B.2: El Exponencial Complejo

Definición y Propiedades Básicas

Hay dos definiciones estándar equivalentes de lo exponencial,\(e^z\text{,}\) del número complejo\(z=x+iy\text{.}\) Para la definición más intuitiva, uno simplemente reemplaza el número real\(x\) en la expansión ¹ de la serie Taylor\(e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\) con el número complejo\(z\text{,}\) dando

\[ e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \tag{EZ} \nonumber \]

En cambio, destacamos la definición más útil computacionalmente.

Definición B.2.1

Para cualquier número complejo\(z=x+iy\text{,}\) con\(x\) y\(y\) real, el exponencial\(\, e^z\, \text{,}\) se define por

\[ e^{x+iy}\ =\ e^x\cos y+i e^x\sin y \nonumber \]

En particular ²,\(e^{iy}\ =\ \cos y+i \sin y\text{.}\)

No vamos a probar completamente que la definición intuitiva (EZ) y la definición computacional B.2.1 son equivalentes. Pero lo haremos en el caso especial que\(z=iy\text{,}\) con\(y\) real. Bajo (EZ),

\[ e^{iy} = 1 +iy +\frac{(iy)^2}{2!}+\frac{(iy)^3}{3!}+\frac{(iy)^4}{4!} +\frac{(iy)^5}{5!}+\frac{(iy)^6}{6!}+\cdots \nonumber \]

Los términos parejos en esta expansión son

\[ 1 +\frac{(iy)^2}{2!}+\frac{(iy)^4}{4!}+\frac{(iy)^6}{6!}+\cdots =1 -\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\frac{y^6}{6!}+\cdots =\cos y \nonumber \]

y los términos impares en esta expansión son

\[ iy +\frac{(iy)^3}{3!}+\frac{(iy)^5}{5!}+\cdots =i\Big(y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}+\cdots\Big) =i\sin y \nonumber \]

Sumando los términos pares e impares juntos nos da que, bajo (EZ),\(e^{iy}\) es efectivamente igual a\(\cos y + i\sin y\text{.}\) ³ Es obvio que, en el caso especial que\(z=x\) with \(x\) real, the definitions (EZ) and B.2.1 are equivalent. So to complete the proof of equivalence in the general case \(z=x+iy\text{,}\) it suffices to prove that \(e^{x+iy}=e^x e^{iy}\) under both (EZ) and Definition B.2.1. For Definition B.2.1, this follows from Lemma B.2.2, below. Como consecuencia, tenemos

\[ e^{i\pi}=-1 \nonumber \]

lo que da una increíble vinculación entre cálculo (\(e\)), geometría (\(\pi\)), álgebra (\(i\)) y el número básico\(-1\text{.}\)

En el siguiente lema verificamos que el exponencial complejo obedece a un par de propiedades computacionales familiares.

Lema B.2.2

1. Para cualquier número complejo\(z_1\) y\(z_2\text{,}\)

   \[ e^{z_1+z_2} = e^{z_1}e^{z_2} \nonumber \]

2. Para cualquier número complejo\(c\text{,}\)

   \[ \dfrac{d}{dt}e^{ct} = c e^{ct} \nonumber \]

Prueba

1. Para dos números complejos cualesquiera\(z_1=x_1+iy_1\) y\(z_2=x_2+iy_2\text{,}\) con\(x_1\text{,}\)\(y_1\text{,}\)\(x_2\text{,}\)\(y_2\) real,

   \ begin {align*} &e^ {z_1} e^ {z_2} = e^ {x_1} (\ cos y_1+i\ sin y_1) e^ {x_2} (\ cos y_2+i\ sin y_2)\\ &= e^ {x_1+x_2} (\ cos y_1+i\ sin y_1) (\ cos y_2+i\ sin y_2)\ = e^ {x_1+x_2}\ izquierda\ {(\ cos y_1\ cos y_2\! -\! \ sin y_1\ sin y_2) +i (\ cos y_1\ sin y_2\! +\! \ cos y_2\ sin y_1)\ derecha\}\\ &= e^ {x_1+x_2}\ izquierda\ {\ cos (y_1+y_2) +i\ sin (y_1+y_2)\ derecha\}\ final {alinear*}

