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1.5: Límites en el infinito

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    118235
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Hasta este punto hemos discutido lo que le sucede a una función a medida que movemos su entrada\(x\) cada vez más cerca de un punto en particular\(a\text{.}\) Para muchas aplicaciones de límites necesitamos entender qué le sucede a una función cuando su entrada se vuelve extremadamente grande — por ejemplo lo que le sucede a una población en un momento lejano en el futuro.

    La definición de un límite en el infinito tiene un sabor similar a la definición de límites en puntos finitos que vimos anteriormente, pero los detalles son un poco diferentes. También necesitamos distinguir entre infinito positivo y negativo. Como\(x\) se vuelve muy grande y positivo se mueve hacia\(+\infty\) pero cuando se vuelve muy grande y negativo se mueve hacia\(-\infty\text{.}\)

    Nuevamente damos una definición informal; la definición formal completa se encuentra en (la optativa) Sección 1.8 cerca del final de este capítulo.

    Definición 1.5.1 Límites al infinito — informal.

    Escribimos

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} f (x) &= L\ end {alinear*}

    cuando el valor de la función\(f(x)\) se acerca cada vez más a\(L\) medida que hacemos cada vez más\(x\) grandes y positivos.

    Del mismo modo escribimos

    \ begin {align*}\ lim_ {x\ to -\ infty} f (x) &= L\ end {alinear*}

    cuando el valor de la función\(f(x)\) se acerca cada vez más a\(L\) medida que hacemos\(x\) más grande y más grande y negativo.

    Ejemplo 1.5.2 Límites a\(+\infty\) and \(-\infty\).

    Considere las dos funciones que se muestran a continuación

    Las líneas horizontales punteadas indican el comportamiento ya que\(x\) se vuelve muy grande. La función de la izquierda tiene límites como\(x \to \infty\) y como\(x \to -\infty\) desde que la función “se establece” a un valor particular. Por otro lado, la función de la derecha no tiene límite\(x \to -\infty\) ya que la función simplemente sigue haciéndose cada vez más grande.

    Así como fue el caso de los límites ya\(x \to a\) que comenzaremos con dos bloques de construcción muy simples y construiremos otros límites a partir de esos.

    Teorema 1.5.3.

    Que\(c \in \mathbb{R}\) entonces se mantengan los siguientes límites

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} c &= c &\ lim_ {x\ a -\ infty} c &= c\\\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1} {x} &= 0 &\ lim_ {x\ a -\ infty}\ frac {1} {x} &= 0\ end {align*}

    Nuevamente, estos límites interactúan muy bien con la aritmética estándar:

    Teorema 1.5.4 Aritmética de límites al infinito.

    Dejar\(f(x), g(x)\) ser dos funciones para las que los límites

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} f (x) &=F &\ lim_ {x\ a\ infty} g (x) &=G\ end {alinear*}

    existir. Luego se mantienen los siguientes límites

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} f (x)\ pm g (x) &= F\ pm G\\\ lim_ {x\ a\ infty} f (x) g (x) &= F G\\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {F} {G} &\ texto {proporcionado} G\ neq 0\\\ final {alinear*}

    y para números reales\(p\)

    \ begin {align*}\ lim_ {x\ to\ infty} f (x) ^p &= f^p &\ text {proporcionado $f^p$ y $f (x) ^p$ se definen para todos los $x$}\ end {align*}

    Los resultados análogos se mantienen para límites a\(-\infty\text{.}\)

    Tenga en cuenta que, como fue el caso en el Teorema 1.4.9, necesitamos un poco de cuidado extra con poderes de funciones. Debemos evitar tomar raíces cuadradas de números negativos, o de hecho cualquier raíz par de un número negativo 1.

    De ahí que tengamos para todos racionales\(r \gt 0\)

    \ begin {align*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1} {x^r} &= 0\ end {align*}

    pero hay que tener cuidado con

    \ begin {align*}\ lim_ {x\ to -\ infty}\ frac {1} {x^r} &= 0\ end {align*}

    Esto sólo es cierto si el denominador de no\(r\) es un número par 2.

