en cero. El tamaño de la población sigue siendo cero para todos los tiempos. Como cheque, observe que la función\(P(t)=0\) obedece\(\dfrac{dP}{dt}(t)=\big(6000-3P(t)\big)P(t)\) para todos\(t\text{.}\)
- De igual manera, si\(P(0)=2000\text{,}\) la gráfica vuelve a comenzar horizontalmente. Así\(P(t)\) se mantiene en\(2000\) y la pendiente se mantiene en cero. El tamaño de la población se mantiene en 2000 para todos los tiempos. Nuevamente, la función\(P(t)=2000\) obedece\(\dfrac{dP}{dt}(t)=\big(6000-3P(t)\big)P(t)\) para todos\(t\text{.}\)
- Si\(P(0)=1000\text{,}\) la gráfica comienza con pendiente positiva. Así\(P(t)\) aumenta con\(t\text{.}\) As\(P(t)\) aumenta hacia el 2000, la pendiente sin\((6000-3P(t)\big)P(t)\text{,}\) dejar de ser positiva, se acerca cada vez más a cero. A medida que la gráfica se acerca a la altura 2000, se vuelve cada vez más horizontal. La gráfica en realidad no puede cruzar desde abajo del 2000 hasta arriba del 2000, ya que para ello tendría que tener pendiente estrictamente positiva para algún valor\(P\) superior al 2000, lo cual no está permitido.
- Si\(P(0)=3000\text{,}\) la gráfica comienza con pendiente negativa. Así\(P(t)\) disminuye con\(t\text{.}\) As\(P(t)\) disminuye hacia 2000, la pendiente\((6000-3P(t)\big)P(t)\text{,}\) mientras permanece negativa, se acerca cada vez más a cero. A medida que la gráfica se acerca a la altura 2000, se vuelve cada vez más horizontal. La gráfica en realidad no puede cruzar de arriba de 2000 a menos de 2000, porque para hacerlo tendría que tener pendiente negativa para algún valor\(P\) inferior al 2000, lo que no está permitido.
Estas curvas se esbozan en la siguiente figura. Concluimos que para cualquier tamaño de población inicial\(P(0)\text{,}\) excepto\(P(0)=0\text{,}\) el tamaño de la población se aproxima\(2000\) como\(t\rightarrow\infty\text{.}\)
Ahora vamos a hacer un ejemplo en el que resolvemos explícitamente la ecuación de crecimiento logístico.
En 1986, la población del mundo era de 5 mil millones y estaba aumentando a una\(2\%\) tasa anual. Utilizando el modelo de crecimiento logístico con una población máxima supuesta de 100 mil millones, predecir la población del mundo en los años 2000, 2100 y 2500.
Solución: Que\(y(t)\) sea la población del mundo, en miles de millones de personas, a\(1986+t\text{.}\) la vez El modelo de crecimiento logístico asume
\[ y'=ay(K-y) \nonumber \]
dónde\(K\) está la capacidad de carga y\(a=\frac{b_0}{K}\text{.}\)
Primero determinaremos los valores de las constantes\(a\) y\(K\) a partir de los datos dados.
- Sabemos que, si en el tiempo cero la población está por debajo\(K\text{,}\) entonces a medida que aumenta el tiempo la población aumenta, acercándose al límite\(K\) como\(t\) tiende al infinito. Entonces en este problema\(K\) está la población máxima. Es decir,\(K=100\text{.}\)
- También se nos dice que, en el tiempo cero, la tasa porcentual de cambio de la población,\(100\frac{y'}{y}\text{,}\) es 2, de manera que, en el tiempo cero,\(\frac{y'}{y}=0.02\text{.}\) Pero, a partir de la ecuación diferencial,\(\frac{y'}{y}=a(K-y)\text{.}\) De ahí en el tiempo cero, de\(0.02=a(100-5)\text{,}\) manera que\(a= \frac{2}{9500}\text{.}\)
Ahora sabemos\(a\)\(K\) y podemos resolver la ecuación diferencial (separable)
\ begin {alinear*}\ frac {\, d {y}} {dt} =ay (K-y) &\ implica\ frac {\, d {y}} {y (k-y)} =a\, dt\ &\ implica\ int\ frac {1} {K}\ Grande [\ frac {1} {y} -\ frac {1} {y-k}\ Grande]\, d {y} =\ int a\, dt\\ &\ implica\ frac {1} {K} [\ log |y|-\ log|y-k|] =at+c\ &\ implica\ log\ frac {|y|} {|y-k|} =Akt+ck\ implica\ Big|\ frac {y} {y-k}\ Big|=De^ {akt^ {akt t}\ fin { alinear*}
con\(D=e^{CK}\text{.}\) Sabemos que\(y\) queda entre\(0\) y\(K\text{,}\) para que\(\Big|\frac{y}{y-K}\Big|=\frac{y}{K-y}\) y nuestra solución obedezca
\[ \frac{y}{K-y}=De^{aKt} \nonumber \]
En esta etapa, conocemos los valores de las constantes\(a\) y\(K\text{,}\) pero no el valor de la constante Se\(D\text{.}\) nos da eso en\(t=0\text{,}\)\(y=5\text{.}\) Subbing en esto, y los valores de\(K\) y\(a\text{,}\)
\[ \frac{5}{100-5}=De^{0} \implies D=\frac{5}{95} \nonumber \]
Entonces la solución obedece a la ecuación algebraica
\[ \frac{y}{100-y}=\frac{5}{95}e^{2t/95} \nonumber \]
que podemos resolver para obtener\(y\) en función de\(t\text{.}\)
\ begin {align*} & y= (100-y)\ frac {5} {95} e^ {2t/95}\ implica 95y= (500-5y) e^ {2t/95}\ &\ hskip0.5in\ implica\ grande (95+5e^ {2t/95}\ grande) y=500 e^ {2t/95}\\ &\ hskip0.5in\ implica y=\ frac {500e^ {2t/95}} {95+5e^ {2t/95}} =\ frac {100e^ {2t/95}} {19+e^ {2t/95}} =\ frac {100} {1+19e^ {-2t/95}}\ end {align*}
Por último,
- En el año 2000,\(t=14\) y\(y=\frac{100}{1+19e^{-28/95}}\approx6.6\) mil millones.
