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3.5: Serie Power

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    119264
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    Volvamos a la serie geométrica simple

    \ comenzar {reunir*}\ suma_ {n=0} ^\ infty x^n\ final {reunir*}

    donde\(x\) hay algún número real. Como hemos visto (de vuelta en el Ejemplo 3.2.4 y Lemma 3.2.5), para\(|x| \lt 1\) esta serie converge a un límite, que varía con\(x\text{,}\) mientras que para\(|x|\geq 1\) la serie diverge. En consecuencia, podemos considerar esta serie como una función de\(x\)

    \ begin {align*} f (x) &=\ sum_ {n=0} ^\ infty x^n &\ text {en el dominio $|x|\ lt 1$}. \ end {alinear*}

    Además (también del Ejemplo 3.2.4 y Lema 3.2.5) sabemos cuál es la función.

    \ begin {alinear*} f (x) &=\ sum_ {n=0} ^\ infty x^n =\ frac {1} {1-x}. \ end {alinear*}

    De ahí que podamos considerar la serie\(\sum_{n=0}^\infty x^n\) como una nueva forma de representar la función\(\frac{1}{1-x}\) cuando\(|x| \lt 1\text{.}\) Esta serie es un ejemplo de una serie de potencia.

    Por supuesto, representar una función tan simple como\(\frac{1}{1-x}\) por una serie no parece que vaya a hacer la vida más fácil. Sin embargo, la idea de representar una función por una serie resulta sumamente útil. Las series Power resultan ser objetos matemáticos muy robustos e interactúan muy bien no solo con operaciones aritméticas estándar, sino también con diferenciación e integración (ver Teorema 3.5.13). Esto significa, por ejemplo, que

    \[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left\{\frac{1}{1-x}\right\} &= \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^\infty x^n & \text{provided $|x| \lt 1$}\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dx} x^n & \text{just differentiate term by term}\\ &= \sum_{n=0}^\infty n x^{n-1}\\ \end{align*}\]

    y de una manera muy similar

    \ begin {alinear*}\ int\ frac {1} {1-x}\, d {x} &=\ int\ suma_ {n=0} ^\ infty x^n\, d {x} &\ text {proporcionado $|x|\ lt 1$}\\ &=\ sum_ {n=0} ^\ infty\ int x^n\, d {x} &\ text {simplemente integrar término por término}\\ &= C +\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {1} {n+1} x^ {n+1}\ end {align*}

    Estamos ocultando algunas matemáticas bajo la palabra “justo” en lo anterior, pero se puede ver que una vez que tenemos una representación en serie de poder de una función, la diferenciación y la integración se vuelven muy sencillas.

    Por lo que debemos establecer como nuestro objetivo para esta sección, el desarrollo de maquinaria para definir y entender las series de potencia. Esto nos permitirá responder preguntas 1 me gusta

    \ begin {alinear*}\ texto {Es}\ e^x &=\ suma\ límites_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^n} {n!} \ texto {? }\ end {alinear*}

    Nuestro punto de partida (ahora que nos hemos equipado con ideas básicas sobre series), es la definición de series de poder.

    Definiciones

    Definición 3.5.1

    Una serie de la forma

    \[ A_0 +A_1(x-c) + A_2(x-c)^2 + A_3 (x-c)^3 + \cdots =\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n \nonumber \]

    se llama una serie de potencia en\((x-c)\) o una serie de potencia centrada en\(c\). \(A_n\)Los números se denominan los coeficientes de la serie de potencia.

    A menudo se considera la serie de potencia centrada en\(c=0\) y luego la serie se reduce a

    \[ A_0 +A_1 x + A_2 x^2 + A_3 x^3 + \cdots =\sum_{n=0}^\infty A_n x^n \nonumber \]

    Por ejemplo\(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) es la serie de potencias con\(c=0\) y\(A_n=\frac{1}{n!}\text{.}\) Típicamente, como en ese caso, a los coeficientes\(A_n\) se les dan números fijos, pero el “\(x\)” debe pensarse como una variable. Por lo tanto, cada serie de potencia es realmente una familia completa de series, una serie diferente para cada valor de\(x\text{.}\)

    Un valor posible de\(x\) es\(x=c\) y luego la serie reduce 2 a

    \ begin {alinear*}\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n (x-c) ^n\ Big|_ {x=c} &=\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n (c-c) ^n\\ &=\ underbrackets {A_0} _ {n=0} +\ underbrackets {0} _ {n=1} +\ underbrackets {0} _ {n=2} +\ underbrackets {0} _ {n=3} +\ cdots\ end {alinear*}

    y así simplemente converge a\(A_0\text{.}\)

    Ahora sabemos que una serie de potencias converge cuando ahora\(x=c\text{.}\) podemos usar nuestras pruebas de convergencia para determinar para qué otros valores de\(x\) la serie converge. Quizás lo más sencillo es la prueba de relación. El\(n^{\rm th}\) término en la serie\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\) es\(a_n=A_n(x-c)^n\text{.}\) Para aplicar la prueba de ratio necesitamos calcular el límite

    \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {a_ {n+1}} {a_n}\ derecha| &=\ lim_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {A_ {n+1} (x-c) ^ {n+1}} {a_n (x-c) ^n}\ derecha|\ &= lim_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ derecha|\ cdot |x-c|\\ &= |x-c|\ cdot\ lim_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ derecha|. \ end {alinear*}

    Cuando lo hacemos hay varios resultados posibles.

    • Si el límite de proporciones existe y es distinto de cero

      \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Big|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ Big| &= A\ neq 0,\ end {alinear*}

      entonces la prueba de relación dice que la serie\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\)

      • converge cuando\(A \cdot |x-c| \lt 1\text{,}\) es decir, cuándo\(|x-c| \lt \frac{1}{A}\text{,}\) y
      • diverge cuando\(A \cdot |x-c| \gt 1\text{,}\) es decir, cuando\(|x-c| \gt \frac{1}{A}\text{.}\)

      Debido a esto, cuando existe el límite, la cantidad

      Ecuación 3.5.2 Radio de convergencia

      \[\begin{align*} R&=\frac{1}{A} =\bigg[\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big|\bigg]^{-1} \end{align*}\]

      se llama el radio de convergencia de la serie 3.

