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1.1: Tangentes de dibujo y un primer límite

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    Ahora — nuestro tratamiento de los límites no va a ser completamente matemáticamente riguroso, así que no vamos a tener demasiadas definiciones formales. Habrá algunas definiciones y teoremas matemáticamente precisos a medida que avanzamos, pero nos aseguraremos de que haya mucha explicación a su alrededor.

    Empecemos por el problema de la “línea tangente”. Por supuesto, necesitamos definir “tangente”, pero no vamos a hacer esto formalmente. En cambio, hagamos algunas imágenes.

    Aquí hemos dibujado dos bocetos muy aproximados de la curva\(y=x^2\) para\(x \geq 0\text{.}\) Estos no son muy buenos bocetos por un par de razones

    • La curva en la figura no pasa a\((0,0)\text{,}\) pesar de que\((0,0)\) se encuentra en\(y=x^2\text{.}\)
    • El extremo superior derecho de la curva se duplica sobre sí mismo y, por lo tanto, falla la prueba de línea vertical que todas las funciones deben satisfacer 1; para cada\(x\) valor, hay exactamente un\(y\) valor para el cual\((x,y)\) se encuentra en la curva\(y=x^2\text{.}\)

    Así que vamos a dibujar esos con más cuidado. Figura 1.1.1 Croquis de la curva\({y=x^2}\text{.}\) (izquierda) muestra una línea tangente, mientras que (derecha) muestra una línea que no es tangente.

    Figura 1.1.1. Los bocetos de la curva\({y=x^2}\text{.}\) (izquierda) muestran una línea tangente, mientras que (derecha) muestra una línea que no es tangente.

    Estos son mejores. En ambos casos hemos dibujado\(y=x^2\) (cuidadosamente) y luego escogido un punto en la curva — llámalo\(P\text{.}\) Acerquemos el ejemplo “bueno”:

    Figura 1.1.2. Vemos eso, cuanto más acercamos el punto\(P\text{,}\), más se ve la gráfica de la función (dibujada en negro) como una línea recta —esa línea es la línea tangente (dibujada en azul).

    Vemos que a medida que acercamos el punto\(P\text{,}\) la gráfica de la función se ve cada vez más como una línea recta. Si seguimos acercando el zoom\(P\) entonces la gráfica de la función sería indistinguible de una línea recta. Esa línea es la línea tangente (que hemos dibujado en azul). Un poco más precisamente, la línea azul es “la línea tangente a la función at\(P\)”. Tenemos que tener un poco de cuidado, porque si nos acercamos en un punto diferente, entonces encontraremos una línea tangente diferente.

    Ahora vamos a acercar el ejemplo “malo” vemos que la línea azul se ve muy diferente a la función; debido a esto, la línea azul no es la línea tangente en\(P\text{.}\)

    Figura 1.1.3. Al acercar\(P\) vemos que la función (dibujada en negro) se parece cada vez más a una línea recta —sin embargo no es la misma línea que la dibujada en azul. Debido a esto la línea azul no es la línea tangente.

    Aquí hay un par de ejemplos más de líneas tangentes

    Figura 1.1.4. Más ejemplos de líneas tangentes.

    El de la izquierda es muy parecido al buen ejemplo sobre el\(y=x^2\) que vimos arriba, mientras que el de la derecha es diferente —se parece un poco al ejemplo “malo”, en que cruza nuestra función la curva en algún punto distante. ¿Por qué la línea de la Figura 1.1.4 (derecha) es una tangente mientras que la línea de la Figura 1.1.1 (derecha) no es una tangente? Para ver por qué, deberíamos volver a acercarnos al punto en el que estamos tratando de dibujar la tangente.

    Como vimos anteriormente en la Figura 1.1.3, cuando acercamos nuestro ejemplo de “no una línea tangente” vemos que la línea recta se ve muy diferente de la curva en el “punto de tangencia”, es decir, donde estamos tratando de dibujar la tangente. La línea dibujada en la Figura 1.1.4 (derecha) se parece cada vez más a la función a medida que nos acercamos.

