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# 2.4: Reglas de Poder y Suma para Derivados

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En las próximas secciones, obtendremos las reglas derivadas que nos permitirán encontrar fórmulas para derivados cuando nuestra función nos llegue como fórmula. Esta es una sección muy algebraica, y deberías tener mucha práctica. Cuando le dices a alguien que has estudiado cálculo, esta es la única habilidad que esperarán que tengas.

## Bloques de construcción

Estas son las reglas más simples —reglas para las funciones básicas. No vamos a probar estas reglas; solo las usaremos. Pero primero, veamos algunos para que podamos ver que tienen sentido.

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Encuentra la derivada de$$y=f(x)=mx+b$$.

Solución

Esta es una función lineal, ¡así que su gráfica es su propia línea tangente! La pendiente de la línea tangente, la derivada, es la pendiente de la línea:$f'(x)=m\nonumber$

##### Regla

La derivada de una función lineal es su pendiente.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encuentra la derivada de$$f(x)=135$$.

Solución

Piénsalo también gráficamente en este. La gráfica de$$f(x)$$ es una línea horizontal. Entonces su pendiente es cero:$f'(x)=0\nonumber$

##### Regla

La derivada de una constante es cero.

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Encuentra la derivada de$$f(x)=x^2$$.

Solución

Recordemos la definición formal del derivado:$f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\nonumber$

Usando nuestra función$$f(x)=x^2$$,$$f(x+h)=(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$$.

Entonces\begin{align*} f'(x) & = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & = \lim\limits_{h\to 0} \frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ & = \lim\limits_{h\to 0} \frac{2xh+h^2}{h}\\ & = \lim\limits_{h\to 0} \frac{h(2x+h)}{h}\\ & = \lim\limits_{h\to 0} (2x+h)\\ & = 2x \end{align*} \nonumber

De todo eso, nos encontramos con eso$$f'(x)=2x$$.

Por suerte, hay una regla práctica que usamos para omitir el uso del límite:

##### Regla de Poder

El derivado de$$f(x)=x^n$$ is $f'(x)=nx^{n-1}.\nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Encuentra la derivada de$$g(x)=4x^3$$.

Solución

Usando la regla de poder, sabemos que si$$f(x)=x^3$$, entonces$$f'(x)=3x^2$$. Observe que$$g$$ es 4 veces la función$$f$$. Piensa en lo que significa este cambio para la gráfica de$$g$$ — ahora es 4 veces más alta que la gráfica de$$f$$. Si encontramos la pendiente de una línea secante, lo será$$\frac{\Delta g}{\Delta x}= \frac{4\Delta f}{\Delta x} =4\frac{\Delta f}{\Delta x}$$; cada pendiente será 4 veces la pendiente de la línea secante en la$$f$$ gráfica. Esta propiedad se mantendrá para las laderas de líneas tangentes, también:$\frac{d}{dx}\left(4x^3\right)=4\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=4\cdot 3x^2=12x^2.\nonumber$

##### Regla

Constantes vienen para el viaje, es decir,$$\frac{d}{dx}\left( kf\right)=kf'.$$

Aquí están todas las reglas básicas en un solo lugar.

##### Reglas Derivadas: Bloques de Construcción

En lo que sigue,$$f$$ y$$g$$ son funciones diferenciables de$$x$$.

#### Regla múltiple constante

$\frac{d}{dx}\left( kf\right)=kf'\nonumber$

#### Regla de suma y diferencia

$\frac{d}{dx}\left(f\pm g\right)=f' \pm g'\nonumber$

#### Regla de Poder

$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\nonumber$

Casos especiales:$\frac{d}{dx}\left(k\right)=0 \quad \text{(Because $$k=kx^0$$.)}\nonumber$$\frac{d}{dx}\left(x\right)=1 \quad \text{(Because $$x=x^1$$.)}\nonumber$

#### Funciones exponenciales

$\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x\nonumber$$\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=\ln(a)\,a^x\nonumber$

#### Logaritmo natural

$\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}\nonumber$

La suma, diferencia y regla múltiple constante combinada con la regla de poder nos permiten encontrar fácilmente la derivada de cualquier polinomio.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Encuentra la derivada de$$p(x)=17x^{10}+13x^8-1.8x+1003$$.