    • Si el límite de proporciones existe y es cero

      \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Big|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ Big| &= 0\ end {align*}

      entonces\(\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big||x-c| =0\) para cada\(x\) y la prueba de ratio nos dice que la serie\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\) converge para cada número\(x\text{.}\) En este caso decimos que la serie tiene un radio infinito de convergencia.
    • Si el límite de proporciones diverge a\(+\infty\)

      \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Big|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ Big| &= +\ infty\ end {alinear*}

      entonces\(\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big||x-c| =+\infty\) por cada\(x\ne c\text{.}\) La prueba de ratio entonces nos dice que la serie\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\) diverge para cada número\(x\ne c\text{.}\) Como hemos visto anteriormente, cuando\(x=c\text{,}\) la serie se reduce a\(A_0+0+0+0+0+\cdots\text{,}\) lo que por supuesto converge. En este caso decimos que la serie tiene radio de convergencia cero.
    • Si\(\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big|\) no se acerca a un límite ya que\(n\rightarrow\infty\text{,}\) entonces no aprendemos nada de la prueba de ratio y debemos utilizar otras herramientas para entender la convergencia de la serie.

    Todas estas posibilidades sí suceden. Damos un ejemplo de cada uno a continuación. Pero primero, el concepto de “radio de convergencia” es lo suficientemente importante como para asegurar una definición formal.

    Definición 3.5.3
    1. Vamos\(0 \lt R \lt \infty\text{.}\) Si\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\) converge para\(|x-c| \lt R\text{,}\) y diverge para\(|x-c| \gt R\text{,}\) entonces decimos que la serie tiene radio de convergencia\(R\text{.}\)
    2. Si\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\) converge por cada número\(x\text{,}\) decimos que la serie tiene un radio infinito de convergencia.
    3. Si\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-c)^n\) diverge por cada\(x\ne c\text{,}\) decimos que la serie tiene radio de convergencia cero.
    Ejemplo 3.5.4 Radio de convergencia finito distinto de cero

    Ya sabemos que, si\(a\ne 0\text{,}\) la serie geométrica\(\sum\limits_{n=0}^\infty a x^n\) converge cuando\(|x| \lt 1\) y diverge cuando\(|x|\ge 1\text{.}\) Así, en la terminología de Definición 3.5.3, la serie geométrica tiene radio de convergencia\(R=1\text{.}\) Como comprobación de consistencia, también podemos calcular\(R\) usando 3.5.2. La serie\(\sum\limits_{n=0}^\infty a x^n\) tiene\(A_n=a\text{.}\) So

    \[ R=\bigg[\lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big|\bigg]^{-1} =\Big[\lim_{n\rightarrow\infty}1\Big]^{-1} =1 \nonumber \]

    como se esperaba.

    Ejemplo 3.5.5 Radio de convergencia =\(+\infty\)

    La serie\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) tiene\(A_n=\frac{1}{n!}\text{.}\) So

    \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Big|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ Big| &=\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {\ frac {1} {(n+1)!}} {\ frac {1} {n!}} \\ & =\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {n!} {(n+1)!} \\ & =\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1\ times 2\ times 3\ times\ cdots\ times n} {1\ times 2\ times 3\ times\ cdots\ times n\ times (n+1)}\\ &=\ lim_ {n\ rightarrow\ infty}\ frac {1} {n+1}\ &=0 {alinear*}

    y\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) tiene radio de convergencia\(\infty\text{.}\) Converge para cada\(x\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.6 Radio de convergencia = 0

    La serie\(\sum\limits_{n=0}^\infty n! x^n\) tiene\(A_n=n!\text{.}\) So

    \ begin {alinear*}\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ Big|\ frac {A_ {n+1}} {a_n}\ Big| &=\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {(n+1)!} {n!} =\ lim_ {n\ fila derecha\ infty}\ frac {1\ times 2\ times 3\ times 4\ times\ cdots\ times n\ times (n+1)} {1\ times 2\ times 3\ times 4\ times\ cdots\ times n}\\ &=\ lim_ {n\ rightarrow\ infty} (n+1)\\ &=+\ infty\ end {alinear*}

    y\(\sum\limits_{n=0}^\infty n! x^n\) tiene radio de convergencia cero 4. Converge sólo por\(x=0\text{,}\) donde toma el valor\(0!=1\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.7 Una serie incómoda para probar

    Comparando la serie

    \ begin {alignat*} {7} &\ 1&+&\ 2x&+&x^2&+&2x^3&+&x^4&+&2x^5&+\ cdots\\\\ end {alinear*}

    a

    \ begin {alignat*} {7}\ suma_ {n=1} ^\ infty a_nx^n=&a_0&+&a_1x&+&a_2x^2&+&a_3x^3&+&a_4x^4&+&a_5x^5&+\ cdots\ end {alignat*}

    vemos que

    \ begin {alignat*} {7} A_0&=1&\ quad A_1&=2&\ quad A_2&=1&\ quad A_3&=2&\ quad A_4&=1&\ quad A_5&=2&\ quad\ cdots\\ end {alignat*}

    para que

    \ begin {alignat*} {7} & &\ frac {A_1} {A_0} &=2&\ qquad\ frac {A_2} {A_1} &=\ frac {1} {2} &\ qquad\ frac {A_3} {A_2} &=2&\ qquad\ frac {A_4} {A_3} &=\ frac {1} 2} &\ qquad\ frac {A_5} {A_4} &=2&\ qquad\ cdots\ end {alignat*}

    y\(\frac{A_{n+1}}{A_n}\) no converge como\(n\rightarrow\infty\text{.}\) Dado que el límite de los ratios no existe, no podemos decir nada de la prueba de ratio. Sin embargo, todavía podemos averiguar para cuál\(x\) es nuestra serie de potencia converge.

    • Debido a que cada coeficiente\(A_n\) es 1 o 2, el\(n^{\rm th}\) término de nuestra serie obedece

      \[ \big|A_nx^n\big|\le 2 |x|^n \nonumber \]

      y así es menor que el\(n^{\rm th}\) término en la serie geométrica\(\sum_{n=0}^\infty 2|x|^n\text{.}\) Esta serie geométrica converge si\(|x| \lt 1\text{.}\) Así, por la prueba de comparación, nuestra serie converge para\(|x| \lt 1\) también.
    • Como cada\(A_n\) es al menos uno, el\(n^{\rm th}\) término de nuestra serie obedece

      \[ \big|A_nx^n\big|\ge |x|^n \nonumber \]

      Si\(|x|\ge 1\text{,}\) esto\(a_n=A_n x^n\) no puede converger a cero como\(n\rightarrow\infty\text{,}\) y nuestra serie diverge por la prueba de divergencia.