   por las identidades trigonométricas del Apéndice A.8. Esto dice exactamente que

   \[ e^{z_1}e^{z_2}= e^{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)} = e^{z_1+z_2} \nonumber \]

   y que la fórmula familiar de multiplicación también se aplica a exponenciales complejos.
2. Para cualquier número real\(t\) y cualquier número complejo\(c=\alpha+i\beta\text{,}\) con\(\alpha\text{,}\)\(\beta\) real,

   \[ e^{ct}=e^{\alpha t+i\beta t}=e^{\alpha t}[\cos( \beta t)+i\sin(\beta t)] \nonumber \]

   de manera que el derivado con respecto a\(t\)

   \ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dt} e^ {ct} &=\ alfa e^ {\ alpha t} [\ cos (\ beta t) +i\ sin (\ beta t)] +e^ {\ alfa t} [-\ beta\ sin (\ beta t) +i\ beta\ cos (\ beta t)]\\ &= (\ alpha+i\ beta) ^ {\ alfa t} [\ cos (\ beta t) +i\ sin (\ beta t)]\\ &=ce^ {ct}\ end {align*}

   es también el familiar.

Relación con\(\sin\) y\(\cos\)

Ecuación B.2.3

Cuando\(\theta\) es un número real

\ begin {alinear*} e^ {i\ theta} &=\ cos\ theta+i\ sin\ theta\ e^ {-i\ theta} &=\ cos\ theta-i\ sin\ theta=\ overline {e^ {i\ theta}}\ end {align*}

son números complejos de módulo uno.

Resolver para\(\cos\theta\) y\(\sin\theta\) (sumando y restando las dos ecuaciones) da

Ecuación B.2.4

\ begin {alignat*} {2}\ cos\ theta&=\ frac {1} {2} (e^ {i\ theta} +e^ {-i\ theta}) &&=\ Re e^ {i\ theta}\\\ sin\ theta&=\ frac {1} {2i} (e^ {i\ theta} -e^ {-i\ theta}) &&=\ Im e^ {i\ theta}\ end {alignat*}

Ejemplo B.2.5

Estas fórmulas facilitan la obtención de identidades trigonométricas. Por ejemplo,

\ begin {alinear*}\ cos\ theta\ cos\ phi &=\ frac {1} {4}\ grande (e^ {i\ theta} +e^ {-i\ theta}\ grande)\ grande (e^ {i\ phi} +e^ {-i\ phi}\ grande)\\ &=\ frac {1} {4}\ grande (e^ {i (\ theta a+\ phi)} +e^ {i (\ theta-\ phi)} +e^ {i (-\ theta+\ phi)} +e^ {-i (\ theta+\ phi)}\ grande)\\ &=\ frac {1} {4}\ grande (e^ {i (\ theta+\ phi)} +e^ {-i (\ theta+\ phi)} +e^ {i (\ theta-\ phi)} + e^ {i (-\ theta+\ phi)}\ grande)\\ &=\ frac {1} {2}\ grande (\ cos (\ theta+\ phi) +\ cos (\ theta-\ phi)\ grande)\ end {alinear*}

y, usando\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\text{,}\)

\ begin {alinear*}\ sin^3\ theta&=-\ frac {1} {8i}\ grande (e^ {i\ theta} -e^ {-i\ theta}\ grande) ^3\ cr &=-\ frac {1} {8i}\ grande (e^ {i3\ theta} -3e^ {i\ theta} +3e^ {-i\ theta} -e^ {-i3\ theta}\ grande)\\ &=\ frac {3} {4}\ frac {1} {2i}\ grande (e^ {i\ theta} -e^ {-i\ theta}\ grande) -\ frac {1} {4}\ frac {1} {2i}\ grande (e^ {i3\ theta\ theta} -e^ {-i3\ theta}\ grande)\\ &=\ frac {3 } {4}\ sin\ theta-\ frac {1} {4}\ sin (3\ theta)\ final {alinear*}

y

\ begin {align*}\ cos (2\ theta) &=\ Re\ grande (e^ {2\ theta i}\ grande) =\ Re\ grande (e^ {i\ theta}\ grande) ^2\\ &=\ Re\ grande (\ cos\ theta+i\ sin\ theta\ grande) ^2\ &=\ Re\ grande (\ cos^2\ theta+i\ theta a+2i\ sin\ theta\ cos\ theta-\ sin^2\ theta\ grande)\\ &=\ cos^2\ theta-\ sen ^2\ theta\ fin {alinear*}

