1.3: El límite de una función
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Antes de llegar a las definiciones, comencemos con un poco de notación para los límites.
A menudo escribiremos
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a} f (x) = L\ fin {reunir*}
que debe leerse como
El límite de\(f(x)\) lo que se\(x\) aproxima\(a\) es\(L\text{.}\)
La notación es solo taquigrafía — no queremos tener que escribir oraciones largas como hacemos nuestras matemáticas. Siempre que veas estos símbolos deberías pensar en esa frase.
Esta taquigrafía también tiene el beneficio de ser matemáticamente precisa (veremos esto más adelante), y (casi) independiente del lenguaje en el que el autor esté escribiendo. Un matemático que no hable inglés puede leer la fórmula anterior y entender exactamente lo que significa.
En matemáticas, como la mayoría de los idiomas, suele haber más de una forma de escribir las cosas y también podemos escribir el límite anterior como
\ comenzar {reunir*} f (x)\ a L\ mbox {as} x\ a una\ fin {reunir*}
Esto también se puede leer como arriba, pero también como
\(f(x)\)va a\(L\) como\(x\) va a\(a\)
Significan exactamente lo mismo en matemáticas, a pesar de que podrían estar escritas, leídas y dichas de manera un poco diferente.
Para llegar a la definición de límite, queremos iniciar 1 con un ejemplo muy sencillo.
Considera la siguiente función.
\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} 2x & x\ lt 3\\ 9 & x=3\\ 2x & x\ gt 3\ end {cases}\ end {align*}
Este es un ejemplo de una función por piezas 2. Es decir, una función definida en varias piezas, más que como una sola fórmula. Evaluamos la función a un valor particular\(x\) de caso por caso. Aquí hay un boceto de ello
Observe los dos círculos en la trama. Uno está abierto\(\circ\) y el otro está cerrado\(\bullet\text{.}\)
- Un círculo relleno tiene un significado bastante preciso: un círculo relleno en\((x,y)\) significa que la función toma el valor\(f(x) = y\text{.}\)
- Un círculo abierto es un poco más duro — un círculo abierto en\((3,6)\) significa que el punto no\((3,6)\) está en la gráfica de\(y=f(x)\text{,}\) i.e. Solo\(f(3) \neq 6\text{.}\) debemos usar el círculo abierto donde sea absolutamente necesario para evitar confusiones.
Esta función es bastante ideada, pero es un muy buen ejemplo para empezar a trabajar con límites de manera más sistemática. Considera lo que hace la función cerca Ya\(x=3\text{.}\) sabemos lo que sucede exactamente en\(3\)\(f(x)=9\) — — pero quiero ver cómo se comporta la función muy cerca de Es\(x=3\text{.}\) decir, qué hace la función mientras miramos un punto\(x\) que se acerca cada vez más a\(x=3\text{.}\)
Si conectamos algunos números muy cercanos a\(3\) (pero no exactamente 3) a la función vemos lo siguiente:
| \(x\) | 2.9 | 2.99 | 2.999 | \(\circ\) | 3.001 | 3.01 | 3.1 |
| \(f(x)\) | 5.8 | 5.98 | 5.998 | \(\circ\) | 6.002 | 6.02 | 6.2 |
Entonces a\(x\) medida que se acerca cada vez más a 3, sin ser exactamente 3, vemos que la función se acerca cada vez más a 6. Podemos escribir esto como
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 3} f (x) &= 6\ end {alinear*}
Eso es
El límite a medida que\(x\) se\(3\) aproxima\(f(x)\) es\(6\text{.}\)
Así que por\(x\) muy cerca de\(3\text{,}\) sin ser exactamente 3, la función está muy cerca de\(6\) — que está muy lejos del valor de la función exactamente en\(3\text{,}\)\(f(3)=9\text{.}\) Note bien que el comportamiento de la función como\(x\) se acerca mucho a 3 no depende de el valor de la función en 3.
Ahora tenemos suficiente para hacer una definición informal de un límite, que en realidad es suficiente para la mayor parte de lo que haremos en este texto.