    En conclusión, nuestra serie converge si y solo si\(|x| \lt 1\text{,}\) y así tiene radio de convergencia\(1\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.8 Una serie de\(\pi\)

    Vamos a construir una serie a partir de los dígitos de\(\pi\text{.}\) Ahora para evitar dividir por cero, vamos a establecer

    \ begin {align*} a_n &= 1 +\ text {el $n^\ mathrm {th} $ dígito de $\ pi$}\ end {align*}

    Desde\(\pi = 3.141591\dots\)

    \ begin {reunir*} A_0 = 4\ quad A-1 = 2\ quad A_2 = 5\ quad A_3 = 2\ quad A_4 = 6\ quad A_5 = 10\ quad A_6 = 2\ quad\ cdots\ end {reunir*}

    En consecuencia cada\(A_n\) es un número entero entre 1 y 10 y nos da la serie

    \[ \sum_{n=0}^\infty A_n x^n = 4 + 2x + 5x^2 + 2x^3 + 6x^4 +10 x^5 + \cdots \nonumber \]

    El número\(\pi\) es irracional 5 y consecuentemente la relación\(\frac{A_{n+1}}{A_n}\) no puede tener un límite como\(n\rightarrow\infty\text{.}\) Si no entiendes por qué este es el caso entonces no te preocupes demasiado por ello 6. Al igual que en el último ejemplo, el límite de los ratios no existe y no podemos decir nada de la prueba de ratio. Pero aún podemos averiguar para cuál\(x\) es converge.

    • Debido a que cada coeficiente no\(A_n\) es mayor (en magnitud) que 10, el\(n^{\rm th}\) término de nuestra serie obedece

      \[ \big|A_nx^n\big|\le 10 |x|^n \nonumber \]

      y así es menor que el\(n^{\rm th}\) término en la serie geométrica\(\sum_{n=0}^\infty 10|x|^n\text{.}\) Esta serie geométrica converge si\(|x| \lt 1\text{.}\) Así, por la prueba de comparación, nuestra serie converge para\(|x| \lt 1\) también.
    • Como cada\(A_n\) es al menos uno, el\(n^{\rm th}\) término de nuestra serie obedece

      \[ \big|A_nx^n\big|\ge |x|^n \nonumber \]

      Si\(|x|\ge 1\text{,}\) esto\(a_n=A_n x^n\) no puede converger a cero como\(n\rightarrow\infty\text{,}\) y nuestra serie diverge por la prueba de divergencia.

    En conclusión, nuestra serie converge si y solo si\(|x| \lt 1\text{,}\) y así tiene radio de convergencia\(1\text{.}\)

    Aunque no lo vamos a probar, es cierto que cada serie de potencias tiene un radio de convergencia,\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big|\) exista o no el límite.

    Teorema 3.5.9

    Let\(\sum\limits_{n=0}^\infty A_n (x-c)^n\) Be a power series. Entonces debe sostenerse una de las siguientes alternativas.

    1. La serie de potencia converge para cada número\(x\text{.}\) En este caso decimos que el radio de convergencia es\(\infty\text{.}\)
    2. Hay un número\(0 \lt R \lt \infty\) tal que la serie converge para\(|x-c| \lt R\) y diverge para\(|x-c| \gt R\text{.}\) Entonces\(R\) se llama el radio de convergencia.
    3. La serie converge para\(x=c\) y diverge para todos\(x\ne c\text{.}\) En este caso, decimos que el radio de convergencia es\(0\text{.}\)
    Definición 3.5.10

    Considere la serie de potencia

    \ comenzar {reunir*}\ suma_ {n=0} ^\ infty a_n (x-c) ^n.\ end {reunir*}

    El conjunto\(x\) de valores reales para los que converge se denomina intervalo de convergencia de la serie.

    Supongamos que la serie de potencias\(\sum\limits_{n=0}^\infty A_n (x-c)^n\) tiene radio de convergencia\(R\text{.}\) Luego desde el Teorema 3.5.9, tenemos que

    • si\(R=\infty\text{,}\) entonces su intervalo de convergencia es el\(-\infty \lt x \lt \infty\text{,}\) que también se denota\((-\infty,\infty)\text{,}\) y
    • si\(R=0\text{,}\) entonces su intervalo de convergencia es solo el punto\(x=c\text{,}\) y
    • si\(0 \lt R \lt \infty\text{,}\) entonces sabemos que la serie converge para cualquiera\(x\) que obedezca

      \ begin {align*} |x-c|\ lt R\ quad&\ text {o equivalentemente}\ quad -R\ lt x-c\ lt R\ &\ text {o equivalentemente}\ quad C-r\ lt x\ lt c+r\ end {align*}

      Pero no sabemos (todavía) si la serie converge o no en los dos puntos finales de ese intervalo. Sabemos, sin embargo, que su intervalo de convergencia debe ser uno de

      • \(c-R \lt x \lt c+R\text{,}\)que también se denota\((c-R\,,\,c+R)\text{,}\) o
      • \(c-R\le x \lt c+R\text{,}\)que también se denota\([c-R\,,\,c+R)\text{,}\) o
      • \(c-R \lt x\le c+R\text{,}\)que también se denota\((c-R\,,\,c+R]\text{,}\) o
      • \(c-R\le x \le c+R\text{,}\)que también se denota\([c-R\,,\,c+R]\text{.}\)

    Para reiterar — mientras que la convergencia del radio,\(R\) con nos\(0 \lt R \lt \infty\text{,}\) dice que la serie converge para\(|x-c| \lt R\) y diverge para\(|x-c| \gt R\text{,}\) ella no (por sí misma) nos dice si la serie converge o no cuando\(|x-c|=R\text{,}\) es decir, cuando\(x=c\pm R\text{.}\) El siguiente ejemplo muestra que los cuatro las posibilidades pueden ocurrir.

    Ejemplo 3.5.11 La serie\(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^p}\)

    Dejar\(p\) ser cualquier número real 7 y considerar la serie\(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^p}\text{.}\) Esta serie tiene\(A_n= \frac{1}{n^p}\text{.}\) Desde

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\Big|\frac{A_{n+1}}{A_n}\Big| =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^p}{{(n+1)}^p} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{{(1+\frac{1}{n})}^p} =1 \nonumber \]

    la serie tiene radio de convergencia\(1\text{.}\) Así que ciertamente converge para\(|x| \lt 1\) y diverge para\(|x| \gt 1\text{.}\) Eso solo deja\(x=\pm 1\text{.}\)

    • Cuando\(x=1\text{,}\) la serie se reduce a\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\text{.}\) Sabemos, del Ejemplo 3.3.6, que esta serie converge si y solo si\(p \gt 1\text{.}\)
    • Cuando\(x=-1\text{,}\) la serie se reduce a\(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^p}\text{.}\) Por la prueba de series alternas, Teorema 3.3.14, esta serie converge cada vez que\(p \gt 0\) (de manera que\(\frac{1}{n^p}\) tiende a cero como\(n\) tiende al infinito). Cuando\(p\le 0\) (de manera que\(\frac{1}{n^p}\) no tiende a cero como\(n\) tiende al infinito), diverge por la prueba de divergencia, Teorema 3.3.1.

