3.4: Convergencia Absoluta y Condicional
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Ahora hemos visto ejemplos de series que convergen y de series que divergen. Pero en realidad no hemos discutido cuán robusta es la convergencia de series —es decir, podemos ajustar los coeficientes de alguna manera mientras dejamos la convergencia sin cambios. Un buen ejemplo de esto es la serie
\ comenzar {reunir*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^n\ end {reunión*}
Se trata de una serie geométrica simple y sabemos que converge. También hemos visto, como nos mostraron los ejemplos 3.3.20 y 3.3.21, que podemos multiplicar o dividir el\(n^{\rm th}\) término por\(n\) y seguirá convergiendo. Incluso podemos multiplicar el\(n^{\rm th}\) término por\((-1)^n\) (convirtiéndolo en una serie alterna), y seguirá convergiendo. Bastante robusto.
Por otro lado, hemos explorado bastante la serie Harmonic y sus parientes y sabemos que es mucho más delicada. Mientras
\ comenzar {reunir*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {1} {n}\ fin {reunir*}
diverge, también sabemos que convergen las dos series siguientes:
\ begin {alinear*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {1} {n^ {1.00000001}} &&\ sum_ {n=1} ^\ infty (-1) ^n\ frac {1} {n}. \ end {alinear*}
Esto sugiere que la divergencia de la serie Harmonic es mucho más delicada. En esta sección, discutimos una manera de caracterizar este tipo de convergencia delicada —especialmente ante la presencia de cambios de signo—.
Definiciones
- \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\)Se dice que una serie converge absolutamente si la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) converge.
- Si\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) converge pero\(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) diverge decimos que\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) es condicionalmente convergente.
Si considera estas definiciones por un momento, debe quedar claro que la convergencia absoluta es una condición más fuerte que la simple convergencia. Todos los términos en\(\sum_n |a_n|\) se ven obligados a ser positivos (por los signos de valor absoluto), por lo que\(\sum_n |a_n|\) debe ser mayor que\(\sum_n a_n\) — facilitando\(\sum_n |a_n|\) la divergencia. Esto es formalizado por el siguiente teorema, que es una consecuencia inmediata de la prueba de comparación, Teorema 3.3.8.a, con\(c_n=|a_n|\text{.}\)
Si la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|\) converge entonces la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\) también converge. Es decir, la convergencia absoluta implica convergencia.
Recordemos que algunas de nuestras pruebas de convergencia (por ejemplo, la prueba integral) solo pueden aplicarse a series con términos positivos. El teorema 3.4.2 abre la posibilidad de aplicar pruebas de convergencia “solo positivas” a series cuyos términos no son todos positivos, comprobando la “convergencia absoluta” en lugar de la “convergencia” simple.
La serie armónica alterna\(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) del Ejemplo 3.3.15 converge (mediante la prueba de series alternas). Pero la serie armónica\(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\) del Ejemplo 3.3.6 diverge (por la prueba integral). Entonces la serie armónica alterna\(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) converge condicionalmente.
Debido a que la serie\(\sum_{n=1}^\infty\big|(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}\big| =\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\) del Ejemplo 3.3.6 converge (por la prueba integral), la serie\(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}\) converge absolutamente, y por lo tanto converge.
Imagina voltear una moneda infinitamente muchas veces. Establecer\(\sigma_n=+1\) si el\(n^{\mathrm th}\) flip sale de cabeza y\(\sigma_n=-1\) si el\(n^{\mathrm th}\) flip sale colas. La serie no\(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{\sigma_n}\frac{1}{n^2}\) es en general una serie alterna. Pero sabemos que la serie\(\sum_{n=1}^\infty\big|(-1)^{\sigma_n}\frac{1}{n^2}\big| =\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\) converge. Así\(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{\sigma_n}\frac{1}{n^2}\) converge absolutamente, y por lo tanto converge.
Opcional — La delicadeza de las series condicionalmente convergentes
Las series condicionalmente convergentes tienen que ser tratadas con mucho cuidado. Por ejemplo, cambiar el orden de los términos en una suma finita no cambia su valor.
\[ 1+2+3+4+5+6 = 6+3+5+2+4+1 \nonumber \]
Lo mismo es cierto para las series absolutamente convergentes. Pero no es cierto para las series condicionalmente convergentes. De hecho al reordenar cualquier serie condicionalmente convergente, puedes hacer que se sume a cualquier número que te guste, incluyendo\(+\infty\) y\(-\infty\text{.}\) Este resultado muy extraño se conoce como el teorema de reordenamiento de Riemann, que lleva el nombre de Bernhard Riemann (1826—1866). El siguiente ejemplo ilustra el fenómeno.
