1.7: (Opcional) — Hacer lo informal un poco más formal

Como señalamos anteriormente, la definición de límites con la que hemos estado trabajando era bastante informal y no matemáticamente rigurosa. En esta sección (opcional) trabajaremos para entender la rigurosa definición de límites.

Aquí está la definición formal — trabajaremos a través de todo muy lenta y cuidadosamente después, así que no se asuste.

Definición 1.7.1.

Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y dejar\(f(x)\) ser una función definida en todas partes en un barrio de\(a\text{,}\) excepto posiblemente en\(a\text{.}\) Nosotros decimos que

el límite a medida que\(x\) se\(a\) aproxima\(f(x)\) es\(L\)

o equivalentemente

a medida que\(x\) se\(a\text{,}\)\(f(x)\) aproxima\(L\)

y escribir

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= L\ end {alinear*}

si y solo si por cada\(\epsilon \gt 0\) existe\(\delta \gt 0\) para que

\ begin {align*} |f (x) - L|\ lt\ epsilon &\ text {siempre} 0\ lt |x-a|\ lt\ delta\ end {align*}

Tenga en cuenta que una forma equivalente de escribir esta última declaración es

\ comenzar {reunir*}\ texto {si} 0\ lt |x-a|\ lt\ delta\ texto {entonces} |f (x) - L|\ lt\ épsilon. \ end {reunir*}

Esto es bastante para asimilar, así que vamos a descomponerlo en pedazos.

Definición 1.7.2 Las típicas 3 piezas de una definición.

Por lo general, una definición se puede dividir en tres piezas.

• Ajuste de escena: defina símbolos y cualquier restricción sobre los objetos de los que estamos hablando.
• Nombramiento: indique el nombre y cualquier notación para la propiedad u objeto del que trata la definición.
• Propiedades y restricciones — este es el corazón de la definición donde explicamos al lector qué es lo que tiene que hacer el objeto (en nuestro caso una función) para satisfacer la definición.

Volvamos a la definición y veamos cada una de estas piezas a su vez.

• Preparando las cosas — La primera frase de la definición es realmente solo configurar la imagen. Se trata de decirnos de qué se trata la definición y ordenar algunos detalles técnicos.
  • Vamos\(a \in \mathbb{R}\) — Esto simplemente nos dice que el símbolo “\(a\)” es un número ¹ real.
  • Let\(f(x)\) be a function — Esto es solo establecer la escena para que entendamos todos los términos y símbolos.
  • definido en todas partes en un barrio de\(a\text{,}\) excepto posiblemente en\(a\) — Esto es solo un requisito técnico; necesitamos que nuestra función se defina en una pequeña región ² alrededor\(a\text{.}\) La función no tiene que definirse en todas partes, pero debe ser definido para todos\(x\) -valores un poco menos que\(a\) y un poco más que A\(a\text{.}\) la definición no le importa lo que haga la función fuera de esta pequeña ventana, ni le importa lo que suceda exactamente en\(a\text{.}\)
• Nombres, frases y notación — La siguiente parte de la definición es simplemente nombrar la propiedad que estamos discutiendo y nos dice cómo escribirla. es decir, estamos hablando de “límites” y los escribimos usando los símbolos indicados.
• El corazón de las cosas —explicamos esto extensamente a continuación, pero por ahora vamos a dar una explicación rápida. Trabajar en estos dos puntos. Ellos son duros.
  • por todo lo que\(\epsilon \gt 0\) existe\(\delta \gt 0\) — Es importante que leamos esto en orden. Significa que podemos escoger cualquier número positivo que\(\epsilon\) queramos y siempre habrá otro número positivo\(\delta\) que va a hacer que lo que siga sea cierto.
  • si\(0 \lt |x-a| \lt \delta\) entonces\(|f(x)-L| \lt \epsilon\) — Del punto anterior tenemos nuestros dos números — cualquiera\(\epsilon \gt 0\) entonces basado en esa elección de\(\epsilon\) tenemos un número positivo\(\delta\text{.}\) El enunciado actual dice que cada vez que hemos elegido para\(x\) que esté muy cerca de\(a\text{,}\) entonces\(f(x)\) tiene que estar muy cerca de\(L\text{.}\) ¿Qué tan cerca está “muy cerca”? Bueno\(0 \lt |x-a| \lt \delta\) significa que\(x\) tiene que estar a una distancia\(\delta\) de\(a\) (pero no exactamente\(a\)) y de manera similar\(|f(x)-L| \lt \epsilon\) significa que\(f(x)\) tiene que estar a una distancia\(\epsilon\) de\(L\text{.}\)

Esa es la definición fragmentada en pedazos que ojalá ahora tengan más sentido, pero ¿qué significa realmente? Consideremos una función que vimos antes

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} 2x & x\ neq3\\ 9 & x=3\ end {cases}\ end {align*}

y bosquéelo de nuevo:

