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# 2.5: Reglas de Producto y Cociente

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Las reglas básicas nos permitirán abordar funciones simples. Pero, ¿qué pasa si necesitamos la derivada de una combinación de estas funciones?

#### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Encuentra la derivada de$$h(x)=\left(4x^3-11\right)(x+3)$$

Esta función no es una simple suma o diferencia de polinomios. Es un producto de polinomios. Simplemente podemos multiplicarlo para encontrar su derivado:\begin{align*} h(x) & = \left(4x^3-11\right)(x+3)\\ & = 4x^4-11x+12x^3-33\\ h'(x) & = 16x^3-11+36x^2 \end{align*} \nonumber

Ahora supongamos que queríamos encontrar el derivado de$f(x)=\left(4x^5+x^3-1.5x^2-11\right)\left(x^7-7.25x^5+120x+3\right)\nonumber$

Esta función no es una simple suma o diferencia de polinomios. Es un producto de polinomios. Podríamos 'simplemente' multiplicarlo para encontrar su derivado como antes — ¿quién quiere ser voluntario? ¿Nadie?

Vamos a necesitar una regla para encontrar el derivado de un producto para no tener que multiplicar todo.

Sería genial si solo pudiéramos tomar las derivadas de los factores y multiplicarlas, pero desafortunadamente eso no va a dar la respuesta correcta. Para ver eso, considere encontrar derivado de$$h(x)=\left(4x^3-11\right)(x+3)$$. Ya elaboramos el derivado, lo es$$h'(x)=16x^3-11+36x^2$$. ¿Y si intentamos diferenciar los factores y multiplicarlos? Lo obtendríamos$$h'(x)=\left(12x^2\right)(1)=12x^2$$, que es radicalmente diferente de la respuesta correcta.

Las reglas para encontrar derivados de productos y cocientes son un poco complicadas, pero nos ahorran el álgebra mucho más complicada que podríamos enfrentar si intentáramos multiplicar las cosas. También nos permiten tratar productos donde los factores no son polinomios. Podemos usar estas reglas, junto con las reglas básicas, para encontrar derivados de muchas funciones de aspecto complicado.

#### Reglas Derivadas: Reglas de Producto y Cociente

En lo que sigue,$$f$$ and $$g$$ are differentiable functions of $$x$$.

### Regla del producto

$$\frac{d}{dx}\left( f\cdot g \right)=f'\cdot g+f\cdot g'$$

La regla del producto puede extenderse a un producto de varias funciones; el patrón continúa — tomar la derivada de cada factor a su vez, multiplicada por todos los demás factores dejados solos, y sumarlos:$\frac{d}{dx}\left( f\cdot g\cdot h \right)=f'\cdot g\cdot h+f\cdot g'\cdot h+f\cdot g\cdot h'\nonumber$

### Regla del cociente

$\frac{d}{dx}\left( \frac{f}{g} \right)=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\nonumber$

El numerador del resultado se asemeja a la regla del producto, pero hay un menos en lugar de un más; el signo menos va con el$$g’$$. El denominador es simplemente el cuadrado del denominador original —allí no hay derivados.

#### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encuentra la derivada de$$h(x)=\left(4x^3-11\right)(x+3)$$

Esta es la misma función de la que encontramos la derivada en el Ejemplo 1, pero usemos la regla del producto y verifiquemos para ver si obtenemos la misma respuesta. Para este primer ejemplo, proporcionaremos muchos más detalles y pasos de los que uno generalmente muestra cuando se trabaja un problema como este.

Observe que podemos pensar en$$h(x)$$ como el producto de dos funciones$$f(x)=4x^3-11$$ y$$g(x)=x+3$$. Encontrar la derivada de cada uno de estos,$f'(x)=12x^2 \ \text{and}\ g'(x)=1. \nonumber$

Usando la regla del producto,\begin{align*} h'(x) & = (f')(g)+(f)(g') \\ & = \left(12x^2\right)(x+3)+\left(4x^3-11\right)(1) \end{align*} \nonumber

Para comprobar si esto es equivalente a la respuesta que encontramos en el Ejemplo 1 podríamos simplificar:\begin{align*} h'(x) & = \left(12x^2\right)(x+3)+\left(4x^3-11\right)(1) \\ & = 12x^3+36x^2+4x^3-11 \\ & = 16x^3+36x^2-11 \end{align*} \nonumber

A partir de esto, podemos ver que las respuestas son equivalentes.

#### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Encuentra la derivada de$$F(t)=e^t\ln(t)$$

Este es un producto, por lo que necesitamos usar la regla del producto. Me gusta poner paréntesis vacíos para recordarme el patrón; así no me olvido de nada:$F'(t)=(\ )(\ )+(\ )(\ )\nonumber$

Después relleno los paréntesis — el primer conjunto obtiene la derivada de$$e^t$$, el segundo se$$\ln t$$ queda solo, el tercero se$$e^t$$ queda solo, y el cuarto obtiene la derivada de$$\ln t$$. $F'(t)=\left(e^t\right)\left(\ln(t)\right)+\left(e^t\right)\left(\frac{1}{t}\right)=e^t\ln(t)+\frac{e^t}{t}.\nonumber$

Observe que este fue uno que no podríamos haber hecho “multiplicando”.

#### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Encuentra la derivada de$$y=\frac{x^4+4^x}{3+16x^3}$$.

Esto es un cociente, por lo que necesitamos usar la regla del cociente. Nuevamente, te resulta útil poner los paréntesis vacíos como plantilla:$y'=\frac{(\ )(\ )-(\ )(\ )}{(\ )^2}\nonumber$

Para el numerador:$$f(x) = x^4 + 4^x$$ so$$f'(x) = 4x^3 + \ln(4)\cdot 4^x$$

Para el denominador:$$g(x) = 3+16x^3$$ so$$g'(x) = 48x^2$$

Luego rellena todas las piezas:$y'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\nonumber$

$y'=\frac{\left(4x^3+\ln(4)\cdot 4^x \right)\left(3+16x^3 \right)-\left(x^4+4^x \right)\left(48x^2 \right)}{\left(3+16x^3 \right)^2}\nonumber$

Ahora, por el amor de Dios, ¡no trates de simplificar eso! Recuerda que lo simple depende de lo que harás a continuación; en este caso, nos pidieron que encontráramos el derivado, y lo hemos hecho. Espero que haga alguna simplificación básica, como multiplicar constantes juntas o hacer cancelaciones obvias o combinar términos, pero por lo demás favor DETENER a menos que haya una razón para simplificar aún más.

#### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Supongamos que un tanque grande contiene 8 kg de un químico disuelto en 50 litros de agua. Si se abre un grifo y se agrega agua al tanque a razón de 5 litros por minuto, ¿a qué velocidad cambia la concentración de químico en el tanque después de 4 minutos?

Primero necesitamos establecer un modelo para la concentración de químicos. La concentración se mediría como kg de producto químico por litro de agua, kg/l. El número de kg de químico se mantiene constante en 8 kg, pero la cantidad de agua en el tanque está aumentando en 5 L/min. El volumen total de agua en el tanque después de$$t$$ minutos es$$50 + 5t$$, por lo que la concentración después de$$t$$ minutos es$c(t)=\frac{8}{50+5t}.\nonumber$

Para encontrar la velocidad a la que está cambiando la concentración, necesitamos la derivada:\begin{align*} c'(t) & = \frac{\frac{d}{dt}(8)\cdot(50+5t)-(8)\cdot\frac{d}{dt}(50+5t)}{(50+5t)^2} \\ & = \frac{(0)\cdot(50+5t)-(8)(5)}{(50+5t)^2} \\ & = -\frac{40}{(50+5t)^2} \end{align*} \nonumber

En$$t = 4$$,$c'(4)=-\frac{40}{(50+5(4))^2}\approx -0.00816.\nonumber$

Tenga en cuenta que las unidades aquí son kg por litro, por minuto, o$$\frac{\text{kg/L}}{\text{min}}$$. Es decir, esto nos dice que después de 4 minutos, la concentración de químico está disminuyendo 0.00816 Kg/L cada minuto.