- En el año 2100,\(t=114\) y\(y=\frac{100}{1+19e^{-228/95}}\approx 36.7\) mil millones.
- En el año 2200,\(t=514\) y\(y=\frac{100}{1+19e^{-1028/95}}\approx 100\) mil millones.
Opcional: problemas de mezcla
En el momento\(t=0\text{,}\) donde\(t\) se mide en minutos, un tanque con una capacidad de 5 litros contiene 3 litros de agua en los que se disuelve 1 kg de sal. El agua dulce ingresa al tanque a una velocidad de 2 litros por minuto y la solución completamente mezclada se escapa del tanque a una velocidad variable de\(2t\) litros por minuto.
- Determine el volumen de solución\(V(t)\) en el tanque a la vez\(t\text{.}\)
- Determinar la cantidad de sal\(Q(t)\) en solución cuando la cantidad de agua en el tanque es máxima.
Solución 10: (a) La tasa de cambio del volumen en el tanque, en el momento\(t\text{,}\) se\(2-2t\text{,}\) debe a que el agua entra a una velocidad\(2\) y la solución está goteando a una velocidad\(2t\text{.}\) Así
\[ \dfrac{dV}{dt}=2-2t \implies dV=(2-2t)\,dt \implies V=\int (2-2t)\,dt =2t-t^2+C \nonumber \]
al menos hasta que\(V(t)\) alcance ya sea la capacidad del tanque o cero. Cuando\(t=0\text{,}\)\(V=3\) sea así\(C=3\) y\(V(t)=3+2t-t^2\text{.}\) Observe que\(V(t)\) está en un máximo cuando\(\dfrac{dV}{dt}=2-2t=0\text{,}\) o\(t=1\text{.}\)
b) En el intervalo de tiempo muy corto de vez\(t\) en cuando\(t+dt\text{,}\)\(2t\,dt\) salen litros de salmuera del tanque. Es decir, la fracción\(\frac{2t\,dt}{V(t)}\) de la sal total en el tanque, es decir\(Q(t)\frac{2t\,dt}{V(t)}\) kilogramos, se va. Así la sal está saliendo del tanque a la velocidad
\[ \frac{Q(t)\frac{2t\,dt}{V(t)}}{dt} =\frac{2tQ(t)}{V(t)} =\frac{2tQ(t)}{3+2t-t^2} \text{ kilograms per minute} \nonumber \]
por lo
\ begin {alinear*}\ dfrac {dQ} {dt} =-\ frac {2tQ (t)} {3+2t-t^2} &\ implica\ frac {dQ} {Q} =-\ frac {2t} {3+2t-t^2} dt=-\ frac {2t} {(3-t) (1+t)} dt\ & qquad\ qquad\ qquad =\ Grande [\ frac {3/2} {t-3} +\ frac {1/2} {t+1}\ Grande] dt\\ &\ implica\ log Q=\ frac {3} {2}\ log|t-3|+\ frac {1} {2}\ log|T+1 |+C\ end {align*}
Nos interesa el intervalo de tiempo\(0\le t\le 1\text{.}\) En este intervalo de tiempo\(|t-3|=3-t\) y\(|t+1|=t+1\) así
\[ \log Q=\frac{3}{2}\log(3-t)+\frac{1}{2}\log(t+1)+C \nonumber \]
En\(t=0\text{,}\)\(Q\) es 1 tan
\ begin {align*}\ log 1 & =\ frac {3} {2}\ log (3-0) +\ frac {1} {2}\ log (0+1) +C\\ &\ implica C=\ log 1-\ frac {3} {2}\ log 3-\ frac {1} {2}\ log 1=-\ frac {3} {2}\ log 3\ end {alinear*}
En\(t=1\)
\ begin {align*}\ log Q&=\ frac {3} {2}\ log (3-1) +\ frac {1} {2}\ log (1+1) -\ frac {3} {2}\ log 3\\ & =2\ log 2-\ frac {3} {2}\ log 3 =\ log 4 -\ log 3^ {\ frac {3} {2}}\ end {alinear*}
por lo\(Q=\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}\text{.}\)
Un tanque contiene 1500 litros de salmuera con una concentración de\(0.3\) kg de sal por litro. Otra solución de salmuera, esta con una concentración de\(0.1\) kg de sal por litro se vierte en el tanque a una velocidad de\(20\) li/min. Al mismo tiempo,\(20\) li/min de la solución en el tanque, que se agita continuamente, se drena del tanque.
- ¿Cuántos kilogramos de sal quedarán en el tanque después de media hora?
- ¿Cuánto tiempo se tarda en reducir la concentración a\(0.2\) kg/li?
