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La extrapolación de Richardson también se utiliza para elegir el tamaño de paso para lograr cierto grado de precisión deseado. “Cuadratura adaptativa” se refiere a una familia de algoritmos que utilizan tamaños de paso pequeños en la parte del dominio de integración donde es difícil obtener una buena precisión y grandes tamaños de paso en la parte del dominio de integración donde es fácil obtener una buena precisión.

Ilustraremos la idea usando la regla de Simpson aplicada a la integral$$\int_a^b f(x)\ \, d{x}\text{,}$$ y asumiendo que queremos que el error no sea más de (aproximadamente) alguna constante fija$$\varepsilon\text{.}$$ Por ejemplo,$$\varepsilon$$ podría ser$$10^{-6}\text{.}$$ Denotar por$$S(a',b'\,;\,h')\text{,}$$ la respuesta dada cuando la regla de Simpson se aplica a la integral$$\int_{a'}^{b'} f(x)\ \, d{x}$$ con tamaño de paso$$h'\text{.}$$

• Paso 1. Comenzamos aplicando la regla de Simpson, combinada con la extrapolación de Richardson para obtener una estimación de error, con el tamaño de paso más grande posible$$h\text{.}$$ Es decir, establecer$$h=\tfrac{b-a}{2}$$ y calcular

$f(a)\quad f\big(a+\tfrac{h}{2}\big)\quad f(a+h)=f\big(\tfrac{a+b}{2}\big)\quad f\big(a+\tfrac{3h}{2}\big)\quad f(a+2h)=f(b) \nonumber$

Entonces

$S\big(a,b\,;h\big) =\tfrac{h}{3}\big\{f(a)+4 f\big(a+h\big)+f(b)\big\} \nonumber$

y

\ begin {alinear*} S\ grande (a, b\,;\ tfrac {h} {2}\ grande) &=\ tfrac {h} {6}\ grande\ {f (a) +4 f\ grande (a+\ tfrac {h} {2}\ grande) +2f\ grande (\ tfrac {a+b} {2}\ grande) +4 f\ grande (a+\ tfrac {3h} {2}\ grande) +f (b)\ grande\}\ &=S\ grande (a,\ tfrac {a+b} {2}\,;\ tfrac {h} {2}\ grande) +S\ grande (\ tfrac {a+b} {2}, b\,;\ tfrac {h} {2}\ grande)\ end {align*}

con

\ begin {alinear*} S\ grande (a,\ tfrac {a+b} {2}\,;\,\ tfrac {h} {2}\ grande) &=\ tfrac {h} {6}\ grande\ {f (a) +4 f\ grande (a+\ tfrac {h} {2}\ grande) +f\ grande (\ tfrac {a+b} 2}\ grande)\ grande\}\ S\ grande (\ tfrac {a+b} {2}, b\,;\,\ tfrac {h} {2}\ grande) &=\ tfrac {h} {6}\ grande\ {f\ grande (\ tfrac {a+b} {2}\ grande) +4 f\ grande (a+\ tfrac {3h} 2}\ grande) +f (b)\ grande\}\ final {alinear*}

El uso de la fórmula de extrapolación de Richardson (E4a) con$$k=4$$ da que el error en$$S\big(a,b\,;\,\tfrac{h}{2}\big)$$ es (aproximadamente)

$\big|K\big(\tfrac{h}{2}\big)^4\big|=\tfrac{1}{15}\Big| S\big(a,b\,;\,\tfrac{h}{2}\big) -S\big(a,b\,;\,h\big)\Big| \tag{E7} \nonumber$