    Entonces

    • La serie de potencia\(\sum_{n=1}^\infty x^n\) (i.e\(p=0\).) tiene intervalo de convergencia\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)
    • La serie de potencia\(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\) (i.e\(p=1\).) tiene intervalo de convergencia\(-1\le x \lt 1\text{.}\)
    • La serie de potencia\(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}x^n\) (i.e\(p=1\).) tiene intervalo de convergencia\(-1 \lt x\le 1\text{.}\)
    • La serie de potencia\(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}\) (i.e\(p=2\).) tiene intervalo de convergencia\(-1\le x\le 1\text{.}\)
    Ejemplo: 3.5.12 Jugando con intervalos de convergencia

    Se nos dice que cierta serie de poder con centro\(c=3\text{,}\) converge en\(x=4\) y diverge en\(x=1\text{.}\) ¿Qué más podemos decir de la convergencia o divergencia de la serie para otros valores de\(x\text{?}\)

    Se nos dice que la serie está centrada en\(3\text{,}\) así que sus términos son todos poderes de\((x-3)\) y es de la forma

    \ comenzar {reunir*}\ suma_ {n\ geq 0} a_n (x-3) ^n.\ end {reunir*}

    Una buena manera de resumir los datos de convergencia que nos dan es con una figura como la de abajo. Los puntos verdes marcan los valores de\(x\) donde se sabe que converge la serie. (Recordemos que cada serie de potencia converge en su centro.) El punto rojo marca el valor de\(x\) donde se sabe que diverge la serie. El ojo de toro marca el centro.

    convDiv.svg

    ¿Podemos decir más sobre la convergencia y/o divergencia de la serie para otros valores de\(x\text{?}\) Sí!

    Pensemos en el radio de convergencia,\(R\text{,}\) de la serie. Sabemos que debe existir y la información que nos han dado nos permite encuadernar\(R\text{.}\) Recordemos que

    • la serie converge\(x\) siempre que\(|x-3| \lt R\) y
    • la serie diverge en\(x\) si\(|x-3| \gt R\text{.}\)

    Nos han dicho que

    • la serie converge cuando\(x=4\text{,}\) lo que nos dice que
      • \(x=4\)no puede obedecer\(|x-3| \gt R\) así
      • \(x=4\)debe obedecer\(|x-3|\le R\text{,}\)\(|4-3|\le R\text{,}\) i.e.\(R\ge 1\)
    • la serie diverge cuando\(x=1\) así también sabemos que
      • \(x=1\)no puede obedecer\(|x-3| \lt R\) así
      • \(x=1\)debe obedecer\(|x-3|\ge R\text{,}\)\(|1-3|\ge R\text{,}\) i.e.\(R\le 2\)

    Todavía no sabemos\(R\) exactamente. Pero sí sabemos que\(1\le R\le 2\text{.}\) Consecuentemente,

    • ya que\(1\) es el más pequeño que\(R\) podría ser, la serie ciertamente converge en\(x\) si\(|x-3| \lt 1\text{,}\) es decir, si\(2 \lt x \lt 4\) y
    • ya que\(2\) es el más grande que\(R\) podría ser, la serie ciertamente diverge en\(x\) si\(|x-3| \gt 2\text{,}\) es decir, si\(x \gt 5\) o si\(x \lt 1\text{.}\)

    La siguiente figura proporciona un resumen de todos estos datos de convergencia: hay convergencia en los verdes\(x\) y divergencia en\(x\) los rojos.

    convDivB.svg

    Observe que a partir de los datos dados no podemos decir nada sobre la convergencia o divergencia de la serie en los intervalos\((1,2]\) y\((4,5]\text{.}\)

    Una lección que podemos derivar de este ejemplo es que,

    • si una serie tiene centro\(c\) y converge en\(a\text{,}\)
    • entonces también converge en todos los puntos entre\(c\) y así\(a\text{,}\) como en todos los puntos de distancia estrictamente menos que\(|a-c|\) desde\(c\) el otro lado de\(c\) desde\(a\text{.}\)

    Trabajo con la serie Power

    Así como lo hemos hecho anteriormente con límites, diferenciación e integración, podemos construir representaciones de series de potencia de funciones más complicadas mediante el uso de las de funciones más simples. Aquí hay un teorema que nos ayuda a hacerlo.

    Teorema 3.5.13 Operaciones en la serie Power

    Supongamos que las funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) son dadas por la serie power

    \[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty A_n (x-c)^n \qquad g(x) = \sum_{n=0}^\infty B_n (x-c)^n \nonumber \]

    para todos\(x\) obedeciendo\(|x-c| \lt R\text{.}\) En particular, estamos asumiendo que ambas series de potencia tienen radio de convergencia al menos\(R\text{.}\) También deja\(K\) ser una constante. Entonces

    \ begin {alinear*} f (x) +g (x) &=\ suma_ {n=0} ^\ infty [a_n+b_n]\, (x-c) ^n\\ Kf (x) &=\ suma_ {n=0} ^\ infty K\, a_n\, (x-c) ^n\\ (x-c) ^Nf (x) &=\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n\, (x-c) ^ {n+n}\ quad\ text {para cualquier entero $N\ ge 1$}\\ &=\ sum_ {k=n} ^\ infty A_ {k-n}\, (x-c) ^k\ quad\ text {donde $k=n+n$}\\ f' (x) &=\ sum_ {n=_ 0} ^\ infty a_n\, n\, (x-c) ^ {n-1} =\ suma_ {n=1} ^\ infty a_n\, n\, (x-c) ^ {n-1}\\\ int_c^x f (t)\, d {t} &=\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n\ frac {(x-c) ^ {n+1}} n+1}\\\ int f (x)\ dx &=\ bigg [\ sum_ {n=0} ^\ infty a_n\ frac {(x-c) ^ {n+1}} {n+1}\ bigg] +C\ quad\ text {con $C$ una constante arbitraria}\ end {align*}

    para todos\(x\) obedeciendo\(|x-c| \lt R\text{.}\)