## Más interpretaciones gráficas de los términos básicos de las matemáticas empresariales

Volviendo a nuestra discusión sobre temas de negocios y economía, además del costo total y costo marginal, a menudo también queremos hablar de costo promedio o ingresos promedio.

Recordemos de la sección anterior que el Costo Promedio (AC) de$$q$$ los artículos es el costo total dividido por$$q$$, o$$AC(q)=\frac{TC}{q}$$. También se puede hablar sobre el costo fijo promedio,$$\frac{FC}{q}$$, o el costo variable promedio,$$\frac{TVC}{q}$$.

También recordemos que el Ingresos Promedio (AR) para$$q$$ los rubros es el ingreso total dividido por$$q$$, o$$AR(q)=\frac{TR}{q}$$.

Ya sabemos que podemos encontrar tasas promedio de cambio al encontrar pendientes de líneas secantes. AC, AR, MC y MR son todas tasas de cambio, y también podemos encontrarlas con pendientes.

$$AC(q)$$es la pendiente de una línea diagonal, de (0, 0) a$$(q, TC(q))$$.

$$AR(q)$$es la pendiente de la línea de (0, 0) a$$(q, TR(q))$$.

Y así como encontramos Costo Total marginal, también podemos encontrar Costo Promedio marginal.

#### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

El costo, en miles de dólares, por producir$$x$$ mil fundas para celulares viene dado por$$C(x)=22+x-0.004x^2$$. Encuentra

1. los Costos Fijos,
2. el Costo Promedio cuando se producen 5 mil, 10 mil, o 20 mil cajas,
3. el Costo Promedio Marginal cuando se producen 5 mil casos.
1. Los costos fijos son los costos cuando no se producen artículos:$$C(0)=22$$ mil dólares.
2. La función de costo promedio es el costo total dividido por el número de artículos, por lo que$AC(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{22+x-0.004x^2}{x}. \nonumber$

Tenga en cuenta que las unidades son miles de dólares por miles de artículos, lo que simplifica a solo dólares por artículo.

A una producción de 5 mil artículos:$$AC(5)=\frac{22+5-0.004(5)^2}{5}=5.38$$ dólares por artículo.

A una producción de 10 mil artículos:$$AC(10)=\frac{22+5-0.004(10)^2}{10}=3.16$$ dólares por artículo.

A una producción de 20 mil artículos:$$AC(20)=\frac{22+5-0.004(20)^2}{20}=2.02$$ dólares por artículo.

Observe que mientras que el costo total aumenta con la producción, el costo promedio por artículo disminuye, debido a que los costos fijos iniciales se están distribuyendo entre más artículos.

3. Para el costo promedio marginal, necesitamos encontrar la derivada de la función de costo promedio. Podemos calcular esto usando la regla del cociente, o podríamos usar álgebra para simplificar la ecuación primero (esta es la opción más fácil — recuerda, simplificar antes de diferenciar es casi siempre más fácil):\begin{align*} AC(x) & = \frac{22+x-0.004x^2}{x} \\ & = \frac{22}{x}+\frac{x}{x}-\frac{0.004x^2}{x} \\ & = \frac{22}{x}+1-0.004x \\ & = 22x^{-1}+1-0.004x \end{align*} \nonumber (Nota: aún no nos hemos diferenciado, solo simplificado.)

Tomando el derivado,$AC'(x)=-22x^{-2}-0.004=-\frac{22}{x^2}-0.004.\nonumber$

Cuando se producen 5 mil artículos,$AC'(5)=-\frac{22}{5^2}-0.004=-0.884.\nonumber$

Dado que las unidades$$AC$$ encendidas son dólares por artículo, y las unidades$$x$$ encendidas son miles de artículos, las unidades$$AC'$$ encendidas son dólares por artículo por miles de artículos. Esto nos dice que cuando se producen 5 mil artículos, el costo promedio por artículo está disminuyendo en \$0.884 por cada mil artículos adicionales producidos.

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