C.2: Integración Romberg

Las fórmulas (E4a, b) para\(K\) y\(\cA\) son, por supuesto, solo ¹ “Only” es un poco fuerte. No subestimes el poder de una buena aproximación (juego de palabras intencionado). aproximadas ya que se basan en (E2), que es una aproximación a (E1). Repetimos la derivación que lleva a (E4), pero usando el completo (E1),

\[ \cA=A(h)+Kh^k+K_1h^{k+1}+K_2h^{k+2}+\cdots \nonumber \]

Una vez más, supongamos que hemos elegido algunos\(h\) y que hemos evaluado\(A(h)\) y\(A(h/2)\text{.}\) Ellos obedecen

\ begin {align*}\ ca&=A (h) +kh^k+k_1h^ {k+1} +k_2h^ {k+2} +\ cdots\ tag {e5a}\\\ ca&=A (h/2) +K\ grande (\ tfrac {h} {2}\ grande) ^k +K_1\ grande (\ tfrac {h} 2}\ grande) ^ {k+1} +K_2\ grande (\ tfrac {h} {2}\ grande) ^ {k+2} +\ cdots\ tag {e5b}\ end {align*}

Ahora, como hicimos en la derivación de (E4b), multiplicar (E5b) por\(2^k\) y luego restar (E5a). Esto da

\[ \left(2^k-1\right)\cA=2^kA(h/2)-A(h)-\half K_1 h^{k+1}-\tfrac{3}{4} K_2 h^{k+1}+\cdots \nonumber \]

y luego, dividiendo entre\(\left(2^k-1\right)\text{,}\)

\[ \cA=\frac{2^kA(h/2)-A(h)}{2^k-1}-\frac{1/2}{2^k-1} K_1 h^{k+1}-\frac{3/4}{2^k-1} K_2 h^{k+2}+\cdots \nonumber \]

De ahí que si definimos nuestra “nueva aproximación mejorada”

\[ B(h)=\frac{2^kA(h/2)-A(h)}{2^k-1}\ \text{and}\ \tilde K = -\frac{1/2}{2^k-1}K_1\ \text{and}\ \tilde K_1 = -\frac{3/4}{2^k-1}K_2 \tag{E6} \nonumber \]

tenemos

\[ \cA=B(h)+\tilde K h^{k+1}+\tilde K_1 h^{k+2}+\cdots \nonumber \]

que dice que\(B(h)\) es una aproximación a\(\cA\) cuyo error es de orden\(k+1\text{,}\) uno mejor ² Es decir, el error decae como\(h^{k+1}\) as opposed to \(h^k\) — so, as \(h\) decreases, it gets smaller faster. que\(A(h)\)'s.

Si se\(A(h)\) ha calculado para tres valores de\(h\text{,}\) podemos generar\(B(h)\) para dos valores de\(h\) y repetir el procedimiento anterior con un nuevo valor de\(k\text{.}\) Y así sucesivamente. Un algoritmo de integración numérica ampliamente utilizado, llamado Romberg integration ³ Romberg Integration fue introducido por el alemán Werner Romberg (1909—2003) en 1955. , aplica este procedimiento reiteradamente a la regla trapezoidal. Se sabe que la aproximación de la regla trapezoidal\(T(h)\) a una integral\(I\) tiene un comportamiento de error (asumiendo que el integrando\(f(x)\) es suave)

\[ I=T(h)+K_1h^2+K_2h^4+K_3h^6+\cdots \nonumber \]

Sólo incluso poderes de\(h\) aparecer. De ahí

\[\begin{align*} T(h)& &&\text{ has error of order 2}\\ \end{align*}\]

de modo que, usando (E6) con\(k=2\text{,}\)

\ begin {align*} T_1 (h) &=\ tfrac {4T (h/2) -T (h)} {3} &&\ text {tiene error de orden 4}\\\ end {align*}

de modo que, usando (E6) con\(k=4\text{,}\)

\ begin {align*} T_2 (h) &=\ tfrac {16T_1 (h/2) -T_1 (h)} {15} &&\ text {tiene error de orden 6}\\\ end {alinear*}

de modo que, usando (E6) con\(k=6\text{,}\)

\ begin {align*} T_3 (h) &=\ tfrac {64T_2 (h/2) -T_2 (h)} {63} &&\ text {tiene error de orden 8}\ end {align*}

y así sucesivamente. Conocemos otro método que produce un error de orden 4: la regla de Simpson. De hecho,\(T_1(h)\) es exactamente la regla de Simpson (para el tamaño del paso\(\frac{h}{2}\)).

Ecuación C.2.1 Integración Romberg

\(T(h)\)Sea la aproximación de regla trapezoidal, con tamaño de paso\(h\text{,}\) a una integral\(I\text{.}\) El algoritmo de integración Romberg es

\ begin {align*} T_1 (h) &=\ tfrac {4T (h/2) -T (h)} {3}\\ T_2 (h) &=\ tfrac {16T_1 (h/2) -T_1 (h)} {15}\\ T_2 (h) &=\ tfrac {64T_2 (h/2) -T_2 (h)} {63}\\ &\\ vdots\\ t_k (h) &=\ tfrac {2^ {2k} T_ {k-1} (h/2) -T_ {k-1} (h)} {2^ {2k} -1}\\ &\\ vdots\ end {align*}

Ejemplo C.2.2 Hallazgo\(\pi\) by Romberg integration

El siguiente cuadro ⁴ La segunda columna, por ejemplo, de la tabla solo informes\(5\) decimal places for \(T(h)\text{.}\) But many more decimal places of \(T(h)\) were used in the computations of \(T_1(h)\) etc. ilustra la integración Romberg aplicándola al área\(A\) de la integral\(A=\int_0^1\frac{4}{1+x^2}\, d{x}\text{.}\) El valor exacto de esta integral es\(\pi\) que es\(3.14159265358979\text{,}\) a catorce decimales.

\(h\)	\(T(h)\)	\(T_1(h)\)	\(T_2(h)\)	\(T_3(h)\)
1/4	3.13118	3.14159250246	3.14159266114	3.14159265359003
1/8	3.13899	3.141592651225	3.141592653708
1/16	3.14094	3.141592653553
1/32	3.14143

Este cómputo requirió la evaluación de\(f(x)=\frac{4}{1+x^2}\) solo para\(x=\frac{n}{32}\) con\(0\le n\le 32\) — es decir, un total de\(33\) evaluaciones de\(f\text{.}\) Esas\(33\) evaluaciones nos dieron cifras decimales\(12\) correctas. A modo de comparación,\(T\big(\frac{1}{32}\big)\) se utilizaron las mismas\(33\) evaluaciones de\(f\text{,}\) pero sólo nos dieron cifras decimales\(3\) correctas.

Como hemos visto, la extrapolación de Richardson se puede utilizar para elegir el tamaño de paso para lograr algún grado de precisión deseado. A continuación vamos a considerar una familia de algoritmos que amplían esta idea para utilizar pequeños tamaños de paso en la parte del dominio de la integración donde es difícil obtener una buena precisión y grandes tamaños de paso en la parte del dominio de integración donde es fácil obtener una buena precisión. Ilustraremos las ideas aplicándolas a la integral\(\int_0^1 \sqrt{x}\ \, d{x}\text{.}\) El integrando\(\sqrt{x}\) cambia muy rápidamente cuando\(x\) es pequeño y cambia lentamente cuando\(x\) es grande. Entonces haremos que el tamaño del paso sea pequeño cerca\(x=0\) y haremos que el tamaño del paso sea grande cerca\(x=1\text{.}\)