    En particular el radio de convergencia de cada una de las seis series de potencia en los lados de la derecha es al menos\(R\text{.}\) De hecho, si\(R\) es el radio de convergencia de\(\sum\limits_{n=0}^\infty A_n (x-c)^n\text{,}\) entonces también\(R\) es el radio de convergencia de todos los lados derechos anteriores, con las posibles excepciones de \(\sum\limits_{n=0}^\infty [A_n+B_n]\, (x-c)^n\)y\(\sum\limits_{n=0}^\infty KA_n\, (x-c)^n\) cuando\(K=0\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.14 Más sobre la última parte del Teorema 3.5.13

    La última declaración del Teorema 3.5.13 puede parecer un poco extraña, pero considere las siguientes dos series de poder centrales en\(0\text{:}\)

    \ begin {alinear*}\ sum_ {n=0} ^\ infty 2^n x^n &\ texto {y}\ suma_ {n=0} ^\ infty (1-2^n) x^n.\ end {alinear*}

    La prueba de ratio nos dice que ambos tienen radio de convergencia\(R=\frac{1}{2}\text{.}\) Sin embargo su suma es

    \ begin {alinear*}\ sum_ {n=0} ^\ infty 2^n x^n +\ sum_ {n=0} ^\ infty (1-2^n) x^n &=\ suma_ {n=0} ^\ infty x^n\ end {align*}

    que tiene el mayor radio de convergencia\(1\text{.}\)

    Un ejemplo más extremo del mismo fenómeno es proporcionado por las dos series

    \ begin {alinear*}\ sum_ {n=0} ^\ infty 2^n x^n &\ texto {y}\ suma_ {n=0} ^\ infty (-2^n) x^n.\ end {alinear*}

    Ambos son series geométricas con radio de convergencia\(R=\frac{1}{2}\text{.}\) Pero su suma es

    \ begin {alinear*}\ sum_ {n=0} ^\ infty 2^n x^n +\ suma_ {n=0} ^\ infty (-2^n) x^n &=\ sum_ {n=0} ^\ infty (0) x^n\ end {align*}

    que tiene radio de convergencia\(+\infty\text{.}\)

    Ahora usaremos este teorema para construir representaciones de series de poder para un montón de funciones a partir de una representación simple de series de poder que conocemos: la serie geométrica

    \[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n\qquad \text{for all $|x| \lt 1$} \nonumber \]

    Ejemplo 3.5.15\(\frac{1}{1-x^2}\)

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\frac{1}{1-x^2}\text{.}\)

    Solución: El secreto para encontrar representaciones de series de poder para muchas funciones es manipularlas en una forma en la que\(\frac{1}{1-y}\) aparezca y usar la representación geométrica de la serie\(\frac{1}{1-y} = \sum_{n=0}^\infty y^n\text{.}\) Hemos renombrado deliberadamente la variable a\(y\) aquí — no tiene que ser \(x\text{.}\)Podemos usar esa estrategia para encontrar una expansión de la serie de potencia para\(\frac{1}{1-x^2}\), solo tenemos que reconocer que\(\frac{1}{1-x^2}\) es lo mismo que\(\frac{1}{1-y}\) si nos pusiéramos\(y\) a\(x^2\text{.}\)

    \ begin {alinear*}\ frac {1} {1-x^2} &=\ frac {1} {1-y}\ big|_ {y=x^2} =\ bigg [\ sum_ {n=0} ^\ infty y^n\ bigg] _ {y=x^2}\ quad\ text {si $|y|\ lt 1$, es decir $|x|\ 1$}\\ &=\ suma_ {n=0} ^\ infty {\ grande (x^2\ grande)} ^n =\ suma_ {n=0} ^\ infty x^ {2n}\\ &= 1+x^2+x^4+x^6 +\ cdots\ hskip-0.2in\ end {align*}

    Esta es una serie de potencia perfectamente buena. No hay nada malo con el poder del\(x\) ser\(2n\text{.}\) (Esto solo significa que los coeficientes de todas las potencias impares de\(x\) son cero.) De hecho, se debe tratar de escribir siempre series de poder en formas que sean lo más fáciles de entender posible. La serie geométrica que utilizamos al final de la primera línea converge para

    \ begin {reunir*} |y|\ lt 1\ iff\ big|x^2\ big|\ lt 1\ iff |x|\ lt 1\ end {reunir*}

    Entonces nuestra serie de potencia tiene radio de convergencia\(1\) e intervalo de convergencia\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.16\(\frac{x}{2+x^2}\)

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\frac{x}{2+x^2}\text{.}\)

    Solución: Este ejemplo es solo una variante más algebraicamente involucrada del último. Nuevamente, la estrategia es manipular\(\frac{x}{2+x^2}\) en una forma en la que\(\frac{1}{1-y}\) aparece.

    \[\begin{align*} \frac{x}{2+x^2} &= \frac{x}{2}\ \frac{1}{1+\frac{x^2}{2}} =\ \frac{x}{2}\ \frac{1}{1-\big({-}\frac{x^2}{2}\big)} \qquad \text{set $-\frac{x^2}{2}=y$}\\ &= \frac{x}{2}\ \frac{1}{1-y}\bigg|_{y=-\frac{x^2}{2}} = \frac{x}{2}\ \bigg[\sum_{n=0}^\infty y^n \bigg]_{y=-\frac{x^2}{2}} \quad\text{if $|y| \lt 1$}\\ \end{align*}\]

    Ahora usa Teorema 3.5.13 dos veces

    \ begin {align*} &=\ frac {x} {2}\\ sum_ {n=0} ^\ infty {\ Grande (-\ frac {x^2} {2}\ Grande)} ^n =\\ frac {x} {2}\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {(-1) ^n} {2^n} x^ {2n} =\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {(-1) ^n} {2^ {n+1}} x^ {2n+1}\\ &=\ frac {x} {2} -\ frac {x^3} {4} +\ frac {x^5} {8} -\ frac {x^7} {16} +\ cdots\ fin alinear*}

    La serie geométrica que usamos en la segunda línea converge cuando

    \ begin {align*} |y|\ lt 1 &\ iff\ big| {-}\ frac {x^2} {2}\ big|\ lt 1\\ &\ iff |x|^2\ lt 2\ iff |x|\ lt\ sqrt {2}\ end {align*}

    Entonces la serie de potencia dada tiene radio de convergencia\(\sqrt{2}\) e intervalo de convergencia\(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.17 Centro Nonzero

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\frac{1}{5-x}\) con centro\(3\text{.}\)

    Solución: La nueva arruga en este ejemplo es el requisito de\(3\text{.}\) que el centro sea Que el centro sea\(3\) significa que necesitamos una serie power en powers de\(x-c\text{,}\) con\(c=3\text{.}\) Así que estamos buscando una serie power de la forma\(\sum_{n=0}^\infty A_n(x-3)^n\text{.}\) La manera fácil de encontrar una serie de este tipo es forzar a un\(x-3\) a aparecer sumando y restando un\(3\text{.}\)

    \ begin {reunir*}\ frac {1} {5-x} =\ frac {1} {5- (x-3) -3} =\ frac {1} {2- (x-3)}\ end {reunir*}

    Ahora continuamos, como en el último ejemplo, manipulando\(\frac{1}{2-(x-3)}\) en una forma en la que\(\frac{1}{1-y}\) aparece.

