2.6: Regla de la Cadena
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Hay un tipo más de función complicada que vamos a querer saber diferenciar: la composición. La Regla de la Cadena nos permitirá encontrar la derivada de una composición. (¡Esta es la última regla derivada que aprenderemos!)
Encuentra la derivada de\( y=\left(4x^3+15x\right)^2 \).
Solución
Esto no es un polinomio simple, así que todavía no podemos usar las reglas básicas de los bloques de construcción. Es un producto, por lo que podríamos escribirlo como\(y=\left(4x^3+15x\right)^2=\left(4x^3+15x\right)\left(4x^3+15x\right)\) y usar la regla del producto. O podríamos multiplicarlo y simplemente diferenciar el polinomio resultante. Lo haré de la segunda manera:\[ \begin{align*} y & = \left(4x^3+15x\right)^2\\ & = 16x^6+120x^4+225x^2\\ y' & = 96x^5+480x^3+450x \end{align*} \nonumber \]
Ahora supongamos que queremos encontrar la derivada de\(y=\left(4x^3+15x\right)^{20}\). Podríamos escribirlo como un producto con 20 factores y usar la regla del producto, o podríamos multiplicarlo. Pero yo no quiero hacer eso, ¿y tú?
Necesitamos una manera más fácil, una regla que maneje una composición como esta. La Regla de la Cadena es un poco complicada, pero nos ahorra el álgebra mucho más complicado de multiplicar algo así. También manejará composiciones donde no sería posible multiplicarlo.
La Regla de la Cadena es un lugar común para que los estudiantes cometan errores. Parte de la razón es que la notación lleva un poco acostumbrarse. Y parte de la razón es que los estudiantes a menudo olvidan usarlo cuando deben. ¿Cuándo debes usar la Regla de Cadena? Casi cada vez que tomas un derivado.
En lo que sigue,\(f\) and \(g\) are differentiable functions where \(y = f(g(x))\). We could alternatively write \( y=f(u) \) and \( u=g(x) \).
Regla de cadena (notación Leibniz)
\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\nonumber \]
Observe que los\(du\)'s parecen cancelar. Esta es una ventaja de la notación Leibniz: puede recordarte cómo la regla de la cadena se une.
Regla de cadena (usando notación prima)
\[\frac{d}{dx} f\left(g(x)\right) =f'\left(g(x)\right)\cdot g'(x)\nonumber \]
Regla de la Cadena (en palabras)
El derivado de una composición es el derivado del exterior (con el interior permaneciendo igual) VECES el derivado del interior.
Recito la versión en palabras cada vez que tomo una derivada, sobre todo si la función es complicada.
Encuentra la derivada de\( y=\left(4x^3+15x\right)^2 \).
Solución
Este es el mismo que hicimos antes multiplicando. Esta vez, usemos la regla de cadena: La función interior es lo que aparece dentro de los paréntesis:\( 4x^3+15x \). La función exterior es lo primero que encontramos a medida que entramos desde el exterior — es la función cuadrada,\((\text{inside})^2\).
La derivada de esta función externa es\((2\cdot\text{inside})\). Ahora usando la regla de la cadena, la derivada de nuestra función original es\((2\cdot\text{inside})\) TIMES la derivada del interior (que es\( 12x^2+15 \)):\[ y'=2\left(4x^3+15x\right)\left(12x^2+15 \right)\nonumber \]
Si multiplicas esto, obtienes la misma respuesta que obtuvimos antes. ¡Hurra! ¡El álgebra funciona!
Encuentra la derivada de\( y=\left(4x^3+15x\right)^{20} \).
Solución
Ahora tenemos una manera de manejar esta. Es el derivado del exterior TIMES el derivado del interior.
La función externa es\( \left(\text{inside}\right)^{20} \), que tiene derivada\( 20\left(\text{inside}\right)^{19}\), entonces\[y'=20\left(4x^3+15x\right)^{19}\left(12x^2+15\right).\nonumber \]
Diferenciar\( y=e^{x^2+5} \).
Solución
Esta no es una simple función exponencial; es una composición. La sintaxis típica de calculadora o computadora puede ayudarte a ver qué es la función “inside” aquí. En una calculadora TI, por ejemplo, cuando presionas la\( e^x \) tecla, abre paréntesis:\(\boxed{e^{\wedge}(}\). Esto te dice que el “interior” de la función exponencial es el exponente. Aquí, el interior es el exponente\( x^2+5 \). Ahora podemos usar la Regla de la Cadena: Queremos la derivada de los tiempos externos la derivada del interior. El exterior es la función \(e\)a lo algo
, por lo que su derivada es lo mismo. El derivado de lo que hay dentro es\(2x\). Entonces\[\frac{d}{dx}\left( e^{x^2+5} \right)= \left( e^{x^2+5} \right)\cdot (2x).\nonumber \]
La tabla da valores para\(f\)\(f'\)\(g\),, y\(g'\) en varios puntos. Utilice estos valores para determinar\(( f \circ g )(x)\) y\(( f \circ g ) '(x)\) at\(x = -1\) y 0.