Solución

\begin{align*} \frac{d}{dx}\left( 17x^{10}+13x^8-1.8x+1003 \right) & = \frac{d}{dx}\left( 17x^{10} \right)+\frac{d}{dx}\left( 13x^8 \right)-\frac{d}{dx}\left( 1.8x \right)+\frac{d}{dx}\left( 1003 \right)\\ & = 17\frac{d}{dx}\left( x^{10} \right)+13\frac{d}{dx}\left( x^8 \right)-1.8\frac{d}{dx}\left( x \right)+\frac{d}{dx}\left( 1003 \right)\\ & = 17\left(10x^9\right)+13\left(8x^7\right)-1.8\left(1\right)+0\\ & = 170x^9+104x^7-1.8 \end{align*} \nonumber

No tienes que mostrar cada uno de los pasos. Ten cuidado cuando estés trabajando por primera vez con las reglas, pero muy pronto podrás simplemente anotar el derivado directamente:

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Encontrar$$\frac{d}{dx}\left( 17x^2-33x+12 \right)$$.

Solución

Escribiendo las reglas, nosotros escribiríamos$\frac{d}{dx}\left( 17x^2-33x+12 \right)=17(2x)-33(1)+0=34x-33.\nonumber$

Una vez que estés familiarizado con las reglas, puedes, en tu cabeza, multiplicar el 2 por el 17 y el 33 por 1, y simplemente escribir$\frac{d}{dx}\left( 17x^2-33x+12 \right)=34x-33.\nonumber$

La regla de poder funciona aunque el poder sea negativo o una fracción. Para aplicarlo, primero traduzca todas las raíces y expresiones racionales básicas en exponentes:

##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Encuentra la derivada de$$y=3\sqrt{t}-\frac{4}{t^4}+5e^t$$.

Solución

El primer paso es traducir en exponentes:$y=3\sqrt{t}-\frac{4}{t^4}+5e^t=3t^{1/2}-4t^{-4}+5e^t\nonumber$

Ahora puedes tomar la derivada:\begin{align*} \frac{d}{dt}\left( 3t^{1/2}-4t^{-4}+5e^t \right) & = 3\left(\frac{1}{2}t^{-1/2}\right)-4\left(-4t^{-5}\right)+5\left(e^t\right) \\ & = \frac{3}{2}t^{-1/2}+16t^{-5}+5e^t \end{align*} \nonumber

Si hay una razón para hacerlo, puedes reescribir la respuesta con radicales y exponentes positivos:$y'= \frac{3}{2}t^{-1/2}+16t^{-5}+5e^t= \frac{3}{2\sqrt{t}}+\frac{16}{t^5}+5e^t\nonumber$

Tenga cuidado a la hora de encontrar las derivadas con exponentes negativos.

Podemos aplicar de inmediato estas reglas para resolver el problema con el que iniciamos el capítulo: encontrar una línea tangente.

##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Encuentra la ecuación de la línea tangente a$$g(t)=10-t^2$$ cuándo$$t = 2$$.

Solución

La pendiente de la línea tangente es el valor de la derivada. Podemos calcular$$g'(t)=-2t$$. Para encontrar la pendiente de la línea tangente cuando$$t = 2$$, evalúe la derivada en ese punto. La pendiente de la línea tangente es -4.

Para encontrar la ecuación de la línea tangente, también necesitamos un punto en la línea tangente. Dado que la línea tangente toca la función original en$$t = 2$$, podemos encontrar el punto evaluando la función original:$$g(2)=10-2^2=6$$. La línea tangente debe pasar por el punto (2, 6).