    Por ejemplo

    • \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{1/2}} = 0\text{,}\)pero\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{1/2}}\) no existe, porque no\(x^{1/2}\) se define para\(x \lt 0\text{.}\)
    • Por otro lado,\(x^{4/3}\) se define para valores negativos de\(x\) y\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{4/3}} = 0\text{.}\)

    Nuestra primera aplicación de límites al infinito será examinar el comportamiento de una función racional para muy grandes\(x\text{.}\) Para ello utilizamos un “truco”.

    Ejemplo 1.5.5\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3x+4}{3x^2+8x+1}\).

    Calcula el siguiente límite:

    \ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {x^2-3x+4} {3x^2+8x+1}\ end {reunir*}

    Como\(x\) se vuelve muy grande, es el\(x^2\) término que dominará tanto en el numerador como en el denominador y los otros bits se volverán irrelevantes. Es decir, para muy grande\(x\text{,}\)\(x^2\) es mucho más grande que\(x\) o cualquier constante. Entonces sacamos estas partes dominantes

    \ begin {alinear*}\ frac {x^2-3x+4} {3x^2+8x+1} &=\ frac {x^2\ izquierda (1-\ frac {3} {x} {x} +\ frac {4} {x^2}\ derecha)} {x^2\ izquierda (3+\ frac {8} {x} +\ frac {1} {x^2}\ derecha)}\\ &=\ frac {1-\ frac {3} {x} +\ frac {4} {x^2}} {3+\ frac {8} {x} +\ frac {1} {x^2}} &\ text {eliminar los factores comunes}\ end {align*}

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {x^2-3x+4} {3x^2+8x+1} &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1-\ frac {3} {x} +\ frac {4} {x^2}} {3+\ frac {8} {x} +\ frac {1} x^2}}\\ &=\ frac {\ displaystyle\ lim_ {x\ a\ infty}\ left (1-\ frac {3} {x} +\ frac {4} {x^2}\ derecha)} {\ displaystyle\ lim_ {x\ a\ infty}\ left (3+\ frac {8} {x} +\ frac {1} {x{ x{ ^2}\ derecha)} &\ text {aritmética de límites}\\ &=\ frac {\ displaystyle\ lim_ {x\ a\ infty} 1 -\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {3} {x} +\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {4} {x^2}} {\ displaystyle\ lim_ {x\ a\ infty} 3 +\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {8} {x} +\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1} {x^2}} &\ text {más aritmética de límites}\\ & amp; =\ frac {1+0+0} {3+0+0} =\ frac {1} {3}\ final {alinear*}

    El siguiente se vuelve un poco más difícil

    Ejemplo 1.5.6 Tenga cuidado con los límites que involucran raíces.

    Encuentra el límite a partir\(x \to \infty\) de\(\frac{\sqrt{4x^2+1}}{5x-1}\)

    Usamos el mismo truco — tratar de averiguar cuál es el término más grande en el numerador y denominador y tirar de él hacia un lado.

    • El denominador está dominado por\(5x\text{.}\)
    • La mayor contribución al numerador proviene del\(4x^2\) interior de la raíz cuadrada. Cuando tiramos\(x^2\) fuera de la raíz cuadrada se vuelve\(x\text{,}\) así que el numerador está dominado por\(x \cdot \sqrt{4} = 2x\)
    • Para ver esto más explícitamente reescribe el numerador

      \ begin {alinear*}\ sqrt {4x^2+1} &=\ sqrt {x^2 (4+1/x^2)} =\ sqrt {x^2}\ sqrt {4+1/x^2} = x\ sqrt {4+1/x^2}. \ end {alinear*}

    • Así el límite tal como\(x \to \infty\) está

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {\ sqrt {4x^2+1}} {5x-1} &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {x\ sqrt {4+1/x^2}} {x (5-1/x)}\\ &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {\ sqr rt {4+1/x^2}} {5-1/x}\\ & =\ frac {2} {5}\ final {alinear*}

    Ahora pensemos también en el límite de la misma función,\(\frac{\sqrt{4x^2+1}}{5x-1}\text{,}\) ya que\(x \rightarrow -\infty\text{.}\) hay algo sutil pasando por la raíz cuadrada. Primero considere la función 3