Coordenadas polares

Dejar\(z=x+iy\) ser cualquier número complejo. La escritura\(x\) y\(y\) en coordenadas polares de la manera habitual, es decir\(x=r\cos(\theta)\text{,}\)\(y=r\sin(\theta)\text{,}\) da

\ begin {reunir*} x+iy=r\ cos\ theta+ir\ sin\ theta=re^ {i\ theta}\ qquad\ end {reunir*}

Ver la figura de la izquierda a continuación. En particular

\ begin {alignat*} {4} 1 &=\\\ e^ {i0} &&= e^ {2\ pi i} &&= e^ {2k\ pi i} &&\ quad\ texto {para} k=0,\ pm 1,\ pm2,\ cdots\\ -1 &=\\\ e^ {i\ pi} &&= e^ {3\ pi} &&= e^ {(1+2k)\ pi i} &&\ quad\ texto {para} k=0,\ pm 1,\ pm2,\ cdots\\ i &=\ e^ {i\ pi/2} &&= e^ {{5\ sobre 2}\ pi i} &&= e^ {({1\ sobre 2} +2k)\ pi i} &&\ quad\ text {para} k=0,\ pm 1,\ pm2,\ cdots\\ -i &= e^ {-i\ pi/2} &&=e^ {{3\ over 2}\ pi i} &&= e^ {(- {1\ sobre 2} +2k)\ pi i} &&\ quad\ texto {para} k=0,\ pm 1,\ pm2,\ cdots\ end {alignat*}

Consulta la figura de abajo a la derecha.

La coordenada polar\(\theta=\arctan\frac{y}{x}\) asociada con el número complejo\(z=x+iy\text{,}\) es decir, el punto\((x,y)\) en el\(xy\) plano, también se llama el argumento de\(z\text{.}\)

La representación de coordenadas polares facilita la búsqueda de raíces cuadradas, terceras raíces, etc. Fijar cualquier entero positivo\(n\text{.}\) Las\(n^{\rm th}\) raíces de la unidad son, por definición, todas las soluciones\(z\) de

\[ z^n\ =\ 1 \nonumber \]

Redacción\(z=re^{i\theta}\)

\[ r^ne^{n\theta i}\ =\ 1e^{0i} \nonumber \]

Las coordenadas polares\((r,\theta)\) y\((r',\theta')\) representan el mismo punto en el\(xy\) -plano si y solo si\(r=r'\) y\(\theta=\theta'+2k\pi\) para algún entero\(k\text{.}\) Así que\(z^n=1\) si y solo si\(r^n=1\text{,}\) es decir\(r=1\text{,}\) y\(n\theta =2 k\pi\) para algún entero\(k\text{.}\) Las\(n^{\rm th}\) raíces de la unidad son todos los números complejos\(e^{2\pi i{k\over n}}\) con\(k\) entero. Hay precisamente\(n\) distintas\(n^{\rm th}\) raíces de unidad porque\(e^{2\pi i{k\over n}}=e^{2\pi i{k'\over n}}\) si y solo si\(2\pi {k\over n}-2\pi {k'\over n}=2\pi {k-k'\over n}\) es un múltiplo entero de\(2\pi\text{.}\) Eso es, si y solo si\(k-k'\) es un múltiplo entero de\(n\text{.}\) Las\(\, n\, \) distintas\(n^{\rm th}\) raíces de la unidad son

\[ 1\ ,\ e^{2\pi i{1\over n}}\ ,\ e^{2\pi i{2\over n}} \ ,\ e^{2\pi i{3\over n}}\ ,\ \cdots\ ,\ e^{2\pi i{n-1\over n}} \nonumber \]

Por ejemplo, a continuación se representan\(6^{\rm th}\) las raíces de la unidad.