Escribimos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= L\ end {alinear*}
si el valor de la función\(f(x)\) está seguro de estar arbitrariamente cerca de\(L\) siempre que el valor de\(x\) esté lo suficientemente cerca\(a\text{,}\) sin que 3 sea exactamente\(a\text{.}\)
Para que esta definición sea más correcta matemáticamente, necesitamos hacer más precisa la idea de “cada vez más cerca” —lo hacemos en la Sección 1.7. Cabe destacar que la definición formal y los contenidos de dicha sección son materiales optativos.
Por ahora, usemos la definición anterior para examinar un ejemplo más sustancial.
Dejemos\(f(x) = \frac{x-2}{x^2+x-6}\) y consideremos su límite como\(x \to 2\text{.}\)
- Realmente nos están preguntando
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2}\ frac {x-2} {x^2+x-6} &=\ text {qué?} \ end {alinear*}
- Ahora bien, si tratamos de calcular\(f(2)\) obtenemos\(0/0\) cuál es indefinido. La función no está definida en ese punto — este es un buen ejemplo de por qué necesitamos límites. Tenemos que acercarnos sigilosamente a estos lugares donde una función no está definida (o se comporta mal).
- Punto muy importante: la fracción no\(\frac{0}{0}\) es\(\infty\) y no\(1\text{,}\) es no está definida. Nunca podemos dividir por cero en aritmética normal y obtener una respuesta consistente y matemáticamente sensata. Si aprendiste lo contrario en la secundaria, deberías desaprenderlo rápidamente.
- Nuevamente, podemos enchufar algunos números cercanos a\(2\) y ver qué encontramos
\(x\) 1.9 1.99 1.999 \(\circ\) 2.001 2.01 2.1 \(f(x)\) 0.20408 0.20040 0.20004 \(\circ\) 0.19996 0.19960 0.19608
- Entonces es razonable suponer que
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2}\ frac {x-2} {x^2+x-6} &= 0.2\ end {align*}
Los dos ejemplos anteriores se comportan muy bien en que los límites que intentamos calcular realmente existen. Pasamos ahora a dos ejemplos más molestos 4 en los que no existen los límites que nos interesan.
Considere la siguiente función\(f(x) = \sin( \pi /x )\text{.}\) Encontrar el límite a partir\(x \to 0\) de\(f(x)\text{.}\)
Deberíamos ver algo interesante pasando cerca\(x=0\) porque ahí no\(f(x)\) está definido. Usando su software de trazado gráfico favorito, puede ver que el gráfico se ve aproximadamente como
¿Cómo explicar esto? A medida que\(x\) se acerca cada vez más a cero,\(\pi/x\) se hace cada vez más grande (recuerda cómo\(y=1/x\) se ve la trama de). Entonces, cuando tomas seno de ese número, oscila cada vez más rápido cuanto más te acercas a cero. Dado que la función no se acerca a un solo número a medida que nos\(x\) acercamos cada vez más a cero, el límite no existe.
Escribimos esto como
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a 0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi} {x}\ derecha)\ texto {no existe}\ end {reunir*}
No es una notación muy inventiva, sin embargo es clara. Frecuentemente abreviamos “no existe” a “DNE” y reescribimos lo anterior como
\ start {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ sin\ izquierda (\ frac {\ pi} {x}\ derecha) &=\ texto {DNE}\ end {align*}
En el siguiente ejemplo, el límite que nos interesa no existe. Sin embargo, la forma en que las cosas salen mal es bastante diferente de lo que acabamos de ver.
Considera la función
\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x & x\ lt 2\\ -1 & x=2\\ x+3 & x\ gt 2\ end {cases}\ end {align*}
- La trama de esta función se ve así
- Así que vamos a enchufar números cercanos a\(2\text{.}\)
\(x\) 1.9 1.99 1.999 \(\circ\) 2.001 2.01 2.1 \(f(x)\) 1.9 1.99 1.999 \(\circ\) 5.001 5.01 5.1 - Esto no es como antes. Ahora cuando nos acercamos desde abajo, parece que nos estamos acercando\(2\text{,}\) pero cuando nos acercamos desde arriba parece que nos estamos acercando a\(5\text{.}\) Dado que no nos estamos acercando al mismo número el límite no existe.