La serie armónica alterna
\ comenzar {reunir*}\ sum_ {n=1} ^\ infty (-1) ^ {n-1}\ frac {1} {n}\ end {reunir*}
es un muy buen ejemplo de convergencia condicional. Podemos mostrar, de manera bastante explícita, cómo podemos reorganizar los términos para que sume dos números diferentes. Posteriormente, en el Ejemplo 3.5.20, mostraremos que esta serie es igual a\(\log 2\text{.}\) Sin embargo, reordenando los términos podemos hacer que se sume a\(\frac{1}{2}\log 2\text{.}\) El orden habitual es
\ begin {reunir*}\ frac {1} {1} -\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3} -\ frac {1} {4} +\ frac {1} {5} -\ frac {1} {6} +\ cdots\ end {reunir*}
Por el momento piensa en los términos que se emparejan de la siguiente manera:
\ begin {reunir*}\ izquierda (\ frac {1} {1} -\ frac {1} {2}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {3} -\ frac {1} {4}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {5} -\ frac {1} {6}\ derecha) +\ cdots\ end {recolección*}
por lo que los denominadores van pares-impares impares. Ahora reorganice los términos para que los denominadores sean impares, pares, pares, pares, pares:
\ begin {reunir*}\ izquierda (1 -\ frac {1} {2} -\ frac {1} {4}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {3} -\ frac {1} {6} -\ frac {1} {8}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {5} -\ frac {1} {10} -\ frac {1} {12}\ derecha) +\ cdots\ end {reunir*}
Ahora fíjense que el primer término en cada triple es exactamente el doble del segundo término. Si ahora combinamos esos términos obtenemos
\[\begin{align*} &\phantom{=}\left( \underbrace{1 - \frac{1}{2}}_{=1/2} -\frac{1}{4} \right) + \left(\underbrace{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}}_{=1/6} - \frac{1}{8} \right) + \left(\underbrace{\frac{1}{5} - \frac{1}{10}}_{=1/10} - \frac{1}{12} \right) + \cdots\\ &= \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \right) + \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{12} \right) + \cdots\\ \\ \end{align*}\]Ahora podemos extraer un factor\(\frac{1}{2}\) de cada término, por lo que
\ begin {align*} &=\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {1} {1} -\ frac {1} {2}\ derecha) +\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {1} {3} -\ frac {1} {4}\ derecha) +\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {1} {5} -\ frac {1} {6}\ derecha) +\ cdots\\ &=\ frac {1} {2}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {1} {1} -\ frac {1} {2}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} {3} -\ frac {1} {4}\ derecha) +\ izquierda (\ frac {1} { frac {1} {5} -\ frac {1} {6}\ derecha) +\ cdots\ derecha]\ end {alinear*}Entonces, reordenando los términos, ¡la suma de la serie es ahora exactamente la mitad de la suma original!
De hecho, podemos ir aún más lejos, y mostrar cómo podemos reorganizar los términos de la serie armónica alterna para sumar a cualquier número 1 dado. A los efectos del ejemplo que hemos elegido\(1.234\text{,}\) pero realmente podría ser cualquier número. El siguiente ejemplo puede ser formalizado para dar una prueba del teorema del reordenamiento.
Mostraremos cómo reordenar la serie condicionalmente convergente para\(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) que se sume exactamente\(1.234\) (pero el lector debe tener en cuenta que cualquier número fijo funcionará).
- Primero cree dos listas de números — la primera lista que consiste en los términos positivos de la serie, en orden, y la segunda que consiste en los números negativos de la serie, en orden.
\ begin {alinear*} 1,\\ frac {1} {3},\\ frac {1} {5},\\ frac {1} {7},\\ cdots &&\ text {y} && -\ frac {1} {2},\ -\ frac {1} {4},\ -\ frac {1} {6},\ cdots\ end {align*}
- Observe que si sumamos los números en la segunda lista, obtenemos
\ begin {reunir*} -\ frac {1} {2}\ Grande [1+\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3} +\ cdots\ Grande]\ end {reunir*}
que es solo\(-\frac{1}{2}\) veces la serie armónica. Entonces los números de la segunda lista suman\(-\infty\text{.}\)
Además, si sumamos los números en la primera lista, obtenemos
\ begin {reunir*} 1+\ frac {1} {3} +\ frac {1} {5} +\ frac {1} {7}\ cdots\ quad\ text {que es mayor que}\ quad\ frac {1} {2} +\ frac {1} {4} +\ frac {1} {6} +\ frac {1} {8} +\ cdots\ end {reunir*}
Es decir, la suma del primer conjunto de números debe ser mayor que la suma del segundo conjunto de números (que es solo\(-1\) veces la segunda lista). Así que los números de la primera lista suman\(+\infty\text{.}\)
- Ahora construimos nuestra serie reordenada. Comience moviendo los números suficientes del comienzo de la primera lista a la serie reordenada para obtener una suma mayor que\(1.234\text{.}\)
\[ 1+\frac{1}{3} = 1.3333 \nonumber \]
Sabemos que podemos hacer esto, porque la suma de los términos en la primera lista diverge a\(+\infty\text{.}\) - A continuación mueve los números suficientes del inicio de la segunda lista a la serie reordenada para obtener un número menor a 1.234.