    \ begin {align*} h (t) &=\ sqrt {t^2}\ end {align*}

    Evaluando esto en\(t=7\) da

    \ begin {align*} h (7) &=\ sqrt {7^2} =\ sqrt {49} = 7\ end {align*}

    Obtendremos mucho lo mismo para cualquier\(t \geq 0\text{.}\) Para cualquier\(t \ge 0\text{,}\)\(h(t)=\sqrt{t^2}\) devolución exactamente\(t\text{.}\) Sin embargo ahora considere la función en\(t=-3\)

    \ begin {alinear*} h (-3) &=\ sqrt {(-3) ^2} =\ sqrt {9} = 3 = - (-3)\ end {align*}

    esa es la función está volviendo\(-1\) veces la entrada.

    Esto se debe a que cuando\(\sqrt{\text{ }}\text{,}\) definimos que la definimos como la raíz cuadrada positiva. es decir, la función nunca\(\sqrt{t}\) puede devolver un número negativo. Así que siendo más cuidadoso

    \ begin {align*} h (t) &=\ sqrt {t^2} = | t |\ end {align*}

    Donde el\(|t|\) es el valor absoluto de Quizás\(t\text{.}\) estés acostumbrado a pensar en el valor absoluto como “quitar el signo menos”, pero esto no es del todo correcto. Vamos a esbozar la función

    Es una función por partes definida por

    \ begin {align*} |x| &=\ begin {cases} x & x\ geq 0\\ -x & x\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

    De ahí que nuestra función\(h(t)\) sea realmente

    \ begin {align*} h (t) &=\ sqrt {t^2} =\ begin {cases} t & t\ geq 0\\ -t & t\ lt 0\ end {cases}\ end {align*}

    Para que cuando lo evaluemos\(h(-7)\) sea

    \ begin {alinear*} h (-7) &=\ sqrt {(-7) ^2} =\ sqrt {49} = 7 = - (-7)\ end {align*}

    Ahora estamos listos para examinar el límite como\(x \to -\infty\) en nuestro ejemplo anterior. En su mayoría es copiar y pegar desde arriba.

    Ejemplo 1.5.7 Tenga cuidado con los límites que involucran raíces — continuó.

    Encuentra el límite a partir\(x \to -\infty\) de\(\frac{\sqrt{4x^2+1}}{5x-1}\)

    Usamos el mismo truco — tratar de averiguar cuál es el término más grande en el numerador y denominador y tirar de él hacia un lado. Ya que estamos tomando el límite como\(x \to -\infty\) deberíamos pensar en un gran número negativo.\(x\)

    • El denominador está dominado por\(5x\text{.}\)
    • La mayor contribución al numerador proviene del\(4x^2\) interior de la raíz cuadrada. Cuando sacamos del\(x^2\) exterior una raíz cuadrada se convierte\(|x| = -x\) (ya que estamos tomando el límite como\(x \to -\infty\)), por lo que el numerador está dominado por\(-x\cdot\sqrt{4} = -2x\)
    • Para ver esto más explícitamente reescribe el numerador

      \ begin {align*}\ sqrt {4x^2+1} &=\ sqrt {x^2 (4+1/x^2)} =\ sqrt {x^2}\ sqrt {4+1/x^2}\\ &= |x|\ sqrt {4+1/x^2}\ qquad\ text {y desde $x\ lt 0$ tenemos}\\ & = -x\ sqrt {4+1/x^2}\ final {alinear*}

    • Así el límite tal como\(x \to -\infty\) está

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a -\ infty}\ frac {\ sqrt {4x^2+1}} {5x-1} &=\ lim_ {x\ a -\ infty}\ frac {-x\ sqrt {4+1/x^2}} {x (5-1/x)}\\ &=\ lim_ {x\ a -\ infty}\ frac {x\ a -\ infty}\ ac {-\ sqrt {4+1/x^2}} {5-1/x}\\ & = -\ frac {2} {5}\ end {align*}

    Entonces el límite como\(x \to -\infty\) es casi el mismo pero ganamos un signo menos. Este definitivamente no es el caso en general — hay que pensar en cada ejemplo por separado.