    Este ejemplo plantea un punto importante: cuando estamos tratando de dibujar una línea tangente, no nos importa lo que la función haga muy lejos del punto; la línea tangente a la curva en un punto determinado\(P\text{,}\) depende solo de cómo se vea la función cerca de ese punto\(P\text{.}\)

    Para ilustrar esto, considere el boceto de la función\(y = \sin(x)\) y su línea tangente en\((x,y)=(0,0)\text{:}\)

    A medida que nos acercamos, la gráfica de\(\sin(x)\) se parece cada vez más a una línea recta —de hecho se parece cada vez más a la línea También\(y=x\text{.}\) hemos esbozado esta línea tangente. Lo que hace que este ejemplo sea un poco extraño es que la línea tangente cruza la función. En los ejemplos anteriores, nuestras líneas tangentes simplemente “besaron” la curva y no la cruzaron (o al menos no la cruzaron cerca).

    Usando esta idea de hacer zoom en un punto determinado, dibujar una línea tangente no es demasiado difícil. Sin embargo, encontrar la ecuación de la línea tangente nos presenta algunos desafíos. En lugar de dar un salto a la teoría general, hagamos un ejemplo específico. Encontremos la ecuación de la línea tangente a la curva\(y=x^2\) en el punto\(P\) con coordenadas 2\((x,y)=(1,1)\text{.}\)

    Para encontrar la ecuación de una línea necesitamos

    • la pendiente de la línea y un punto en la línea, o
    • dos puntos en la línea, a partir de los cuales podemos calcular la pendiente a través de la fórmula

      \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \nonumber \]

    y luego anote la ecuación para la línea a través de una fórmula como

    \[ y = m \cdot(x - x_1) + y_1. \nonumber \]

    No podemos usar el primer método porque no sabemos cuál debe ser la pendiente de la línea tangente. Para calcular la pendiente necesitamos cálculo —así podremos usar este método una vez que lleguemos al siguiente capítulo sobre “diferenciación”.

    No es inmediatamente obvio cómo podemos usar el segundo método, ya que solo tenemos un punto en la curva, a saber\((1,1)\text{.}\) Sin embargo podemos usarlo para “acercarnos sigilosamente” a la respuesta. Vamos a aproximar la línea tangente, dibujando una línea que pasa a través\((1,1)\) y algún punto cercano — llámalo\(Q\text{.}\) Aquí está nuestra receta:

    • Se nos da el punto\(P=(1,1)\) y se nos dice

      Encuentra la línea tangente a la curva\(y=x^2\) que pasa\(P = (1,1)\text{.}\)

    • No sabemos muy bien cómo encontrar una línea dada solo 1 punto, sin embargo sí sabemos cómo encontrar una línea que pase por 2 puntos. Así que elige otro punto en las curvas cuyas coordenadas estén muy cerca de\(P\text{.}\) Ahora en lugar de escoger algunos números reales, voy a escribir nuestro segundo punto como Es\(Q = (1+h, (1+h)^2)\text{.}\) decir, un punto\(Q\) cuya\(x\) -coordenada es igual a la de\(P\) más un poquito- donde está el poquito algún número pequeño\(h\text{.}\) Y dado que este punto se encuentra en la curva\(y=x^2\text{,}\) y la coordenada x\(Q\)\(1+h\text{,}\)\(Q\) es la coordenada y debe ser\((1+h)^2\text{.}\)

      Si tener\(h\) como una variable en lugar de un número te molesta, empieza por pensar en\(h\)\(0.1\text{.}\)

    • Una imagen de la situación ayudará.
    • Esta línea que pasa por la curva en dos lugares\(P\) y\(Q\) se llama “línea secante”.
    • La pendiente de la línea es entonces

      \ begin {alinear*} m &=\ frac {y_2 - y_1} {x_2-x_1}\\ &=\ frac {(1+h) ^2-1} {(1+h) -1} =\ frac {1+2h+h^2-1} {h} =\ frac {2h+h^2} {h} = 2+h\ end {align*}

      donde nos hemos expandido\((1+h)^2 = 1+2h+h^2\) y luego limpiado un poco.

    Ahora bien, esta no es nuestra línea tangente porque pasa por 2 puntos cercanos en la curva —sin embargo es una aproximación razonable de la misma. Ahora podemos mejorar esa aproximación y así “acercarnos sigilosamente” en la línea tangente al considerar lo que sucede cuando acercamos este punto\(Q\) cada vez más cerca de\(P\text{.}\) es decir, hacer que el número se\(h\) acerque cada vez más a cero.

