A.16: Raíces de polinomios

Poder factorizar polinomios es una parte muy importante de muchos de los cálculos en este curso. Relacionado con esto está el proceso de encontrar raíces (o ceros) de polinomios. Es decir, dado un polinomio\(P(x)\text{,}\) encontrar todos los números\(r\) para que\(P(r)=0\text{.}\)

En el caso de una cuadrática\(P(x)=ax^2+bx+c\text{,}\) podemos usar la fórmula

\ begin {align*} x &=\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a}\ end {align*}

Las fórmulas correspondientes para cubics y cuartics ¹ son extremadamente engorrosas, y no existe tal fórmula para polinomios de grado 5 y superior ².

A pesar de esto hay muchos trucos ³ para encontrar raíces de polinomios que funcionan bien en algunas situaciones pero no en todas. Aquí describimos enfoques que te ayudarán a encontrar raíces enteras y racionales de polinomios que funcionarán bien en exámenes, cuestionarios y tareas escolares.

Considerar la ecuación cuadrática\(x^2 - 5x + 6=0\text{.}\) Podríamos ⁴ resolver esto usando la fórmula cuadrática

\ begin {alinear*} x &=\ frac {5\ pm\ sqrt {25-4\ veces1\ tiempoes6}} {2} =\ frac {5\ pm 1} {2} = 2,3. \ end {alinear*}

De ahí\(x^2 - 5x + 6\) tiene raíces\(x = 2,3\) y así\((x - 3)(x - 2)\text{.}\) factoriza como Notice ⁵ que los números\(2\) y\(3\) dividen el término constante del polinomio,\(6\text{.}\) Esto sucede en general y forma la base de nuestro primer truco.

Lema A.16.1 Un truco muy útil

Si\(r\) o\(-r\) es una raíz entera de un polinomio\(P(x)=a_nx^n+\ \cdots\ +a_1x+a_0\) con coeficientes enteros, entonces\(r\) es un factor del término constante\(a_0\text{.}\)

Prueba

Si\(r\) es una raíz del polinomio sabemos que\(P(r)=0\text{.}\) De ahí

\ begin {align*} a_n\ cdot r^n+\\ cdots\ +a_1\ cdot r+a_0&=0\ end {align*}

Si nos aislamos\(a_0\) en esta expresión obtenemos

\ begin {align*} a_0 &=-\ grande [a_n r^n+\\ cdots\ +a_1r\ grande]\ end {align*}

Podemos ver que\(r\) divide cada término en el lado derecho. Esto significa que el lado derecho es un número entero de veces\(r\text{.}\) Así el lado izquierdo, siendo\(a_0\text{,}\) es un número entero veces\(r\text{,}\) como se requiere. El argumento para cuando\(-r\) es una raíz es casi idéntico.

Pongamos a trabajar esta observación.

Ejemplo A.16.2 Raíces enteras de\(x^3-x^2+2\)

Encuentra las raíces enteras de\(P(x)=x^3-x^2+2\text{.}\)

Solución:

• El término constante en este polinomio es\(2\text{.}\)
• Los únicos divisores de\(2\) son\(1,2\text{.}\) Así que los únicos candidatos para raíces enteras son\(\pm 1, \pm 2\text{.}\)
• Probando cada uno a su vez

  \ begin {alinear*} P (1) &=2 & P (-1) &=0\\ P (2) &=6 & P (-2) &=-10\ end {align*}

• Por lo tanto, la única raíz entera es\(-1\text{.}\)

Ejemplo A.16.3 Raíces enteras de\(3x^3+8x^2-5x-6\)

Encuentra las raíces enteras de\(P(x)= 3x^3+8x^2-5x-6\text{.}\)

Solución:

• El término constante es\(-6\text{.}\)
• Los divisores de\(6\) son\(1,2,3,6\text{.}\) Así que los únicos candidatos para raíces enteras son\(\pm1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\text{.}\)
• Intentamos cada uno a su vez (es tedioso pero no difícil):

  \ begin {alinear*} P (1) &= 0 & P (-1) &= 4\\ P (2) &= 40 & P (-2) &= 12\\ P (3) &= 132 & P (-3) &= 0\\ P (6) &= 900 & P (-6) &= -336\ final {alinear*}

• Por lo tanto, las únicas raíces enteras son\(1\) y\(-3\text{.}\)

Podemos generalizar este enfoque para encontrar raíces racionales. Considerar el polinomio\(6x^2-x-2\text{.}\) Podemos encontrar sus ceros usando la fórmula cuadrática:

\ begin {align*} x &=\ frac {1\ pm\ sqrt {1 + 48}} {12} =\ frac {1\ pm 7} {12} = -\ frac {1} {2},\ frac {2} {3}. \ end {alinear*}

Observe ahora que los numeradores, 1 y 2, ambos dividen el término constante del polinomio (siendo 2). De igual manera, los denominadores, 2 y 3, ambos dividen el coeficiente de la mayor potencia de\(x\) (siendo 6). Esto es bastante general.