    Aquí hay un boceto de la función en cuestión.

    Ejemplo 1.5.8 No intentes sumar y restar infinito.

    Calcula el siguiente límite:

    \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ izquierda (x^ {7/5} -x\ derecha)\ fin {reunir*}

    En este caso no podemos usar la aritmética de límites para escribir esto como

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ izquierda (x^ {7/5} -x\ derecha) &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a\ infty} x^ {7/5}\ derecha) -\ izquierda (\ lim_ {x\ a\ infty} x\ derecha)\\ &=\ infty -\ infty\ end {align*}

    porque los límites no existen. Solo podemos usar las leyes de límite cuando existen los límites. Entonces deberíamos volver y pensar un poco más.

    Cuando\(x\) sea muy grande,\(x^{7/5} = x\cdot x^{2/5}\) será mucho mayor que\(x\text{,}\) así el\(x^{7/5}\) término dominará el\(x\) término. Entonces factorial\(x^{7/5}\) y reescribirlo como

    \ begin {align*} x^ {7/5} -x &= x^ {7/5}\ izquierda (1 -\ frac {1} {x^ {2/5}}\ derecha)\ end {align*}

    Considera lo que le sucede a cada uno de los factores como\(x \to \infty\)

    • Para grandes\(x\text{,}\)\(x^{7/5} \gt x\) (esto es realmente cierto para cualquier\(x \gt 1\)). En el límite como\(x \to +\infty\text{,}\)\(x\) se vuelve arbitrariamente grande y positivo, y\(x^{7/5}\) debe ser aún mayor, por lo que se deduce que

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} x^ {7/5} &= +\ infty. \ end {alinear*}

    • Por otro lado,\((1-x^{-2/5})\) se vuelve más y más cercano a\(1\) — podemos usar la aritmética de límites para escribir esto como

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} (1-x^ {-2/5}) &=\ lim_ {x\ a\ infty} 1 -\ lim_ {x\ a\ infty} x^ {-2/5} = 1-0 = 1\ end {align*}

    Entonces el producto de estos dos factores será cada vez más grande (y positivo) a medida que\(x\) se mueve hacia el infinito. De ahí que tengamos

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} x^ {7/5}\ izquierda (1 - 1/x^ {2/5}\ derecha) &= +\ infty\ end {align*}

    Pero recuerden\(+\infty\) y no\(-\infty\) son números; la última ecuación en el ejemplo es la taquigrafía de “la función se vuelve arbitrariamente grande”.

    En la sección anterior vimos que los límites finitos y la aritmética interactúan muy bien (ver Teoremas 1.4.3 y 1.4.9). Esto nos permitió computar los límites de una función más complicada en términos de funciones más simples. Cuando los límites de funciones van a más o menos infinito estamos bastante más restringidos en lo que podemos deducir. El siguiente teorema establece algunos resultados relativos a la suma, diferencia, ratio y producto de límites infinitos —lamentablemente en muchos casos no podemos hacer declaraciones generales y los resultados dependerán de los detalles del problema en cuestión.

    Teorema 1.5.9 Aritmética de límites infinitos.

    Let\(a,c,H \in \mathbb{R}\) y let\(f,g,h\) be funciones definidas en un intervalo alrededor\(a\) (pero no necesitan definirse en\(x=a\)), de modo que

    \ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ a} g (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ a} h (x) &= H\ end {align*}

    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} ( f(x) + g(x) ) = +\infty\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} ( f(x) + h(x) ) = +\infty\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} ( f(x) - g(x) )\)indeterminado
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} ( f(x) - h(x) ) = +\infty\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} c f(x) = \begin{cases} +\infty & c \gt 0 \\ 0 & c=0 \\ -\infty & c \lt 0 \end{cases}\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} ( f(x) \cdot g(x) ) = +\infty\text{.}\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) h(x) = \begin{cases} +\infty & H \gt 0 \\ -\infty & H \lt 0\\ \text{undetermined} & H=0 \end{cases}\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)indeterminado
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{h(x)} = \begin{cases} +\infty & H \gt 0 \\ -\infty & H \lt 0\\ \text{undetermined} & H=0 \end{cases}\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{h(x)}{f(x)} = 0\)
    • \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)^p = \begin{cases} +\infty & p \gt 0 \\ 0 & p \lt 0\\ 1 & p=0 \end{cases}\)