Explotando Exponenciales Complejos en Cálculos

Se ha aprendido a evaluar integrales que involucran funciones trigonométricas mediante el uso de integración por partes, diversas identidades trigonométricas y diversas sustituciones. A menudo es mucho más fácil de usar (B.2.3) y (B.2.4). Parte de la utilidad de los números complejos proviene de lo bien que interactúan con el cálculo a través de la función exponencial. Aquí hay dos ejemplos.

Ejemplo B.2.6

\[\begin{align*} \int e^x\cos x\ \, d{x}&=\frac{1}{2} \int e^x\big[e^{ix}+e^{-ix}\big]\ \, d{x} =\frac{1}{2} \int \big[e^{(1+i)x}+e^{(1-i)x}\big]\ \, d{x} \\ &=\frac{1}{2} \left[\frac{1}{1+i}e^{(1+i)x}+\frac{1}{1-i}e^{(1-i)x}\right]+C \end{align*}\]

Esta forma de la integral indefinida se ve un poco extraña debido a la\(i\)'s Si bien parece compleja por la\(i\)'s, en realidad es puramente real (y correcta), porque\(\frac{1}{1-i}e^{(1-i)x}\) es el complejo conjugado de\(\frac{1}{1+i}e^{(1+i)x}\text{.}\) Podemos convertir la integral indefinida en una forma más familiar justo por subbing de nuevo en\(e^{\pm ix}=\cos x\pm i\sin x\text{,}\)\(\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-i}{2}\) y\(\frac{1}{1-i}=\overline{\frac{1}{1+i}}=\frac{1+i}{2}\text{.}\)

\ begin {align*}\ int e^x\ cos x\\, d {x} &=\ frac {1} {2} e^x\ left [\ frac {1} {1+i} e^ {ix} +\ frac {1} {1-i} e^ {-ix}\ derecha] +C\\ &=\ frac {1} {2} e^x\ izquierda [\ frac {1-i} {2} (\ cos x+i\ sin x) +\ frac {1+i} {2} (\ cos x-i\ sin x)\ derecha] +C\ &=\ frac {1} {2} e^x\ cos x+\ frac {1} {2} e^x\ sin x+C\ end {align*}

Esto se puede verificar rápidamente diferenciando (o comparando con el Ejemplo 1.7.11).

Ejemplo B.2.7

Evaluar la integral\(\int\cos^nx\ \, d{x}\) usando los métodos de la Sección 1.8 puede ser un verdadero dolor. Es mucho más fácil si convertimos a exponenciales complejos. Usando\((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\text{,}\)

\ begin {alinear*}\ int\ cos^4 x\\, d {x} &=\ frac {1} {2^4}\ int\ grande [e^ {ix} +e^ {-ix}\ grande] ^4\\, d {x}\\ &=\ frac {1} {2^4}\ int\ grande [e^ {4ix} +4e^ {2^ ix} +6+4e^ {-2ix} +e^ {-4ix}\ grande]\\, d {x}\\ &=\ frac {1} {2^4}\ left [\ frac {1} {4i} e^ {4ix} +\ frac {4} {2i} e^ {2ix} +6x +\ frac {4} {-2i} e^ {-2ix} +\ frac {1} {-4i} e^ {-4ix}\ derecha] +C\\ & =\ frac {1} {2^4}\ izquierda [\ frac {1} {2}\ frac {1} {2i} (e^ {4ix} -e^ {-4ix}) +\ frac {4} {2i} (e^ {2ix} -e^ {-2ix}) +6x\ derecha] +C\\ &=\ frac {1} 2^4}\ izquierda [\ frac {1} {2}\ sin 4x+4\ sin 2x+6x\ derecha] +C\\ &=\ frac {1} {32}\ sin 4x+\ frac {1} {4}\ sin 2x+\ frac {3} {8} x+C\ end {align*}

Explotando exponenciales complejos en cálculos de ecuaciones diferenciales

Los exponenciales complejos también son ampliamente utilizados para simplificar el proceso de adivinar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias. Comenzaremos con (posiblemente una revisión de) algunas definiciones básicas y hechos sobre ecuaciones diferenciales.

