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1.2: Otro límite y velocidad de computación

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    Computar líneas tangentes está muy bien, pero ¿qué tiene esto que ver con las aplicaciones o el “Mundo Real”? Bueno, al menos inicialmente nuestro uso de límites (y de hecho de cálculo) va a ser un poco alejado de las aplicaciones del mundo real. Sin embargo a medida que vayamos más allá y aprendamos más sobre límites y derivados podremos acercarnos a problemas reales y sus soluciones.

    Entonces, acercándose un poco más al mundo real, considera el siguiente problema. Se le cae una pelota desde lo alto de un edificio muy muy alto. Dejar\(t\) transcurrir el tiempo medido en segundos, y\(s(t)\) ser la distancia que la pelota ha caído en metros. Entonces\(s(0) = 0\text{.}\)

    Rápido a un lado: está pasando bastante en el enunciado de este problema. Hemos descrito el panorama general —edificio alto, bola, caída— pero también hemos introducido notación, variables y unidades. Estos serán primeros pasos comunes en las aplicaciones y son necesarios para traducir un problema del mundo real a las matemáticas de una manera clara y consistente.

    Galileo 1 resolvio que\(s(t)\) es una función cuadrática:

    \ begin {align*} s (t) &= 4.9 t^2. \ end {alinear*}

    La pregunta que se plantea es

    ¿Qué tan rápido cae la pelota después de 1 segundo?

    Ahora antes de llegar a responder a esta pregunta, primero debemos ser un poco más precisos. La redacción de esta pregunta es bastante descuidada por un par de razones:

    • ¿Qué queremos decir con “después de 1 segundo”? Sabemos que la pelota se moverá cada vez más rápido a medida que pase el tiempo, por lo que después de 1 segundo no cae a una velocidad fija.
    • Tal y como está una respuesta razonable a la pregunta sería simplemente “muy rápida”. Si la persona que hace la pregunta quiere una respuesta numérica sería mejor preguntar “A qué velocidad” o “Con qué velocidad”.

    También debemos tener cuidado al usar las palabras “velocidad” y “velocidad” —no son intercambiables.

    • Velocidad significa la distancia recorrida por unidad de tiempo y siempre es un número no negativo. Un objeto inmóvil tiene velocidad\(0\text{,}\) mientras que un objeto en movimiento tiene velocidad positiva.
    • La velocidad, por otro lado, también especifica la dirección del movimiento. En este texto trataremos casi exclusivamente los objetos que se mueven a lo largo de líneas rectas. Debido a esto las velocidades serán números positivos o negativos que indican en qué dirección se mueve el objeto a lo largo de la línea. Seremos más precisos sobre esto más adelante 2.

    Una mejor pregunta es

    ¿Cuál es la velocidad de la pelota precisamente 1 segundo después de que se cae?

    o incluso mejor:

    ¿Cuál es la velocidad de la pelota a la marca de 1 segundo?

    Esto deja muy claro que queremos saber qué está pasando exactamente a 1 segundo después de que se caiga la pelota.

    Algo un poco sutil está pasando en esta pregunta. En particular, ¿qué queremos decir con la velocidad a\(t=1\text{?.}\) Seguramente si congelamos el tiempo al\(t=1\) segundo, entonces el objeto no se mueve en absoluto? Esto definitivamente no es lo que queremos decir.

    Si un objeto se mueve a una velocidad constante 3 en la dirección positiva, entonces esa velocidad es solo la distancia recorrida dividida por el tiempo tomado. Eso es

    \ begin {align*} v &=\ frac {\ text {distancia movida}} {\ text {tiempo tomado}}\ end {align*}

    Un objeto que se mueve a velocidad constante que se mueve\(27\) metros en\(3\) segundos tiene velocidad

    \ begin {alinear*} v &=\ frac {27 m} {3 s} = 9 m/s.\ end {alinear*}

    Cuando la velocidad es constante todo es fácil.

    Sin embargo, en nuestro ejemplo de objeto que cae, el objeto está siendo actuado por gravedad y su velocidad definitivamente no es constante. En lugar de pedir LA velocidad, examinemos la “velocidad promedio” del objeto a lo largo de una cierta ventana de tiempo. En este caso la fórmula es muy similar

    \ begin {align*}\ text {velocidad media} &=\ frac {\ text {distancia movida}} {\ text {tiempo tomado}}\ end {align*}

    Pero ahora quiero ser más preciso, en lugar de escribir

    \ begin {align*}\ text {velocidad media} &=\ frac {\ text {diferencia en}\ texto {distancia}} {\ text {diferencia en el tiempo}}\ end {align*}

    Ahora bien, en inglés hablado no hemos cambiado mucho —la distancia movida es la diferencia de posición, y el tiempo tomado es solo la diferencia en el tiempo— pero esta última es matemáticamente más precisa, y es fácil de traducir en la siguiente ecuación

    \ begin {align*}\ text {velocidad media} &=\ frac {s (t_2) - s (t_1)} {t_2 - t_1}. \ end {alinear*}

    Esta es la fórmula para la velocidad promedio de nuestro objeto entre el tiempo\(t_1\) y\(t_2\text{.}\) El denominador es solo la diferencia entre estos tiempos y el numerador es la diferencia en posición — es decir, posición en el tiempo\(t_1\) es justa\(s(t_1)\) y posición en el tiempo\(t_2\) es justa \(s(t_2)\text{.}\)

    Entonces, ¿cuál es la velocidad promedio de la bola que cae entre\(1\) y\(1.1\) segundos? Todo lo que tenemos que hacer ahora es conectar algunos números a nuestra fórmula

