A.15: Coordenadas Cartesianas

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Cada punto en dos dimensiones puede ser etiquetado por dos coordenadas\((x,y)\) que especifican la posición del punto en algunas unidades con respecto a algunos ejes como en la siguiente figura.

El conjunto de todos los puntos en dos dimensiones se denota\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Observe que

la distancia desde el punto\((x,y)\) hasta el\(x\) eje es\(|y|\)
la distancia desde el punto\((x,y)\) hasta el\(y\) eje es\(|x|\)
la distancia desde el punto\((x,y)\) hasta el origen\((0,0)\) es\(\sqrt{x^2+y^2}\)

De igual manera, cada punto en tres dimensiones puede ser etiquetado por tres coordenadas\((x,y,z)\text{,}\) como en las dos figuras siguientes.

El conjunto de todos los puntos en tres dimensiones se denota\(\mathbb{R}^3\text{.}\) El plano que contiene, por ejemplo, los\(y\) ejes\(x\) - y -se llama\(xy\) -plano.

El\(xy\) -plano es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(z=0\text{.}\)
El\(xz\) -plano es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(y=0\text{.}\)
El\(yz\) -plano es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(x=0\text{.}\)

De manera más general,

El conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(z=c\) es un plano que es paralelo al\(xy\) plano y está a una\(|c|\) distancia de él. Si\(c \gt 0\text{,}\) el avión\(z=c\) está por encima del\(xy\) -plano. Si\(c \lt 0\text{,}\) el avión\(z=c\) está por debajo del\(xy\) plano. Decimos que el avión\(z=c\) es una distancia\(c\) señalizada del\(xy\) -avión.
El conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(y=b\) es un plano que es paralelo al\(xz\) plano y es una distancia firmada\(b\) de él.
El conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(x=a\) es un plano que es paralelo al\(yz\) plano y es una distancia firmada\(a\) de él.

Observe que

la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el\(xy\) plano es\(|z|\)
la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el\(xz\) plano es\(|y|\)
la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el\(yz\) plano es\(|x|\)
la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el origen\((0,0,0)\) es\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

La distancia del punto\((x,y,z)\) al punto\((x',y',z')\) es

\[ \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \nonumber \]

de manera que la ecuación de la esfera centrada en\((1,2,3)\) con radio es\(4\text{,}\) decir, el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) cuya distancia desde\((1,2,3)\) es\(4\text{,}\) es

\[ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16 \nonumber \]