Solución: Denotar por\(Q(t)\) la cantidad de sal en el tanque al tiempo\(t\text{.}\) En un intervalo de tiempo muy corto\(dt\text{,}\) la solución entrante agrega\(20\, dt\) litros de una solución que transporta\(0.1\) kg/li. Por lo que la solución entrante agrega\(0.1\times 20\, dt=2\, dt\) kg de sal. En el mismo intervalo de tiempo se drena\(20\, dt\) litros del tanque. La concentración de la salmuera escurrida es de\(\frac{Q(t)}{1500}\text{.}\) So\(\frac{Q(t)}{1500} 20\, dt\) kg fueron removidos. En conjunto, el cambio en el contenido de sal del tanque durante el corto intervalo de tiempo es
\[ dQ=2\, dt-\frac{Q(t)}{1500} 20\, dt =\Big(2-\frac{Q(t)}{75}\Big) dt \nonumber \]
La tasa de cambio del contenido de sal por unidad de tiempo es
\[ \frac{dQ}{dt}=2-\frac{Q(t)}{75} =-\frac{1}{75}\big(Q(t)-150\big) \nonumber \]
La solución de esta ecuación es
\[ Q(t)=\big\{Q(0)-150\big\}e^{-t/75} + 150 \nonumber \]
por Teorema 2.4.4, con\(a=-\frac{1}{75}\) y\(b=150\text{.}\) En el momento\(0\text{,}\)\(Q(0)=1500\times 0.3=450\text{.}\) So
\[ Q(t)=150+300e^{-t/75} \nonumber \]
a) En\(t=30\)
\[ Q(30)=150+300e^{-30/75}=\text{351.1 kg} \nonumber \]
(b)\(Q(t)=0.2\times 1500=300\) kg se alcanza cuando
\ begin {align*} &150+300e^ {-t/75} =300\ implica 300e^ {-t/75} =150\ implica e^ {-t/75} =0.5\ cr &\ implica -\ frac {t} {75} =\ log (0.5)\ implica t=-75\ log (0.5) =\ text {51.99 min}\ end {align*}
Opcional — Intereses sobre inversiones
Supongamos que depositas\(\$P\) en una cuenta bancaria a tiempo\(t=0\text{.}\) La cuenta paga\(r\%\) intereses por año compuestos\(n\) veces al año.
- El primer pago de intereses se realiza en el momento\(t=\frac{1}{n}\text{.}\) Debido a que el saldo en la cuenta durante el intervalo de tiempo\(0 \lt t \lt \frac{1}{n}\) es\(\$P\) y se están pagando intereses por\(\big(\frac{1}{n}\big)^{\rm th}\) de un año, ese primer pago de intereses es\(\frac{1}{n}\times\frac{r}{100}\times P\text{.}\) Después del primer pago de intereses, el saldo en la cuenta es\(P+\frac{1}{n}\times\frac{r}{100}\times P = \big(1+\frac{r}{100n}\big)P\text{.}\)
- El segundo pago de intereses se realiza en el momento\(t=\frac{2}{n}\text{.}\) Debido a que el saldo en la cuenta durante el intervalo de tiempo\(\frac{1}{n} \lt t \lt \frac{2}{n}\) es\(\big(1+\frac{r}{100n}\big)P\) y se están pagando intereses por\(\big(\frac{1}{n}\big)^{\rm th}\) de un año, el segundo pago de intereses es\(\frac{1}{n}\times\frac{r}{100}\times \big(1+\frac{r}{100n}\big)P\text{.}\) Después del segundo pago de intereses, el saldo en la cuenta es \(\big(1+\frac{r}{100n}\big)P+\frac{1}{n}\times\frac{r}{100}\times \big(1+\frac{r}{100n}\big)P = \big(1+\frac{r}{100n}\big)^2P\text{.}\)
- Y así sucesivamente.
En general, en el momento\(t=\frac{m}{n}\) (justo después del pago de los\(m^{\rm th}\) intereses), el saldo en la cuenta es
\[ B(t) = \Big(1+\frac{r}{100n}\Big)^m P = \Big(1+\frac{r}{100n}\Big)^{nt}P \nonumber \]
Tres valores comunes de\(n\) son\(1\) (los intereses se pagan una vez al año),\(12\) (es decir, los intereses se pagan una vez al mes) y 365 (es decir, los intereses se pagan diariamente). El límite\(n\rightarrow\infty\) se denomina composición continua 11. Bajo la composición continua, el saldo en el momento\(t\) es
\ begin {alinear*} B (t) &=\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Grande (1+\ frac {r} {100n}\ Grande) ^ {nt} P\ final {alinear*}
Es posible que ya hayas visto el límite
\[ \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{a/x}=e^a \nonumber \]
Si es así, puedes evaluar\(B(t)\) aplicando 2.4.24 con\(x=\frac{r}{100n}\) y\(a=\frac{rt}{100}\) (para que\(\frac{a}{x}=nt\)). Como\(n\rightarrow \infty\text{,}\)\(x\rightarrow 0\) para que
\[ B(t) = \lim_{n\rightarrow\infty} \Big(1+\frac{r}{100n}\Big)^{nt}P =\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{a/x}P=e^aP = e^{rt/100}P \nonumber \]
Si no has visto (2.4.24) antes, está bien. En el siguiente ejemplo, derivamos (2.4.25) usando una ecuación diferencial en lugar de (2.4.24).