Definición B.2.8

1. Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que contiene las derivadas de esa función desconocida. Por ejemplo,\(y''(t)+y(t)=0\) es una ecuación diferencial para la función desconocida\(y(t)\text{.}\)
2. En el texto de cálculo diferencial CLP-1, se trataron únicamente derivadas de funciones de una variable. Tales derivados se denominan derivados ordinarios. Una ecuación diferencial se denomina ecuación diferencial ordinaria (a menudo abreviada como “ODE”) si solo aparecen derivadas ordinarias. Es decir, si la función desconocida tiene sólo una única variable independiente.

   En CLP-3 trataremos derivados de funciones de más de una variable. Por ejemplo, dejar\(f(x,y)\) ser una función de dos variables. Si tratas\(y\) como una constante y tomas la derivada de la función resultante de la variable única,\(x\text{,}\) el resultado se llama la derivada parcial de\(f\) con respecto a\(x\text{.}\) Una ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial (a menudo abreviado a “PDE”) si aparecen derivados parciales. Es decir, si la función desconocida tiene más de una variable independiente. Por ejemplo\(y''(t)+y(t)=0\) es una ODE mientras que\(\frac{\partial^2 u}{\partial\, t^2}(x,t)=c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial\, x^2}(x,t)\) es una PDE.

3. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece. Por ejemplo\(y''(t)+y(t)=0\) es una ODE de segundo orden.
4. Una ecuación diferencial ordinaria que es de la forma

   \[ a_0(t) y^{(n)}(t) + a_1(t) y^{(n-1)}(t)+\cdots +a_n(t)y(t) =F(t)\label{eqn_ODEordern}\tag{B.2.1} \]

   con funciones de coeficiente dadas\(a_0(t)\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_n(t)\) y\(F(t)\) se dice que es lineal. De lo contrario, se dice que la ODE es no lineal. Por ejemplo,\(y'(t)^2+y(t)=0\text{,}\)\(y'(t)y''(t)+y(t)=0\) y\(y'(t)=e^{y(t)}\) son todos no lineales.

5. Se dice que la ODE (B.2.1) tiene coeficientes constantes si los coeficientes\(a_0(t)\text{,}\)\(a_1(t)\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_n(t)\) son todos constantes. De lo contrario, se dice que tiene coeficientes variables. Por ejemplo, la ODE\(y''(t)+7y(t)=\sin t\) es coeficiente constante, mientras que\(y''(t)+ty(t)=\sin t\) es coeficiente variable.
6. Se dice que la ODE (B.2.1) es homogénea si\(F(t)\) es idéntica a cero. De lo contrario, se dice que no es homogéneo o no homogéneo. Por ejemplo, la ODE\(y''(t)+7y(t)=0\) es homogénea, mientras que\(y''(t)+7y(t)=\sin t\) no homogénea. Una ODE homogénea siempre tiene la solución trivial\(y(t)=0\text{.}\)
7. Un problema de valor inicial es un problema en el que uno es encontrar una función desconocida\(y(t)\) que satisfaga tanto una ODE dada como condiciones iniciales dadas, como\(y(t_0)=1\text{,}\)\(y'(t_0)=0\text{.}\) Tenga en cuenta que todas las condiciones involucran la función\(y(t)\) (o sus derivadas) evaluadas en un una sola vez\(t=t_0\text{.}\)
8. Un problema de valor límite es un problema en el que uno es encontrar una función desconocida\(y(t)\) que satisfaga tanto una ODE dada como condiciones de límite dadas, como\(y(t_0)=0\text{,}\)\(y(t_1)=0\text{.}\) Tenga en cuenta que las condiciones involucran la función\(y(t)\) (o sus derivadas) evaluadas en dos diferentes tiempos.