Sabemos (de nuestro trabajo anterior) que\(\lim_{x \to 3} f(x) = 6\text{,}\) así que acercar el zoom\((x,y)=(3,6)\text{.}\) Para que esto se parezca más a nuestra definición, tenemos\(a=3\) y\(L=6\text{.}\)

• Escoge algún número pequeño\(\epsilon \gt 0\) y resalta la tira horizontal de todos los puntos\((x,y)\) para lo cual\(|y-L| \lt \epsilon\text{.}\) Esto significa que todos los\(y\) valores -tienen que satisfacer\(L-\epsilon \lt y \lt L+\epsilon\text{.}\)
• Se puede ver que la gráfica de la función pasa por esta tira para algunos\(x\) -valores cercanos a\(a\text{.}\) Lo que necesitamos para poder hacer es escoger una tira vertical de\(x\) -valores alrededor para\(a\) que la función se encuentre dentro de la tira horizontal.
• Es decir, debemos encontrar un número pequeño para\(\delta \gt 0\) que para cualquier\(x\) -valor dentro de la tira vertical\(a-\delta \lt x \lt a+\delta\text{,}\) excepto exactamente at\(x=a\), el valor de la función se encuentre dentro de la tira horizontal, a saber\(L-\epsilon \lt y=f(x) \lt L+\epsilon\text{.}\)
• Vemos (pictóricamente) que podemos hacer esto. Si tuviéramos que elegir un valor menor de\(\epsilon\) hacer la tira horizontal más estrecha, es claro que podemos elegir la tira vertical para que sea más estrecha. En efecto, no importa cuán pequeña hagamos la tira horizontal, siempre podremos construir la segunda tira vertical.

Lo anterior es un argumento pictórico, pero podemos convertirlo fácilmente en uno matemático. Queremos mostrar el límite es\(6\text{.}\) Eso significa que para cualquier\(\epsilon\) necesitamos encontrar un para\(\delta\) que cuando

\ begin {align*} 3-\ delta\ lt x\ lt 3+\ delta\ text {con $x\ neq 3$} &&\ texto {tenemos} && 6-\ épsilon\ lt f (x)\ lt 6+\ épsilon\ end {align*}

Ahora notamos que cuando\(x \neq 3\text{,}\) tenemos\(f(x)=2x\) y así

\ begin {align*} 6-\ épsilon\ lt f (x)\ lt 6+\ épsilon &&\ text {implica que} && 6-\ épsilon\ lt 2x\ lt 6+\ épsilon\\ end {alinear*}

esto casi especifica un rango de\(x\) valores, solo necesitamos dividirlo por\(2\)

\ begin {alinear*} 3-\ épsilon/2\ lt x\ lt 3+\ épsilon/2\\\ final {alinear*}

De ahí que si elegimos\(\delta = \epsilon/2\) entonces conseguimos la desigualdad deseada

\ begin {align*} 3-\ delta\ lt x\ lt 3+\ delta\ end {align*}

es decir — no importa lo que\(\epsilon \gt 0\) se elija, si ponemos\(\delta=\epsilon/2\) entonces cuando\(3-\delta \lt x \lt 3+\delta\) con\(x \neq 3\) vamos a tener\(6-\epsilon \lt f(x) \lt 6+\epsilon\text{.}\) Esto es exactamente lo que necesitamos para satisfacer la definición de “límite” anterior.

El trabajo anterior nos da el argumento que necesitamos, pero aún así hay que redactarlo correctamente. Esto lo hacemos a continuación.

Ejemplo 1.7.3 Límite formal de una función simple.

Encuentra el límite a partir\(x \to 3\) de la siguiente función

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} 2x & x\ neq 3\\ 9 & x=3\ end {cases}\ end {align*}

Prueba

Demostraremos que el límite es igual a\(6\text{.}\) Let\(\epsilon \gt 0\) y\(\delta = \epsilon/2\text{.}\) Queda por demostrar que\(|f(x)-6| \lt \epsilon\) siempre que\(|x-3| \lt \delta\text{.}\)

Así que asumamos eso\(|x-3| \lt \delta\text{,}\) y así

\ begin {align*} 3-\ delta\ lt x\ lt 3+\ delta &&\ text {multiplicar ambos lados por 2}\\ 6-2\ delta\ lt 2x\ lt 6+2\ delta\\\ end {alinear*}

Recordemos eso\(f(x)=2x\) y que desde\(\delta=\epsilon/2\)

\ begin {alinear*} 6-\ épsilon\ lt f (x)\ lt 6+\ épsilon. \ end {alinear*}

Podemos concluir que\(|f(x)-6| \lt \epsilon\) según sea necesario.

Por el\(\epsilon\) y\(\delta\) en la definición de límites, necesitamos tener\(\epsilon\) y\(\delta\) en la prueba. Si bien\(\epsilon\) y\(\delta\) son solo símbolos que juegan papeles particulares, y podrían ser reemplazados por otros símbolos, este estilo de prueba suele llamarse\(\epsilon\) —\(\delta\) prueba.