Usando la ecuación de punto-pendiente de una línea, la línea tangente tendrá ecuación$$y-6=-4(t-2)$$. Simplificando a la forma pendiente-intercepción, la ecuación es$$y=-4t+14$$.

Graficando, podemos verificar que esta línea es de hecho tangente a la curva:

También podemos usar estas reglas para ayudarnos a encontrar las derivadas que necesitamos para interpretar el comportamiento de una función.

##### Ejemplo$$\PageIndex{9}$$

En un experimento de memoria, un investigador le pide al sujeto que memorice tantas palabras de una lista como sea posible en 10 segundos. Se prueba el recuerdo, luego se le dan al sujeto 10 segundos más para estudiar, y así sucesivamente. Supongamos que el número de palabras recordadas después de$$t$$ segundos de estudio podría ser modelado por$$W(t)=4t^{2/5}$$. Encontrar e interpretar$$W'(20)$$.

Solución

$$W'(t)=4\cdot \frac{2}{5}t^{-3/5}=\frac{8}{5}t^{-3/5}$$, entonces$$W'(20)=\frac{8}{5}(20)^{-3/5}\approx 0.2652$$.

Ya que$$W$$ se mide en palabras, y$$t$$ es en segundos,$$W'$$ tiene unidades palabras por segundo. $$W'(20)\approx 0.2652$$significa que después de 20 segundos de estudio, la asignatura está aprendiendo alrededor de 0.27 palabras más por cada segundo adicional de estudio.

## Términos de Negocios y Economía

A continuación profundizaremos en algunas aplicaciones de negocio. Para ello, primero necesitamos revisar alguna terminología.

Supongamos que está produciendo y vendiendo algún artículo. El beneficio que obtienes es la cantidad de dinero que tomas menos lo que tienes que pagar para producir los artículos. Ambas cantidades dependen de cuántas fabriques y vendas. (Entonces tenemos funciones aquí.) Aquí hay una lista de definiciones para parte de la terminología, junto con su significado en términos algebraicos y en términos gráficos.

##### Costo

Tu costo es el dinero que tienes que gastar para producir tus artículos.

##### Costo Fijo

El Costo Fijo (FC) es la cantidad de dinero que tienes que gastar independientemente de cuántos artículos produzcas. FC puede incluir cosas como renta, costos de compra de maquinaria y salarios para el personal de oficina. Tienes que pagar los costos fijos aunque no produzcas nada.

##### Costo Variable Total

El Costo Variable Total (TVC) para$$q$$ items is the amount of money you spend to actually produce them. TVC includes things like the materials you use, the electricity to run the machinery, gasoline for your delivery vans, maybe the wages of your production workers. These costs will vary according to how many items you produce.

##### Costo Total

El Costo Total (TC, o a veces solo C) para$$q$$ los artículos es el costo total de producirlos. Es la suma del costo fijo y el costo variable total para producir$$q$$ artículos.

##### Costo promedio

El Costo Promedio (AC) de$$q$$ los artículos es el costo total dividido por$$q$$, o

$AC(q) = \frac{TC}{q}\nonumber$

También se puede hablar sobre el costo fijo promedio,$$\frac{FC}{q}$$, o el costo variable promedio,$$\frac{TVC}{q}$$.

##### Costo Marginal

El Costo Marginal (MC) en$$q$$ los artículos es el costo de producir el siguiente artículo. Realmente, es$MC(q) = TC(q + 1) - TC(q).\nonumber$ En muchos casos, sin embargo, es más fácil aproximar esta diferencia usando cálculo (ver Ejemplo 1 a continuación). Y algunas fuentes definen el costo marginal directamente como el derivado,$MC(q) = TC'(q).\nonumber$ en este curso, utilizaremos ambas definiciones como si fueran intercambiables.

Las unidades en costo marginal es costo por artículo.

Para los efectos de este curso, si una pregunta pide costo marginal, ingresos, ganancias, etc., cómpielo utilizando el derivado si es posible, a menos que se indique específicamente lo contrario.

