Saltar al contenido principal

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Cada punto en dos dimensiones puede ser etiquetado por dos coordenadas$$(x,y)$$ que especifican la posición del punto en algunas unidades con respecto a algunos ejes como en la siguiente figura.

El conjunto de todos los puntos en dos dimensiones se denota$$\mathbb{R}^2\text{.}$$ Observe que

• la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el$$x$$ eje es$$|y|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el$$y$$ eje es$$|x|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el origen$$(0,0)$$ es$$\sqrt{x^2+y^2}$$

De igual manera, cada punto en tres dimensiones puede ser etiquetado por tres coordenadas$$(x,y,z)\text{,}$$ como en las dos figuras siguientes.

El conjunto de todos los puntos en tres dimensiones se denota$$\mathbb{R}^3\text{.}$$ El plano que contiene, por ejemplo, los$$y$$ ejes$$x$$ - y -se llama$$xy$$ -plano.

• El$$xy$$ -plano es el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$z=0\text{.}$$
• El$$xz$$ -plano es el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$y=0\text{.}$$
• El$$yz$$ -plano es el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$x=0\text{.}$$

De manera más general,

• El conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$z=c$$ es un plano que es paralelo al$$xy$$ plano y está a una$$|c|$$ distancia de él. Si$$c \gt 0\text{,}$$ el avión$$z=c$$ está por encima del$$xy$$ -plano. Si$$c \lt 0\text{,}$$ el avión$$z=c$$ está por debajo del$$xy$$ plano. Decimos que el avión$$z=c$$ es una distancia$$c$$ señalizada del$$xy$$ -avión.
• El conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$y=b$$ es un plano que es paralelo al$$xz$$ plano y es una distancia firmada$$b$$ de él.
• El conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$x=a$$ es un plano que es paralelo al$$yz$$ plano y es una distancia firmada$$a$$ de él.

Observe que

• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el$$xy$$ plano es$$|z|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el$$xz$$ plano es$$|y|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el$$yz$$ plano es$$|x|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el origen$$(0,0,0)$$ es$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

La distancia del punto$$(x,y,z)$$ al punto$$(x',y',z')$$ es

$\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \nonumber$

de manera que la ecuación de la esfera centrada en$$(1,2,3)$$ con radio es$$4\text{,}$$ decir, el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ cuya distancia desde$$(1,2,3)$$ es$$4\text{,}$$ es

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16 \nonumber$

This page titled A.15: Coordenadas Cartesianas is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.