Supongamos, de nuevo, que depositas\(\$P\) en una cuenta bancaria en el momento\(t=0\text{,}\) y que la cuenta paga\(r\%\) intereses por año compuestos\(n\) veces al año, y denota por\(B(t)\) el saldo en el momento\(t\text{.}\) Supongamos que acabas de recibir un pago de intereses en el momento\(t\text{.}\) Entonces el próximo pago de intereses se realizará en su momento\(t+\frac{1}{n}\) y será\(\frac{1}{n}\times\frac{r}{100}\times B(t)=\frac{r}{100n}B(t)\text{.}\) Así, llamando\(\frac{1}{n}=h\text{,}\)
\[ B(t+h)=B(t) + \frac{r}{100}B(t)h\qquad\text{or}\qquad \frac{B(t+h)-B(t)}{h} = \frac{r}{100}B(t) \nonumber \]
Para obtener una composición continua tomamos el límite\(n\rightarrow\infty\) o, equivalentemente,\(h\rightarrow 0\text{.}\) Esto da
\[ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{B(t+h)-B(t)}{h} = \frac{r}{100}B(t) \qquad\text{or}\qquad \dfrac{dB}{dt}(t) = \frac{r}{100}B(t) \nonumber \]
Por Teorema 2.4.4, con\(a=\frac{r}{100}\) y\(b=0\text{,}\) (o Corolario 2.4.10 con\(k=-\frac{r}{100}\)),
\ comenzar {reunir*} B (t) =e^ {rt/100} B (0) =e^ {rt/100} P\ final {reunir*}
una vez más.
- Un banco anuncia que compone los intereses continuamente y que duplicará tu dinero en diez años. ¿Cuál es la tasa de interés anual?
- Un banco anuncia que se compone mensualmente y que duplicará tu dinero en diez años. ¿Cuál es la tasa de interés anual?
Solución: a) Que la tasa de interés sea\(r\%\) anual. Si empiezas con\(\$P\text{,}\) entonces después de\(t\) años, tienes\(Pe^{rt/100}\text{,}\) bajo capitalización continua. Esta fue la ecuación (2.4.25). Después de 10 años tienes\(Pe^{r/10}\text{.}\) Esto se supone que es\(2P\text{,}\) así
\ begin {align*} Pe^ {r/10} =2P\ quad &\ Longrightarrow\ quad e^ {r/10} =2\\ &\ Longrightarrow\ quad\ frac {r} {10} =\ log 2\ quad\ LongRightarrow\ quad r=10\ log2 =6.93\%\ end {align*}
b) Que la tasa de interés sea\(r\%\) anual. Si empiezas con\(\$P\text{,}\) entonces después de\(t\) años, tienes\(P\big(1+\frac{r}{100\times 12}\big)^{12 t}\text{,}\) menos de compuestos mensuales. Esto fue (2.4.23). Después de 10 años tienes\(P\big(1+\frac{r}{100\times 12}\big)^{120}\text{.}\) Esto se supone que es\(2P\text{,}\) así
\ begin {alinear*} &P\ grande (1+\ frac {r} {100\ veces 12}\ grande) ^ {120} =2P &&\ Longrightarrow\ quad\ grande (1+\ frac {r} {1200}\ grande) ^ {120} =2\\ &&&&\ LongRightarrow\ quad 1+\ frac {r} {1200} =2^ {1/120}\\ &&&\ Longrightarrow\ quad\ frac {r} {1200} =2^ {1/120} -1\\ &&&&\ Longrightarrow\ quad r=1200\ grande (2^ {1 /120} -1\ grande) =6.95\%\ end {align*}
A un egresado de la UBC de 25 años se le dan 50.000 dólares los cuales se invierten al 5% anual compuesto continuamente. El egresado también pretende depositar dinero de manera continua a razón de 2000 dólares anuales.
- Encontrar una ecuación diferencial que\(A(t)\) obedezca, asumiendo que la tasa de interés se mantiene 5%.
- Determinar la cantidad de dinero en la cuenta cuando el egresado tenga 65 años.
- A los 65 años, el egresado comenzará a retirar dinero de manera continua a razón de\(W\) dólares anuales. Si el dinero debe durar hasta que la persona esté 85, cuál es el mayor valor posible de\(W\text{?}\)
Solución: a\(A\)) Consideremos lo que sucede en un intervalo de tiempo muy corto de vez en cuando En\(t\) el\(t + \Delta t\text{.}\) momento en\(t\) que el saldo de la cuenta es\(A(t)\text{.}\) Durante el intervalo de tiempo especificado (realmente corto) el saldo permanece muy cerca\(A(t)\) y así gana interés de\(\frac{5}{100}\times\Delta t\times A(t)\text{.}\) Durante el mismo intervalo de tiempo, el egresado también deposita un So adicional\(\$ 2000\Delta t\text{.}\)
\ begin {align*} A (t+\ Delta t) &\ approx A (t) + 0.05 A (t)\ Delta t+ 2000\ Delta t\\ &\ implica\ frac {A (t+\ Delta t) - A (t)} {\ Delta t}\ approx 0.05 A (t) + 2000\ final {alinear*}
En el límite\(\Delta t\rightarrow 0\text{,}\) la aproximación se vuelve exacta y obtenemos
\[ \dfrac{dA}{dt}= 0.05 A+2000 \nonumber \]
b) La cantidad de dinero en el momento\(t\) obedece
\[ \dfrac{dA}{dt}= 0.05 A(t)+2,\!000=0.05\big(A(t)+40,\!000\big) \nonumber \]
Así por Teorema 2.4.4 (con\(a=0.05\) y\(b=-40,\!000\)),
\[ A(t)=\big(A(0)+40,\!000\big)e^{0.05 t} -40,\!000 \nonumber \]
En el tiempo 0 (cuando el egresado es 25),\(A(0)=50,\!000\text{,}\) por lo que la cantidad de dinero en el momento\(t\) es
\[ A(t)=90,\!000\, e^{0.05 t}-40,000 \nonumber \]
En particular, cuando el egresado tiene 65 años,\(t=40\) y
\[ A(40)=90,\!000\, e^{0.05 \times 40}-40,000=\text{\$625,015.05 } \nonumber \]
(c) Cuando el egresado deja de depositar dinero y en su lugar comienza a retirar dinero a una tasa,\(W\text{,}\) la ecuación para\(A\) se convierte
\[ \dfrac{dA}{dt}= 0.05 A-W= 0.05 (A-20 W) \nonumber \]
suponiendo que la tasa de interés se mantenga 5%. Esta vez, Teorema 2.4.4 (con\(a=0.05\) y\(b=20W\)) da
\[ A(t)=\big(A(0)-20W\big)e^{0.05 t} + 20W \nonumber \]
Si ahora reiniciamos nuestro reloj para que\(t=0\) cuando el egresado tenga 65 años,\(A(0)=625,015.05\text{.}\) entonces la cantidad de dinero en el momento\(t\) es
\[ A(t)=20W+ e^{0.05 t}(625,015.05-20W) \nonumber \]
Queremos que la cuenta se agote cuando el egresado tenga 85 años. Entonces, queremos\(A(20)=0\text{.}\) Este es el caso si
\ begin {align*} 20W+ e^ {0.05\ times 20} (625.015.05-20W) & =0\\\ implíes& 20W+ e (625.015.05-20W) =0\\\ implíos& 20 (e-1) W= 625.015.05e\\ implíos& W=\ frac {625.015.05e} {20 (e-20 (e-1) 1)} =\ $49,437.96\ end {align*}
Ejercicios
Recordemos que estamos usando\(\log x\) para denotar el logaritmo de\(x\) con base\(e\text{.}\) En otros cursos a menudo se denota\(\ln x\text{.}\)
Etapa 1
A continuación se presentan pares de funciones\(y=f(x)\) y ecuaciones diferenciales. Para cada par, decida si la función es una solución de la ecuación diferencial.
