A.9: Funciones trigonométricas inversas

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Es posible que algunos de ustedes no hayan estudiado funciones trigonométricas inversas en secundaria, sin embargo aún esperamos que las conozca al final del curso.

\[ \arcsin x \nonumber \]
Dominio:\(-1 \leq x \leq 1\)

Rango:\(-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}\)

\[ \arccos x \nonumber \]
Dominio:\(-1 \leq x \leq 1\)

Rango:\(0 \leq \arccos x \leq \pi\)

\[ \arctan x \nonumber \]
Dominio: todos los números reales

Rango:\(-\frac{\pi}{2} \lt \arctan x \lt \frac{\pi}{2}\)

Como estas funciones son inversas unas de otras tenemos

\ begin {align*}\ arcsin (\ sin\ theta) &=\ theta & -\ frac {\ pi} {2}\ leq\ theta\ leq\ frac {\ pi} {2}\\\ arccos (\ cos\ theta) &=\ theta & 0\ leq\ theta\ leq\ leq\ pi\\ arctan (\ tan\ theta) &=\ theta & -\ frac {\ pi} {2}\ leq\ theta\ leq\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

y también

\ begin {alinear*}\ sin (\ arcsin x) &= x & -1\ leq x\ leq 1\\\ cos (\ arccos x) &= x & -1\ leq x\ leq 1\\\ tan (\ arctan x) &= x &\ texto {cualquier real} x\ end {alinear*}

\[ \textrm{arccsc}\, x \nonumber \]
Dominio:\(|x|\ge 1\)

Rango:\(-\frac{\pi}{2} \leq \textrm{arccsc}\, x \leq \frac{\pi}{2}\)

\[ \textrm{arccsc}\, x \ne 0 \nonumber \]

\[ \textrm{arcsec}\, x \nonumber \]
Dominio:\(|x|\ge 1\)

Rango:\(0 \leq \textrm{arcsec}\, x \leq \pi\)

\[ \textrm{arcsec}\, x \ne \frac{\pi}{2} \nonumber \]

\[ \textrm{arccot}\, x \nonumber \]
Dominio: todos los números reales

Rango:\(0 \lt \textrm{arccot}\, x \lt \pi\)

Nuevamente

\ begin {align*}\ textrm {arccsc}\, (\ csc\ theta) &=\ theta & -\ frac {\ pi} {2}\ leq\ theta\ leq\ frac {\ pi} {2},\\ theta\ ne 0\\ textrm {arcsec}\, (\ sec\ theta) & =\ theta & 0\ leq\ theta\ leq\ pi,\\ theta\ ne\ frac {\ pi} {2}\\\ textrm {arccot}\, (\ cot\ theta) & =\ theta & 0\ lt\ theta\ lt\ pi\ end {align *}

\ begin {align*}\ csc (\ textrm {arccsc}\, x) &= x & |x|\ ge 1\\\ sec (\ textrm {arcsec}\, x) &= x & |x|\ ge 1\\\ cot (\ textrm {arccot}\, x) &= x &\ texto {cualquier real} x\ end {align*}