En el ejemplo anterior todo funciona, pero puede ser muy instructivo ver qué pasa en un ejemplo que no funciona.

Ejemplo 1.7.4 Límite formal donde no existe límite

Mira de nuevo la función

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x & x\ lt 2\\ -1 & x=2\\ x+3 & x\ gt 2\ end {cases}\ end {align*}

y veamos por qué, según la definición del límite, que\(\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x) \neq 2\text{.}\) De nuevo, comience por esbozar una imagen y hacer zoom en torno a\((x,y) = (2,2)\text{:}\)

Intenta seguir los mismos pasos que antes:

• Elija un número pequeño\(\epsilon \gt 0\) y resalte una tira horizontal que contenga todos los\(y\) valores con\(|y-L| \lt \epsilon\text{.}\) Esto significa que todos los\(y\) valores -tienen que satisfacer\(L-\epsilon \lt y \lt L+\epsilon\text{.}\)
• Se puede ver que la gráfica de la función pasa por esta tira para algunos\(x\) -valores cercanos\(a\text{.}\) a A la izquierda de siempre\(a\text{,}\) podemos encontrar algunos\(x\) -valores que hacen que la función se asiente dentro de la horizontal-\(\epsilon\) -tira. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, hay un problema a la derecha de\(a\text{.}\) Incluso para\(x\) -valores un poco más grandes que\(a\text{,}\) el valor de\(f(x)\) yace bien fuera de la\(\epsilon\) tira horizontal-.
• Entonces dada esta elección de\(\epsilon\text{,}\) podemos encontrar una para que\(\delta \gt 0\) por\(x\) dentro de la tira vertical\(a-\delta \lt x \lt a\text{,}\) el valor de la función se asiente dentro de la\(\epsilon\) tira horizontal-.
• Desafortunadamente, no hay manera de elegir un\(\delta \gt 0\) para que para\(x\) dentro de la tira vertical\(a \lt x \lt a+\delta\) (con\(x \neq a\)) el valor de la función se asiente dentro de la\(epsilon\) tira horizontal-.
• Por lo que es imposible elegir para\(\delta\) que por\(x\) dentro de la tira vertical\(a-\delta \lt x \lt a+\delta\) el valor de la función se asiente dentro de la tira horizontal\(L-\epsilon \lt y=f(x) \lt L+\epsilon\text{.}\)
• Por lo tanto, el límite de\(f(x)\) como no\(x \to 2\) es\(2\text{.}\)

Hacer las cosas formalmente con\(\epsilon\)'s y\(\delta\)'s es bastante doloroso para las funciones generales. Es mucho mejor hacer uso de la aritmética de límites (Teorema 1.4.3) y algunos bloques básicos de construcción (como los del Teorema 1.4.1). Agradecidamente que la mayoría de los problemas que tratamos en el cálculo (al menos en este nivel) se pueden abordar exactamente de esta manera.

Esto sí deja el problema de probar la aritmética de los límites y los límites de los bloques básicos de construcción. La prueba del Teorema 1.4.3 está bastante involucrada y la dejamos hasta el final mismo de este Capítulo. Antes de hacer eso probaremos el Teorema 1.4.1 por una formal\(\epsilon\) —\(\delta\) prueba. Después en la siguiente sección veremos la definición formal de límites al infinito y probaremos el Teorema 1.5.3. La prueba del Teorema 1.5.9, la aritmética de límites infinitos, es muy similar a la del Teorema 1.4.3 y así no la damos.

Así que probemos ahora el Teorema 1.4.1 en el que afirmamos dos límites simples:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} c &= c &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a} x &= a.\ end {align*}

Aquí está el formal\(\epsilon\) —\(\delta\) prueba:

Prueba

Prueba de teorema 1.4.1

Ya que hay dos límites que demostrar, hacemos cada uno a su vez. \(a,c\)Dejen ser números reales.

• Deje\(\epsilon \gt 0\) y establezca\(f(x)=c\text{.}\) Elija\(\delta=1\text{,}\) entonces para cualquier\(x\) satisfacción\(|x-a| \lt \delta\) (o de hecho cualquier número real\(x\) en absoluto) tenemos\(|f(x)-c| = 0 \lt \epsilon\text{.}\) Por lo tanto,\(\displaystyle \lim_{x \to a} c = c\) según sea necesario.
• Dejar\(\epsilon \gt 0\) y establecer\(f(x)=x\text{.}\) Elige\(\delta=\epsilon\text{,}\) entonces para cualquier\(x\) satisfacción\(|x-a| \lt \delta\) tenemos\ begin {align*} a-\ delta\ lt x\ lt a+\ delta &\ text {but $f (x) = x$ y $\ delta=\ epsilon$}\\ a-\ épsilon\ lt f (x)\ lt a+\ épsilon\ end {align*} Así tenemos de\(|f(x)-a| \lt \epsilon\text{.}\) ahí\(\displaystyle \lim_{x \to a} x = a\) como se requiera.

Esto completa la prueba.