    Primero mira la foto. La elección original de\(Q\) está a la izquierda, mientras que\(h'\) a la derecha hemos dibujado lo que sucede si elegimos ser algún número un poco más pequeño que para\(h\text{,}\) que nuestro punto\(Q\) se convierta en un nuevo punto\(Q'\) que está un poco más cerca de\(P\text{.}\) La nueva aproximación es mejor que la primera.

    Entonces, a medida que\(h\) hacemos cada vez más pequeños,\(Q\) acercamos cada vez más\(P\text{,}\) y hacemos de nuestra línea secante una mejor y mejor aproximación de la línea tangente. Podemos observar lo que sucede con la pendiente de la línea a medida que hacemos\(h\) más pequeños al enchufar algunos números en nuestra fórmula\(m=2+h\text{:}\)

    \ begin {alinear*} h=0.1 && m = 2.1\\ h=0.01 && m= 2.01\\ h=0.001 && m= 2.001. \ end {alinear*}

    Entonces nuevamente vemos que a medida que esta diferencia en\(x\) se hace cada vez más pequeña, la pendiente parece estar cada vez más cerca de\(2\text{.}\) Podemos escribir esto más matemáticamente como

    \ begin {align*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &= 2\ end {align*}

    Esto se lee como

    El límite, a medida que\(h\) se\(0\text{,}\) aproxima\(\frac{(1+h)^2-1}{h}\) es\(2\text{.}\)

    ¡Este es nuestro primer límite! Observe que podemos ver esto un poco más claramente con un poco rápido de álgebra:

    \ begin {alinear*}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ frac {(1+2h+h^2) -1} {h}\\ &=\ frac {2h+h^2} {h} & (2+h)\\\ end {align*}

    Por lo que no es irrazonable esperar que

    \ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ lim_ {h\ a 0} (2+h) = 2. \ end {alinear*}

    Nuestra línea tangente se puede considerar como el final de este proceso, es decir, a medida que nos\(Q\) acercamos cada vez más a\(P\text{,}\) la pendiente de la línea secante se acerca cada vez más a la de la línea tangente que queremos. Ya que hemos averiguado cuál es la pendiente —ese es el límite que vimos justo arriba— ahora sabemos que la pendiente de la línea tangente es\(2\text{.}\) Dado esto, podemos elaborar la ecuación para la línea tangente.

    • La ecuación para la línea es\(y=mx+c\text{.}\) Tenemos 2 incógnitas\(m\) y\(c\) — entonces necesitamos 2 piezas de información para encontrarlas.
    • Ya que la línea es tangente a\(P = (1,1)\) sabemos que la línea debe pasar a través\((1,1)\text{.}\) Desde el límite que calculamos anteriormente, también sabemos que la línea tiene pendiente\(2\text{.}\)
    • Ya que la pendiente es\(2\) sabemos que\(m=2\text{.}\) Así la ecuación de la línea es\(y=2x+c\text{.}\)
    • Sabemos que la línea pasa por\((1, 1)\text{,}\) lo que\(y=2x+c\) debe ser\(1\) cuando\(x=1\text{.}\) Así\(1 = 2 \cdot 1 + c\text{,}\) que lo que obliga\(c = -1\text{.}\)

    Entonces nuestra línea tangente es\(y=2x-1\text{.}\)

    Ejercicio

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    En la gráfica de abajo, dibuje:

    1. La línea tangente a\(y=f(x)\) at\(P\text{,}\)
    2. la línea tangente a\(y=f(x)\) at\(Q\text{,}\) y
    3. la línea secante a\(y=f(x)\) través\(P\) y\(Q\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que una curva\(y=f(x)\) tiene una línea tangente\(y=2x+3\) en el punto\(x=2\text{.}\)

    1. Verdadero o Falso:\(f(2)=7\)
    2. Verdadero o Falso:\(f(3)=9\)
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(L\) ser la línea tangente a una curva\(y=f(x)\) en algún punto\(P\text{.}\) ¿Cuántas veces se\(L\) cruzará la curva\(y=f(x)\text{?}\)


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