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2} f (x) &=\ text {DNE}\ end {alinear*}
Si bien el límite en el ejemplo anterior no existe, el ejemplo sirve para introducir la idea de “límites unilaterales”. Por ejemplo, podemos decir que
A medida\(x\) que se acerca cada vez más a dos desde abajo la función se acerca a 2.
y de manera similar
A medida\(x\) que se acerca cada vez más a dos desde arriba la función se acerca a 5.
Escribimos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &= K\ end {alinear*}
cuando el valor de\(f(x)\) se acerca cada vez más a\(K\) cuándo\(x \lt a\) y\(x\) se mueve cada vez más cerca de\(a\text{.}\) Dado que los\(x\) -valores son siempre menores de lo que\(a\text{,}\) decimos que\(x\) se acerca\(a\) desde abajo. Esto también se suele llamar el límite de la izquierda ya que los\(x\) valores -se encuentran a la izquierda de\(a\) en un boceto de la gráfica.
De manera similar escribimos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &= L\ end {alinear*}
cuando el valor de\(f(x)\) se acerca cada vez más a\(L\) cuándo\(x \gt a\) y\(x\) se mueve cada vez más cerca de Por razones similares decimos que se\(x\) acerca\(a\) desde arriba, y en ocasiones nos referimos a esto como el límite de la derecha.\(a\text{.}\)
Nota: tenga cuidado de incluir el superíndice\(+\) y\(-\) al escribir estos límites. También podrías ver las siguientes anotaciones:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &=\ lim_ {x\ a a+} f (x) =\ lim_ {x\ flecha abajo a} f (x) =\ lim_ {x\ searrow a} f (x) = L &\ text {límite derecho}\\ lim_ {x\ a a^-} f (x) =\ lim_ {x\ a-} f (x) =\ lim_ {x\ uparrow a} f (x) =\ lim_ {x\ nearrow a} f (x) = L &\ text {límite de la izquierda}\ end {alinear*}
pero por favor utilícelo con la notación de la Definición 1.3.7 anterior.
Dadas estas dos nociones similares de límites, ¿cuándo son iguales? El siguiente teorema nos lo dice.
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) = L &&\ mbox {si y solo si} &&\ lim_ {x\ a a^-} f (x) = L\ mbox {y}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) = L\ end {align*}
Observe que esto es realmente dos declaraciones separadas debido al “si y solo si”
- Si el límite de\(f(x)\) como\(x\) enfoques\(a\) existe y es igual a\(L\text{,}\) entonces existen los límites tanto de la izquierda como de la derecha y son iguales a\(L\text{.}\) Y,
- Si los límites izquierdo y derecho como\(x\) enfoques\(a\) existen y son iguales, entonces el límite como\(x\) enfoques\(a\) existe y es igual a los límites unilaterales.
Es decir, el límite de\(f(x)\) como\(x\) enfoques\(a\) solo existirá si no importa en qué dirección nos acerquemos\(a\) (ya sea de izquierda o derecha) Y si obtenemos los mismos límites unilaterales cuando nos acercamos de izquierda a derecha, entonces existe el límite.
Podemos reformular lo anterior escribiendo los contrapositivos 5 de los enunciados anteriores.
- Si cualquiera de los límites de la izquierda y la derecha\(a\) como\(x\) enfoques no existen, o si ambos existen pero son diferentes, entonces el límite como\(x\) enfoques\(a\) no existe. Y,
- Si el límite como\(x\) enfoques\(a\) no existe, entonces los límites izquierdo y derecho son diferentes o al menos uno de ellos no existe.
Aquí hay otro ejemplo de límite
Considera las siguientes dos funciones y calcula sus límites y límites unilaterales a medida que se\(x\) aproxima 1:
Estos son un poco diferentes a nuestros ejemplos anteriores, en que no tenemos fórmulas, solo el boceto. Pero aún podemos calcular los límites.