| función | ecuación diferencial | |
| (a) | \(y=5(e^x-3x^2-6x-6)\) | \(\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=y+15x^2\) |
| b) | \(y=\dfrac{-2}{x^2+1}\) | \(y'(x)=xy^2\) |
| c) | \(y=x^{3/2}+x\) | \(\displaystyle\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 + \dfrac{dy}{dx}=y\) |
Siguiendo la Definición 2.4.1, una ecuación diferencial separable tiene la forma
\[ \dfrac{dy}{dx}(x) = f(x)\ g\big(y(x)\big). \nonumber \]
Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones se puede escribir en esta forma, identificando\(f(x)\) y\(g(y)\text{.}\)
- \(3y\dfrac{dy}{dx}=x\sin y\)
- \(\dfrac{dy}{dx} = e^{x+y}\)
- \(\dfrac{dy}{dx}+1=x\)
- \(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2-2x\dfrac{dy}{dx}+x^2=0\)
Supongamos que tenemos las siguientes funciones:
- \(y\)es una función diferenciable de\(x\)
- \(f\)es una función de\(x\text{,}\) con\(\int f(x)\,\, d{x}=F(x)\)
- \(g\)es una función distinta de cero de\(y\text{,}\) con\(\int \frac{1}{g(y)} \,\, d{y}=G(y)=G(y(x))\text{.}\)
En el siguiente trabajo, configuramos una solución a la ecuación diferencial separable
\[ \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)=f(x)g(y(x))) \nonumber \]
sin usar el mnemotécnico de la Ecuación (\(\star\)).
Al eliminar alguna parte de nuestro trabajo, podemos crear la solución como se vería usando el mnemotécnico. ¿Qué porción se puede eliminar?
Comentario: el propósito de este ejercicio es iluminar para qué, exactamente, el mnemotécnico es un atajo. A pesar de su aspecto peculiar, concuerda con lo que ya sabemos sobre la integración.
\ comenzar {alinear*}\ dfrac {dy} {dx} &=f (x) g (y (x))\\\ final {alinear*}Dado que\(g(y(x))\) es una función distinta de cero, podemos dividir ambos lados por ella.
\ start {alinear*}\ frac {1} {g (y (x))}\ cdot\ dfrac {dy} {dx} &=f (x)\\\ final {alinear*}Si estas funciones de\(x\) son las mismas, entonces tienen el mismo antiderivado con respecto a\(x\text{.}\)
\ start {alinear*}\ int\ frac {1} {g (y (x))}\ cdot\ dfrac {dy} {dx}\,\, d {x} &=\ int f (x)\,\, d {x}\\ final {alinear*}La integral izquierda está en la forma correcta para un cambio de variables\(y\text{.}\) a Para que esto sea más fácil de ver, usaremos una\(u\) -sustitución, ya que es un poco más familiar que una\(y\) -sustitución. Si\(u=y\text{,}\) entonces es\(\dfrac{du}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\text{,}\) así\(\, d{u}=\dfrac{dy}{dx}\, d{x}\text{.}\)
\ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {g (u)}\,\, d {u} &=\ int f (x)\,\, d {x}\\\ end {alinear*}Ya que\(u\) fue justo lo mismo que de\(y\text{,}\) nuevo por razones estéticas, podemos cambiarlo de nuevo. (Formalmente, podrías haber saltado el paso anterior, solo lo incluimos para que quede muy claro que no estamos usando ninguna técnica de integración que no hayamos visto antes).
\ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {g (y)}\,\, d {y} &=\ int f (x)\,\, d {x}\\\ end {alinear*}Nos dan los antiderivados en cuestión.
\ start {alinear*} G (y) +C_1&=F (x) +C_2\\ G (y) &=F (x) + (C_2-C_1)\\\ final {alinear*}donde\(C_1\) y\(C_2\) son constantes arbitrarias. Entonces también\(C_2-C_1\) es una constante arbitraria, así que bien podríamos llamarla\(C\text{.}\)
\ comenzar {alinear*} G (y) &=F (x) +C\ final {alinear*}
Supongamos que\(y=f(x)\) es una solución a la ecuación diferencial\(\dfrac{dy}{dx}=xy\text{.}\)
Verdadero o falso: también\(f(x)+C\) es una solución, para cualquier constante\(C\text{.}\)
Supongamos que una función\(y=f(x)\) satisface\(|y| = Cx\text{,}\) alguna constante\(C \gt 0\text{.}\)
- ¿Cuál es el mayor dominio posible de\(f(x)\text{,}\) dada la información a la mano?