Si esto es más pequeño de$$\varepsilon\text{,}$$ lo que tenemos (aproximadamente) la precisión deseada y el tope 1 Es muy común construir en un poco de margen de seguridad y requerir que, por ejemplo,$$\big|K\big(\tfrac{h}{2}\big)^4\big|$$ be smaller than $$\tfrac{\varepsilon}{2}$$ rather than $$\varepsilon\text{.}$$.
• Paso 2. Si (E7) es mayor que$$\varepsilon\text{,}$$ dividimos la integral original$$I=\int_a^b f(x)\,\, d{x}$$ en dos integrales “de tamaño medio”,$$I_1=\int_a^{\tfrac{a+b}{2}} f(x)\,\, d{x}$$$$I_2=\int_{\tfrac{a+b}{2}}^b f(x)\,\, d{x}$$ y repetimos el procedimiento del Paso 1 en cada una de ellas, pero con$$h$$ reemplazada por$$\tfrac{h}{2}$$ y$$\varepsilon$$ reemplazada por$$\tfrac{\varepsilon}{2}$$ — si podemos encontrar una aproximación,$$\tilde I_1\text{,}$$ a$$I_1$$ con un error menor que$$\tfrac{\varepsilon}{2}$$ y una aproximación,$$\tilde I_2\text{,}$$ a$$I_2$$ con un error menor que$$\tfrac{\varepsilon}{2}\text{,}$$ entonces se$$\tilde I_1+\tilde I_2$$ aproxima$$I$$ con un error menor que$$\varepsilon\text{.}$$ Aquí hay más detalle.
• Si el error en la aproximación$$\tilde I_1$$ a$$I_1$$ y el error en la aproximación$$\tilde I_2$$ a$$I_2$$ son ambos aceptables, entonces usamos$$\tilde I_1$$ como nuestra aproximación final a$$I_1$$ y usamos$$\tilde I_2$$ como nuestra aproximación final a$$I_2\text{.}$$
• Si el error en la aproximación$$\tilde I_1$$ a$$I_1$$ es aceptable pero el error en la aproximación$$\tilde I_2$$ a no$$I_2$$ es aceptable, entonces usamos$$\tilde I_1$$ como nuestra aproximación final a$$I_1$$ pero subdividimos la integral$$I_2\text{.}$$
• Si el error en la aproximación$$\tilde I_1$$ a no$$I_1$$ es aceptable pero el error en la aproximación$$\tilde I_2$$ a$$I_2$$ es aceptable, entonces usamos$$\tilde I_2$$ como nuestra aproximación final a$$I_2$$ pero subdividimos la integral$$I_1\text{.}$$
• Si el error en la aproximación$$\tilde I_1$$ a$$I_1$$ y el error en la aproximación$$\tilde I_2$$ a no$$I_2$$ son ambos aceptables, entonces subdividimos ambas integrales$$I_1$$ y$$I_2\text{.}$$

Así que adaptamos el tamaño del paso a medida que avanzamos.

• Pasos 3, 4, 5,$$\cdots$$ Repita según sea necesario.

Apliquemos cuadratura adaptativa usando la regla de Simpson como la anterior con el objetivo de computar$$\int _0^1\sqrt{x}\ \, d{x}$$ con un error de a lo sumo$$\varepsilon=0.0005=5\times 10^{-4}\text{.}$$ Observe$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ que estalla como$$x$$ tiende a cero. El integrando cambia muy rápidamente cuando$$x$$ es pequeño. Así que probablemente necesitaremos hacer que el tamaño del paso sea pequeño cerca del límite de integración$$x=0\text{.}$$

• Paso 1 — el intervalo$$[0,1]\text{.}$$ (La notación$$[0,1]$$ representa el intervalo$$0\le x\le 1\text{.}$$)

\ begin {alinear*} S (0,1\,;\ tfrac {1} {2}) &= 0.63807119\\ S (0,\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {4}) &= 0.22559223\\ S (\ tfrac {1} {2} ,1\,;\ tfrac {1} {4}) &= 0.43093403\\\ text {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|S (0,\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {4}) +S (\ tfrac {1} {2} ,1\,;\ tfrac {1} {4}) -S (0,1\,;\ tfrac ac {1} {2})\ derecha| =0.0012\\ &\ gt\ varepsilon =0.0005\ end {align*}

Esto es inaceptablemente grande, por lo que subdividimos el intervalo$$[0,1]$$ en las dos mitades$$\big[0,\tfrac{1}{2}\big]$$ y$$\big[\tfrac{1}{2},1\big]$$ y aplicamos el procedimiento por separado a cada mitad.
• Paso 2a — el intervalo$$[0,\half]\text{.}$$