- Función a la izquierda —\(f(x)\text{:}\)
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1^-} f (x) &= 2 &\ lim_ {x\ a 1^+} f (x) &= 2\\\\ final {alinear*}
así por el teorema anterior
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 1} f (x) &= 2\ end {align*}
- Función a la derecha —\(g(t)\text{:}\)
\ begin {alinear*}\ lim_ {t\ a 1^-} g (t) &= 2 &\ text {y}\ lim_ {t\ a 1^+} g (t) &= -2\\\ end {alinear*}
así por el teorema anterior
\ begin {align*}\ lim_ {t\ to 1} g (t) &=\ text {DNE}\ end {align*}
Hemos visto 2 formas en las que no existe un límite —en un caso la función osciló salvajemente, y en el otro hubo algún tipo de “salto” en la función, de manera que los límites de la izquierda y la derecha eran diferentes.
Hay una tercera vía que también debemos considerar. Para describir esto, considere las siguientes cuatro funciones:
Ninguna de estas funciones se define\(x=a\text{,}\) ni los límites a medida que\(a\) existen\(x\) enfoques. Sin embargo podemos decir algo más que “los límites no existen”.
Observe que el valor de la función 1 se puede hacer cada vez más grande a medida que nos\(x\) acercamos cada vez más a\(a\text{.}\) Similarmente el valor de la segunda función se puede hacer arbitrariamente grande y negativo (es decir, hacer que sea un número negativo tan grande como queramos)\(x\) acercando cada vez más a \(a\text{.}\)En base a esta observación tenemos la siguiente definición.
Escribimos
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a} f (x) = +\ infty\ fin {reunir*}
cuando el valor de la función\(f(x)\) se vuelve arbitrariamente grande y positivo a medida que\(x\) se acerca cada vez más\(a\text{,}\) sin ser exactamente\(a\text{.}\)
Del mismo modo, escribimos
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a} f (x) = -\ infty\ fin {reunir*}
cuando el valor de la función\(f(x)\) se vuelve arbitrariamente grande y negativo a medida que\(x\) se acerca cada vez más\(a\text{,}\) sin ser exactamente\(a\text{.}\)
Un buen ejemplo de lo anterior es
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {1} {x^2} &= +\ infty &\ lim_ {x\ a 0} -\ frac {1} {x^2} &= -\ infty\ end {align*}
PUNTO IMPORTANTE: Por favor, no piense en “\(+\infty\)\(-\infty\)” y “” en estas declaraciones como números. Deberías pensar en\(\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = +\infty\) y\(\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = -\infty\) como casos especiales de\(\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = \text{DNE}\text{.}\) La declaración
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a} f (x) = +\ infty\ fin {reunir*}
no dice “el límite de\(f(x)\) como\(a\) se\(x\) acerca es infinito positivo”. Dice “la función\(f(x)\) se vuelve arbitrariamente grande a medida que\(x\) se acerca\(a\)”. Estas son declaraciones diferentes; recuerda que no\(\infty\) es un número 6.
Ahora considere las funciones 3 y 4 en la Figura 1.3.10. Aquí podemos hacer que el valor de la función sea tan grande y positivo como queramos (para la función 3) o tan grande y negativo como queramos (para la función 4) pero solo cuando se\(x\) acerca\(a\) desde un lado. Con esto en mente podemos construir notación similar y una definición similar:
Escribimos
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) = +\ infty\ fin {reunir*}
cuando el valor de la función\(f(x)\) se vuelve arbitrariamente grande y positivo a medida que\(x\) se acerca cada vez más\(a\) desde arriba (equivalentemente — desde la derecha), sin ser exactamente\(a\text{.}\)
Del mismo modo, escribimos
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) = -\ infty\ fin {reunir*}
cuando el valor de la función\(f(x)\) se vuelve arbitrariamente grande y negativo a medida que\(x\) se acerca cada vez más\(a\) desde arriba (equivalentemente — desde la derecha), sin ser exactamente\(a\text{.}\)
La notación
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &= -\ infty\ end {alinear*}
tiene un significado similar excepto que los límites se acercan desde abajo/desde la izquierda.