El siguiente teorema da la forma de soluciones al lineal ⁴ ODE (B.2.1).

Teorema B.2.9

Supongamos que los coeficientes\(a_0(t)\text{,}\)\(a_1(t)\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(a_{n-1}(t)\text{,}\)\(a_n(t)\) y\(F(t)\) son funciones continuas y eso no\(a_0(t)\) es cero.

1. La solución general a la ODE lineal (B.2.1) es de la forma

   \[ y(t)=y_p(t)+ C_1y_1(t)+C_2y_2(t)+\cdots+C_n y_n(t)\label{eqn_ODEgensln}\tag{B.2.2} \]

   donde

   • \(n\)es el orden de (B.2.1)
   • \(y_p(t)\)es cualquier solución para (B.2.1)
   • \(C_1\text{,}\)\(C_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(C_n\)son constantes arbitrarias
   • \(y_1\text{,}\)\(y_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(y_n\)son soluciones\(n\) independientes a la ecuación homogénea

     \[ a_0(t) y^{(n)}(t) + a_1(t) y^{(n-1)}(t)+\cdots+a_{n-1}(t) y'(t) +a_n(t)y(t)=0 \nonumber \]

     asociados a (B.2.1). “Independiente” solo significa que no se\(y_i\) puede escribir como una combinación lineal de la otra\(y_j\). Por ejemplo,\(y_1(t)\) no se puede expresar en la forma\(b_2y_2(t)+\cdots+b_ny_n(t)\text{.}\)

   En (B.2.2),\(y_p\) se llama la “solución particular” y\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)+\cdots+C_n y_n(t)\) se llama la “solución complementaria”.

2. Dadas las constantes\(b_0\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(b_{n-1}\) hay exactamente una función\(y(t)\) que obedece a la ODE (B.2.1) y las condiciones iniciales

   \[ y(0)=b_0\qquad y'(0)=b_1\qquad \cdots\qquad y^{(n-1)}(0)=b_{n-1} \nonumber \]

En el siguiente ejemplo vamos a derivar un coeficiente constante lineal ampliamente utilizado ODE.

Ejemplo B.2.10 Circuito RLC

Como ejemplo de cómo surgen las ODE, consideramos el circuito RLC, que es el circuito eléctrico que consiste en una resistencia de resistencia\(R\text{,}\) una bobina (o solenoide) de inductancia,\(L\text{,}\) un condensador de capacitancia\(C\) y una fuente de voltaje dispuesta en serie, como se muestra a continuación. Aquí\(R\text{,}\)\(L\) y\(C\) están todas las constantes no negativas.

Vamos a pensar en el voltaje\(x(t)\) como una señal de entrada, y el voltaje\(y(t)\) como una señal de salida. El objetivo es determinar la señal de salida producida por una señal de entrada dada. Si\(i(t)\) es la corriente que fluye en el tiempo\(t\) en el bucle como se muestra y\(q(t)\) es la carga en el condensador, entonces los voltajes a través\(R\text{,}\)\(L\) y\(C\text{,}\) respectivamente, en el tiempo\(t\) son\(Ri(t)\text{,}\)\(L\dfrac{di}{dt}(t)\) y\(y(t)=\frac{q(t)}{C}\text{.}\) Por la ley de Kirchhoff ⁵ que dice que el voltaje entre dos puntos cualesquiera tiene que ser independiente del trayecto utilizado para recorrer entre los dos puntos, estos tres voltajes deben sumarse para\(x(t)\) que

\[ Ri(t) + L\dfrac{di}{dt}(t) + \frac{q(t)}{C} = x(t)\label{eqn_RLCrlc}\tag{B.2.3} \]

Suponiendo que\(R,\ L,\ C\) y\(x(t)\) se conozcan, esta sigue siendo una ecuación diferencial en dos incógnitas, la corriente\(i(t)\) y la carga\(q(t)\text{.}\) Afortunadamente, hay una relación entre las dos. Porque la corriente que ingresa al condensador es la tasa de cambio de la carga en el condensador

\[ i(t)=\dfrac{dq}{dt}(t) = Cy'(t)\label{eqn_RLCiq}\tag{B.2.4} \]