    \ begin {alinear*}\ frac {1} {5-x} =\ frac {1} {2- (x-3)} &=\ frac {1} {2}\ frac {1} {1-\ frac {x-3} {2}}\ qquad\ text {conjunto $\ frac {x-3} {2} =y$}\\ &=\ frac {1} {2}\ frac {1} {1-y}\ big|_ {y=\ frac {x-3} {2}} =\ frac {1} {2}\ bigg [\ sum_ {n=0} ^\ infty y^n\ bigg] _ {y=\ frac {x-3} {2}}\ quad\ texto {si $|y| lt\ 1$}\\ &=\ frac {1} {2}\\ suma_ {n =0} ^\ infty {\ Grande (\ frac {x-3} {2}\ Grande)} ^n =\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {(x-3) ^n} {2^ {n+1}}\\ &=\ frac {x-3} {2} +\ frac {(x-3) ^2} {4} +\ frac {x-3} +\ frac {(x-3) ^2} {4} +\ frac {x-3} {3) ^3} {8} +\ cdots\ end {align*}

    La serie geométrica que usamos en la segunda línea converge cuando

    \ begin {align*} |y|\ lt 1 &\ iff\ Big|\ frac {x-3} {2}\ Big|\ lt 1\ &\ iff |x-3|\ lt 2\\ &\ iff -2\ lt x-3\ lt 2\ lt 2\ &\ iff 1\ lt x\ lt 5\ end {align*}

    Entonces la serie de potencia tiene radio de convergencia\(2\) e intervalo de convergencia\(1 \lt x \lt 5\text{.}\)

    En los dos ejemplos anteriores, para construir una nueva serie a partir de una serie existente, reemplazamos\(x\) por una función simple. El siguiente teorema nos da algunas sustituciones más (pero ciertamente no todas) de uso común.

    Teorema 3.5.18 Sustitución en una Serie de Potencia.

    Supongamos que la función\(f(x)\) viene dada por la serie power

    \[ f(x) = \sum_{n=0}^\infty A_n x^n \nonumber \]

    para todos\(x\) en el intervalo\(I\text{.}\) También dejar\(K\) y\(k\) ser constantes reales. Entonces

    \ begin {align*} f\ big (kx^k\ big) &=\ suma_ {n=0} ^\ infty a_nk^n\, x^ {kn}\ end {align*}

    siempre que\(Kx^k\) esté\(I\text{.}\) en En particular, si\(\sum_{n=0}^\infty A_n x^n\) tiene radio de convergencia\(R\text{,}\)\(K\) es distinto de cero y\(k\) es un número natural, entonces\(\sum_{n=0}^\infty A_nK^n\, x^{kn}\) tiene radio de convergencia\(\root{k}\of{R/|K|}\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.19\(\frac{1}{(1-x)^2}\)

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\frac{1}{(1-x)^2}\text{.}\)

    Solución: Una vez más el truco es expresar\(\frac{1}{(1-x)^2}\) en términos de\(\frac{1}{1-x}\text{.}\) Aviso que

    \ begin {alinear*}\ frac {1} {(1-x) ^2} &=\ frac {d} {dx}\ izquierda\ {\ frac {1} {1-x}\ derecha\}\\ &=\ frac {d} {dx}\ izquierda\ {\ sum_ {n=0} ^\ infty x^n\ derecha\}\\ &=\ sum_ {n=1} ^\ infty nx^ {n-1}\ qquad\ texto {por teorema} {\ texto {3.5.13}}\ end {align*}

    Obsérvese que el\(n=0\) término ha desaparecido porque, para\(n=0\text{,}\)

    \[ \frac{d}{dx} x^n = \frac{d}{dx} x^0 = \frac{d}{dx} 1= 0 \nonumber \]

    También tenga en cuenta que el radio de convergencia de esta serie es uno. Esto lo podemos ver vía Teorema 3.5.13. Ese teorema nos dice que el radio de convergencia de una serie de potencias no se cambia por diferenciación —y puesto que\(\sum_{n=0}^\infty x^n\) tiene radio de convergencia uno, también lo hace su derivada.

    Sin mucho más trabajo podemos determinar el intervalo de convergencia probando en\(x=\pm 1\text{.}\) Cuando\(x=\pm 1\) los términos de la serie no van a cero como\(n \to \infty\) y así, por la prueba de divergencia, la serie no converge ahí. De ahí que el intervalo de convergencia para la serie sea\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)

    Observe que, en este último ejemplo, diferenciamos una serie conocida para llegar a nuestra respuesta. Según el Teorema 3.5.13, el radio de convergencia no cambió. Además, en este ejemplo particular, el intervalo de convergencia no cambió. No siempre es así. La diferenciación de algunas series hace que el intervalo de convergencia se encoja. En particular la serie diferenciada puede que ya no sea convergente en los puntos finales del intervalo 8 De manera similar, cuando integramos una serie de potencias el radio de convergencia no cambia, pero el intervalo de convergencia puede expandirse para incluir uno o ambos extremos, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 3.5.20\(\log (1+x)\)

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\log (1+x)\text{.}\)

    Solución: Recordemos que\(\frac{d}{dx}\log (1+x) = \frac{1}{1+x}\) así\(\log(1+t)\) es un antiderivado de\(\frac{1}{1+t}\) y

    \ begin {alinear*}\ log (1+x)\ &=\ int_0^x\ frac {dt} {1+t}\ =\ int_0^x\ Grande [\ sum_ {n=0} ^\ infty (-t) ^n\ Grande]\, d {t}\\ &=\ sum_ {n=0} ^\ infty\ int_0^x (-t) ^n\, d {t}\ qquad\ text {por Teorema} {\ text {3.5.13}}\\ &=\\ sum_ {n=0} ^\ infty (-1) ^n\ frac {x^ {n+1}} {n+1}\\ &=\ x-\ frac {x^2} {2} +\ frac {x^3} {3}} -\ frac {x^4} {4} +\ cdots\ end {align*}

