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A.15: Coordenadas Cartesianas

  • Page ID
    119317
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    Cada punto en dos dimensiones puede ser etiquetado por dos coordenadas\((x,y)\) que especifican la posición del punto en algunas unidades con respecto a algunos ejes como en la siguiente figura.

    El conjunto de todos los puntos en dos dimensiones se denota\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Observe que

    • la distancia desde el punto\((x,y)\) hasta el\(x\) eje es\(|y|\)
    • la distancia desde el punto\((x,y)\) hasta el\(y\) eje es\(|x|\)
    • la distancia desde el punto\((x,y)\) hasta el origen\((0,0)\) es\(\sqrt{x^2+y^2}\)

    De igual manera, cada punto en tres dimensiones puede ser etiquetado por tres coordenadas\((x,y,z)\text{,}\) como en las dos figuras siguientes.

    El conjunto de todos los puntos en tres dimensiones se denota\(\mathbb{R}^3\text{.}\) El plano que contiene, por ejemplo, los\(y\) ejes\(x\) - y -se llama\(xy\) -plano.

    • El\(xy\) -plano es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(z=0\text{.}\)
    • El\(xz\) -plano es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(y=0\text{.}\)
    • El\(yz\) -plano es el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(x=0\text{.}\)

    De manera más general,

    • El conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(z=c\) es un plano que es paralelo al\(xy\) plano y está a una\(|c|\) distancia de él. Si\(c \gt 0\text{,}\) el avión\(z=c\) está por encima del\(xy\) -plano. Si\(c \lt 0\text{,}\) el avión\(z=c\) está por debajo del\(xy\) plano. Decimos que el avión\(z=c\) es una distancia\(c\) señalizada del\(xy\) -avión.
    • El conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(y=b\) es un plano que es paralelo al\(xz\) plano y es una distancia firmada\(b\) de él.
    • El conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(x=a\) es un plano que es paralelo al\(yz\) plano y es una distancia firmada\(a\) de él.

    Observe que

    • la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el\(xy\) plano es\(|z|\)
    • la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el\(xz\) plano es\(|y|\)
    • la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el\(yz\) plano es\(|x|\)
    • la distancia desde el punto\((x,y,z)\) hasta el origen\((0,0,0)\) es\(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

    La distancia del punto\((x,y,z)\) al punto\((x',y',z')\) es

    \[ \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \nonumber \]

    de manera que la ecuación de la esfera centrada en\((1,2,3)\) con radio es\(4\text{,}\) decir, el conjunto de todos los puntos\((x,y,z)\) cuya distancia desde\((1,2,3)\) es\(4\text{,}\) es

    \[ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16 \nonumber \]


    This page titled A.15: Coordenadas Cartesianas is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.