Esto solo dice que el condensador no puede crear ni destruir carga por sí solo; toda la carga del condensador debe provenir de la corriente. Sustituir (B.2.4) en (B.2.3) da

\[ LCy''(t) + RCy'(t) + y(t) = x(t) \nonumber \]

que es un coeficiente constante lineal de segundo orden ODE. Como ejemplo concreto, tomaremos una fuente de voltaje de CA y elegiremos el origen del tiempo para que\(x(0)=0\text{,}\)\(x(t)=E_0\sin(\omega t)\text{.}\) Entonces la ecuación diferencial se convierta

\[ LCy''(t)+RCy'(t)+y(t)=E_0\sin(\omega t)\label{eqn_ODERy}\tag{B.2.5} \]

Por último, aquí hay dos ejemplos en los que utilizamos exponenciales complejos para resolver una ODE.

Ejemplo B.2.11

Por Teorema B.2.9 (a), la solución general a la ecuación diferencial ordinaria

\[ y''(t)+4y'(t)+5y(t)=0 \tag{ODE} \nonumber \]

es de la forma\(C_1 u_1(t)+C_2 u_2(t)\) con\(u_1(t)\) y\(u_2(t)\) siendo dos soluciones (independientes) a (ODE) y con\(C_1\) y\(C_2\) siendo constantes arbitrarias. La forma más fácil de encontrar\(u_1(t)\) y\(u_2(t)\) es adivinarlos. Y la forma más fácil de adivinarlos es probar ⁶ La razón de que\(y(t)=e^{rt}\) is a good guess is that, with this guess, all of \(y(t)\text{,}\) \(y'(t)\) and \(y''(t)\) are constants times \(e^{rt}\text{.}\) So the left hand side of the differential equation is also a constant, that depends on \(r\text{,}\) times \(e^{rt}\text{.}\) So we just have to choose \(r\) so that the constant is zero.\(y(t)=e^{rt}\text{,}\) con\(r\) ser una constante por determinar. Sustituir\(y(t)=e^{rt}\) en (ODE) da

\ begin {reunir*} r^2 e^ {rt} +4re^ {rt} +5e^ {rt} =0\ iff\ grande (r^2 +4r+5\ grande) e^ {rt} =0\ iff r^2 +4r+5 = 0\ end {reunión*}

Esta ecuación cuadrática para se\(r\) puede resolver ya sea usando la fórmula de secundaria o completando el cuadrado.

\ begin {alinear*} r^2 +4r+5=0 &\ iff (r+2) ^2+1=0\\ &\ iff (r+2) ^2=-1\ iff r+2 =\ pm i\ &\ iff r=-2\ pm i\ end {alinear*}

Entonces la solución general a (ODE) es

\ begin {reunir*} y (t) =C_1e^ {(-2+i) t} + C_2e^ {(-2-i) t}\ end {reunir*}

Esta es una forma de escribir la solución general, pero hay muchas otras. En particular hay bastantes personas en el mundo que tienen (tontamente) miedo ⁷ Abrazar la complejidad lleva a la simplicidad. de exponenciales complejos. Podemos ocultarlos usando (B.2.3) y (B.2.4).

\ begin {align*} y (t) &=C_1e^ {(-2+i) t} + C_2e^ {(-2-i) t} =C_1e^ {-2t} e^ {it} + C_2 e^ {-2t} e^ {-it}\\ &=C_1e^ {-2t}\ grande (\ cos t+i\ sin t grande\) +C_2 e^ {-2t}\ grande (\ cos t-i\ sin t\ grande)\\ &= (C_1+C_2) e^ {-2t}\ cos t + (IC_1-IC_2) e^ {-2t}\ sin t\\ &=D_1 e^ {-2t}\ cos t +D_2 e^ {-2t}\ sin t\ fin {align*}