Lema A.16.4 Otro buen truco

Si\(b/d\) o\(-b/d\) es una raíz racional en términos más bajos (es decir,\(b\) y\(d\) son enteros sin factores comunes) de un polinomio\(Q(x) = a_nx^n+\ \cdots\ +a_1x+a_0\) con coeficientes enteros, entonces el numerador\(b\) es un factor del término constante\(a_0\) y el denominador\(d\) es un factor de \(a_n\text{.}\)

Prueba

Ya que\(\frac{b}{d}\) es una raíz de\(P(x)\) sabemos que

\ begin {align*} a_n (b/d) ^n+\\ cdots\ +a_1 (b/d) +a_0 &=0\ end {align*}

Multiplica esta ecuación a través de por\(d^n\) para obtener

\ begin {align*} a_n b^n+\\ cdots\ +a_1 b d^ {n-1} +a_0d^n &=0\ end {align*}

Mover términos para aislar\(a_0 d^n\text{:}\)

\ begin {align*} a_0d^n &= -\ grande [a_n b^n+\\ cdots\ +a_1 b d^ {n-1}\ grande]\ final {alinear*}

Ahora cada término en el lado derecho es algunos tiempos enteros\(b\text{.}\) Así el lado izquierdo también debe ser un número entero veces\(b\text{.}\) Sabemos que\(d\) no contiene ningún factor de\(b\text{,}\) por lo tanto\(a_0\) debe ser algunos tiempos enteros\(b\) (según sea necesario).

Del mismo modo podemos aislar el término\(a_n b^n\text{:}\)

\ begin {align*} a_n b^n &= -\ grande [a_ {n-1} b^ {n-1} d+\\ cdots\ +a_1 b d^ {n-1} + a_0 d^n\ grande]\ final {alinear*}

Ahora cada término en el lado derecho es algunos tiempos enteros\(d\text{.}\) Así el lado izquierdo también debe ser un número entero veces\(d\text{.}\) Sabemos que\(b\) no contiene ningún factor de\(d\text{,}\) por lo tanto\(a_n\) debe ser algunos tiempos enteros\(d\) (según sea necesario).

El argumento cuando\(-\frac{b}{d}\) es una raíz es casi idéntico.

Deberíamos poner esto a trabajar:

Ejemplo A.16.5 Raíces racionales de\(2x^2-x-3\)

\(P(x)=2x^2-x-3\text{.}\)

Solución:

• El término constante en este polinomio es\(3=1\times 3\) y el coeficiente de la mayor potencia de\(x\) es\(2=1\times 2\text{.}\)
• Así, los únicos candidatos para raíces enteras son\(\pm 1,\ \pm 3\text{.}\)
• Por nuestro truco más reciente, los únicos candidatos para raíces fraccionarias son\(\pm \frac{1}{2},\ \pm\frac{3}{2}\text{.}\)
• Probamos cada uno a su vez ⁶

  \ begin {align*} P (1) &=-2 & P (-1) &=0\\ P (3) &=12 & P (-3) &=18\\ P\ izquierda (\ tfrac {1} {2}\ derecha) &= -3 & P\ izquierda (-\ tfrac {1} {2}\ derecha) &= -2\\ P\ izquierda (\ tfrac {3} {2}\ derecha) &= 0 & P\ izquierda (-\ tfrac {3} {2}\ derecha) &= 3\ end {align*}

  por lo que las raíces son\(-1\) y\(\frac{3}{2}\text{.}\)

Los trucos anteriores nos ayudan a encontrar raíces enteras y racionales de polinomios. Con un poco de trabajo extra podemos extender esos métodos para ayudarnos a factorizar polinomios. Digamos que tenemos un polinomio\(P(x)\) de grado\(p\) y hemos establecido que\(r\) es una de sus raíces. Es decir, sabemos\(P(r)=0\text{.}\) Entonces podemos\((x-r)\) factorizar de\(P(x)\) — siempre es posible encontrar un polinomio\(Q(x)\) de grado\(p-1\) para que

\ comenzar {reunir*} P (x) = (x-r) Q (x)\ final {reunir*}

En casos suficientemente simples, probablemente se puede hacer este factoring por inspección. Por ejemplo,\(P(x)=x^2-4\) tiene\(r=2\) como raíz porque\(P(2)=2^2-4=0\text{.}\) en este caso,\(P(x)=(x-2)(x+2)\) así que\(Q(x)=(x+2)\text{.}\) como otro ejemplo,\(P(x)=x^2-2x-3\) tiene\(r=-1\) como raíz porque\(P(-1)=(-1)^2-2(-1)-3=1+2-3=0\text{.}\) En este caso,\(P(x)=(x+1)(x-3)\) para que\(Q(x)=(x-3)\text{.}\)

Para polinomios de grado superior necesitamos usar algo más sistemático: la división larga.