Así que para la función 3 tenemos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &=\ text {algún número positivo}\ end {alinear*}
y para la función 4
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^-} f (x) &=\ text {algún número positivo} &\ lim_ {x\ a a^+} f (x) &= -\ infty\ end {alinear*}
Más ejemplos:
Considera la función
\ begin {align*} g (x) &=\ frac {1} {\ sin (x)}\ end {alinear*}
Encuentra los límites unilaterales de esta función como\(x \to \pi\text{.}\)
Probablemente la forma más fácil de hacerlo es primero trazar la gráfica de\(\sin(x)\)\(1/x\) y luego pensar cuidadosamente sobre los límites unilaterales:
- A\(x \to \pi\) partir de la izquierda,\(\sin(x)\) es un pequeño número positivo que se está acercando cada vez más a cero. Es decir, como\(x \to \pi^-\text{,}\) lo tenemos\(\sin(x) \to 0\) a través de números positivos (es decir, desde arriba). Ahora mira la gráfica de\(1/x\text{,}\) y piensa lo que sucede a medida que nos movemos\(x \to 0^+\text{,}\) la función es positiva y se hace cada vez más grande.
Así como\(x \to \pi\) desde la izquierda,\(\sin(x) \to 0\) desde arriba, y así\(1/\sin(x) \to +\infty\text{.}\)
- Por razonamiento muy similar, como\(x \to \pi\) desde la derecha,\(\sin(x)\) es un pequeño número negativo que se acerca cada vez más a cero. Así como\(x \to \pi\) desde la derecha,\(\sin(x) \to 0\) a través de números negativos (es decir, desde abajo) y así\(1/\sin(x)\) hasta\(-\infty\text{.}\)
Así
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ pi^-}\ frac {1} {\ sin (x)} &= +\ infty &\ lim_ {x\ a\ pi^+}\ frac {1} {\ sin (x)} &= -\ infty\ end {alinear*}
Nuevamente, podemos convertir las Definiciones 1.3.11 y 1.3.12 en definiciones formales matemáticamente precisas utilizando técnicas muy similares a las de la Sección 1.7 opcional. Esto no es estrictamente necesario para este curso.
Hasta este punto exploramos límites dibujando gráficos o enchufando valores a una calculadora. Esto se hizo para ayudar a construir la intuición, pero en realidad no es la base de un método sistemático para calcular los límites. También hemos evitado enfoques más formales 7 ya que no tenemos tiempo en el curso para entrar en ese nivel de detalle y (posiblemente) no necesitamos ese detalle para lograr los objetivos del curso. Agradecidamente podemos desarrollar un enfoque más sistemático basado en la idea de construir límites complicados a partir de otros más simples al examinar cómo los límites interactúan con las operaciones básicas de la aritmética.
Ejercicios
Etapa 1
Dada la función que se muestra a continuación, evalúe lo siguiente:
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)\)
Dada la función que se muestra a continuación, evaluar\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)\text{.}\)
Dada la función que se muestra a continuación, evalúe:
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x)\)
- \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)\)
Dibuja una curva\(y=f(x)\) con\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=f(3)=10\text{.}\)
Dibuja una curva\(y=f(x)\) con\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=10\) y\(f(3)=0\text{.}\)
Supongamos\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10\text{.}\) Verdadero o falso:\(f(3)=10\text{.}\)
Supongamos\(f(3)=10\text{.}\) Verdadero o falso:\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10\text{.}\)
Supongamos que\(f(x)\) es una función definida en todos los números reales, y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16\text{.}\) ¿Qué es\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)\text{?}\)
Supongamos que\(f(x)\) es una función definida en todos los números reales, y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16\text{.}\) ¿Qué es\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)\text{?}\)
Etapa 2
En las Preguntas 1.3.2.10 a 1.3.2.17, evaluar los límites dados. Si no estás seguro de por dónde empezar, es agradable comenzar dibujando la función.
\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x\)
\(\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)\text{,}\)donde\(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x&x\leq 2.9\\ x^2&x \gt 2.9 \end{array} \right.\text{.}\)