- Dé un ejemplo de función\(y=f(x)\) con las siguientes propiedades, o muestre que no existe ninguna:
- \(|y| = Cx\text{,}\)
- \(\dfrac{dy}{dx}\)existe para todos\(x \gt 0\text{,}\) y
- \(y \gt 0\)para algunos valores de\(x\text{,}\) y\(y \lt 0\) para otros.
Expresar la siguiente oración 12 como una ecuación diferencial. No hay que resolver la ecuación.
Alrededor del 0.3 por ciento de la cantidad total de morfina en el torrente sanguíneo se elimina cada minuto.
Supongamos que un cambio particular está ocurriendo en un idioma, de una forma antigua a una nueva forma. 13\(p(t)\) Sea la proporción (medida como un número entre 0, significando ninguno, y 1, significando todos) del tiempo que los hablantes usan la nueva forma. La ley 14 de Piotrowski predice lo siguiente.
El uso de la nueva forma a lo largo del tiempo se extiende a una tasa que es proporcional al producto de la proporción de la nueva forma y la proporción de la forma antigua.
Expresar esto como una ecuación diferencial. No es necesario resolver la ecuación diferencial.
Considerar la ecuación diferencial\(y'=\frac{y}{2}-1\text{.}\)
- Cuando\(y=0\text{,}\) lo que es\(y'\text{?}\)
- Cuando\(y=2\text{,}\) lo que es\(y'\text{?}\)
- Cuando\(y=3\text{,}\) lo que es\(y'\text{?}\)
- En los ejes de abajo, interprete las marcas que hemos hecho, y utilízalas para bosquejar una posible solución a la ecuación diferencial.
Considerar la ecuación diferencial\(y'=y-\frac{x}{2}\text{.}\)
- Si\(y(1)=0\text{,}\) lo que es\(y'(1)\text{?}\)
- Si\(y(1)=2\text{,}\) lo que es\(y'(1)\text{?}\)
- Si\(y(1)=-2\text{,}\) lo que es\(y'(1)\text{?}\)
- Dibuje un boceto similar al de la Pregunta 8 (d) que muestre las derivadas de\(y\) en los puntos con valores enteros para\(x\) in\([0,6]\) y\(y\) in\([-3,3]\text{.}\)
- Esbozar una posible gráfica de\(y\text{.}\)
Etapa 2
Encuentre la solución al problema del valor inicial separable:
\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ frac {2x} {e^y}, & y (0) =\ log 2\ end {align*}
Exprese su solución explícitamente como\(y = y(x)\text{.}\)
Encuentra la solución\(y(x)\) de\(\displaystyle\dfrac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^2+1}, \quad y(0)=3\text{.}\)
Resolver la ecuación diferencial\(y'(t)=e^{\frac{y}{3}}\cos t\text{.}\) Debe expresar la solución\(y(t)\) en términos de\(t\) explícitamente.
Resolver la ecuación diferencial
\[ \dfrac{dy}{dx} = x e^{x^2-\log(y^2)} \nonumber \]
Let\(y=y(x)\text{.}\) Encuentra la solución general de la ecuación diferencial\(y'=xe^y\text{.}\)
Encuentre la solución a la ecuación diferencial\(\displaystyle\frac{y y'}{e^x -2x} = \frac{1}{y}\) que satisfaga completamente a\(y(0) = 3\text{.}\) Solve en función de\(y\)\(x\text{.}\)
Encuentra la función\(y=f(x)\) que satisface
\ begin {reunir*}\ dfrac {dy} {dx} = -xy^3\ qquad\ text {y}\ qquad f (0) =-\ frac {1} {4}\ end {reunir*}
Encuentra la función\(y=y(x)\) que satisface\(y(1)=4\) y
\[ \dfrac{dy}{dx} = \frac{15x^2 + 4x + 3}{y} \nonumber \]
Encuentra la solución\(y(x)\) de\(y'=x^3y\) con\(y(0)=1\text{.}\)
Encuentra la solución del problema de valor inicial
\[ x\dfrac{dy}{dx} + y = y^2\qquad y(1) = -1 \nonumber \]
Una función siempre\(f(x)\) es positiva, tiene\(f(0)=e\) y satisface\(f'(x) = x\,f(x)\) para todos\(x\text{.}\) Encuentra esta función.
Resuelve el siguiente problema de valor inicial:
\ comenzar {reunir*}\ dfrac {dy} {dx} =\ frac {1} {(x^2+x) y}\ qquad y (1) =2\ fin {reunir*}
Encuentra la solución de la ecuación diferencial\(\displaystyle \frac{1+\sqrt{y^2-4}}{\tan x} y' = \frac{\sec x}y\) que satisface No\(y(0)=2\text{.}\) tienes que resolver\(y\) en términos de\(x\text{.}\)
La población de peces en un lago es atacada por una enfermedad en el momento\(t=0\text{,}\) con el resultado de que el tamaño\(P(t)\) de la población a la vez\(t\ge 0\) satisface
\ comenzar {reunir*}\ dfrac {dP} {dt} =-k\ sqrt {P}\ final {reunir*}
donde\(k\) es una constante positiva. Si inicialmente había 90,000 peces en el lago y 40.000 quedaron después de 6 semanas, ¿cuándo se reducirá la población de peces a 10,000?