    Obsérvese que por “indeterminado” nos referimos a que el límite puede o no existir, pero no puede determinarse a partir de la información dada en el teorema. Ver Ejemplo 1.4.7 para un ejemplo de lo que entendemos por “indeterminado”. Consideremos adicionalmente el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 1.5.10 Ten cuidado con la aritmética de límites infinitos.

    Considere las siguientes 3 funciones:

    \ begin {alinear*} f (x) &=x^ {-2} & g (x) &=2x^ {-2} &h (x) &=x^ {-2} -1.\\\ end {align*}

    Sus límites como\(x \to 0\) son:

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ to0} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ to0} g (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ to0} h (x) &= +\ infty. \ end {alinear*}

    Digamos que queremos calcular el límite de la diferencia de dos de las funciones anteriores como\(x \to 0\text{.}\) Entonces el teorema anterior no puede ayudarnos. Esto no es porque sea demasiado débil, más bien es porque la diferencia de dos límites infinitos puede ser, ya sea más infinito, menos infinito o algún número finito dependiendo de los detalles del problema. Por ejemplo,

    \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ to0}\ izquierda (f (x) -g (x)\ derecha) &=\ lim_ {x\ to0} -x^ {-2} = -\ infty\\ lim_ {x\ to0}\ izquierda (f (x) -h (x)\ derecha) &=\ lim_ {x\ to0} 1 = 1\\ lim_ {x\ to0}\ izquierda (g (x) -h (x)\ derecha) &=\ lim_ {x\ to0} x^ {-2} +1 = +\ infty\ end {alinear*}

    Ejercicios

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Dar un polinomio\(f(x)\) con la propiedad de que ambos\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x)\) y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)\) son números reales (finitos).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Dar un polinomio\(f(x)\) que satisfaga\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)\text{.}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} 2^{-x}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} 2^x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} 2^x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \cos x\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty}x-3x^5+100x^2\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} \dfrac{\sqrt{3x^8+7x^4}+10}{x^4-2x^2+1}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)(✳)

    \(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left[\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2-x}\right]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{\sqrt{4x^2+x}-2x}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)(✳)

    Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{1-x-x^2}{2x^2-7}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)(✳)

    Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\big(\sqrt{x^2+x}-x\big)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{5x^2-3x+1}{3x^2 +x+7}.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{ \sqrt{4\,x + 2}}{3\,x+4}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{15}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{4x^3+x}{7x^3 + x^2 - 2}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x^2+x}-\sqrt[4]{x^4+5}}{x+1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{17}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5x^2+10}{3x^3 +2x^2+x}.\)

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2}}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2}}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{20}\)(✳)

    Encuentra el límite\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \sin\left( \frac{\pi}{2} \frac{|x|}{x}\right) + \frac{1}{x}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{21}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{3x+5}{\sqrt{x^2+5}-x}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{22}\)(✳)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{5x+7}{\sqrt{4x^2+15}-x}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3x^7+x^5-15}{4x^2+32x}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{24}\)(✳)

    Evaluar\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2+5n}-n\right)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

    Evaluar\( \displaystyle \lim_{a \to 0^+}\dfrac{a^2-\frac{1}{a}}{a-1}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

    Evaluar\( \displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{2x+8}{\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x^2-9}}\text{.}\)

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

    Dar una función racional\(f(x)\) con las propiedades que\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)\text{,}\) y ambos límites son números reales (finitos).

    Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

    Supongamos que la concentración de una sustancia en tu cuerpo\(t\) horas después de la inyección viene dada por alguna fórmula\(c(t)\text{,}\) y\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0\text{.}\) ¿Qué tipo de sustancia podría haberse inyectado?


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