    \ begin {alinear*}\ mbox {velocidad promedio} &=\ frac {\ text {diferencia en}\ texto {posición}} {\ mbox {diferencia en el tiempo}}\\ &=\ frac {s (1.1) - s (1)} {1.1-1}\\ &=\ frac {4.9 (1.1) ^2 - 4.9 (1)} {0.1} =\ frac {4.9 veces\ 0.21} {0.1} = 10.29 m/s\ final {alinear*}

    Y tenemos nuestra velocidad promedio. Sin embargo hay algo que debemos notar sobre esta fórmula y es más fácil ver si bosquejamos una gráfica de la función\(s(t)\)

    Entonces a la izquierda he dibujado la gráfica y anotado los tiempos\(t=1\) y\(t=1.1\text{.}\) las posiciones correspondientes en los ejes y los dos puntos en la curva. A la derecha he añadido algunos detalles más. En lo particular he señalado las diferencias de posición y tiempo, y la línea que une los dos puntos. Observe que la pendiente de esta línea es

    \ begin {align*}\ text {slope} &=\ frac {\ text {cambio en $y$}} {\ text {cambio en $x$}} =\ frac {\ text {diferencia en $s$}} {\ text {diferencia en $t$}}\ end {align*}

    que es precisamente nuestra expresión para la velocidad promedio.

    Examinemos lo que sucede con la velocidad promedio a medida que miramos ventanas de tiempo cada vez más pequeñas.

    \ begin {align*}\ text {ventana de tiempo} &&\ text {velocidad media}\\ 1\ leq t\ leq 1.1 && 10.29\\ 1\ leq t\ leq 1.01 && 9.849\\ 1\ leq t\ leq 1.001 && 9.8049\\ 1\ leq t\ leq t\ leq 1.0001 && 9.80049\ end {align*}

    A medida que hacemos el intervalo de tiempo cada vez más pequeño encontramos que la velocidad promedio se está acercando cada vez más a\(9.8\text{.}\) Podemos ser un poco más precisos al encontrar la velocidad promedio entre\(t=1\) y\(t=1+h\) — esto es muy similar a lo que hicimos para las líneas tangentes.

    \ begin {align*}\ text {velocidad media} &=\ frac {s (1+h) - s (1)} {(1+h) -1}\\ &=\ frac {4.9 (1+h) ^2 - 4.9} {h}\\ &=\ frac {9.8h + 4.9h^2} {h}\\ &= 9.8 + 4.9h\ end {align*}

    Ahora, a medida que apretamos esta ventana entre\(t=1\) y hacia\(t=1+h\) abajo hacia cero, la velocidad promedio se convierte en la “velocidad instantánea”, así como la pendiente de la línea secante se convierte en la pendiente de la línea tangente. Este es nuestro segundo límite

    \ begin {alinear*} v (1) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {s (1+h) -s (1)} {h} = 9.8\ end {align*}

    Más generalmente definimos que la velocidad instantánea en el momento\(t=a\) es el límite

    \ begin {align*} v (a) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {s (a+h) - s (a)} {h}\ end {align*}

    Leemos esto como

    La velocidad en el tiempo\(a\) es igual al límite ya que\(h\) va a cero de\(\frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.}\)

    Si bien hemos resuelto el problema planteado al inicio de esta sección, es claro que si queremos resolver problemas similares habrá que entender los límites de una manera más general y sistemática.

    Ejercicio

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Como se utilizan en esta sección, ¿cuál es la diferencia entre velocidad y velocidad?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    La velocidad nunca puede ser negativa; ¿puede ser cero?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que te levantas por la mañana en tu habitación, luego caminas dos kilómetros hasta la escuela, caminas otros dos kilómetros para almorzar, caminas cuatro kilómetros hasta una cafetería para estudiar, luego regresas a tu habitación hasta la mañana siguiente. En las 24 horas de la mañana a la mañana, ¿cuál era su velocidad promedio? (En CLP-1, estamos considerando funciones de una variable. Entonces, en esta etapa, pensemos que todo nuestro mundo está contenido en el\(x\) eje -eje.)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que se le cae un objeto, y éste cae por unos segundos. ¿Cuál es mayor: su velocidad a la marca de un segundo, o su velocidad promedio desde la marca de cero segundos a la marca de un segundo?

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    La posición de un objeto en el tiempo\(t\) viene dada por\(s(t)\text{.}\) Entonces su velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo\(t=a\) a\(t=b\) viene dada por\(\dfrac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Explicar por qué esta fracción también da la pendiente de la línea secante de la curva\(y=s(t)\) desde el punto\(t=a\) hasta el punto\(t=b\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    A continuación se muestra la gráfica de la posición de un objeto en el tiempo ¿\(t\text{.}\)Para qué periodos de tiempo es positiva la velocidad del objeto?

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que la posición de un cuerpo en el tiempo\(t\) (medida en segundos) viene dada por\(s(t)=3t^2+5\text{.}\)

    1. ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto de 3 segundos a 5 segundos?
    2. Cuál es la velocidad del objeto en el momento\(t=1\text{?}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Supongamos que la posición de un cuerpo en el tiempo\(t\) (medida en segundos) viene dada por\(s(t)=\sqrt{t}\text{.}\)

    1. ¿Cuál es la velocidad promedio del objeto de\(t=1\) segundos a\(t=9\) segundos?
    2. Cuál es la velocidad del objeto en el momento\(t=1\text{?}\)
    3. Cuál es la velocidad del objeto en el momento\(t=9\text{?}\)

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