Un objeto de masa\(m\) se proyecta recto hacia arriba en el momento\(t=0\) con velocidad inicial\(v_0\text{.}\) Mientras va hacia arriba, las únicas fuerzas que actúan sobre él son la gravedad (supuesta constante) y una fuerza de arrastre proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto\(v(t)\text{.}\) Se deduce que la ecuación diferencial de el movimiento es
\ comenzar {reunir*} m\ dfrac {dv} {dt} =- (mg+kv^2)\ end {reunir*}
donde\(g\) y\(k\) son constantes positivas. ¿A qué hora llega el objeto a su punto más alto?
Una lancha a motor viaja con una velocidad de 40 pies/seg cuando su motor se apaga en el momento\(t=0\text{.}\) A partir de entonces, su desaceleración debido a la resistencia al agua viene dada por
\ comenzar {reunir*}\ dfrac {dv} {dt} =-k\, v^2\ fin {reunir*}
donde\(k\) es una constante positiva. Después de 10 segundos, la velocidad de la embarcación es de 20 pies/seg.
- ¿Cuál es el valor de\(k\text{?}\)
- ¿Cuándo será la velocidad de la embarcación 5 pies/seg?
Considera el problema de valor inicial\(\dfrac{dx}{dt}= k(3-x)(2-x)\text{,}\)\(x(0)=1\text{,}\) donde\(k\) es una constante positiva. (Este tipo de problema ocurre en el análisis de ciertas reacciones químicas).
- Resolver el problema de valor inicial. Es decir, encontrar\(x\) en función de\(t\text{.}\)
- Qué valor\(x(t)\) abordará como\(t\) enfoques\(+\infty\text{.}\)
La cantidad\(P=P(t)\text{,}\) que es una función del tiempo\(t\text{,}\) satisface la ecuación diferencial
\ begin {reunir*}\ dfrac {dP} {dt} =4P-P^2\ end {reunir*}
y la condición inicial\(P(0)=2\text{.}\)
- Resuelve esta ecuación para\(P(t)\text{.}\)
- ¿Qué es\(P\) cuándo\(t=0.5\text{?}\) Cuál es el valor limitante de\(P\) como\(t\) se vuelve grande?
Un objeto que se mueve en un fluido tiene una velocidad inicial\(v\) de 400 m/min. La velocidad disminuye a una velocidad proporcional al cuadrado de la velocidad. Después de 1 minuto la velocidad es de 200 m/min.
- Dar una ecuación diferencial para la velocidad\(v=v(t)\) donde\(t\) está el tiempo.
- Resolver esta ecuación diferencial.
- ¿Cuándo se moverá el objeto a 50 m/min?
Etapa 3
Un inversionista coloca algo de dinero en un fondo mutuo donde el interés se compone continuamente y donde la tasa de interés fluctúa entre\(4\%\) y\(8\%\text{.}\) Supongamos que la cantidad de dinero\(B=B(t)\) en la cuenta en dólares después de\(t\) años satisface la ecuación diferencial
\ comenzar {reunir*}\ dfrac {dB} {dt} =\ grande (0.06+0.02\ sin t\ grande) B\ fin {reunir*}
- Resolver esta ecuación diferencial\(B\) como una función de\(t\text{.}\)
- Si la inversión inicial es\(\$1000\text{,}\) ¿cuál será el saldo al término de dos años?
Una dotación es una cuenta de inversión en la que el saldo idealmente permanece constante y los retiros se realizan sobre los intereses ganados por la cuenta. Dicha cuenta puede ser modelada por el problema de valor inicial\(B'(t) = aB - m\) para\(t \ge 0\text{,}\) con\(B(0) = B_0\). La constante\(a\) refleja la tasa de interés anual,\(m\) es la tasa anual de retiro, y\(B_0\) es el saldo inicial en la cuenta.
- Resuelva el problema de valor inicial con\(a = 0.02\) y\(B(0) = B_0 = \$30,000\text{.}\) tenga en cuenta que su respuesta depende de la constante\(m\text{.}\)
- ¿Si\(a = 0.02\) y\(B(0) = B_0 = \$30,000\text{,}\) cuál es la tasa de retiro anual\(m\) que asegura un saldo constante en la cuenta?
Una cierta función continua\(y=y(x)\) satisface la ecuación integral
\[ y(x)=3+\int_0^x\big(y(t)^2-3y(t)+2\big)\sin t \, d{t} \tag{$*$} \nonumber \]
para todos\(x\) en algún intervalo abierto que contiene\(0\text{.}\) Find\(y(x)\) y el intervalo más grande para el que se\((*)\) mantiene.
Un tanque de agua cilíndrico, de radio 3 metros y altura 6 metros, está lleno de agua cuando se perfora su fondo. El agua drena a través de un agujero de radio de 1 centímetro. Si
- \(h(t)\)es la altura del agua en el tanque en el momento\(t\) (en metros) y
- \(v(t)\)es la velocidad del agua que se escapa en el tiempo\(t\) (en metros por segundo) entonces
- La ley de Torricelli establece que\(v(t)=\sqrt{2gh(t)}\) dónde\(g=9.8\ {\rm m/sec^2}\text{.}\) Determina cuánto tiempo tarda el tanque en vaciarse.
Un tanque esférico de radio de 6 pies está lleno de mercurio cuando se abre un orificio circular de radio de 1 pulgada en la parte inferior. ¿Cuánto tiempo tardará todo el mercurio en drenar del tanque?