Lemma A.16.6 División Larga

Una vez que hayas encontrado una raíz\(r\) de un polinomio, incluso si no puedes factorizar\((x-r)\) fuera del polinomio por inspección, puedes encontrar\(Q(x)\)\(P(x)\) dividiendo\(x-r\text{,}\) usando el algoritmo de división larga que aprendiste ⁷ Esta es una parte estándar de la mayoría de las matemáticas de secundaria planes de estudio, pero quizás no todos. Deberías revisar esto con cuidado. en la escuela, pero con\(10\) reemplazado por\(x\text{.}\)

Ejemplo A.16.7 Raíces de\(x^3-x^2+2\)

Factor\(P(x)=x^3-x^2+2\text{.}\)

Solución:

• Podemos ir a buscar raíces enteras del polinomio mirando los divisores del término constante. Esto nos dice que intentemos\(x=\pm1, \pm2\text{.}\)
• Un cálculo rápido muestra que\(P(-1)=0\) mientras\(P(1),P(-2),P(2) \neq 0\text{.}\) De ahí\(x=-1\) es una raíz del polinomio y así\(x+1\) debe ser un factor.
• Entonces dividimos\(\frac{x^3-x^2+2}{x+1}\text{.}\) El primer término,\(x^2\text{,}\) en el cociente se elige para que cuando lo multipliques por el denominador,\(x^2(x+1)=x^3+x^2\text{,}\) el término principal,\(x^3\text{,}\) coincida con el término principal en el numerador,\(x^3-x^2+2\text{,}\) exactamente.

  

• Cuando restas\(x^2(x+1)=x^3+x^2\) del numerador\(x^3-x^2+2\) obtienes el resto Al\(-2x^2+2\text{.}\) igual que en la escuela pública, el normalmente no\(2\) es “derribado” hasta que en realidad es necesario.

  

• El siguiente término,\(-2x\text{,}\) en el cociente se elige para que al multiplicarlo por el denominador,\(-2x(x+1)=-2x^2-2x\text{,}\) el término principal\(-2x^2\) coincida exactamente con el término principal en el resto.

  

  Y así sucesivamente.

  

• Tenga en cuenta que finalmente terminamos con\(0\text{.}\) un resto Un resto distinto de cero habría señalado un error computacional, ya que sabemos que el denominador\(x-(-1)\) debe dividir\(x^3-x^2+2\) exactamente al numerador.
• Concluimos que

  \ begin {reunir*} (x+1) (x^2-2x+2) =x^3-x^2+2\ end {reunir*}

  Para comprobar esto, simplemente multiplique el lado izquierdo explícitamente.
• Aplicar la fórmula raíz cuadrática de secundaria\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) a nos\(x^2-2x+2\) dice que no tiene raíces reales y que no podemos factorizarla más ⁸.

Terminamos describiendo una alternativa a la división larga. El enfoque es aproximadamente equivalente, pero quizás sea más sencillo a expensas de requerir más álgebra.

Ejemplo A.16.8 Raíces de\(x^3-x^2+2\) again

Factorizar de\(P(x)=x^3-x^2+2\text{,}\) nuevo.

Solución: Hagamos esto de nuevo pero evitemos la división larga.

• Del ejemplo anterior, sabemos que\(\frac{x^3-x^2+2}{x+1}\) debe ser un polinomio (ya que\(-1\) es una raíz del numerador) de grado 2. Así que escribe

  \ begin {reunir*}\ frac {x^3-x^2+2} {x+1} =ax^2+bx+c\ end {reunir*}

  para algunos, hasta ahora desconocidos, coeficientes\(a,\ b\) y\(c\text{.}\)
• La multiplicación cruzada y la simplificación nos da

  \ begin {alinear*} x^3-x^2+2&= (ax^2+bx+c) (x+1)\\ &=ax^3+ (a+b) x^2+ (b+c) x+c\ end {alinear*}

• Ahora los coeficientes coincidentes de las diversas potencias de los\(x\) lados izquierdo y derecho

  \ begin {align*} &\ text {coeficiente de $x^3$:}\ qquad&a&=1\\ &\ text {coeficiente de $x^2$:} &a+b&=-1\ &\ text {coeficiente de $x^1$:} & b+c&=0\\ &\ text {coeficiente de $x^0$:} & c&=2\ end {align*}

• Esto nos da un sistema de ecuaciones que podemos resolver de manera bastante directa. Efectivamente nos dice inmediatamente que eso\(a=1\) y\(c=2\text{.}\) Subbing\(a=1\) into nos\(a+b=-1\) dice que\(1+b=-1\) y por lo tanto\(b=-2\text{.}\)
• Así

  \ begin {alinear*} x^3-x^2+2 &= (x+1) (x^2-2x+2). \ end {alinear*}