| \( x \) | \( f(x) \) | \( g(x) \) | \( f'(x) \) | \( g'(x) \) | \((f\circ g)(x)\) | \((g\circ f)(x)\) |
| -1 | 2 | 3 | 1 | 0 | ||
| 0 | -1 | 1 | 3 | 2 | ||
| 1 | 1 | 0 | -1 | 3 | ||
| 2 | 3 | -1 | 0 | 1 | ||
| 3 | 0 | 2 | 2 | -1 |
Solución
\[ \begin{align*} (f\circ g)(-1) & = f\left(g(-1)\right)=f(3)=0\\ (f\circ g)(0) & = f\left(g(0)\right)=f(1)=1\\ (f\circ g)'(-1) & = f'\left(g(-1)\right)\cdot g'(-1)=f'(3)\cdot (0)=(2)(0)=0 \text{ and}\\ (f\circ g)'(0) & = f'\left(g(0)\right)\cdot g'(0)=f'(1)\cdot (2)=(-1)(2)=-2 \end{align*} \nonumber \]
Si 2400 personas ahora tienen una enfermedad, y el número de personas con la enfermedad parece duplicarse cada 3 años, entonces el número de personas que se espera que tengan la enfermedad en\(t\) años es\( y=2400\cdot 2^{t/3} \).
- ¿Cuántas personas se espera que tengan la enfermedad en 2 años?
- ¿Cuándo se espera que 50 mil personas tengan la enfermedad?
- ¿Qué tan rápido se espera que el número de personas con la enfermedad crezca ahora y dentro de 2 años?
- En 2 años, la\(y = 2400\cdot 2^{2/3} \approx 3,810\) gente.
- Sabemos\(y = 50,000\), y tenemos que resolver\(50,000 = 2400\cdot 2^{t/3}\) para\(t\). Podríamos comenzar aislando lo exponencial dividiendo ambos lados por 2400,\[ \begin{align*} \frac{50000}{2400} & = 2^{t/3} \\ \ln\left(\frac{50000}{2400}\right) & = \ln\left(2^{t/3}\right) \qquad \text{(Taking the natural log of both sides.)}\\ \ln\left(\frac{50000}{2400}\right) & = \frac{t}{3}\ln(2) \qquad \text{(Using the exponent property for logs.)}\\ t & = \frac{3\ln\left(\frac{50000}{2400}\right)}{\ln(2)}\approx 13.14\text{ years}\qquad \text{(Solving for \( t \).)} \end{align*} \nonumber \] Esperamos que 50 mil personas tengan la enfermedad alrededor de 13.14 años a partir de ahora.
- Esto es pedir\(\frac{dy}{dt}\) cuando\(t =\) 0 y 2 años. Usando la regla de la cadena,\[ \begin{align*} \frac{dy}{dt} & = \frac{d}{dt}\left(2400\cdot 2^{t/3}\right) \\ & = 2400\cdot 2^{t/3}\cdot \ln(2)\cdot\frac{1}{3} \\ & \approx 554.5\cdot 2^{t/3} \end{align*} \nonumber \] Así, a\( t=0 \) la tasa de crecimiento de la enfermedad es aproximadamente\(554.5\cdot 2^0 \approx 554.5\) personas/año. En 2 años la tasa de crecimiento será aproximadamente\(554.5\cdot 2^{2/3} \approx 880\) personas/año.
Derivadas de funciones complicadas
Ya estás listo para tomar la derivada de algunas funciones poderosas y complicadas. Pero, ¿cómo se dice qué regla se aplica primero? Trabaje su camino desde el exterior — ¿qué encuentra primero? Esa es la primera regla que necesitas. Usa el Producto, el Cociente y las Reglas de Cadena para despegar las capas, una a la vez, hasta que estés completamente adentro.
Encuentra\( \frac{d}{dx}\left( e^{3x}\cdot\ln(5x+7) \right) \).