\ begin {alinear*} S (0,\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {4}) &= 0.22559223\\ S (0,\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.07975890\\ S (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {1},\ tfrac {1} {4},\ tfrac {1},\ tfrac {{1} {2}\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.15235819\\\ text {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|s (0,\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {8}) +S (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {8}) -S (0,\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {4})\ derecha| = 0.00043\\ &\ gt\ tfrac {\ varepsilon} {2} = 0.00025\ final {alinear*}

Este error es inaceptablemente grande.
• Paso 2b — el intervalo$$[\tfrac{1}{2},1]\text{.}$$

\ begin {alinear*} S (\ tfrac {1} {2} ,1\,;\ tfrac {1} {4}) &= 0.43093403\\ S (\ tfrac {1} {2},\ tfrac {3} {4}\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.19730874\\ S (\ tfrac {3}} {4} ,1\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.23365345\\\ text {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|s (\ tfrac {1} {2},\ tfrac {3} {4}\,;\ tfrac {1} {8}) +S (\ tfrac {3} {4}\,;\ tfrac {1} {8}) +S (\ tfrac {3} {4} ,1\,;\ tfrac {1} {8}) -S (\ tfrac {1} {2 } ,1\,;\ tfrac {1} {4})\ derecha| = 0.0000019\\ &\ lt\ tfrac {\ varepsilon} {2} = 0.00025\ final {alinear*}

Este error es aceptable.
• Paso 2 currículum. El error para el intervalo$$[\tfrac{1}{2},1]$$ es lo suficientemente pequeño, así que aceptamos

$S(\tfrac{1}{2},1\,;\tfrac{1}{8}) = S(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\,;\tfrac{1}{8}) + S(\tfrac{3}{4},1\,;\tfrac{1}{8}) = 0.43096219 \nonumber$

como el valor aproximado de$$\int_{1/2}^1\sqrt{x}\,\, d{x}\text{.}$$

El error para el intervalo$$[0,\tfrac{1}{2}]$$ es inaceptablemente grande, por lo que subdividimos el intervalo$$[0,\tfrac{1}{2}]$$ en las dos mitades$$[0,\tfrac{1}{4}]$$$$[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}]$$ y aplicamos el procedimiento por separado a cada mitad.

• Paso 3a — el intervalo$$[0,\tfrac{1}{4}]\text{.}$$

\ begin {alinear*} S (0,\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.07975890\\ S (0,\ tfrac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.02819903\\ S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {1},\ tfrac {1} {8},\ tfrac {1},\ tfrac {{1} {4}\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.05386675\\\ text {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|s (0,\ tfrac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {16}) +S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {16}) -S (0,\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {8})\ derecha|\\ &= 0.000153792 >\ tfrac {\ varepsilon} {4} = 0.000125\ final {alinear*}

Este error es inaceptablemente grande.
• Paso 3b — el intervalo$$[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}]\text{.}$$

\ begin {alinear*} S (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.15235819\\ S (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {3} {8}\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.06977 5918\\ S (\ tfrac {3} {8},\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.08260897\\ texto {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|s (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {3} {8}\,;\ tfrac {1} {16}) +S (\ tfrac {3} {8},\ tfrac { 1} {2}\,;\ tfrac {1} {16}) -S (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {8})\ derecha|\\ & = 0.00000066\ lt\ tfrac {\ varepsilon} {4} = 0.000125\ end {align*}

Este error es aceptable.
• Paso 3 currículum. El error para el intervalo$$[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}]$$ es lo suficientemente pequeño, así que aceptamos

$S(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\,;\tfrac{1}{16}) = S(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{8}\,;\tfrac{1}{16}) + S(\tfrac{3}{8},\tfrac{1}{2}\,;\tfrac{1}{16}) = 0.15236814 \nonumber$

como el valor aproximado de$$\int_{1/4}^{1/2}\sqrt{x}\,\, d{x}\text{.}$$

El error para el intervalo$$[0,\tfrac{1}{4}]$$ es inaceptablemente grande, por lo que subdividimos el intervalo$$[0,\tfrac{1}{4}]$$ en las dos mitades$$[0,\tfrac{1}{8}]$$$$[\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}]$$ y aplicamos el procedimiento por separado a cada mitad.