    El teorema 3.5.13 garantiza que el radio de convergencia es exactamente uno (el radio de convergencia de la serie geométrica\(\sum_{n=0}^\infty (-t)^n\)) y que

    \ begin {reunir*}\ log (1+x) =\ sum_ {n=0} ^\ infty (-1) ^n\ frac {x^ {n+1}} {n+1}\ qquad\ texto {para todos}\ quad -1\ lt x\ lt 1\ end {reunir*}

    Cuando\(x=-1\) nuestra serie se reduce a\(\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{n+1}\text{,}\) que es (menos) la serie armónica y así diverge. Eso no es ninguna sorpresa —\(\log(1+(-1)) =\log 0=-\infty\text{.}\) Cuando\(x=1\text{,}\) la serie converge por la prueba de series alternas. Es posible probar, por continuidad, aunque no lo haremos aquí, que la suma es\(\log 2\text{.}\) Entonces el intervalo de convergencia es\(-1 \lt x\le 1\text{.}\)

    Ejemplo 3.5.21\(\arctan x\)

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\arctan x\text{.}\)

    Solución: Recordemos que\(\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}\) así\(\arctan t\) es un antiderivado de\(\frac{1}{1+t^2}\) y

    \ begin {alinear*}\ arctan x\ &=\ int_0^x\ frac {dt} {1+t^2}\ =\ int_0^x\ Grande [\ sum_ {n=0} ^\ infty {(-t^2)} ^n\ Grande]\, d {t}\ =\ sum_ {n=0} ^\ infty\ int_0^x (-1) ^n t^ {2n}\, d {t}\\ &=\ suma_ {n=0} ^\ infty (-1) ^n\ frac {x^ {2n+1}} {2n+1}\\ &=x -\ frac {x^3} {3} +\ frac {x^5} {5} -\ cdots\ end {align*}

    El teorema 3.5.13 garantiza que el radio de convergencia es exactamente uno (el radio de convergencia de la serie geométrica\(\sum_{n=0}^\infty (-t^2)^n\)) y que

    \ begin {align*}\ arctan x\ &=\\ sum_ {n=0} ^\ infty (-1) ^n\ frac {x^ {2n+1}} {2n+1}\ qquad\ text {para todos $-1\ lt x\ lt 1$}\ end {align*}

    Cuando\(x=\pm 1\text{,}\) la serie converge por la prueba de series alternas. Entonces el intervalo de convergencia es\(-1\le x\le 1\text{.}\) Es posible demostrar, aunque una vez más no lo haremos aquí, que cuando\(x=\pm 1\text{,}\) la serie\(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\) converja al valor del lado izquierdo,\(\arctan x\text{,}\) en Es\(x=\pm 1\text{.}\) decir, a\(\arctan(\pm 1)=\pm \frac{\pi}{4}\text{.}\)

    Las operaciones sobre series de potencia tratadas en el Teorema 3.5.13 son bastante fáciles de aplicar. Desafortunadamente tomar el producto, relación o composición de dos series de potencia es más complicado y está más allá del alcance de este curso 9. Desafortunadamente Teorema 3.5.13 por sí solo no nos conseguirá representaciones de series de potencia de muchas de nuestras funciones estándar (como\(e^x\) y\(\sin x\)). Afortunadamente podemos encontrar tales representaciones extendiendo los polinomios de Taylor 10 a la serie Taylor.

    Ejercicios

    Etapa 1
    1

    Supongamos\(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{3-x}{4}\right)^n\text{.}\) que es\(f(1)\text{?}\)

    2

    Supongamos\(f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{(x-5)^n}{n!+2}\text{.}\) Dar una representación en serie de potencia de\(f'(x)\text{.}\)

    3

    Dejar\(f(x)=\displaystyle \sum_{n=a}^\infty A_n(x-c)^n\) por algunas constantes positivas\(a\) y\(c\text{,}\) y alguna secuencia de constantes\(x\) ¿\(\{A_n\}\text{.}\)Para qué valores de convergen\(f(x)\) definitivamente?

    4

    Let\(f(x)\) Be a power series centerd at\(c=5\text{.}\) If\(f(x)\) converge en\(x=-1\text{,}\) y diverge en\(x=11\text{,}\) lo que es el radio de convergencia de\(f(x)\text{?}\)

    Etapa 2
    5 (✳)

    (a) Encontrar el radio de convergencia de la serie

    \[ \sum_{k=0}^\infty (-1)^k 2^{k+1} x^k \nonumber \]

    (b) Se le da la fórmula para la suma de una serie geométrica, a saber:

    \[ 1+r+r^2 + \cdots =\frac{1}{1-r},\qquad|r| \lt 1 \nonumber \]

    Utilice este hecho para evaluar la serie en la parte (a).

    6 (✳)

    Encuentre el radio de convergencia para la serie de potencia\(\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{10^{k+1}(k+1)!}\)

    7 (✳)

    Encuentre el radio de convergencia para la serie de potencia\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x - 2)^n}{n^2+1}\text{.}\)

    8 (✳)

    Considera la serie power\(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x+2)^n}{\sqrt{n}}\text{,}\) donde\(x\) es un número real. Encuentra el intervalo de convergencia de esta serie.

    9 (✳)

    Encuentra el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie

    \ comenzar {reunir*}\ sum_ {n=0} ^ {\ infty}\ frac {(-1) ^n} {n+1}\ izquierda (\ frac {x+1} {3}\ derecha) ^n\ final {reunir*}

    10 (✳)

    Encuentre el intervalo de convergencia para la serie de potencia

    \ begin {reunir*}\ sum_ {n=1} ^\ infty\ frac {(x-2) ^n} {n^ {4/5} (5^n-4)}. \ end {reunir*}

    11 (✳)

    Encuentra todos los valores\(x\) para los que\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(x+2)^n}{n^2}\) converge la serie.

    12 (✳)

    Encuentre el intervalo de convergencia para\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n}(x-1)^n\text{.}\)

    13 (✳)

    Encontrar, con explicación, el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie de potencia

    \[ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^n(n+2)} \nonumber \]

    14 (✳)

    Encuentra el intervalo de convergencia para la serie\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n n^2(x-a)^{2n}\) donde\(a\) es una constante.