\[ 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} = 0.8333 \nonumber \]
Nuevamente, sabemos que podemos hacer esto porque la suma de los números en la segunda lista diverge a\(-\infty\text{.}\) - A continuación mueve los números suficientes desde el inicio de la parte restante de la primera lista a la serie reordenada para obtener un número mayor que 1.234.
\[ 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} +\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9} = 1.2873 \nonumber \]
Nuevamente, esto es posible porque la suma de los números en la primera lista diverge. A pesar de que ya hemos utilizado los primeros números, la suma del resto de la lista seguirá divergiendo. - A continuación mueve los números suficientes del inicio de la parte restante de la segunda lista a la serie reordenada para obtener un número menor a 1.234.
\[ 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} +\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9} -\frac{1}{4} = 1.0373 \nonumber \]
- En este punto la idea es clara, solo sigue así. Al final de cada paso, la diferencia entre la suma y 1.234 es menor que la magnitud del primer número no utilizado en las listas. Dado que los números en ambas listas tienden a cero a medida que vas más y más arriba en la lista, este procedimiento generará una serie cuya suma es exactamente 1.234. Dado que en cada paso eliminamos al menos un número de una lista y alternamos entre las dos listas, la serie reordenada contendrá todos los términos de\(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\text{,}\) cada término apareciendo exactamente una vez.
Ejercicios
Etapa 1
Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si es falso, proporcione un contraejemplo. Si es cierto proporcionar una breve justificación.
- Si\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n\) converge, entonces\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) también converge.
Describir las series en\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\) función de si\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\)\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|\) convergen o divergen, utilizando el vocabulario de esta sección cuando sea posible.
| \(\sum a_n\)converge | \(\sum a_n\)diverge | |
| \(\sum |a_n|\)converge | ||
| \(\sum |a_n|\)diverge |
Etapa 2
Determina si la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{(-1)^n}{9n+5}\) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente; justifica tu respuesta.
Determinar si la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n+1}}{1+n}\) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.
La serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1+4^n}{3+2^{2n}}\) ya sea:
- converge absolutamente;
- converge condicionalmente;
- diverge;
- o ninguno de los anteriores.
Determinar cuál es la correcta.
¿La serie\(\displaystyle \sum_{n=5}^\infty \frac{\sqrt{n}\cos n}{n^2-1}\) converge condicionalmente, converge absolutamente o diverge?
Determinar (¡con justificación!) si la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^2-\sin n}{n^6+n^2}\) converge absolutamente, converge pero no absolutamente, o diverge.
Determinar (¡con justificación!) si la serie\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2n)!}{(n^2+1)(n!)^2}\) converge absolutamente, converge pero no absolutamente, o diverge.
Determinar (¡con justificación!) si la serie\(\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n(\log n)^{101}}\) converge absolutamente, converge pero no absolutamente, o diverge.
Demuestre que la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n}{n^2}\) converge.
Demuestre que la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\sin n}{4}-\frac{1}{8}\right)^n\) converge.
Demuestre que la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\sin^2 n - \cos^2 n+\tfrac12}{2^n}\) converge.
Etapa 3
Ambas partes de esta pregunta se refieren a la serie\(\displaystyle S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}24n^2 e^{-n^3}\text{.}\)
- Demuestre que la serie\(S\) converge absolutamente.
- Supongamos que aproxima la serie\(S\) por su quinta suma parcial\(S_5\text{.}\) Da un límite superior para el error resultante de esta aproximación.
Usted podrá asumir sin prueba lo siguiente:
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} = \cos(1) \nonumber \]
Usando este hecho, aproximado\(\cos 1\) como un número racional, exacto dentro\(\frac1{1000}\text{.}\)
Verifique su respuesta con la aproximación de una calculadora de\(\cos(1)\text{:}\) cuál fue su error real?
Dejar\(a_n\) ser definido como
\[ a_n=\begin{cases} -e^{n/2} & \text{ if $n$ is prime}\\ n^2 & \text{ if $n$ is not prime} \end{cases} \nonumber \]
Demuestre que la serie\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{e^n}\) converge.
- Esto es una reminiscencia del truco contable de empujar todas las deudas de la compañía al próximo año para que las cuentas de este año se vean realmente bien y puedas cobrar tu bono.