¿Por qué está bien que haya dos definiciones para Costo Marginal (e Ingresos Marginales, y Ganancia Marginal)?

Hemos estado usando pendientes de líneas secantes a intervalos diminutos para aproximar derivadas. En este ejemplo, le daremos la vuelta a eso —usaremos la derivada para aproximar la pendiente de la línea secante.

Observe que la definición de “costo del siguiente artículo” es en realidad la pendiente de una línea secante, en un intervalo de 1 unidad:$MC(q) = C(q + 1) - 1 = \frac{C(q+1)-1}{1}.\nonumber$

Entonces esto es aproximadamente lo mismo que el derivado de la función de costo en q:$MC(q) = C'(q).\nonumber$

En la práctica, estos dos números son tan cercanos que no hay razón práctica para hacer una distinción. Para nuestros fines, el costo marginal es el derivado es el costo del siguiente ítem.

##### Ejemplo$$\PageIndex{10}$$

La tabla muestra el costo total (TC) de producir$$q$$ artículos.

 Artículos,$$q$$ TC 0 $20,000 100$35,000 200 45,000 300 53,000
1. ¿Cuál es el costo fijo?
2. Cuando se hacen 200 artículos, ¿cuál es el costo variable total? ¿El costo variable promedio?
3. Cuando se hagan 200 ítems, estime el costo marginal.

Solución

1. El costo fijo es de $20,000, el costo incluso cuando no se hacen artículos. 2. Cuando se hacen 200 artículos, el costo total es de$45,000. Al restar el costo fijo, el costo variable total es de $45,000 -$20,000 = $25,000. El costo variable promedio es el costo variable total dividido por el número de artículos, por lo que dividiríamos el costo variable total de$25,000 entre los 200 artículos hechos. $25,000/200 =$125. En promedio, cada ítem tuvo un costo variable de $125. 3. Necesitamos estimar el valor de la derivada, o la pendiente de la línea tangente en$$q = 200$$. Encontrar la línea secante de$$q=100$$ a$$q=200$$ da una pendiente de$\frac{45,000-35,000}{200-100}=100.\nonumber$ Encontrar la línea secante de$$q=200$$ a$$q=300$$ da una pendiente de$\frac{53,000-45,000}{300-200}=80.\nonumber$ Podríamos estimar la pendiente tangente promediando estas pendientes secantes, dándonos una estimación de$90/ítem.

Esto nos dice que después de que se hayan hecho 200 artículos, costará alrededor de 90 dólares hacer un artículo más.

##### Ejemplo$$\PageIndex{11}$$

El costo para producir$$x$$ artículos es de$$C(x) = \sqrt{x}$$ cien dólares.

1. ¿Cuál es el costo de producir 100 artículos? ¿101 ítems? ¿Cuál es el costo del artículo 101?
2. Calcular$$C '(x)$$ y evaluar$$C '$$ en$$x = 100$$. ¿Cómo se$$C '(100)$$ compara con la última respuesta de la Parte a?