    15 (✳)

    Encuentra el intervalo de convergencia de las siguientes series:

    1. \({\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{(x+1)^k}{k^2 9^k}}\text{.}\)
    2. \({\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k(x-1)^k}\text{,}\)donde\(a_k \gt 0\) para\(k=1,2,\cdots\) y\(\ {\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \Big(\frac{a_k}{a_{k+1}} -\frac{a_{k+1}}{a_{k+2}}\Big) =\frac{a_1}{a_2} }\text{.}\)
    16 (✳)

    Encuentre una representación de serie de potencia para\(\dfrac{x^3}{1-x}\text{.}\)

    17

    Supongamos\(f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{n}}{n+2}\text{,}\) y\(\displaystyle \int_5^x f(t)\, d{t}=3x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^{n+1}}{n(n+1)^2}\text{.}\)

    Dar una representación en serie de potencia de\(f(x)\text{.}\)

    Etapa 3
    18 (✳)

    Determinar los valores de\(x\) para los cuales la serie

    \[ \sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{3^{2n}\log n} \nonumber \]

    converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge.

    19 (✳)

    (a) Encuentre la representación de series de potencia para\(\displaystyle\int\frac{1}{1+x^3}\,\, d{x}\) centerd en\(0\) (es decir, en poderes de\(x\)).

    (b) La serie de potencia anterior se utiliza para aproximar\(\displaystyle\int_0^{1/4}\frac{1}{1+x^3}\,\, d{x}\text{.}\) ¿Cuántos términos se requieren para garantizar que la aproximación resultante esté dentro\(10^{-5}\) del valor exacto? Justifica tu respuesta.

    20 (✳)

    (a) Demostrar que\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty nx^n =\frac{x}{(1-x)^2}\) para\(-1 \lt x \lt 1\text{.}\)

    (b) Expresar\(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n^2x^n\) como proporción de polinomios. ¿Para\(x\) qué converge esta serie?

    21 (✳)

    Supongamos que tienes una secuencia\(\{b_n\}\) tal que la serie\(\sum_{n=0}^{\infty}(1-b_n)\) converja. Usando las pruebas que hemos aprendido en clase, demostrar que el radio de convergencia de la serie de potencia\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\) es igual a\(1\text{.}\)

    22 (✳)

    Supongamos que\(\big\{a_n \big\}\) es una secuencia tal que\(na_n\) disminuye a\(C\) como\(n \rightarrow\infty\) para algún número real\(C \gt 0\)

    (a) Encontrar el radio de convergencia de\(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_n x^n\). Justifica tu respuesta cuidadosamente.

    (b) Encontrar el intervalo de convergencia de la serie de potencia anterior, es decir, encontrar todas\(x\) para las cuales converge la serie de potencias en (a). Justifica tu respuesta cuidadosamente.

    23

    Una varilla recta infinitamente larga de masa insignificante tiene los siguientes pesos:

    • En cada número entero\(n\text{,}\) una masa de peso\(\dfrac{1}{2^n}\) en la posición\(n\text{,}\) y
    • una masa de peso\(\dfrac{1}{3^n}\) en la posición\(-n\text{.}\)

    ¿En qué posición está el centro de masa de la varilla?

    image-525.svg

    24

    Dejar\(f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}A_n(x-c)^n\text{,}\) por alguna constante\(c\) y una secuencia de constantes\(\{A_n\}\text{.}\) Además, vamos a\(f(x)\) tener un radio positivo de cobertura.

    Si\(A_1=0\text{,}\) muestra que\(y=f(x)\) tiene un punto crítico en\(x=c\text{.}\) ¿Cuál es la relación entre el comportamiento de la gráfica en ese punto y el valor de\(A_2\text{?}\)

    25

    Evaluar\(\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{n}{5^{n-1}}\text{.}\)

    26

    Encuentra un polinomio que se aproxime\(f(x)=\log(1+ x)\) a dentro de un error de\(10^{-5}\) para todos los valores de\(x\) in\(\left(0,\frac{1}{10}\right)\text{.}\)

    Entonces, usa tu polinomio para aproximarte\(\log(1.05)\) como un número racional.

    27

    Encuentra un polinomio que se aproxime\(f(x)=\arctan x\) a dentro de un error de\(10^{-5}\) para todos los valores de\(x\) in\(\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)\text{.}\)

    1. Recordemos que\(n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n\) se llama “\(n\)factorial”. Por convención\(0!=1\text{.}\)
    2. Por convención, cuando el término\((x-c)^0\) appears in a power series, it has value \(1\) for all values of \(x\text{,}\) even \(x=c\text{.}\)
    3. El uso de la palabra “radio” puede parecer un poco extraño aquí, ya que realmente estamos describiendo el intervalo en la línea real donde converge la serie. Sin embargo, cuando uno comienza a considerar series de potencia sobre números complejos, el radio de convergencia describe un círculo dentro del plano complejo y por lo tanto “radio” es un descriptor más natural.
    4. Debido a esto, podría parecer que tal serie es bastante inútil. Sin embargo hay todo tipo de juegos matemáticos que se pueden jugar con ellos sin preocuparse por su convergencia. Dicha serie de poder “formal” aún puede impartir información útil y se invita al lector interesado a buscar “funciones generadoras” con su motor de búsqueda preferido.
    5. Damos prueba de ello en la optativa §3.7 al final de este capítulo.
    6. Esto va un poco más allá del alcance del curso. A grandes rasgos, piensa qué pasaría si existiera el límite de las proporciones. Si el límite fuera menor que\(1\text{,}\) then it would tell you that the terms of our series must be getting smaller and smaller and smaller — which is impossible because they are all integers between 1 and 10. Similarly if the limit existed and were bigger than \(1\) then the terms of the series would have to get bigger and bigger and bigger — also impossible. Hence if the ratio exists then it must be equal to 1 — but in that case because the terms are integers, they would have to be all equal when \(n\) became big enough. But that means that the expansion of \(\pi\) would be eventually periodic — something that only rational numbers do (a proof is given in the optional §3.7 at the end of this chapter).
    7. Evitamos problemas con\(0^p\) iniciando la serie desde\(n=1\text{.}\)
    8. Considera la serie Power\(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\text{.}\) We know that its interval of convergence is \(-1 \leq x \lt 1\text{.}\) (Indeed see the next example.) When we differentiate the series we get the geometric series \(\sum_{n=0}^\infty x^n\) which has interval of convergence \(-1 \lt x \lt 1\text{.}\).
    9. Como siempre, una visita rápida a tu buscador favorito dirigirá al lector interesado a más información.
    10. Ahora es un buen momento para revisar tus notas del último trimestre, aunque te daremos una revisión vertiginosa en la siguiente página o dos.

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