Usar el valor\(g=32\ {\rm feet}/{\rm sec}^2\text{.}\) También use la ley de Torricelli, que establece cuando la altura del mercurio en el tanque es\(h\text{,}\) la velocidad del mercurio que escapa del tanque es\(v=\sqrt{2gh}\text{.}\)
Considera la ecuación
\ begin {reunir*} f (x) =3+\ int_0^x\ grande (f (t) -1\ grande)\ grande (f (t) -2\ grande)\, d {t}\ end {reunir*}
- ¿Qué es\(f(0)\text{?}\)
- Encuentra la ecuación diferencial satisfecha por\(f(x)\text{.}\)
- Resolver el problema de valor inicial determinado en (a) y (b).
Se debe hacer un tanque de 2 m de altura con secciones transversales circulares con radio\(r=y^p\text{.}\) Aquí\(y\) mide la distancia vertical desde el fondo del tanque y\(p\) es una constante positiva a determinar. Se puede suponer que cuando el tanque drena, obedece a la ley de Torricelli, es decir
\ comenzar {reunir*} A (y)\ dfrac {dy} {dt} =-c\ sqrt {y}\ fin {reunir*}
para alguna constante\(c\) donde\(A(y)\) esta el área transversal del tanque a la altura\(y\text{.}\) Se desea que el tanque se construya de manera que la mitad superior (\(y=2\)a\(y=1\)) tome exactamente la misma cantidad de tiempo para drenar que la mitad inferior (\(y=1\)a\(y=0\)). Determinar el valor de\(p\) para que el tanque tenga esta propiedad. Nota: no es posible ni necesario encontrar\(c\) para esta pregunta.
Supongamos que\(f(t)\) es una función continua, diferenciable y la raíz\(f(t)\) cuadrática media de on\([a,x]\) es igual al promedio de\(f(t)\) on\([a,x]\) para todos Es\(x\text{.}\) decir,
\[ \frac{1}{x-a}\int_a^xf(t)\,\,d(t)=\sqrt{\frac{1}{x-a}\int_a^x f^2(t)\,\, d{t}}\tag{$*$} \nonumber \]
Usted puede asumir\(x \gt a\text{.}\)
- Adivina una función\(f(t)\) para la cual el promedio de\(f(t)\) es el mismo que el cuadrado medio de raíz de\(f(t)\) en cualquier intervalo.
- Diferenciar ambos lados de la ecuación dada.
- Simplifica tu respuesta de (b) usando la ecuación (\(*\)) para reemplazar todos los términos que contienen\(\int_a^x f^2(t)\,\, d{t}\) por términos que contienen\(\int_a^x f(t)\,\, d{t}\text{.}\)
- Que\(Y(x) = \int_a^x f(t)\,\, d{t}\text{,}\) así la ecuación de (c) se convierta en una ecuación diferencial. Encuentra todas las funciones que lo satisfagan.
- ¿Qué es\(f(t)\text{?}\)
Encuentra la función de\(y(x)\) tal manera que
\[ \frac{d^{2}}{dx^{2}}=\frac{2}{y^3}\cdot\dfrac{dy}{dx} \nonumber \]
y si\(x=-\frac{1}{16}\log 3\text{,}\) entonces\(y=1\) y\(\dfrac{dy}{dx}=3\text{.}\)
No es necesario resolver para\(y\) explícitamente.
- Mira el lado derecho de la ecuación. La dependencia x se separa de la dependencia y. Esa es la razón del nombre “separable”.
- Willard Libby, de la Universidad de Chicago, fue galardonado con el Premio Nobel de Química en 1960, por desarrollar la datación por radiocarbono.
- La transición precisa es\({}^{14}C\rightarrow {}^{14}N+ e^- + \bar{\nu}_e\) where \(e^-\) is an electron and \(\bar{\nu}_e \) is an electron neutrino.
- El Museo Británico tiene un texto matemático egipcio del siglo XVII a.C.
- No funciona tan bien cuando el objeto es de un tamaño similar a su entorno ya que la temperatura del entorno subirá a medida que el objeto se enfríe. También falla cuando hay transiciones de fase involucradas —por ejemplo, un cubo de hielo que se derrite en una habitación cálida no obedece la ley de Newton de enfriamiento.
- Esto lleva el nombre del reverendo Thomas Robert Malthus. Describió este modelo en un artículo de 1798 llamado “Un ensayo sobre el principio de población”.
- Es decir, la población tiene abundante comida y espacio para crecer.
- La Revisión 2015 de la Población Mundial, una publicación de las Naciones Unidas, predice que la población mundial en 2100 será de alrededor de 11 mil millones. Pero “sobre” cubre una gama bastante grande. Dan un intervalo de confianza del 80% y 80% que va de 10 mil millones a 12.5 mil millones.
- La población mundial realmente alcanzó los 6 mil millones en aproximadamente 1999.
- Sin juego de palabras intencionado (lo siento).
- Hay bancos que anuncian la composición continua. Puedes encontrar algunos buscando en Google “los intereses se agravan continuamente y se pagan”
- La sentencia está parafraseada del sitio web Pharmakokinetics de la Université de Lausanne, Elimination Kinetics. La vida media de la morfina se da en el mismo sitio web. Accedido 12 agosto 2017.
- Un ejemplo es el cambio en alemán de “wollt” a “wollst” para la conjugación en segunda persona del verbo “wollen”. Este ejemplo lo proporciona el sitio Leyes en Lingüística Cuantitativa, Cambio en el Lenguaje, consultado el 18 de agosto de 2017.
- La ley de Piotrowski se parafrasea de la página Piotrowski-Gesetz en Glottopedia, consultada el 18 de agosto de 2017. Según esta fuente, la ley se basó en el trabajo de la pareja casada R. G. Piotrowski y A. A. Piotrowskaja, posteriormente generalizada por G. Altmann.