Solución
Al entrar desde fuera, vemos que esto es producto de dos funciones (complicadas). Entonces primero necesitaremos la Regla del Producto. rellenaremos las piezas que conocemos, y luego podremos calcular el resto como pasos separados y sustituirlas al final:\[\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\cdot\ln(5x+7) \right)=\left( \frac{d}{dx}\left( e^{3x}\right)\right)\cdot\ln(5x+7)+ e^{3x}\cdot \left(\frac{d}{dx}\left(\ln(5x+7) \right)\right)\nonumber \]
Ahora como pasos separados, encontraremos\[\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\right)=3e^{3x} \quad \text{ (using the Chain Rule)}\nonumber \] y\[\frac{d}{dx}\left(\ln(5x+7) \right)=\frac{1}{5x+7}\cdot 5 \quad \text{ (also using the Chain Rule)}.\nonumber \]
Por último, para sustituirlas en sus lugares:\[\frac{d}{dx}\left( e^{3x}\cdot\ln(5x+7) \right)=\left( 3e^{3x}\right)\cdot\ln(5x+7)+ e^{3x}\cdot \left(\frac{1}{5x+7}\cdot 5\right)\nonumber \]
(Podemos parar aquí — no necesitamos tratar de simplificar más.)
Diferenciar\( z=\left(\dfrac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^4 \).
Solución
¡No entres en pánico! Al entrar de afuera, ¿qué es lo primero que encontramos? Es ese cuarto poder. Eso nos dice que se trata de una composición, una función (complicada) elevada al cuarto poder.
Paso Uno: Usa la Regla de la Cadena. La derivada del exterior TIMES la derivada del interior:\[\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^4=4\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^3\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)\nonumber \]
Ahora estamos un paso adentro, y podemos concentrarnos solo en la\( \frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right) \) parte. Ahora bien, como entras desde afuera, lo primero que encuentras es un cociente —este es el cociente de dos funciones (complicadas).
Paso Dos: Utilizar la Regla del Cociente. La derivada del numerador es sencilla, así que solo podemos calcularla. La derivada del denominador es un poco más complicada, así que la dejaremos por ahora:\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)=\frac{\left( 9t^2 \right)\left( e^t(t-1) \right)-\left( 3t^3 \right)\left( \frac{d}{dt}\left( e^t(t-1) \right) \right)}{\left(e^t(t-1)\right)^2} \nonumber \]
Ahora hemos dado un paso más dentro, y podemos concentrarnos solo en la\( \frac{d}{dt}\left( e^t(t-1) \right) \) parte, que involucra un producto.
Paso Tres: Usar la Regla del Producto:\[ \frac{d}{dt}\left( e^t(t-1)\right) = \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1)\nonumber \]
Y ahora estamos hasta el final — ¡no más derivados que tomar!
Paso Cuatro: Ahora solo es cuestión de sustituir de nuevo — ¡ten cuidado ahora!
\[ \frac{d}{dt}\left( e^t(t-1)\right) = \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1) \nonumber \]tan\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)=\frac{\left( 9t^2 \right)\left( e^t(t-1) \right)-\left( 3t^3 \right)\left( \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1) \right)}{\left(e^t(t-1)\right)^2} \nonumber \] tan\[\frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^4=4\left(\frac{3t^3}{e^t(t-1)}\right)^3\cdot \left( \frac{\left( 9t^2 \right)\left( e^t(t-1) \right)-\left( 3t^3 \right)\left( \left( e^t \right)(t-1)+\left( e^t \right)(1) \right)}{\left(e^t(t-1)\right)^2} \right)\nonumber \]
¡Uf!
¿Y si el Derivado no Existe?
Una función se llama diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto.
Hemos estado actuando como si los derivados existieran en todas partes para cada función. Esto es cierto para la mayoría de las funciones con las que te encontrarás en esta clase. Pero hay algunos lugares comunes donde el derivado no existe.
Recuerde que la derivada es la pendiente de la línea tangente a la curva. Eso es lo que hay que pensar.
¿Dónde puede no existir una pendiente? Si la línea tangente es vertical, la derivada no existirá.
Demostrar que no\( f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} \) es diferenciable en\(x = 0\).
Solución
Encontrar el derivado,\( f(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{1}{3x^{2/3}} \). At\(x = 0\), esta función es indefinida. De la gráfica, podemos ver que la línea tangente a esta curva at\(x = 0\) es vertical con pendiente indefinida, razón por la cual la derivada no existe en\(x = 0\).
¿Dónde puede no existir una línea tangente?
Si hay una esquina afilada (cúspide) en la gráfica, la derivada no existirá en ese punto porque no hay una línea tangente bien definida (una tangente que tambalea, si se quiere).
Si hay una discontinuidad en la gráfica (un salto, una ruptura, un agujero en la gráfica o una asíntota vertical), la línea tangente será diferente a cada lado y la derivada no existirá en ese punto.
Demostrar que no\( f(x)=|x| \) es diferenciable en\(x = 0\).
Solución
En el lado izquierdo de la gráfica, la pendiente de la línea es -1. En el lado derecho de la gráfica, la pendiente es +1. No hay una línea tangente bien definida en la esquina afilada en\(x = 0\), por lo que la función no es diferenciable en ese punto.