• Paso 4a — el intervalo$$[0,\tfrac{1}{8}]\text{.}$$

\ begin {alinear*} S (0,\ tfrac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.02819903\\ S (0,\ tfrac {1} {16}\,;\ tfrac {1} {32}) &= 0.00996986\\ S (\ tfrac {1} {16},\ tfrac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {32}) &= 0.01904477\\\ text {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|s (0,\ tfrac {1} {16}\,;\ tfrac {1} {32}) +S (\ tfrac {1} {16},\ tfrac {1},\ tfrac {1} {16},\ tfrac {1},\ tfrac {1} frac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {32}) -S (0, \ tfrac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {16})\ derecha|\\ & = 0.000054\ lt\ tfrac {\ varepsilon} {8} = 0.0000625\ end {alinear*}

Este error es aceptable.
• Paso 4b — el intervalo$$[\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}]\text{.}$$

\ begin {alinear*} S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.05386675\\ S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {3} {16}\,;\ tfrac {1} {32}) &= 0.02466 359\\ S (\ tfrac {3} {16},\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {32}) &= 0.02920668\\ text {error} &=\ tfrac {1} {15}\ izquierda|S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {3} {16}\,;\ tfrac {1} {32}) +S (\ tfrac {3} {6},\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {32}) -S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {16})\ derecha|\\ & = 0.00000024\ lt\ tfrac {\ varepsilon} {8} = 0.0000625\ fin alinear*}

Este error es aceptable.
• Paso 4 currículum. El error para el intervalo$$[0,\tfrac{1}{8}]$$ es lo suficientemente pequeño, así que aceptamos

$S(0,\tfrac{1}{8}\,;\tfrac{1}{32}) = S(0,\tfrac{1}{16}\,;\tfrac{1}{32}) + S(\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{8}\,;\tfrac{1}{32}) = 0.02901464 \nonumber$

como el valor aproximado de$$\int_0^{1/8}\sqrt{x}\,\, d{x}\text{.}$$

El error para el intervalo$$[\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}]$$ es lo suficientemente pequeño, así que aceptamos

$S(\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4}\,;\tfrac{1}{32}) = S(\tfrac{1}{8},\tfrac{3}{16}\,;\tfrac{1}{32}) + S(\tfrac{3}{16},\tfrac{1}{4}\,;\tfrac{1}{32}) = 0.05387027 \nonumber$

como el valor aproximado de$$\int_{1/8}^{1/4}\sqrt{x}\,\, d{x}\text{.}$$

• Conclusión. El valor aproximado para$$\int_0^1\sqrt{x}\ \, d{x}$$ es

\ begin {alinear*} & S (0,\ tfrac {1} {8}\,;\ tfrac {1} {32}) +S (\ tfrac {1} {8},\ tfrac {1} {4}\,;\ tfrac {1} {32}) +S (\ tfrac {1} {4},\ tfrac {1},\ tfrac {1} {2}\,;\ tfrac {1} {16}) +S (\ tfrac {1} {2} ,1\,;\ tfrac {1} {8})\\ &\ hskip1in =0.66621525\ tag {E8}\ end {align*}

Por supuesto, el valor exacto de$$\int_0^1\sqrt{x}\ \, d{x}=\tfrac{2}{3}\text{,}$$ por lo que el error real en nuestra aproximación es

$\tfrac{2}{3}-0.66621525 = 0.00045 \lt \varepsilon = 0.0005 \nonumber$

Esto es lo que nos da la regla de Simpson cuando se aplica con algunos tamaños de paso fijos.

\ begin {alinear*} S (0,1\,;\ tfrac {1} {8}) &= 0.66307928\\ S (0,1\,;\ tfrac {1} {16}) &= 0.66539819\\ S (0,1\,;\ tfrac {1} {32}) &= 0.66621818\\ S (0,1\,;\ tfrac {1} {32}) &= 0.66621818\\ S (0,1\,;\ tfrac {1} ac {1} {64}) &= 0.66650810\ end {align*}

Entonces, para obtener un error comparable al de (E8) de la regla de Simpson con un tamaño de paso fijo, necesitamos usar$$h=\frac{1}{32}\text{.}$$ In (E8) el tamaño del$$h=\frac{1}{32}$$ paso solo se usó en el subintervalo$$\big[0,\frac{1}{4}\big]\text{.}$$

This page titled C.3: Cuadratura Adaptativa is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.