Solución

1. $$C(100) =$$10 cien dólares = $1000 y$$C(101) =$$ 10.0499 cien dólares =$1004.99, por lo que cuesta $4.99 para ese ítem 101. Usando esta definición, el costo marginal es de$4.99.
2. $$C'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$, por lo que$$C'(100)=\frac{1}{2\sqrt{100}}=\frac{1}{20}$$ cien dólares = $5.00. ¡Ten en cuenta lo cerca que están estas respuestas! Esto muestra (nuevamente) por qué está bien que usemos ambas definiciones para el costo marginal. ##### Demanda La demanda es la relación funcional entre el precio$$p$$ y la cantidad$$q$$ que se puede vender (que se demanda). Dependiendo de tu situación, podrías pensar en una función de$$q$$, o$$q$$ como una función de$$p$$$$p$$ ##### Ingresos Tus ingresos son la cantidad de dinero que realmente obtienes al vender tus productos. ##### Ingresos totales El ingreso total (TR, o simplemente R) por$$q$$ artículos es la cantidad total de dinero que toma para vender$$q$$ artículos. Los ingresos totales son el precio multiplicado por la cantidad,$TR = p \cdot q.\nonumber$ ##### Ingresos promedio El ingreso promedio (AR) para$$q$$ los rubros es el ingreso total dividido por$$q$$, o$\frac{TR}{q}.\nonumber$ ##### Ingresos Marginales El Ingresos Marginales (MR) en$$q$$ partidas es el ingreso de producir el siguiente ítem,$MR(q) = TR(q + 1) - TR(q).\nonumber$ Al igual que con el costo marginal, usaremos tanto esta definición como la definición derivada:$MR(q) = TR'(q).\nonumber$ ##### Beneficio Tu ganancia es lo que queda de los ingresos totales después de que se hayan restado los costos. El Beneficio (P) para$$q$$ partidas es$TR(q) - TC(q),\nonumber$ la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales. El beneficio promedio de los$$q$$ artículos es$\frac{P}{q}.\nonumber$ La ganancia marginal en$$q$$ los ítems es$P(q + 1) – P(q),\nonumber$ o$P'(q)\nonumber$ ## Interpretaciones Gráficas de los Términos Básicos de Matemáticas Empresariales #### Ilustración Aquí están las gráficas de TR y TC para producir y vender un determinado artículo. El eje horizontal es el número de ítems, en miles. El eje vertical es el número de dólares, también en miles. Primero, observe cómo encontrar el costo fijo y el costo variable de la gráfica aquí. FC es la$$y$$ -intercepción de la gráfica TC. ($$FC = TC(0)$$.) La gráfica de TVC tendría la misma forma que la gráfica de TC, desplazada hacia abajo. ($$TVC = TC - FC$$.) $$MC(q) = TC(q + 1) - TC(q)$$, pero eso es imposible de leer en esta gráfica. ¿Cómo podría distinguir entre TC (4022) y TC (4023)? En esta gráfica, ese intervalo es demasiado pequeño para verlo, y nuestra mejor suposición sobre la línea secante es en realidad la línea tangente a la curva TC en ese punto. (Esta es la razón por la que queremos tener a mano la definición derivada). $$MC(q)$$es la pendiente de la línea tangente a la curva TC en$$(q, TC(q))$$. $$MR(q)$$es la pendiente de la línea tangente a la curva TR en$$(q, TR(q))$$. El beneficio es la distancia entre la curva TR y TC. Si experimentas con una regla clara, verás que la mayor ganancia ocurre exactamente cuando las líneas tangentes a las curvas TR y TC son paralelas. Esta es la regla de ganancia se maximiza cuando la$$MR = MC$$ cual exploraremos más adelante en el capítulo. ##### Ejemplo$$\PageIndex{12}$$ La demanda,$$D$$, de un producto a un precio de$$p$$ dólares viene dada por$$D(p)=200-0.2p^2$$. Encuentra los ingresos marginales cuando el precio es de$10.

Solución

Primero necesitamos formar una ecuación de ingresos. Dado que Ingresos = Precio$$\times$$ Cantidad, y la ecuación de demanda muestra la cantidad de producto que se puede vender, tenemos$R(p)=D(p)\cdot p=\left(200-0.2p^2\right)p=200p-0.2p^3.\nonumber$

Ahora podemos encontrar ingresos marginales al encontrar el derivado:$R'(p)=200(1)-0.2(3p^2)=200-0.6p^2\nonumber$

A un precio de $10,$$R'(10)=200-0.6(10)^2=140$$. Observe las unidades para$$R'$$ son$$\frac{\text{dollars of Revenue}}{\text{dollar of price}}$$, por lo que$$R'(10)=140$$ significa que cuando el precio es de$10, los ingresos aumentarán en \$140 por cada dólar que se incrementó el precio.

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