con\(D_1=C_1+C_2\) y\(D_2=iC_1-iC_2\) siendo otras dos constantes arbitrarias. No cometas el error de pensar que\(D_2\) debe ser complejo porque\(i\) aparece en la fórmula\(D_2=iC_1-iC_2\) relativa\(D_2\) y\(C_1,C_2\text{.}\) Nadie dijo eso\(C_1\) y\(C_2\) son números reales. De hecho, en aplicaciones típicas, las constantes arbitrarias están determinadas por condiciones iniciales\(D_1\) y muchas veces y\(D_2\) resultan ser reales\(C_1\) y y\(C_2\) resultan ser complejas. Por ejemplo, las condiciones iniciales\(y(0)=0\text{,}\)\(y'(0)=2\) fuerzan

\ begin {alinear*} 0&=y (0) = C_1 + C_2\ cr 2&=y' (0) = (-2+i) C_1 + (-2-i) C_2\ end {align*}

La primera ecuación da\(C_2=-C_1\) y luego la segunda ecuación da

\ begin {align*} (-2+i) C_1 - (-2-i) C_1 = 2 &\ iff 2ic_1=2\ iff IC_1=1\\ &\ iff C_1=-i,\ C_2=I\ end {align*}

y

\ begin {reunir*} D_1=C_1+C_2=0\ qquad d_2=IC_1-IC_2=2\ end {reunir*}

Ejemplo B.2.12

Ahora vamos a adivinar una solución (es decir, una solución particular) a la ecuación diferencial

\[ y''(t)+2y'(t)+3y(t)=\cos t \tag{ODE1} \nonumber \]

Ecuaciones como esta surgen, por ejemplo, en el estudio del circuito RLC. Simplificaremos el cómputo explotando eso\(\cos t=\Re e^{it}\text{.}\) Primero, adivinaremos una función\(Y(t)\) obedeciendo

\[ Y''+2Y'+3Y=e^{i t} \tag{ODE2} \nonumber \]

Luego, tomar conjugados complejos da

\[ \bar Y''+2\bar Y'+3\bar Y=e^{-i t} \nonumber \]

que llamaremos (\(\overline{\text{ODE2}}\)). Luego, sumando\(\frac{1}{2}\) (ODE2) y\(\frac{1}{2}\) (\(\overline{\text{ODE2}}\)) juntos dará

\[ (\Re Y)''+2(\Re Y)'+3(\Re Y)=\Re e^{i t}=\cos t \nonumber \]

lo que demuestra que\(\Re Y(t)\) es una solución a (ODE1). Intentemos\(Y(t)=Ae^{i t}\text{,}\) con\(A\) una constante por determinar. Esta es una solución de (ODE2) si y solo si

\ begin {align*} & &\ frac {\ mathrm {d^2}} {\ mathrm {d} t^2}\ grande (Ae^ {it}\ grande) +2\ dfrac {d} {dt}\ grande (Ae^ {it}\ grande) +3Ae^ {it} &=e^ {it}\\ &\ iff& (i^2+2i+3) Ae^ {it} &=e^ {it}\\ &\ iff& A&=\ frac {1} {2+2i}\ end {align*}

Así\(\frac{e^{it}}{2+2i}\) es una solución a (ODE2) y\(\Re \frac{e^{it}}{2+2i}\) es una solución a (ODE1). Para simplificar esto, escribe\(2+2i\) en coordenadas polares. Del boceto a continuación tenemos\(2+2i=2\sqrt{2}e^{i{\pi\over 4}}\text{.}\)

Entonces

\ begin {align*}\ frac {e^ {it}} {2+2i} &=\ frac {e^ {it}} {2\ sqrt {2} e^ {i {\ pi\ over 4}}} =\ frac {1} {2\ sqrt {2}} e^ {i (t- {\ pi\ over 4})}\\ implica\ Re\ fr{ e^ {it}} {2+2i} &=\ frac {1} {2\ sqrt {2}}\ Re e^ {i (t- {\ pi\ over 4})} =\ frac {1} {2\ sqrt {2}}\ cos\ left (t-\ frac {\ pi} {4}\ derecha)\ end {align*}